1、2017 年甘肃省兰州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知集合 Mx |（ x3） （x+1）0，Nx|2x2，则 MN （ ）A1，2 B2，1 C 1，1 D1 ，22 （5 分）设复数 z1i（ i 为虚数单位） ，z 的共轭复数为 ，则|z |（ ）A1 B C2 D3 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a12， a8+a1028，则 S9（ ）A36 B72 C144 D2884 （5 分）已知某种商品的
2、广告费支出 x（单位；万元）与销售额 y（单位：万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8y 30 40 50 m 70根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 6.5x+17.5，则表中 m 的值为（ ）A45 B50 C55 D605 （5 分）下列命题中，真命题为（ ）Ax 0R，e 0BxR，2 xx 2C已知 a，b 为实数，则 a+b0 的充要条件是 1D已知 a，b 为实数，则 a 1，b1 是 ab1 的充分不必要条件6 （5 分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）第 2 页（共 22 页）
3、A （9+ ） B （9+2 ） C （10+ ） D （10+2 ）7 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件： ，则目标函数 z2x+3y 的最小值为（ ）A6 B7 C8 D238 （5 分）如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的”更相减损术“执行该程序框图，若输入 a，b，i 的值分别为 6，8，0 时，则输出的i（ ）A3 B4 C5 D69 （5 分）已知圆 C：（x ） 2+（y 1） 21 和两点 A（t，0） ，B（t ，0） （t0） ，若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则 t 的取值范围是（ ）A （0，2
4、 B1，2 C2 ，3 D1 ，3第 3 页（共 22 页）10 （5 分）函数 f（x ）sin（x+） （xR） （0，| ）的部分图象如图所示，如果 ，且 f（x 1）f（x 2） ，则 f（x 1+x2）（ ）A B C D111 （5 分）已知双曲线： 1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|28a|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A （1，3 B3，+） C （0，3） D （0，312 （5 分）函数 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR，都有 f（x+2）f（x ） 当 0 x
5、1 时，f（x ）x 2若直线 yx+a 与函数 yf（x）的图象有两个不同的公共点，则实数 a 的值为（ ）An（nZ） B2n（nZ ）C2n 或 （nZ） Dn 或 （nZ）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）计算：cos 215 sin215 14 （5 分）已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则 15 （5 分）已知球 O 的半径为 13，其球面上有三点 A、B、C，若AB 12 ，AC BC12 ，则四面体 OABC 的体积是 16 （
6、5 分）已知数列a n，b n，若 b10，a n ，当 n2 时，有bnb n1 +an1 ，则 b2017 三、解答题17 （12 分）已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 asinB+bcosA0（1）求角 A 的大小；（2）若 ，求ABC 的面积18 （12 分） “中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够第 4 页（共 22 页）一撮人就可以走了，和红绿灯无关” ，某校研究性学习小组对全校学生按“跟从别人闯红灯” ， “从不闯红灯” 、 “带头闯红灯”等三种形式进行调查，获得下表数据：跟从别人闯红灯 &n
7、bsp;从不闯红灯 带头闯红灯男生 980 410 60女生 340 150 60用分层抽样的方法从所有被调查的人中抽取一个容量为 n 的样本，其中在“跟从别人闯红灯”的人中抽取了 66 人（）求 n 的值；（）在所抽取的“带头闯红灯”的人中，在选取 2 人参加星期天社区组织的“文明交通”宣传活动，求这 2 人中至少有一人是女生的概率19 （12 分）在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，点 D 为 BC 的中点；（）求证：A 1B平面 AC1D；（）若点 E 为 AC1 上的点，且满足 m （m R） ，三棱锥 EADC
8、 的体积与三棱柱 ABCA 1B1C1 体积之比为 1：12，求实数 m 的值20 （12 分）已知函数 f（x ）x 3+x2+b，g（x）alnx（）若 f（x）在 x ，1）上的最大值为 ，求实数 b 的值；（）若对任意 x1，e ，都有 g（x）x 2+（a+2）x 恒成立，求实数 a 的取值范围21 （12 分）已知椭圆 C： + 1（ab0）经过点（ ，1） ，且离心率为 （）求椭圆 C 的方程；（）设 M、N 是椭圆 C 上的点，直线 OM 与 ON（O 为坐标原点）的斜率之积为 ，若动点 P 满足 +2 ，试探究，是否存在两个定点 F1，F 2，使得第 5 页（共 22 页）|
