1、第二章 数列本章复习本章复习( 第 1 课时)学习目标掌握数列的概念及数列的通项公式;掌握等差数列、等比数列的基本概念及性质,掌握等差数列、等比数列的通项公式、前 n 项和公式.掌握特殊数列的求和方法,如:倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.利用数列中 an 与 Sn 之间的关系,求通项公式及解决其他数列问题.利用数列的递推关系,求通项公式,结合前 n 项和公式,解决数列的应用题.利用方程的思想、根据公式列方程(组), 解决等差数列、等比数列中的 “知三求二”问题;利用函数的思想,根据函数的图象、单调性、值域等解决数列中项的最值及数列的前 n 项和Sn 的最值问题;利用等价转化的
2、思想把非等差数列、等比数列问题转化为等差数列、等比数列问题来解决;利用分类讨论的思想解决等比数列的公比 q 是否为 1 等问题.合作学习一、回顾本章所学知识和方法形成知识结构本章知识结构:二、通过再现题组和巩固题组进一步掌握本章所学知识和方法(一)再现题组1.已知a n是等差数列,a 1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前 10 项和 S10等于( )A.64 B.100 C.110 D.1202.设a n是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列a n的前 7 项的和为( )A.63 B.64 C.127 D.1283.数列 1,3,5,7,的通项公式是 . 【变式与拓展】
3、已知数列的前几项求通项.(1)2,5,10,17,26;(2)1,-1,1,-1,1;(3)3,33,333,3333.4.已知数列a n满足 a1=1,an= +1(n2), 则 a5= . 1-15.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且 Sn=3n2+n,则数列的通项公式 an= . 6.已知 an=-n2+25n(nN *),则数列a n的最大项是 . 回顾:1.数列的概念和通项公式.2.等差数列(1)定义:a n+1-an=d(nN *)或 an-an-1=d(n2,nN *).(2)通项公式:a n=a1+(n-1)d,an=dn+(a1-d),an=pn+q,an=am+(n-
4、m)d.(3)前 n 项和公式: Sn= ,Sn=na1+ d,Sn= n2+ n,Sn=An2+Bn.(1+)2 (-1)2 2 (1-2)(4)重要性质:等差数列a n中,若 m+n=p+q(m,n,p,qN *),则 am+an=ap+aq,数列 an中,2a n=an-1+an+1(n2,nN *)an是等差数列 .若 a,A,b 成等差数列,则称 A 为 a 与 b 的等差中项,且 2A=a+b,A 有唯一值.等差数列a n中,公差为 d,则对任意的 kN *,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,构成等差数列,公差为 k2d.3.等比数列(1)定义: =q(nN *)或 =q(n2,
5、nN *)(q0).+1 -1(2)通项公式:a n=a1qn-1,an=amqn-m,an=aqn(a,q0).(3)前 n 项和公式: Sn=1(=1).1(1-)1- =1-1-=-(1).(4)重要性质:等比数列a n中,若 m+n=p+q(m,n,p,qN *),则 aman=apaq,特别地,若 m+n=2p,则 aman= .2数列a n中,a n0,nN *, =an-1an+1(n2,nN *)an是等比数列 .2若 a,A,b 成等比数列,则称 A 为 a 与 b 的等比中项,且 A2=ab(ab0),A= .等比数列a n中,公比为 q,Sn0,则对任意的 kN *,Sk
6、,S2k-Sk,S3k-S2k,构成等比数列,公比为 qk.4.Sn 与 an 的关系.(二)巩固题组【例 1】已知数列a n中,a 1=1,an+1-an=n,求通项公式 an.【例 2】设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn,满足S5S6+15=0.(1)若 S5=5,求 S6及 a1;(2)求 d 的取值范围.【例 3】设a n是由正数组成的等比数列,S n 为其前 n 项和 .已知 a2a4=1,S3=7,求 S5.【例 4】已知a n是公差不为零的等差数列,a 1=1,且 a1,a3,a9成等比数列.(1)求数列a n的通项公式;(2)
