1、2019 年河北省秦皇岛市海港区中考数学一模试卷一、选择题（共 16 小题，每小题 3 分，满分 42 分）1 （3 分）如图，有一个破损的扇形零件，小明利用图中的量角器量出这个扇形零件的圆心角度数为 50，你认为小明测量的依据是（ ）A垂线段最短 B对顶角相等C圆的定义 D三角形内角和等于 1802 （3 分）已知空气的单位体积质量为 1.34103 克/厘米 3，将 1.34103 用小数表示为（ ）A0.000134 B0.0134 C0.00134 D0.001343 （3 分）图中所有的小正方形都全等，已有 4 个正方形被涂黑，现将 中某一个涂黑使得它与原来
2、4 个小正方形组成的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则要被涂黑的正方形是（ ）A B C D4 （3 分）下列算式中，结果等于 x8 的是（ ）Ax 2x2x2x2 Bx 2+x2+x2+x2Cx 2x4 Dx 6+x25 （3 分）如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（ ）第 2 页（共 34 页）A B C D6 （3 分）下列计算正确的是（ ）Aa 2 （a0） B2m 2（m）2m （m0）C5 （ ）5 1 D 27 （3 分）如图，证明矩形的对角线相等，已知：四边形 ABCD 是矩形求证，ACB
3、D以下是排乱的证明过程：ABCD、 ABC DCBBCCB四边形 ABCD 是矩形，AC DBABCDCB证明步骤正确的顺序是（ ）A B C D8 （3 分）在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击 10 发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：S 甲 2S 乙 2； S 甲 2 S 乙 2； 甲的射击成绩比乙稳定； 乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ）第 3 页（共 34 页）A B C D9 （3 分）如图为嘉琪同学的小测验，他的得分应是（ ）分A100 分 B20 分 C40 分 D80 分10 （3 分）如图，某边防战
4、士驾驶摩托艇外出巡逻，先从港口 A 点沿北偏东 60的方向行驶 30 海里到达 B 点，再从 B 点沿北偏西 30方向行驶 30 海里到 C 点，要想从 C 点直接回到港口 A，行驶的方向应是（ ）A南偏西 15方向 B南偏西 60方向C南偏西 30方向 D南偏西 45方向11 （2 分）关于 x，y 的方程组 的解是 ，其中 y 的值被盖住了，不过仍能求出 p，则 p 的值是（ ）A B C D12 （2 分）已知ABC，D 是 AC 上一点，尺规在 AB 上确定一点 E，使ADEABC，则符合要求的作图痕迹是（ ）第 4 页（共 34 页）A BC D1
5、3 （2 分）定义新运算：ab ，则函数 y3x 的图象大致是（ ）A BC D14 （2 分）如图，是ABC 的外接圆，I 是ABC 的内心，AI 的延长线与圆相交于点 D，连 BI，BD、DC则下列说法中错误的一项是（ ）A线段 DB 绕点 D 顺时针旋转一定能与线段 DC 重合B线段 DB 绕点 D 顺时针旋转一定能与线段 DI 重合CABI 绕点 B 顺时针旋转一定能与IBC 重合第 5 页（共 34 页）D线段 CD 绕点 C 顺时针旋转一定能与线段 CA 重合15 （2 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，点 P 从点 B 沿折线BE E
6、DDC 运动到点 C 时停止；点 Q 从点 B 沿 BC 运动到点 C 时停止，速度均为每秒 1 个单位长度如果点 P、Q 同时开始运动，设运动时间为 t，BPQ 的面积为 y，已知 y 与 t 的函数图象如图 所示，以下结论：BC 10；cosABE ；当0t10 时，y t2； 当 t12 时，BPQ 是等腰三角形；当 14t20 时，y1105t，其中正确的有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个16 （2 分）若满足 x1 的任意实数 x，都使不等式 2x2xm 成立，则实数 m 的取值范围是（ ）Am1 Bm5 Cm4 Dm 4二、填空题（共 3 小题，
7、每小题 3 分，满分 10 分）17 （3 分）2019 0 的相反数是 18 （3 分）a 与 b 互为相反数，则 a3+2a2b+ab2 19 （4 分）如图，已知等边OA 1B1，顶点 A1，在双曲线 y （x0）上，点 B1 的坐标为（2，0） ，过 B1 作 B1A2OA 1，交双曲线于点 A2，过 A2 作 A2B2A 1B1 交 x 轴于B2，得到第二个等边 B 1A2B2；过 B2 作 B2A3B 1A2 交双曲线于点 A3，过 A3 作A3B3A 2B2 交 x 轴于点 B3，得到第三个等边 B 2A3B3；以此类推，