9、PF1|+|PF2|为定值？若存在，求 F1，F 2 的坐标，若不存在，请说明理由选修 4-4：极坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 asin（a0） （）求圆 C 的直角坐标系方程与直线 l 的普通方程；（）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 倍，求 a 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ） 的定义域为 R（）求 m 的取值范围；（）若 m 的最大值为 n，解关于 x 的不等式：|x3| 2x2n4第 6 页（共 22 页）20
10、17 年甘肃省兰州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知集合 Mx |（ x3） （x+1）0，Nx|2x2，则 MN （ ）A1，2 B2，1 C 1，1 D1 ，2【分析】求出集合 M 中不等式的解集，确定出集合 M，找出两解集的公共部分即可确定出两集合的交集【解答】解：由（x3） （x +1）0，解得：1x3，Mx|1 x3，Nx|2x2，则 MN x|1x 2 1，2故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关
11、键2 （5 分）设复数 z1i（ i 为虚数单位） ，z 的共轭复数为 ，则|z |（ ）A1 B C2 D【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：z1i（i 为虚数单位） ， 1+i，则|z | （1） 2+12|2故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a12， a8+a1028，则 S9（ ）A36 B72 C144 D288【分析】设出公差 d，由 a8+a1028 求出公差 d，求利用前 n 项和公式求解 S9 得答案【解答】
12、解：等差数列的首项为 a12，设公差为 d，由 a8a 1+7d，a 10a 1+9d3（a 1+d） ，a 8+a1028第 7 页（共 22 页）即 4+16d28得 d ，那么 S9 72故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项和，是基础题4 （5 分）已知某种商品的广告费支出 x（单位；万元）与销售额 y（单位：万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8y 30 40 50 m 70根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 6.5x+17.5，则表中 m 的值为（ ）A45 B50 C55 D60【分析】由
13、表中数据计算 、 ，根据回归直线方程过样本中心点，求出 m 的值【解答】解：由表中数据，计算 （2+4+5+6+8）5， （30+40+50+m+70 ） 38+ ，回归直线方程 6.5x+17.5 过样本中心，38+ 6.55+17.5 ，解得 m60故选：D【点评】本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，是基础题5 （5 分）下列命题中，真命题为（ ）Ax 0R，e 0BxR，2 xx 2C已知 a，b 为实数，则 a+b0 的充要条件是 1D已知 a，b 为实数，则 a 1，b1 是 ab1 的充分不必要条件【分析】对于 A，B，C 举例即可说明，对于 D 根据充分条件
14、和必要条件的定义进行判第 8 页（共 22 页）断即可【解答】解：对于 A：因为 ex0 恒成立，故 A 不正确，对于 B：当 x 2 时，不成立，故 B 不正确，对于 C：ab0 时，则 a+b0，故 C 不正确，对于 D：由 a1，b1 ab1，当 a2，b2 时，满足 ab1，但不满足a1，b1，故 a1，b1 是 ab1 的充分不必要条件，故 D 正确，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件和命题的真假的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键6 （5 分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A （9+ ） B （9+2 ） C （10+ ） D （10
15、+2 ）【分析】由三视图得到几何体为圆柱挖去一个圆锥，根据图中数据求表面积【解答】解：由三视图得到几何体为圆柱挖去一个圆锥，圆柱的底面直径为 2，高为 4，圆锥的底面直径为 2，高为 2，所以几何体的表面积为 12+24+ （9+ ）；故选：A【点评】本题考查了由几何体的三视图求对应几何体的表面积；关键是正确还原几何体7 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件： ，则目标函数 z2x+3y 的最小值为（ ）第 9 页（共 22 页）A6 B7 C8 D23【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值【
16、解答】解：画出不等式 表示的可行域，如图，让目标函数表示直线 在可行域上平移，知在点 B 自目标函数取到最小值，解方程组 得（2，1） ，所以 zmin4+3 7，故选：B【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解8 （5 分）如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的”更相减损术“执行该程序框图，若输入 a，b，i 的值分别为 6，8，0 时，则输出的i（ &n
