1、2017 年甘肃省兰州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知集合 M1，0，1，2，3，Nx|x 22x0，则 MN （ ）A3 B2 ，3 C 1，3 D0 ，1，22 （5 分）若复数 z 满足 z（1i）|1 i|+i ，则 z 的实部为（ ）A B 1 C1 D3 （5 分）设向量 （x1，x） ， （x +2，x4） ，则“ ”是“x 2”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）已知等比数列a n中，各项都是正数，且 a1， ，2a
2、2 成等差数列，则（ ）A1+ B1 C3+2 D325 （5 分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A2014 B2015 C2016 D20176 （5 分）已知 M（4，0） ，N（0，3） ，P（x，y ）的坐标 x，y 满足 ，则PMN 面积的取值范围是（ ）第 2 页（共 25 页）A12，24 B12 ，25 C6 ，12 D6 ， 7 （5 分）中、美、俄等 21 国领导人合影留念，他们站成两排，前排 11 人，后排 10 人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置
3、不做要求，那么不同的站法共有（ ）AA 1818 种 BA 2020 种CA 32A183A1010 种 DA 22A1818 种8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则下列说法正确的是（ ）该几何体的体积为 ；该几何体为正三棱锥；该几何体的表面积为 + ；该几何体外接球的表面积为 3A B C D9 （5 分）若直线 1：ax+by +10（a0，b0）把圆 C：（x+4） 2+（y+1） 216 分成面积相等的两部分，则当 ab 取得最大值时，坐标原点到直线 1 的距离是（ ）A4 B8 C2 D10 （5 分）已知长方体 ABCDA 1B1C1D1
4、中，B 1C，C 1D 与底面 ABCD 所成的角分别为60和 45，则异面直线 B1C 和 C1D 所成角的余弦值为（ ）A B C D11 （5 分）已知 F1，F 2 为双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点，以 F1F2 为第 3 页（共 25 页）直径的圆与双曲线右支的一个交点为 P，PF 1 与双曲线相交于点 Q，且|PQ|2|QF 1|，则该双曲线的离心率为 （ ）A B2 C D12 （5 分）已知 a，bR，定义运算“”：a b ，函数 f（x）（x 22）（x 1） ，x R，若方程 f（x ）a0 只有两个不同实数根，则实数 a 的取值范围是（ &
5、nbsp;）A2，1（1，2） B （2，1（1，2C2，11，2 D （2， 1（1，2）二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）若 sinsin 1 ，coscos ，则 cos（）的值为 14 （5 分）观察下列式子：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，由此可推测出一个一般性的结论：对于 nN*，1+2+n+2+1 15 （5 分）已知函数：f（x）2sin （2x+ ） ； f（x）2sin（2x ） ；f （x ）2sin（ x+ ） ；f（x ）2sin（2x ）
6、，其中，最小正周期为 且图象关于直线x 对称的函数序号是 16 （5 分）已知定义在0，+）上的函数 f（x）满足 f（x）2f（x+2） ，当 x0，2）时，f（x）2x 2+4x设 f（x）在 2n2，2n）上的最大值为 an（nN*） ，且a n的前 n 项和为 Sn，则 Sn 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（1）求角 B；（2）如果 b2，求ABC 面积的最大值18 （12 分）现如今， “网购”一词已不再新鲜，越来越多的人已经接受并喜欢上了这种购
7、物的方式，但随之也产生了商品质量差与信誉不好等问题因此，相关管理部门制定了针对商品质量和服务的评价体系现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次第 4 页（共 25 页）（1）根据题中数据完成下表，并通过计算说明：能否有 99.9%的把握认为，商品好评与服务好评有关？对服务好评 对服务不满意 合计对商品好评对商品不满意合计（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 5 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量 X：求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列（概率用组合数
8、算式表示） ；求 X 的数学期望和方差P（K 2k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（ ，其中 na+b+c+d）19 （12 分）如图所示的空间几何体 ABCDEFG 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE 平面 ABCD，EFAB， EGAD，EFEG1，AE3（）求证：平面 CFG平面