8、，则点 B6 的坐标为 B n 的坐标为 第 6 页（共 34 页）三、解答题（共 7 小题，满分 68 分）20 （8 分）准备完成如图这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为（1）求被墨水污染的部分；（2）原分式的值等于 1 吗？为什么？21 （9 分）为了解七年级学生上学期参加社会实践活动的情况，随机抽查了某市七年级200 名学生参加社会实践活动的天数，并根据抽查结果制作了如下不完整的条形统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）求条形统计图中参加社会实践活动天数为 6 天所对应的人数，及被调查的 20
9、0 名学生参加社会实践活动天数的平均数；（2）被调查的学生参加社会实践活动天数的众数为 ，中位数为 （3）在此次调查活动中，A、B、C 、D 四位同学说他们中有两人被抽查了，请你用列表法或画树状图，求出恰好抽到 A 与 B 两位同学的概率；（4）某市有七年级学生 10 万人，请你估计该市七年级学生参加社会实践活动不少于 5天的人数22 （9 分） “分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法例如：图 1 有 6 个点，图 2 有 12 个点，图 3 有 18 个点，按此规律，求图 10、图n 有多
10、少个点？第 7 页（共 34 页）我们将每个图形分成完全相同的 6 块，每块黑点的个数相同（如图） ，这样图 1 中黑点个数是 616 个；图 2 中黑点个数是 6212 个：图 3 中黑点个数是 6318 个；所以容易求出图 10、图 n 中黑点的个数分别是 、 请你参考以上“分块计数法” ，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：（1）第 5 个点阵中有 个圆圈；第 n 个点阵中有 个圆圈（2）小圆圈的个数会等于 271 吗？如果会，请求出是第几个点阵23
11、 （9 分）在ABC 中，ABAC 5，BC 8，点 M 是ABC 的中线 AD 上一点，以 M为圆心作M设半径为 r（1）如图，当点 M 与点 A 重合时，分别过点 B，C 作M 的切线，切点为 E，F求证：BECF；（2）如图 2，若点 M 与点 D 重合，且半圆 M 恰好落在ABC 的内部，求 r 的取值范围；（3）当 M 为ABC 的内心时，求 AM 的长24 （10 分）某批发部某一玩具价格如图所示，现有甲、乙两个商店，计划在“六一”儿童节前到该批发部购买此类玩具，两商店所需玩具总数为 120 个，乙商店所需数量不超第 8 页（共 34 页）过 50 个，设甲商店购买 x 个，如果甲
12、、乙两商店分别购买玩具，两商店需付款总和为y 元（1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）若甲商店购买不超过 100 个，请说明甲、乙两商店联合购买比分别购买最多可节约多少钱？25 （11 分）如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABCD13，AD11，BC21，E是 BC 的中点，P 是 AB 上的任意一点，连接 PE，将 PE 绕点 P 逆时针旋转 90得到PQ（1）求 sinB 的值；（2）若 P 是 AB 的中点，求点 E 所经过的路径 的长及 PE 扫过的面积（结果保留 ） ；（3）若点 Q 落在 AB 或 AD 边所在直线上，请直接写出 BP
13、 的长26 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OADB 的顶点 A，B 的坐标分别为A（6 ，0） ，B（0，4） ，过点 C（6，1）的双曲线 y （k0）与矩形 OADB 的边BD 交于点 E（1）填空：OA ， k ，点 E 的坐标 ；（2）当 1t6 时，经过点 M（t 1， t2+5t ）与点N（t3， t2+3t ）的直线交 y 轴于点 F，点 P 是过点 M，N 两点的抛物线y x2+bx+c 的顶点求点 P 的坐标（纵坐标用 t 表示）第 9 页（共 34 页
14、）当点 P 在双曲线 y 上时，求直线 MN 的表达式当抛物线 y x2x +5t+2 与矩形 OADB 有且只有三个公共点，求 t 的值当点 F 和点 P 随着 t 的变化同时向上运动时，请直接写出 t 的取值范围第 10 页（共 34 页）2019 年河北省秦皇岛市海港区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 16 小题，每小题 3 分，满分 42 分）1 （3 分）如图，有一个破损的扇形零件，小明利用图中的量角器量出这个扇形零件的圆心角度数为 50，你认为小明测量的依据是（ ）A垂线段最短 B对顶角相等C圆的定义 D三角形内角和等于 180【分析】由题意知，一个破损