17、bsp;）第 10 页（共 22 页）A3 B4 C5 D6【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的 a，b，i 的值，即可得到结论【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a6，b8，i0，i1，不满足 ab，不满足 ab，b862，i 2满足 ab，a624，i 3满足 ab，a422，i 4不满足 ab，满足 ab，输出 a 的值为 2，i 的值为 4故选：B【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题9 （5 分）已知圆 C：（x ） 2+（y 1） 21 和两点 A（t，0） ，B（t ，0） （t0） ，若圆 C 上存在点
18、 P，使得APB90，则 t 的取值范围是（ ）A （0，2 B1，2 C2 ，3 D1 ，3【分析】根据圆心 C 到 O（0，0）的距离为 2，可得圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 3，最小值为 1，再由APB90，可得 PO ABt，从而得到答案【解答】解：圆 C：（x ） 2+（y 1） 21 的圆心 C（ ，1） ，半径为 1，圆心 C 到 O（0，0）的距离为 2，圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 3，最小值为 1，第 11 页（共 22 页）再由APB 90，以 AB 为直径的圆和圆 C 有交点，可得 PO ABt，故有 1t3，故选：D【点评】本题考
19、查实数值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用10 （5 分）函数 f（x ）sin（x+） （xR） （0，| ）的部分图象如图所示，如果 ，且 f（x 1）f（x 2） ，则 f（x 1+x2）（ ）A B C D1【分析】通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出 f（x 1+x2）即可【解答】解：由图知，T2 ，2 ，因为函数的图象经过（ ） ，0sin（ +） ，所以 ， ， ，所以 故选：C【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，
20、考查计算能力11 （5 分）已知双曲线： 1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|28a|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A （1，3 B3，+） C （0，3） D （0，3【分析】设|PF 1|m，| PF2|n，根据双曲线定义可知第 12 页（共 22 页）|PF1|PF 2|2 a，|PF 1|28a |PF2|，得到 n2a，m4a，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出 2c6a，进而求得 a 和 c 的不等式关系，分析当 p 为双曲线顶点时， 3 且双曲线离心率大于 1，最后综合答案可得【解答】解
21、：设|PF 1|m，| PF2|n，根据双曲线定义可知|PF 1|PF 2|2a，|PF 1|28a|PF 2|，mn2a，m 28an， ，m 24mn+4n 20，m2n，n2a，m4a，在PF 1F2 中， |F1F2|PF 1|+|PF2|，2c4a+2a， 3，当 p 为双曲线顶点时， 3又双曲线 e1，1e3，故选：A【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，三角形边与边之间的关系解题的时候一定要注意点 P 在双曲线顶点位置时的情况，以免遗漏答案12 （5 分）函数 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR，都有 f（x+2）f（x ） 当 0 x1 时，f（x ）x 2
22、若直线 yx+a 与函数 yf（x）的图象有两个不同的公共点，则实数 a 的值为（ ）An（nZ） B2n（nZ ）C2n 或 （nZ） Dn 或 （nZ）【分析】首先求出直线 yx +a 与函数 yf（x）在区间0，2）上的图象有两个不同的公共点时的 a 的值为 0 或 ，又因为对任意的 xR，都有 f（x+2）f（x ） ，所以要求的实数 a 的值为 2n 或 2n 第 13 页（共 22 页）【解答】解：因为函数 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，设 x1，0 ，则x 0，1，于是 f（x）（ x） 2x 2设 x1，2，则（x2） 1，0于是，f（x ）f（x2）（x2）
23、 2当 a 0 时，联立 ，解之得 ，即当 a0 时，即直线 yx+a 与函数 yf（x）的图象有两个不同的公共点当 2a 0 时，只有当直线 yx+a 与函数 f（x ）x 2 在区间0，1）上相切，且与函数 f（x）（ x2） 2 在 x1，2）上仅有一个交点时才满足条件由 f（x）2x1，解得 x ，y ，故其切点为 ， ；由 （1x2）解之得 综上可知：直线 yx+ a 与函数 yf（x ）在区间0 ，2）上的图象有两个不同的公共点时的 a 的值为 0 或 又函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR，都有 f（x+2）f（x） ，实数a 的值为 2n 或 2n ， （n