9、ACE（）求平面 CEG 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值20 （12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦点为F1（2 ，0） ，点 B（2， ）在椭圆 C 上，直线 ykx（k 0）与椭圆 C 交于 P，Q 两点，直线 AP， AQ 分别与 y 轴交于点 M，N第 5 页（共 25 页）（）求椭圆 C 的方程（）以 MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由21 （12 分）已知函数 f（x ）ax 2+bx+xlnx 在（1，f （1） ）处的切线方程为 3xy20（）求实数 a、b 的值（）设 g（x）x 2x
10、 ，若 kZ，且 k（x2）f （x）g（x）对任意的 x2 恒成立，求 k 的最大值【选修 4-4：极坐标系与参数方程 】22 （10 分）在平面直角坐标系中，已知点 B（1，1） ，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为（ 4 ， ） ，直线 l 的极坐标方程为 cos（ ）a，且 l 过点 A，过点 B 与直线 l 平行的直线为 l1，l 1 与曲线 C 相交于两点 M，N（）求曲线 C 上的点到直线 l 距离的最小值（）求|MN| 的值【选修 4-5：不等式选讲】23已知函数 f（x ）|x 1|+|x+a|（）当 a3
11、 时，解关于 x 的不等式| x1|+|x +a|6（）若函数 g（x）f（x）|3+a|存在零点，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 25 页）2017 年甘肃省兰州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知集合 M1，0，1，2，3，Nx|x 22x0，则 MN （ ）A3 B2 ，3 C 1，3 D0 ，1，2【分析】容易求出集合 Nx| x0，或 x2，然后进行交集的运算即可【解答】解：解 x22x 0 得，x 0，或 x2；Nx|x0，或 x2；MN 1 ，3故选：C【点评】考查列举法、描述
12、法表示集合的概念及形式，交集的运算2 （5 分）若复数 z 满足 z（1i）|1 i|+i ，则 z 的实部为（ ）A B 1 C1 D【分析】z（1i）|1 i|+ i，化为 z ，再利用复数的运算法则、实部的定义即可得出【解答】解：z（1i）|1 i|+i，z + i，z 的实部为 故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、实部的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）设向量 （x1，x） ， （x +2，x4） ，则“ ”是“x 2”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】 ，可得 0，解出
13、即可得出【解答】解： ，（x1） （x+2）+x（x 4）0，化为：2x 23x 20，解得 x 或 2“ ”是“x2”的必要不充分条件故选：B第 7 页（共 25 页）【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4 （5 分）已知等比数列a n中，各项都是正数，且 a1， ，2a 2 成等差数列，则（ ）A1+ B1 C3+2 D32【分析】先根据等差中项的性质可知得 2（ ）a 1+2a2，进而利用通项公式表示出 q21+2q，求得 q，代入 中即可求得答案【解答】解：依题意可得 2（ ）a 1+2a2，即，a 3a 1+2
14、a2，整理得 q21+2q，求得 q1 ，各项都是正数q0，q1+ 3+2故选：C【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解5 （5 分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）第 8 页（共 25 页）A2014 B2015 C2016 D2017【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 i，s 的值，当 i0，不满足条件i0，退出循环，输出 s 的值为 2016【解答】解：模拟程序的运行，可得i2017，s2017满足条件 i0，执行循环体， i2016，s2016满足条件 i0，执行循环体， i2015，s2017
15、满足条件 i0，执行循环体， i2014，s2016观察规律可得满足条件 i0，执行循环体， i1，s2017满足条件 i0，执行循环体， i0，s2016不满足条件 i0，退出循环，输出 s 的值为 2016故选：C【点评】本题主要考查了程序框图的应用，正确写出每次循环得到的 i，s 的值是解题的关键，属于基础题6 （5 分）已知 M（4，0） ，N（0，3） ，P（x，y ）的坐标 x，y 满足 ，则PMN 面积的取值范围是（ ）第 9 页（共 25 页）A12，24 B12 ，25 C6 ，12 D6 ， 【分析】由约束条件作出可行域，由图可知当 P 在 O 处时，PMN 面
