1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系本章小结学习目标重点:空间直线、平面的位置关系 ,直线、平面平行的判定定理和性质定理,直线、平面垂直的判定定理和性质定理.难点:空间中平行关系、垂直关系、平行与垂直关系之间的转化.合作学习一、知识结构 二、知识梳理 1.四个公理2.直线与直线的位置关系3.等角定理4.直线与平面的位置关系5.平面与平面的位置关系三、 【典例选讲】 【例 1】 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证:(1)E,C,D1,F 四点共面;(2)CE,D1F,DA 三线共点.变式训练 1:如图,ABC 在平面 外,AB=P,BC
2、=Q,AC=R,求证: P,Q,R 三点共线.【例 2】 如图 ,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 CD,CC1 的中点,则异面直线A1M 与 DN 所成的角的大小是 . 变式训练 2:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中.(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小;(2)若 E,F 分别为 AB,AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成的角的大小.【例 3】 如图,PA矩形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点,(1)求证:MN平面 PAD;(2)求证:MNCD;(3)若二面角 P-DC-A 大小为 45,求证:平面 PMC平面 PDC.变式训
3、练 3:如图,几何体 E-ABCD 是四棱锥,ABD 为正三角形,CB=CD ,ECBD.(1)求证:BE=DE;(2)若BCD=120,M 为线段 AE 的中点,求证:DM 平面 BEC.四、作业布置必做题:1.设 l 是直线, 是两个不同的平面( )A.若 l,l,则 B.若 l,l,则 C.若 ,l,则 l D.若 ,l,则 l2.如图,在空间四边形 ABCD 中,MAB,NAD,若 ,则 MN 与平面 BDC 的位置关系=是 . 3.如图,在四面体 P-ABC 中,已知 PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=2 .F 是线段 PB 上34一点,CF= ,点 E 在线段 AB
4、 上,且 EFPB.证明 PB平面 CEF.151734选做题:如图 1,在 RtABC 中, C=90,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置,使 A1FCD,如图 2.(1)求证:DE 平面 A1CB;(2)求证:A 1FBE.参考答案二、1.四个公理及推论公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内 ,那么这条直线在此平面内.公理 2:过不在一条直线上的三点 ,有且只有一个平面.推论 1:经过一条直线和这条直线外一点 ,有且只有一个平面.推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面 .推论 3:经过两条平行直线,有且
5、只有一个平面 .公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点 ,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 .四个公理的作用:(1)公理 1:检验平面;判断直线在平面内;由直线在平面内判断直线上的点在平面内.(2)公理 2:公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法.(3)公理 3:判定两平面相交;作两平面相交的交线;证明多点共线.(4)公理 4:证明线线平行.2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直 线 平行相交 异面直 线 (2)异面直线所成的角定义:已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 作直线 aa,bb,把 a与
6、 b所成的锐角(或直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) .范围:090.思考探究:如果两条直线没有任何公共点 ,则两条直线为异面直线,此说法正确吗?提示:不正确.如果两条直线没有公共点 ,则两条直线平行或异面.3.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.4.直线与平面的位置关系(1)位置关系的分类直 线 在平面内直 线 在平面外 直 线 与平面平行直 线 与平面相交 (2)直线和平面平行的判定定义:直线和平面没有公共点 ,则称直线平行于平面;判定定理:a,b ,aba;其他判定方法: ,aa.(3)直线和平面平行的性质定理:a,a,=lal.(4)直
7、线与平面垂直的判定定义法;利用判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;推论:如果在两条平行直线中 ,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.思考探究:能否将直线与平面垂直的定义中的 “任意一条直线 ”改为“ 无数条直线”?提示:不可以.当这无数条直线平行时 ,直线 l 有可能在平面 内,或者 l 与平面 相交但不垂直.(5)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线.垂直于同一个平面的两条直线平行.垂直于同一直线的两平面平行.(6)直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.当直线与平