24、Z） 故选：C【点评】此题考查了函数的奇偶性、周期性及导数的应用，用到了数形结合的思想方法二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）计算：cos 215 sin215 【分析】由二倍角的余弦公式可得 cos215sin 215cos30，从而得到结果【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，cos215sin 215cos30 故答案为： 第 14 页（共 22 页）【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，考查特殊角的三角函数值，属于基础题14 （5 分）已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则 【分
25、析】求出 BD 及两向量夹角，代入向量的数量积公式计算【解答】解：菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，BCD120，BDC30，BD 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题15 （5 分）已知球 O 的半径为 13，其球面上有三点 A、B、C，若AB 12 ，AC BC12 ，则四面体 OABC 的体积是 60 【分析】求出ABC 的外接圆的半径，可得 O 到平面 ABC 的距离，计算ABC 的面积，即可求出四面体 OABC 的体积【解答】解：AB12 ，ACBC 12，cosACB ，ACB120，ABC 的外接圆的半径为 12，O 到平面 ABC 的距离为
26、5，S ABC 36 ，四面体 OABC 的体积是 60 故答案为：60 【点评】本题考查四面体 OABC 的体积，考查学生的计算能力，正确求出ABC 的外接圆的半径是关键16 （5 分）已知数列a n，b n，若 b10，a n ，当 n2 时，有第 15 页（共 22 页）bnb n1 +an1 ，则 b2017 【分析】由已知可得 an ，结合 bnb n1 +an1 ，利用累加法求得b2017 【解答】解：a n ，且 bnb n1 +an1 ，b nb n1 a n1 （n2） ，则 ， ，又 b10，b 2017 故答案为： 【点评】本题考查数列递推式，训
27、练了利用累加法求数列的通项公式，是中档题三、解答题17 （12 分）已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 asinB+bcosA0（1）求角 A 的大小；（2）若 ，求ABC 的面积【分析】 （1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可（2）利用余弦定理求出 c 的值，然后求解三角形的面积【解答】解：（1）在ABC 中，由正弦定理得 sinAsinB+sinBcosA0，（2 分）即 sinB（sinA+cosA）0，又角 B 为三角形内角，sin B0，所以 sinA+cosA0，即 ，（4 分）又因为 A（0，） ，所以 （6 分）（2）在ABC 中，由
28、余弦定理得：a 2b 2+c22bccos A，第 16 页（共 22 页）则 （8 分）即 ，解得 或 ，（10 分）又 ，所以 （12 分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力18 （12 分） “中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关” ，某校研究性学习小组对全校学生按“跟从别人闯红灯” ， “从不闯红灯” 、 “带头闯红灯”等三种形式进行调查，获得下表数据：跟从别人闯红灯 从不闯红灯 带头闯红灯男生 980 410 60女生 340 &n
29、bsp;150 60用分层抽样的方法从所有被调查的人中抽取一个容量为 n 的样本，其中在“跟从别人闯红灯”的人中抽取了 66 人（）求 n 的值；（）在所抽取的“带头闯红灯”的人中，在选取 2 人参加星期天社区组织的“文明交通”宣传活动，求这 2 人中至少有一人是女生的概率【分析】 （）由题意得利用分层抽样性质列出方程，能求出 n 的值（）所有参加调查的人数为 2000，从在“带头闯红灯”的人中用分层抽样抽取的人数为 6，其中男生为 3 人，女生为 3 人，这 2 人中至少有一人是女生的对立事件是这 2 人都是男生，由此利用对立事件概率计算公式能求出这 2 人中至少有一人是女生的概率【解答】解
30、：（）由题意得 ，解得 n100（）所有参加调查的人数为 980+340+410+150+60+602000，从在“带头闯红灯”的人中用分层抽样抽取的人数为：（60+60） 6，其中男生为：60 3 人，女生为 60 3 人，从抽取的“带头闯红灯”的人中选取 2 人参加星期天社区组织的“文明交通”宣传活动，第 17 页（共 22 页）基本事件总数 n 15，这 2 人中至少有一人是女生的对立事件是这 2 人都是男生，这 2 人中至少有一人是女生的概率：p1 【点评】本题考查概率的求法，考查分层抽样的应用，是基础题，解题时要认真题，注意对立事件概率计算公式的合理运用19 （12 分）在正三棱柱
31、ABCA 1B1C1 中，点 D 为 BC 的中点；（）求证：A 1B平面 AC1D；（）若点 E 为 AC1 上的点，且满足 m （m R） ，三棱锥 EADC 的体积与三棱柱 ABCA 1B1C1 体积之比为 1：12，求实数 m 的值【分析】 （）连结 A1C，交 AC1 于 F，则 F 为 AC1 的中点，连结 DF，则 A1BDF，由此能证明 A1B平面 AC1D（）过 E 作 EMAC 于 M，则 EM平面 ABC，设 EMh，由已知得 h ，由此能求出实数 m 的值【解答】证明：（）连结 A1C，交 AC1 于 F，则 F 为 AC1 的中点连结 DF，则 A1BDF，DF平面