7、求数列 的前 n 项和 Sn.2【例 5】已知a n为等差数列,且 a3=-6,a6=0.(1)求a n的通项公式;(2)若等比数列b n满足 b1=-8,b2=a1+a2+a3,求b n的前 n 项和 Sn.三、反思小结,观点提炼1.等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式.2.熟练运用性质解决问题.3.产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题,求利率、增长率等问题常归结为数列建模问题.4.将实际问题转化为数列问题时应注意:(1)分清是等差数列还是等比数列;(2)分清是求 an 还是求 Sn,特别要准确地确定项数 n.5.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.参考答案(一
8、)再现题组1.B 提示:设数列的公差为 d,则 故 S10=10a1+ d=100.21+=4,21+13=28,得 1=1,=2, 10922.C 提示:因为 a1=1,a5=16,所以 q4= =16.51因为 q0,所以 q=2,从而 S7= =127.1(1-7)1-3.an=2n-1 提示:数列的前 4 项 1,3,5,7 都是序号的 2 倍减 1,所以通项公式为 an=2n-1.【变式与拓展】(1)a n=n2+1;(2)an=(-1)n+1;(3)an= (10n-1).134.855.an=6n-2 提示:当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=6n-2.当 n=1 时,a 1=
9、S1=4 也适合公式.所以数列的通项公式为 an=6n-2.6.第 12 项或第 13 项 提示:a n 是关于 n 的二次函数,结合二次函数求最值,同时要考虑nN *这一条件.(二)巩固题组【例 1】解:方法一:迭代法:a n=an-1+(n-1)=an-2+(n-1)+(n-2)=a1+(n-1)+(n-2)+1=1+ .(-1)2 =2-+22方法二:累加法:由已知 an+1-an=n,a 2-a1=1,a3-a2=2,an-an-1=n-1,以上各式相加得 an-a1= ,a n= .(-1)2 2-+22【例 2】 【命题立意】本题主要考查等差数列的概念、求和公式等基础知识,同时考查
10、运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】本题直接利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解即可.解:(1)由题意知,S 6= =-3,a6=S6-S5=-8.所以-155 51+10=5,1+5=-8.解得 a1=7.所以 S6=-3,a1=7.(2)方法一:因为 S5S6+15=0,所以(5a 1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2 +9da1+10d2+1=0.21故(4a 1+9d)2=d2-8.所以 d28. 故 d 的取值范围为 d- 2 或 d2 .2 2方法二:因为 S5S6+15=0,所以(5a 1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2 +9da
11、1+10d2+1=0.21看成关于 a1的一元二次方程,因为有实根,所以 =81d2-8(10d2+1)=d2-80,解得 d-2或 d2 .2 2【例 3】 【命题立意】本题考查等比数列的通项公式、等比数列的前 n 项和公式.【思路点拨】列出关于 a1,q 的方程组,解出 a1,q 再利用前 n 项和公式求出 S5.解:设该等比数列的首项为 a1,公比为 q,由题意知, 解得113=1,1(1-3)1- =7, 1=4,=12.S 5= .41-(12)51-12=314【例 4】 【命题立意】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用,考查学生的运算求解能力.解:(1
12、)由题设知公差 d0由 a1=1,a1,a3,a9成等比数列,得 =a1a9,即(1+2d) 2=1(1+8d).23解得 d=1,d=0(舍去 d=0),故a n的通项公式为 an=1+(n-1)1=n.(2)由(1)知 =2n,2故 Sn=2+22+23+2n= =2n+1-2.2(1-2)1-2【例 5】 【命题立意】本题考查等差数列的通项公式、等比数列的前 n 项和公式,熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键.【思路点拨】(1)由 a3=-6,a6=0 可列方程组解出 a1,d,从而可求出通项公式;(2)求出 b2,再求出通项公式.代入等比数列的前 n 项和公式即可.解:(1)设等差数列 an的公差为 d,因为 a3=-6,a6=0,所以 1+2=-6,1+5=0,解得 所以 an=-10+(n-1)2=2n-12.1=-10,=2, (2)设等比数列b n的公比为 q,因为 b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,所以-8q=-24,即 q=3,所以b n的前 n 项和为 Sn= =4(1-3n),1(1-)1-