15、的扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即可【解答】解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数故选：B【点评】本题考查了对顶角的定义、性质，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角2 （3 分）已知空气的单位体积质量为 1.34103 克/厘米 3，将 1.34103 用小数表示为（ ）A0.000134 B0.0134 C0.00134 D0.00134【分析】把数据 1.34103 中 1.3
16、4 的小数点向左移动 3 位就可以得到【解答】解：1.3410 3 0.00134，故选：D【点评】本题考查写出用科学记数法表示的原数将科学记数法 a10n 表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把 a 的小数点向左移动 n 位所得到的数3 （3 分）图中所有的小正方形都全等，已有 4 个正方形被涂黑，现将 中某一个涂黑使得它与原来 4 个小正方形组成的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则要第 11 页（共 34 页）被涂黑的正方形是（ ）A B C D【分析】根据中心对称图形与轴对称图形对各选项分析判断即可得解【解答】解：涂黑时使得它与原来 4 个小正方形组成的图形既是轴对称图
17、形又是中心对称图形，故选：B【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合4 （3 分）下列算式中，结果等于 x8 的是（ ）Ax 2x2x2x2 Bx 2+x2+x2+x2Cx 2x4 Dx 6+x2【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案【解答】解：A、x 2x2x2x2x 8，故此选项正确；B、x 2+x2+x2+x24x 2，故此选项错误；C、x 2x4x 6，故此选项错误；D、x 6+x2，无法计算，故此选项错误故选：A【点评
18、】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算，正确化简各数是解题关键5 （3 分）如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（ ）第 12 页（共 34 页）A B C D【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，进而得出答案【解答】解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列只有一行，说明俯视图中的右边一列两行都只有一个正方体，所以此几何体如图所示： 故选：B【点评】本题考查由三视图想象立体图形做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右
19、形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意6 （3 分）下列计算正确的是（ ）Aa 2 （a0） B2m 2（m）2m （m0）C5 （ ）5 1 D 2【分析】直接利用负指数幂的性质以及立方根的性质和整式的除法运算法则计算得出答案【解答】解：A、a 2 （a0） ，故此选项错误；B、2m 2（m）2m （m0） ，故此选项错误；C、5 （ ）5 25，故此选项错误；D、 2，正确故选：D【点评】此题主要考查了负指数幂的性质以及立方根的性质和整式的除法运算，正确掌握相关
20、运算法则是解题关键7 （3 分）如图，证明矩形的对角线相等，已知：四边形 ABCD 是矩形求证，第 13 页（共 34 页）ACBD以下是排乱的证明过程：ABCD 、 ABC DCB BCCB四边形 ABCD 是矩形，AC DB ABCDCB证明步骤正确的顺序是（ ）A B C D【分析】由证明过程可以判断顺序【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形，ABCD、ABCDCB90BCCB，ABCDCB（SAS） ，ACDB，证明步骤正确的顺序是：，故选：A【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，关键是灵活运用这些性质解决问题8 （3 分）在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射