16、积有最小值，当P 位于直线 3x+4y12 在可行域内的部分时，PMN 面积有最大值，然后由三角形的面积公式求解【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，由图可知，当 P 在 O 处时， PMN 面积有最小值为 ；当 P 位于直线 3x+4y12 在可行域内的部分时，P 到 MN 所在直线的距离为 d ，PMN 面积有最大值为 PMN 面积的取值范围是6，12 故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7 （5 分）中、美、俄等 21 国领导人合影留念，他们站成两排，前排 11 人，后排 10 人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人
17、相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有（ ）AA 1818 种 BA 2020 种CA 32A183A1010 种 DA 22A1818 种【分析】先安排中、美、俄三国的领导人的位置共有 种排法，而其余的 18 国的领导人的排法共有 种，再利用乘法原理即可得出【解答】解：先安排中、美、俄三国的领导人的位置共有 种排法，而其余的 18 国的领导人的排法共有 种，第 10 页（共 25 页）由乘法原理可得：同的站法共有 种故选：D【点评】本题考查了乘法原理、排列与组合，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则下列说法正确
18、的是（ ）该几何体的体积为 ；该几何体为正三棱锥；该几何体的表面积为 + ；该几何体外接球的表面积为 3A B C D【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是长方体的一个角，结合已知中的数据，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是长方体的一个角，该几何体的体积为 ，正确；该几何体为正三棱锥，正确；该几何体的表面积为 + + ，不正确；该几何体外接球的半径为 ，表面积为 3，正确故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键第 11 页（共 25 页）9 （5 分）若直线 1：ax+by +10（a0，b0）把
19、圆 C：（x+4） 2+（y+1） 216 分成面积相等的两部分，则当 ab 取得最大值时，坐标原点到直线 1 的距离是（ ）A4 B8 C2 D【分析】由题意，圆心（4，1）代入直线 1：ax+by+10，可得 4a+b1，利用基本不等式求最值，可得 a，b 的值，再利用点到直线的距离公式，即可得出结论【解答】解：由题意，圆心（4，1）代入直线 1：ax+by+10，可得 4a+b1，4a+b1 ，ab ，当且仅当 a ，b 时，ab 取得最大值，坐标原点到直线 1 的距离是 ，故选：D【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及基本不等式的运用，关键是分析得到直线1：ax+by+10
20、 过圆的圆心10 （5 分）已知长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，B 1C，C 1D 与底面 ABCD 所成的角分别为60和 45，则异面直线 B1C 和 C1D 所成角的余弦值为（ ）A B C D【分析】利用长方体的性质、线面角的定义、异面直线所成的角的定义即可得出【解答】解：如图所示：B 1B平面 ABCD，BCB 1 是 B1C 与底面所成角，BCB 160C 1C底面 ABCD，CDC 1 是 C1D 与底面所成的角，CDC 145连接 A1D，A 1C1，则 A1DB 1CA 1DC1 或其补角为异面直线 B1C 与 C1D 所成的角不妨设 BC1，则 CB1D
21、A 12，BB 1CC 1 CD，C 1D ，A 1C12在等腰A 1C1D 中，cosA 1DC1 故选：A第 12 页（共 25 页）【点评】熟练掌握长方体的性质、线面角与异面直线所成的角的定义是解题的关键11 （5 分）已知 F1，F 2 为双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点，以 F1F2 为直径的圆与双曲线右支的一个交点为 P，PF 1 与双曲线相交于点 Q，且|PQ|2|QF 1|，则该双曲线的离心率为 （ ）A B2 C D【分析】根据|PQ|2| QF1|，以及圆的性质，结合直角三角形的性质，建立三角形的边角关系，利用双曲线的定义得到关于 a，c 的方程进行求解即可
22、【解答】解：点 P 是以 F1F2 为直径的圆与 C 右支的一个交点，即F 1PF2 为直角，则设|QF 1| m，| PQ|2m，则|F 1F2|2c，则|PF 2| ，| QF2| ，则|PF 1| |PF2| 3m 2a，|QF2|QF 1| m2a，则 3m m 2a，即 4m ，平方整理得 45m216c 2，则 m2 c2，代回得 c2a，即 c a即离心率 e ，第 13 页（共 25 页）故选：A【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直角三角形的边角关系建立方程组，求出 a，c 的关系是解决本题的关键综合性较强，运算量较大12 （5 分）已知 a，bR，定义运算“”：a
23、b ，函数 f（x）（x 22）（x 1） ，x R，若方程 f（x ）a0 只有两个不同实数根，则实数 a 的取值范围是（ ）A2，1（1，2） B （2，1（1，2C2，11，2 D （2， 1（1，2）【分析】根据定义的运算法则化简函数 f（x ）（x 22）（x1）的解析式，并求出f（x）的解析式，函数 yf（ x）a 的图象与 x 轴恰有两个公共点转化为 yf（x） ，ya 图象的交点问题，结合图象求得实数 a 的取值范围【解答】解：ab ，函数 f（x）（x 22）（x1） ，f（x） ，分别画出 yf（ x）与 ya 的图象，如图所示：结合图象可得方程 f（x ）a0