32、AC1D，A 1B平面 AC1D，A 1B平面 AC1D解：（） m ， AEmEC 1，过 E 作 EMAC 于 M，则 EM平面 ABC，设 EMh，第 18 页（共 22 页）三棱锥 EADC 的体积与三棱柱 ABCA 1B1C1 体积之比为 1：12， ，解得 h ，当 E 为 AC1 中点时，三棱锥 EADC 的体积与三棱柱 ABCA 1B1C1 体积之比为1：12，实数 m 的值为 1【点评】本题考查线面平行的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20 （12 分）已知函数 f（x ）x 3+x2+b，g（x）alnx（）若 f（x）在 x ，1
33、）上的最大值为 ，求实数 b 的值；（）若对任意 x1，e ，都有 g（x）x 2+（a+2）x 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）求解导数，利用导函数求极值点，单调区间，判断最值，求出 b 的值（2）g（x）x 2+（a+2 ）x 转化为另一个函数的最值问题求解，用好分离参数的方法【解答】解：（1）函数 f（x）x 3+x2+b，函数 f（x ）3x 2+2x，f（x）0 得x0，x ，f（x）0，0 ； f（x）0，x 0 或可知：f（x）在 x ，1）有 ，0） ， （ ，1）是减区间， （0， ）是增区间f（ ） +b，f（ ） +b，可以判断） +b ，b0所以实数 b
34、的值为 0第 19 页（共 22 页）（2）任意 x1，e ，都有 g（x）x 2+（a+2）x ，g（x）alnxa ，设 T（x） ，x1 ，e T（X） ，x1 ，e，x10，lnx1，x+2lnx0，从而 t（x） 0，t（x ）在 1，e上为增函数所以 t（x） mint（1）1，所以 a1【点评】本题考查了导数在最值中的应用，用分离参数，构造函数，解决恒成立问题中参变量的范围问题21 （12 分）已知椭圆 C： + 1（ab0）经过点（ ，1） ，且离心率为 （）求椭圆 C 的方程；（）设 M、N 是椭圆 C 上的点，直线 OM 与 ON（O 为坐标原点）的斜率之积为 ，若动点 P
35、 满足 +2 ，试探究，是否存在两个定点 F1，F 2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求 F1，F 2 的坐标，若不存在，请说明理由【分析】 （）由椭圆经过点（ ，1） ，且离心率为 ，列出方程组，求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的方程（）由 ，得 xx 1+2x2，yy 1+2y2，由 M，N 都在椭圆 1 上，设 ，得到点 P 是椭圆 上的点，由此能求出 F1，F 2的坐标【解答】解：（）椭圆 C： + 1（ab0）经过点（ ，1） ，且离心率为， ，解得 a2，b ，第 20 页（共 22 页）椭圆 C 的方程为 1（）设 P（x ，y ） ，M（x 1， y1） ，N（x
36、 2，y 2） ，则由 ，得 xx 1+2x2，yy 1+2y2，M，N 都在椭圆 1 上， ， （ ）（ ）+4（ ）+4（x 1x2+2y1y2）20+4（x 1x2+2y1y2） ，设 ，x 1x2+2y1y20，x 2+2y220， 点 P 是椭圆 上的点，由椭圆的定义知存在点 F1，F 2，满足| PF1|+|PF2|2 4 为定值，又|F 1F2|2 2 ，F 1，F 2 的坐标分别为 F1（ ，0） ，F 2（ ，0） 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查焦点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质、向量的数量积的合理运用选修 4-4：极坐标系与参数方程22
37、 （10 分）在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 asin（a0） （）求圆 C 的直角坐标系方程与直线 l 的普通方程；（）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 倍，求 a 的值【分析】 （）将 t 参数消去可得直线 l 的普通方程，根据cosx，siny ， 2x 2+y2 带入圆 C 可得直角坐标系方程；（）利用弦长公式直接建立关系求解即可第 21 页（共 22 页）【解答】解：（）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，消去参数 t，可得：4x+3y80；由圆 C 的极坐
38、标方程为 asin （a0） ，可得 2asin ，根据 siny， 2x 2+y2可得圆 C 的直角坐标系方程为： x2+y2ay0，即 （）由（）可知圆 C 的圆心为（ 0， ）半径 r| |，直线方程为 4x+3y80；那么：圆心到直线的距离 d 直线 l 截圆 C 的弦长为 2解得：a32 或 a故得直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 倍时 a 的值为 32 或 【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，属于中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ） 的定义域为 R（）求 m 的取值范围；（）若 m 的最大值为 n，解关于 x 的不等式：|x3| 2x2n4【分析】 （）由题意，|x +1|+|x3|m 0 恒成立，利用基本不等式，可得求 m 的取值范围；（）m 的最大值为 4，关于 x 的不等式：|x3| 2x4，分类讨论，即可解关于 x 的不等式【解答】解：（）由题意，|x +1|+|x3|m 0 恒成立|x +1|+|x3| |（x +1）x 3）|4，m4；（）m 的最大值为 4，关于 x 的不等式：|x3| 2x4 或 ，第 22 页（共 22 页）x3 或 x 3，不等式的解集为x| x 【点评】本题考查恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，考查学生的计算能力，属于中档题