21、击 10 发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：S 甲 2S 乙 2； S 甲 2 S 乙 2； 甲的射击成绩比乙稳定； 乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ）A B C D【分析】从折线图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算，即可得出答案【解答】解：由图中知，甲的成绩为 7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，第 14 页（共 34 页）乙的成绩为 8，9，7，8，10，7，9，10，7，10，甲 （7+7+8+9+8+9+10+9+9+9）108.5，乙 （8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）108.5，甲的方差 S 甲 22（7
22、8.5 ） 2+2（88.5） 2+（108.5） 2+5（98.5） 2100.85，乙的方差 S 乙 23（78.5 ） 2+2（88.5） 2+2（98.5） 2+3（108.5） 2101.45S 2 甲 S 2 乙 ，甲的射击成绩比乙稳定；故选：C【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设 n 个数据，x 1，x 2，x n 的平均数为 ，则方差 S2 （x 1 ） 2+（ x2 ） 2+（x n ） 2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立9 （3 分）如图为嘉琪同学的小测验，他的得分应是（ ）分A100 分 B20 分 C40 分 D80 分【
23、分析】根据绝对值的定义，倒数的定义，算术平方根的定义，分解因式的方法判断即可【解答】解：倒数等于它本身的数是 1 和1；故 错误；1 的绝对值是 1，故 正确； 2，故错误； +1 的值在 3 和 4 之间，故错误；a 2+b2 不能分解，故错误，故他的得分应是 20 分，故选：B【点评】本题考查了因式分解运用公式法，绝对值，倒数，算术平方根，熟练掌握各第 15 页（共 34 页）定义是解题的关键10 （3 分）如图，某边防战士驾驶摩托艇外出巡逻，先从港口 A 点沿北偏东 60的方向行驶 30 海里到达 B 点，再从 B 点沿北偏西 30方向行驶 30 海里到 C 点，要想从 C 点直接回到港
24、口 A，行驶的方向应是（ ）A南偏西 15方向 B南偏西 60方向C南偏西 30方向 D南偏西 45方向【分析】依据BAF60，CBE 30，AF BE，可得ABC90，进而得出ABC 是等腰直角三角形，依据BCA 45，BCDCBE 30，即可得到ACD15【解答】解：如图，由题可得，BAF60，CBE 30，AFBE，ABC90，又ABBC，ABC 是等腰直角三角形，BCA45，又BCDCBE30，ACD15，从 C 点直接回到港口 A，行驶的方向应是南偏西 15方向，故选：A【点评】此题主要考查了学生对方向角的理解及等腰直角三角形的判定等知识点的掌握情况用方向角描述方向时，通
25、常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为第 16 页（共 34 页）终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西11 （2 分）关于 x，y 的方程组 的解是 ，其中 y 的值被盖住了，不过仍能求出 p，则 p 的值是（ ）A B C D【分析】将 x1 代入方程 x+y3 求得 y 的值，将 x、y 的值代入 x+py0，可得关于 p的方程，可求得 p【解答】解：根据题意，将 x1 代入 x+y3，可得 y2，将 x1，y2 代入 x+py0，得：1+2p0，解得：p ，故选：A【点评】本题主要考查二元一次方程组的解的概念，根据方程组的解会准确将方程的解代入是
26、前提，严格遵循解方程的基本步骤求得方程的解是关键12 （2 分）已知ABC，D 是 AC 上一点，尺规在 AB 上确定一点 E，使ADEABC，则符合要求的作图痕迹是（ ）A BC D【分析】以 DA 为边、点 D 为顶点在ABC 内部作一个角等于B，角的另一边与 AB的交点即为所求作的点【解答】解：如图，点 E 即为所求作的点第 17 页（共 34 页）故选：A【点评】本题主要考查作图相似变换，根据相似三角形的判定明确过点 D 作一角等于B 或C，并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键13 （2 分）定义新运算：ab ，则函数 y3x 的图象大致是（ ）A B
27、C D【分析】先根据新定义运算列出 y 的关系式，再根据此关系式及 x 的取值范围画出函数图象即可【解答】解：根据新定义运算可知，y3x ，（1）当 x3 时，此函数解析式为 y2，函数图象在第一象限，以（3，2）为端点平行于 x 轴的射线，故可排除 C、D；（2）当 x3 时，此函数是反比例函数，图象在二、四象限，可排除 A故选：B【点评】此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题14 （2 分）如图，是ABC 的外接圆，I 是ABC 的内心，AI 的延长线与圆相交于点 D，连 BI，BD、DC则下列说法中错误的一项是（ ）第 18 页