24、 只有两个不同实数根，则2a1，或 1a2，故选：B【点评】本小题主要考查函数的零点与方程根的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于中档题第 14 页（共 25 页）二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）若 sinsin 1 ，coscos ，则 cos（）的值为 【分析】对 sinsin 1 与 coscos 等号两端分别平方后相加，即可求得答案【解答】解：sinsin 1 ，cos cos ， 2+2 得：sin2+sin22sinsin+cos 2+cos22cos cos + ，
25、即 22cos（）1 + + ，cos（） 故答案为： 【点评】本题考查两角差的余弦，考查同角三角函数间的关系，考查运算求解能力，属于中档题14 （5 分）观察下列式子：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，由此可推测出一个一般性的结论：对于 nN*，1+2+n+2+1 n 2 【分析】由已知中11 2，1+2+1 42 2，1+2+3+2+193 2，1+2+3+4+3+2+1164 2，归纳猜想可得：1+2+3+（n1）+ n+（n1）+3+2+1n 2，进而可得答案【解答】解：由已知中：11 2，1+2+1 42 2，1+2+3+2+193 2，1+2+3+4+
26、3+2+1164 2，归纳猜想可得：1+2+3+（n1）+n+ （n1）+3+2+1 n 2，故答案为：n 2【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） 第 15 页（共 25 页）15 （5 分）已知函数：f（x）2sin （2x+ ） ； f（x）2sin（2x ） ；f （x ）2sin（ x+ ） ；f（x ）2sin（2x ） ，其中，最小正周期为 且图象关于直线x 对称的函数序号是 【分析】利用三角函数的周期性以及图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：由于：f（x ） 2s
27、in（2x+ ）的周期为 ，且当 x 时，f（x）0，故 f（x ）的图象不关于直线 x 对称，故排除；由于 f（x）2sin（2x ）的周期为 ，且当 x 时，f（x）2，为最大值，故 f（x）的图象关于直线 x 对称，故正确；由于 f（x）2sin（ x+ ）的周期为 4，故不满足条件，故排除 C；由于 f（x）2sin（2x ）的周期为 ，且当 x 时，f（x） ，不是最值，故 f（x ）的图象不关于直线 x 对称，故排除，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数的周期性以及图象的对称性，属于基础题16 （5 分）已知定义在0，+）上的函数 f（x）满足 f（x）2f（x+2） ，当 x0
28、，2）时，f（x）2x 2+4x设 f（x）在 2n2，2n）上的最大值为 an（nN*） ，且a n的前 n 项和为 Sn，则 Sn 4 【分析】根据定义在0，+）上的函数 f（x）满足 f（x）2f（x+2） ，可得 f（x +2）f（x） ，从而 f（x +2n） f（x） ，利用当 x0，2）时，f （x ）2x 2+4x，可求（x）在2 n2，2n）上的解析式，从而可得 f（x ）在2 n2，2n）上的最大值为 an，进而利用等比数列的求和公式，即可求得a n的前 n 项和【解答】解：定义在0，+）上的函数 f（x）满足 f（x）2f（x+2） ，f（x+2） f（x
29、） ，f（x+4） f（x +2） f（x） ，第 16 页（共 25 页）f（x+6） f（x +4） f（ x） ，f（x+2n） f（x ）设 x2n2， 2n） ，则 x（ 2n2）0，2）当 x0，2）时， f（x）2x 2+4xfx （2n2 ）2（x（2n2） 2+4x（2n2 ） f（x） 2（x2n+1） 2+2f（x）2 1 n2（x 2n+1） 2+2，x 2n2，2n） ，x2n1 时，f（x）的最大值为 22na n2 2na n表示以 2 为首项， 为公比的等比数列a n的前 n 项和为 Sn 4 故答案为：4 【点评】本题考查数列的前 n 项和的求法，是中档题，解
30、题时要认真审题，注意函数性质、等比数列的性质的合理运用三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（1）求角 B；（2）如果 b2，求ABC 面积的最大值【分析】 （1）根据两角和的正切公式，利用三角形内角和定理，求出 B 的值；（2）由余弦定理和基本不等式，求出ABC 面积的最大值【解答】解：（1）ABC 中，tanA+tan C （tanAtanC 1） ， ，即 tan（A+C） ；第 17 页（共 25 页）又 A+B+C ，tanB tan（A+C） ；由 B（0，） ，B ；（2）ABC 中，由余弦定理得：b2a
31、 2+c22ac cosBa 2+c22accos a 2+c2ac4，a 2+c2ac+4；又 a2+c22ac，ac4，当且仅当 ac 2 时取“” ，ABC 的面积为 S acsinB 4 ，即ABC 面积的最大值为 【点评】本题考查了三角恒等变换以及三角形内角和定理、余弦定理的应用问题，是中档题18 （12 分）现如今， “网购”一词已不再新鲜，越来越多的人已经接受并喜欢上了这种购物的方式，但随之也产生了商品质量差与信誉不好等问题因此，相关管理部门制定了针对商品质量和服务的评价体系现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0