8、面垂直和平行(含直线在平面内 )时,规定直线和平面所成的角分别为 90和0.思考探究:如果两直线与一个平面所成的角相等 ,则这两直线一定平行吗?提示:不一定.这两条直线的位置关系可能平行、相交或异面.5.平面与平面的位置关系(1)位置关系的分类两个平面相交两个平面平行 (2)两个平面平行的判定定义:两个平面没有公共点 ,称这两个平面平行;判定定理:a,b ,ab=P,a,b;推论:ab=P ,a,b,ab=P,a,b.思考探究:如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面一定平行吗?提示:不一定.如果这无数条直线互相平行 ,则这两个平面就可能相交.(3)两个平面平行的性质定理,=a
9、, =bab;,a =a.思考探究:垂直于同一平面的两平面是否平行 ?提示:不一定.两平面可能平行 ,也可能相交.(4)平面与平面垂直的判定定义法;定义法;利用判定定理:一个平面过另一个平面的垂线 ,则这两个平面垂直.(5)平面与平面垂直的性质两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.(6)二面角的有关概念二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点 ,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.三、 【例 1】 分析:对于(1)由 EFCD1 可得 E,C,D1,F 四点共面;对于(2
10、)先证 CE 与 D1F相交于 P,再证 PDA 即可得到 CE,D1F,DA 三线共点.证明:(1)如图,连接 EF,CD1,A1B.E,F 分别是 AB,AA1 的中点,EFBA1.又 A1BD1C,EFCD1,E,C,D1,F 四点共面.(2)EFCD1,EFCD1,CE 与 D1F 必相交,设交点为 P,则由 PCE,CE平面 ABCD,得 P平面 ABCD.同理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1=DA,P直线 DA,CE,D1F,DA 三线共点.点评:平面的基本性质是研究立体几何的基础 ,公理 3 是将立体几何图形问题转化为平面几何图形问题的理论依据,在这里判
11、断和证明点、线共面问题就显得十分重要了.变式训练 1:证明:因为 AB=P,AB平面 ABC,所以 P平面 ABC,又 P,所以 P 在平面 ABC 与平面 的交线上.同理可以证明 Q,R 均在这条交线上 .所以 P,Q,R 三点共线.【例 2】 分析:将异面直线通过平行线“ 平移”为相交直线,则可以找到异面直线所成的角,再通过解三角形求解即可.解析:过 M 作 MKDN 交棱 CC1 于点 K,连接 A1K,则A 1MK 就是异面直线 A1M 与 DN 所成的角( 或其补角),设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,可以求得MK2= a2,A1M2= a2,A1K2= a2,那么
12、 MK2+A1M2=A1K2,所以 A1MK 是直角三角形,所以516 94 4116A1MK=90,即异面直线 A1M 与 DN 所成的角是 90.答案:90点评:求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交,或将两条直线同时平移到某个位置,使其相交.平移直线的方法有:(1)直接平移;(2)中位线平移;(3)补形平移.变式训练 2:(1)60;(2)90.【例 3】 分析:(1) 取 PD 中点 E,连接 AE,EN,转化为证四边形 AMNE 为平行四边形,即用线线平行来推导线面平行.(2)先证 AB平面 PADABMN,再利用 CDAB 可得结论.(3)先由P
13、A平面 ABCD,所以 PAAD 和APD= 45,E 为 PD 中点AEPDMNPD.再由 MNCD 证出 MN平面 PCD.证明:(1)取 PD 中点 E,连接 AE,EN,则 EN CD AB AM,12 12故四边形 AMNE 为平行四边形,所以 MNAE,又因为 AE平面 PAD,MN平面 PAD,所以 MN平面 PAD.(2)因为 PA平面 ABCD,所以 PACD,又因为 ADCD,所以 CD平面 PAD,所以 CDAE,又因为 MNAE,所以 MNCD.(3)因为 CD平面 PAD,所以 CDAD,CDPD,所以PDA 就是二面角 P-DC-A 的平面角,即 PDA=45,由
14、PA平面 ABCD,所以 PAAD,那么PAD 为等腰直角三角形 ,因为 E 是 PD 的中点 ,所以 AEPD,又 AEMN,所以 MNPD,根据(2)的结论 MNCD,且 PDCD=D,所以 MN平面 PDC,又 MN平面 PMC,所以平面 PMC平面 PDC.点评:本题综合考查了面面垂直的判定、线面垂直的判定、线线垂直的证明以及线面平行的判定,是对立体几何知识的综合考查.培养了学生平面与空间及线线关系、线面关系、面面关系的转化能力.变式训练 3:证明:(1)取 BD 中点 O,连接 OC,OE,则由 BC=CD 知,COBD,又 ECBD,ECCO=C,所以 BD平面 EOC.所以 BD
15、OE,即 OE 是 BD 的垂直平分线,所以 BE=DE.(2)取 AB 中点 N,连接 MN,DN,DM,因为 M 是 AE 的中点,所以 MNBE,又 MN平面 BEC,BC平面 BEC,所以 MN平面 BEC.又因为ABD 是等边三角形 ,所以BDN=30 .又 CB=CD,BCD=120可知, CBD=30,所以 NDBC,又 DN平面 BEC,BC平面 BEC,所以 DN平面 BEC.又 MNDN=N所以平面 MND平面 BEC,又 DM平面 MND,所以 DM平面 BEC.五、必做题:1.B2.MN平面 BDC3.证明:因为 PA2+AC2=36+64=100=PC2,所以PAC
16、是以 PAC 为直角的直角三角形,同理可证PAB 是以 PAB 为直角的三角形, PCB 是以 PCB 为直角的三角形,故 PA平面 ABC.又因为 SPBC= BCPC= 610=30,12 12而 PBCF= 2 =30=SPBC,12 12 34151734故 CFPB.又已知 EFPB,所以 PB平面 CEF.选做题:证明:(1)因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点,所以 DEBC,又因为 DE平面 A1CB,BC平面 A1CB,所以 DE平面 A1CB.(2)由已知 ACBC 且 DEBC,所以 DEAC,所以 DEA1D,DECD,所以 DE平面 A1DC.而 A1F平面 A1DC,所以 DEA1F,又因为 A1FCD,所以 A1F平面 BCDE,所以 A1FBE.