28、（共 34 页）A线段 DB 绕点 D 顺时针旋转一定能与线段 DC 重合B线段 DB 绕点 D 顺时针旋转一定能与线段 DI 重合CABI 绕点 B 顺时针旋转一定能与IBC 重合D线段 CD 绕点 C 顺时针旋转一定能与线段 CA 重合【分析】根据 I 是ABC 的内心，得到 AI 平分BAC，BI 平分ABC，由角平分线的定义得到BADCAD，ABI CBI 根据三角形外角的性质得到BDI DIB，根据等腰三角形的性质得到 BDDI 【解答】解：I 是ABC 的内心，AI 平分BAC，BI 平分ABC，ABI IBC，BAD DAC，CDBD，选项 A，C 正确DBCDACDBCDABD
29、BC+IBCDAB+ABIIBDBIDBDID选项 B 正确故选：D【点评】考查了三角形的内切圆和内心，圆的有关知识，旋转的性质，证明 BDID 是本题的关键15 （2 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，点 P 从点 B 沿折线BE EDDC 运动到点 C 时停止；点 Q 从点 B 沿 BC 运动到点 C 时停止，速度均为每秒 1 个单位长度如果点 P、Q 同时开始运动，设运动时间为 t，BPQ 的面积为 y，已第 19 页（共 34 页）知 y 与 t 的函数图象如图 所示，以下结论： BC10；cosABE ；当0t10 时，y t2； 当 t12 时，BPQ 是等腰三
30、角形； 当 14t20 时，y1105t，其中正确的有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】根据题意，确定 10t14，PQ 的运动状态，得到 BE、BC、ED 问题可解【解答】解：由图象可知，当 10t14 时，y 值不变，则此时，Q 点到 C，P 从 E 到DBEBC10 ，ED 4 故正确AE6RtABE 中，ABcosABE ；故错误当 0t10 时，BPQ 的面积为正确；t12 时，P 在点 E 右侧 2 单位，此时 BPBEBCPCBPQ 不是等腰三角形错误；当 14t20 时，点 P 由 D 向 C 运动，Q 在 C 点，BPQ 的面积为 则正确故选：B
31、【点评】本题为双动点问题，解答时既要注意两个动点相对位置变化又要注意函数图象的变化与动点位置变化之间的关联第 20 页（共 34 页）16 （2 分）若满足 x1 的任意实数 x，都使不等式 2x2xm 成立，则实数 m 的取值范围是（ ）Am1 Bm5 Cm4 Dm 4【分析】根据题意得到关于二次函数与反比例函数的函数值的大小关系，然后利用函数图象得到自变量为 和 1 对应的关于 m 的不等式，再解关于 m 的不等式组即可【解答】解：2x 2x m ，抛物线 y2x 2x m 的开口向上，对称轴为直线 x ，而双曲线 y 分布在第一、三象限， x1，2x 2x m ，x 时，2
32、m 4，解得 m4，x1 时，21m 2，解得 m1，实数 m 的取值范围是 m4故选：D【点评】本题考查二次函数的性质、反比例函数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的 m 的取值范围二、填空题（共 3 小题，每小题 3 分，满分 10 分）17 （3 分）2019 0 的相反数是 1 【分析】根据零指数幂和相反数解答即可【解答】解：因为 201901，所以 20190 的相反数是1，故答案为：1【点评】此题考查零指数幂和相反数，关键是根据零指数幂和相反数解答18 （3 分）a 与 b 互为相反数，则 a3+2a2b+ab2 0 【分析】直接提取公因式 a，再利用完全平方
33、公式分解因式得出答案【解答】解：a 与 b 互为相反数，a+b0，a 3+2a2b+ab2a（a 2+2ab+b2）第 21 页（共 34 页）a（a+b） 2，0故答案为：0【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键19 （4 分）如图，已知等边OA 1B1，顶点 A1，在双曲线 y （x0）上，点 B1 的坐标为（2，0） ，过 B1 作 B1A2OA 1，交双曲线于点 A2，过 A2 作 A2B2A 1B1 交 x 轴于B2，得到第二个等边 B 1A2B2；过 B2 作 B2A3B 1A2 交双曲线于点 A3，过 A3 作A3B3A 2B2 交 x 轴于