32、.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次（1）根据题中数据完成下表，并通过计算说明：能否有 99.9%的把握认为，商品好评与服务好评有关？对服务好评 对服务不满意 合计对商品好评对商品不满意合计（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 5 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量 X：求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列（概率用组合数算式表示） ；求 X 的数学期望和方差第 18 页（共 25 页）P（K 2k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
33、k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（ ，其中 na+b+c+d）【分析】 （1）由题意求出关于商品和服务评价的 22 列联表，从而求出K211.11110.828，从而有 99.9%的把握认为商品好评与服务好评有关（2） 由 X B（5， ） ，能求出 X 的分布列由 XB（5， ） ，能求出 X 的数学期望和方差【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的 22 列联表如下：对服务好评 对服务不满意 合计对商品好评 80 40 120对商品不满意 70
34、 10 80合计 150 50 200，（4 分）因此有 99.9%的把握认为商品好评与服务好评有关 （6 分）（2） 每次购物时，对商品和服务都好评的概率为 ，X 的取值可以是 0，1，2，3，4，5且 XB（5， ） ， ， ， ， ， ， X 的分布列为：第 19 页（共 25 页）X 0 1 2 3 4 5P（10 分）XB（5， ） ， ，（12 分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望、方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用19 （12 分）如图所示的空间几何体 ABCDEFG 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE 平面 AB
35、CD，EFAB， EGAD，EFEG1，AE3（）求证：平面 CFG平面 ACE（）求平面 CEG 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值【分析】 （）欲证明平面 CGF平面 ACE，可通过证明 GF平面 ACE，需证明ACGF，AE GF，结合 GEAB，EFAD 进行证明；（）方法一：构造平面 ECG 与平面 ABCD 所成二面角的平面角EBA，则BE ，cosEBA ，即可求得答案；方法二：建立空间直角坐标系，分别求得平面 CEG 与平面 ABCD 的法向量，利用cos ，即可求得平面 CEG 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值【解答】证明：（）GEAB，EFAD，GE EF1，
36、ABAD 2，AMAN1 ，GF MN 且 GFMN第 20 页（共 25 页）MNBD，GFBD AE平面 ABCD，AEBD，AEGF又在正方形 ABCD 中，ACBD ，ACGF ACAEA，GF平面 ACE，平面 CGF平面 ACE解：（）解法一：由 EG AD，则 EGBC ，平面 CEG 与平面 ABCD 所成的锐二面角即为 EBCG 与平面 ABCD 所成的锐二面角，连接 BE，由 AEABCD，ABBC，则 BEBC，则EBA 为平面 ECG 与平面 ABCD 所成二面角的平面角，由 AE3，AB2，则 BE ，cosEBA ，平面 CEG 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余
37、弦值 方法二：建立如图坐标系 Axyx，则 A（0，0，0） ，B（ 2，0，0） ，C （2，2，0）E（0，0，3） ，G（0，1，3） ，则 （0，0，3） ，为平面 ABCD 的一个法向量，设 （x，y，z）为平面 CEG 的一个法向量，则 ，即 ，令 y0，则 z2， （3，0，2） ，设平面 CEG 与平面 ABCD 所成的锐二面角 ，则 cos ，平面 CEG 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值 第 21 页（共 25 页）【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用20 （12 分
38、）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦点为F1（2 ，0） ，点 B（2， ）在椭圆 C 上，直线 ykx（k 0）与椭圆 C 交于 P，Q 两点，直线 AP， AQ 分别与 y 轴交于点 M，N（）求椭圆 C 的方程（）以 MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由【分析】 （1）由题意可设椭圆标准方程 ，结合已知及隐含条件列关于 a，b，c 的方程组，求解方程组得到 a2，b 2 的值，则椭圆方程可求；（2）设 F（x 0，y 0） ，E（x 0，y 0） ，写出 AE、AF 所在直线方程，求出 M、N 的坐标，得到以 MN