34、点 B3，得到第三个等边 B 2A3B3；以此类推， ，则点 B6 的坐标为 （2 ，0） B n 的坐标为 （2 ，0） 【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B 3、B 4 的坐标，得出规律，进而求出点 B6 的坐标【解答】解：如图，作 A2C x 轴于点 C，设 B1Ca，则 A2C a，OCOB 1+B1C2+ a，A 2（2+ a， a） 点 A2 在双曲线 y （x0）上，（2+a） a ，解得 a 1，或 a 1（舍去） ，OB 2OB 1+2B1C2+2 22 ，点 B2 的坐标为（2 ，0） ；作 A3D
35、x 轴于点 D，设 B2Db，则 A3D b，ODOB 2+B2D2 +b，A 2（2 +b， b） 点 A3 在双曲线 y （x0）上，（2 +b） b ，解得 b + ，或 b （舍去） ，第 22 页（共 34 页）OB 3OB 2+2B2D2 2 +2 2 ，点 B3 的坐标为（2 ，0） ；同理可得点 B4 的坐标为（2 ，0）即（4，0） ；以此类推，点 Bn 的坐标为（2 ，0） ，点 B6 的坐标为（2 ，0） 故答案为（2 ，0） ， （2 ，0） 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B 3、B 4 的坐标进而得出点 Bn 的规律是
36、解题的关键三、解答题（共 7 小题，满分 68 分）20 （8 分）准备完成如图这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为（1）求被墨水污染的部分；（2）原分式的值等于 1 吗？为什么？【分析】 （1）根据分式的运算法则即可求出答案（2）由原分式的值等于 1 可知 x 的值，然后根据分式有意义的条件即可判定【解答】解：（1） （x3） ，被墨水污染的部分为 x4；第 23 页（共 34 页）（2）原式 1，x4，由于 x4 时，此时 无意义所以原分式的值不能为 1【点评】本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型21 （9 分）为了解七年级学生上学期
37、参加社会实践活动的情况，随机抽查了某市七年级200 名学生参加社会实践活动的天数，并根据抽查结果制作了如下不完整的条形统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）求条形统计图中参加社会实践活动天数为 6 天所对应的人数，及被调查的 200 名学生参加社会实践活动天数的平均数；（2）被调查的学生参加社会实践活动天数的众数为 5 ，中位数为 5 （3）在此次调查活动中，A、B、C 、D 四位同学说他们中有两人被抽查了，请你用列表法或画树状图，求出恰好抽到 A 与 B 两位同学的概率；（4）某市有七年级学生 10 万人，请你估计该市七年级学生参加社会实践活动不少于 5天的人数【分析】 （1
38、）用样本容量分别减去其它天数的人数可得到实践活动天数为 6 天所对应的人数；然后利用加权平均数的计算方法计算 200 名学生参加社会实践活动天数的平均数；（2）利用众数和中位数的定义求解；第 24 页（共 34 页）（3）利用列表法展示所有有 12 种等可能的结果数，找出恰好抽到 A 与 B 的结果数，然后根据概率公式求解；（4）利用样本估计总体，用 10 可估计该市七年级学生参加社会实践活动不少于 5 天的人数【解答】解：（1）参加社会实践活动天数为 6 天所对应的人数为2002030604050（人） ，200 名学生参加社会实践活动天数的平均数 5.3；（2）被调查的学生参加社会实践活动
39、天数的众数为 5，中位数为 5；故答案为 5，5；（3）A B C DA （A，B） （A， C） （ A，D）B （B，A） （B， C） （ B，D）C （C ，A ） （C ，B ） （C， D）D （ D，A） （ D，B） （D，C） 一共有 12 种情况，其中恰好抽到 A 与 B 有两种情况：（A，B）与（B，A）所以 P（恰好抽到 A 与 B） ；（4）10 7.5（万）答：该市七年级学生参加社会实践活动不少于 5 天的人数为 7.5 万人【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公
40、式求事件 A 或 B 的概率也考查了中位数和众数、统计图22 （9 分） “分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法例如：图 1 有 6 个点，图 2 有 12 个点，图 3 有 18 个点，按此规律，求图 10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的 6 块，每块黑点的个数相同（如图） ，这样图 1 中黑点第 25 页（共 34 页）个数是 616 个；图 2 中黑点个数是 6212 个：图 3 中黑点个数是 6318 个；所以容易求出图 10、图 n 中黑点的个数分别是 60 个 、 6n 个 请你参考以上“分块计数法” ，先将下面的点阵
41、进行分块，再完成以下问题：（1）第 5 个点阵中有 61 个圆圈；第 n 个点阵中有 （3n 23n+1） 个圆圈（2）小圆圈的个数会等于 271 吗？如果会，请求出是第几个点阵【分析】根据规律求得图 10 中黑点个数是 61060 个；图 n 中黑点个数是 6n 个；（1）第 2 个图中 2 为一块，分为 3 块，余 1，第 2 个图中 3 为一块，分为 6 块，余 1；按此规律得：第 5 个点阵中 5 为一块，分为 12 块，余 1，得第 n 个点阵中有：n3（n1）+13n 23n+1，（2）代入 271，列方程，方程有解则存在这样的点阵【解答】解：图 10 中黑点个数是 6
42、1060 个；图 n 中黑点个数是 6n 个，故答案为：60 个，6n 个；（1）如图所示：第 1 个点阵中有：1 个，第 2 个点阵中有：23+17 个，第 3 个点阵中有：36+119 个，第 4 个点阵中有：49+137 个，第 5 个点阵中有：512+161 个，第 26 页（共 34 页）第 n 个点阵中有：n3（n1）+13n 23n+1，故答案为：61，3n 23n+1；（2）3n 23n+1271，n2n900，（n10） （n+9）0，n110，n 29（舍） ，小圆圈的个数会等于 271，它是第 10 个点阵【点评】本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细
43、观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键23 （9 分）在ABC 中，ABAC 5，BC 8，点 M 是ABC 的中线 AD 上一点，以 M为圆心作M设半径为 r（1）如图，当点 M 与点 A 重合时，分别过点 B，C 作M 的切线，切点为 E，F求证：BECF；（2）如图 2，若点 M 与点 D 重合，且半圆 M 恰好落在ABC 的内部，求 r 的取值范围；（3）当 M 为ABC 的内心时，求 AM 的长【分析】 （1）连接 AE，AF ，利用“HL”证 RtBAE RtACF 即可得；（2）作 DGAB，由 ABAC5，AD 是中线知 ADBC 且 AD 3，依据 BDAD ABDG
44、 可得 DG ，从而得出答案；（3）作 MH AB，MPAC ，有 MHMPMD，连接 BM、CM，根据第 27 页（共 34 页）ABMH+ BCMD+ ACMP ADBC 求出圆 M 的半径，从而得出答案【解答】解：（1）如图 1，连接 AE，AF，BE 和 CF 分别是 O 的切线，BEA CFA90，ABAC，AEAF，RtBAERtACF（HL） ，BECF；（2）如图 2，过点 D 作 DGAB 于点 G，ABAC5， AD 是中线，ADBC，AD 3， BDAD ABDG，DG ，当 0r 时，半圆 M 恰好落在 ABC 内部；（3）当 M 为ABC 的内心时，第 28 页（共
45、34 页）如图 3，过 M 作 MHAB 于 H，作 MPAC 于 P，则有 MHMPMD，连接 BM、CM， ABMH+ BCMD+ ACMP ADBC，r ，AMAD DM 【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定与性质等知识点24 （10 分）某批发部某一玩具价格如图所示，现有甲、乙两个商店，计划在“六一”儿童节前到该批发部购买此类玩具，两商店所需玩具总数为 120 个，乙商店所需数量不超过 50 个，设甲商店购买 x 个，如果甲、乙两商店分别购买玩具，两商店需付款总和为y 元（1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自
46、变量 x 的取值范围；（2）若甲商店购买不超过 100 个，请说明甲、乙两商店联合购买比分别购买最多可节约多少钱？【分析】 （1）由于玩具的单价随着数量的变化而变化，因此先根据数量确定单价的函数，进而表示出函数 y 即可；（2）由（1）中得到二次函数，将函数化为顶点式，根据自变量的取值范围求出函数最值即可【解答】解：（1）乙商店所需数量不超过 50 个，12x50，解得 x70第 29 页（共 34 页）70x120，设玩具单价为 m 元，当 50 x100 时，设单价与数量的关系式为： mkx+b（k0） ，由题意得 ，解得m x+100（50x100） ，故当 70x100 时，y （ x+100）x+80（120x） x2+20x+9600，当 100x120 时，y 60x +80（120x）960020x（2）y x2+20x+9600 +9850（70x100） ，当 x70 时，y 最大值为 9040 元，最多节约的费用为 9040120601840 元故甲、乙两商店联合购买比分别购买最多可节约 1840 元【点评】本题考查一次函数与二次函数的实际应用及二次函数最值问题，在第一问中关键在于表示出玩具单价随数量变化而变化的规律，符合一次函数的规律，在表示商店需付款总和为 y 时，要明确数量的不同对付款总额的影响