39、为直径的圆的方程，由圆的方程可知以 MN 为直径的圆经过定点（2，0） 【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为 ，则 ，解得：a 28，b 24椭圆 C 的方程为 ；（2）如图，设 F（x 0，y 0） ， E（x 0，y 0） ，第 22 页（共 25 页）则 ，A（ ，0） ，AF 所在直线方程 ，取 x0，得 ，N（0， ） ，AE 所在直线方程为 ，取 x0，得 y ，M（0， ） 则以 MN 为直径的圆的圆心坐标为（0， ） ，半径 r ，圆的方程为 ，即 取 y0，得 x2以 MN 为直径的圆经过定点（2，0） 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查整体运
40、算思想方法，是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）ax 2+bx+xlnx 在（1，f （1） ）处的切线方程为 3xy20（）求实数 a、b 的值第 23 页（共 25 页）（）设 g（x）x 2x ，若 kZ，且 k（x2）f （x）g（x）对任意的 x2 恒成立，求 k 的最大值【分析】 （）求出函数 f（x）的导数，得到关于 a，b 的方程组，解出即可；（）问题转化为 k 对任意 x2 恒成立，设 h（x）（x2） ，根据函数的单调性求出 k 的最大值即可【解答】解：（）f（x ）2ax+b+lnx，故 2a+b+13 且 a+b1，解得： a1，b0；（）由（）得：k 对任意
41、 x2 恒成立，设 h（x） （x 2） ，则 h（x ） ，令 m（x）x42lnx， （x 2） ，则 m（x）1 0，故函数 m（x）为（2，+ ）上的增函数，m（8）42ln80，m（ 10）62ln100，故 m（x）在（8，10）上有唯一零点 x0，即 x042lnx 00 成立，故 x042lnx 00，当 2xx 0 时，m（x）0，即 h（x）0，x0x 时，m（x）0，即 h（x）0，故 h（x）在（1，x 0）递减，在（x 0，+）递增，故 h（x） minh（x 0） ，故 k ，x 0（8，10） ， （4，5） ，kZ，故 k 的最大值是 4【点评】本题考查了切线方
42、程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题【选修 4-4：极坐标系与参数方程 】22 （10 分）在平面直角坐标系中，已知点 B（1，1） ，曲线 C 的参数方程为第 24 页（共 25 页）（ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为（4 ， ） ，直线 l 的极坐标方程为 cos（ ）a，且 l 过点 A，过点 B 与直线 l 平行的直线为 l1，l 1 与曲线 C 相交于两点 M，N（）求曲线 C 上的点到直线 l 距离的最小值（）求|MN| 的值【分析】 （I）点 A 的极坐标为（ 4 ， ） ，直线 l 的极坐标
43、方程为 cos（ ）a，代入可得 a4 直线 l 的极坐标方程为 cos（ ）4 ，展开为：（ cos+sin）4 ，即可化为直角坐标方程利用点到直线的距离公式与和差公式、三角函数的单调性即可得出（II）设 l1 的方程为：x +y+m0，把 B（1，1）代入上述方程可得直线 l1 的方程为：x+y20可得参数方程： （t 为参数） ，代入曲线 C 的普通方程1利用根与系数的关系及其|AB |t 1t 2| 即可得出【解答】解：（I）点 A 的极坐标为（ 4 ， ） ，直线 l 的极坐标方程为 cos（）a，a 4 直线 l 的极坐标方程为 cos（ ）4 ，展开为： （cos+sin）4 ，
44、化为直角坐标方程：x+y 80曲线 C 上的点到直线 l 距离 d ，当 sin（ +）1 时取等号（II）设 l1 的方程为：x +y+m0，把 B（1，1）代入上述方程可得： m2直线 l1 的方程为：x +y20可得参数方程： （t 为参数） ，代入曲线 C第 25 页（共 25 页）的普通方程 1化为：7t 2+2 t100，t 1+t2 ，t 1t2 ，|AB| |t1t 2| 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用、弦长公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题【选修 4-5：不等式选讲】23已知函数 f（x ）|x 1|+|x+a|（）当
45、a3 时，解关于 x 的不等式| x1|+|x +a|6（）若函数 g（x）f（x）|3+a|存在零点，求实数 a 的取值范围【分析】 （）当 a1 时，不等式|x 1|+|x+3|6 等价变形，可得结论；（）利用|x1|+|x +a| a+1|，即可求实数 a 的取值范围【解答】解：（）当 a3 时，不等式|x 1|+|x+3|6 可化为或 或 ，（3 分）解得 x4 或 x2，不等式 f（x） 5 的解集为 x|x4 或 x2（5 分）（）若函数 g（x）f（x）|3+a|存在零点，则|x 1|+|x+a| | a+1|，|3+a|a+1|，解得 a2【点评】本题考查绝对值不等式，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础
