1、2017 年四川师大附中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设集合 ，若 MN，则实数 a 的取值范围是（ ）A0a2 B0a C2a Da22 （5 分）若 z1i，则复数 z+z2 在复平面上对应的点的坐标为（ ）A （1，3） B （3，1） C （1，1） D （1，1）3 （5 分） （12x） 5 的展开式中含 x3 的系数为（ ）A80 B80 C10 D104 （5 分）运行下面的程序，如果输入的 n 是 6，那么输出的 p 是
2、（ ）A120 B720 C1440 D50405 （5 分）已知a n为等比数列且满足 a6a 230，a 3 a13，则数列a n的前 5 项和S5（ ）A15 B31 C40 D1216 （5 分）已知 ，则 tan（ ）A B2 C D7 （5 分）已知函数 f（x ）的定义域为 R 且满足f （x）f（x） ，f（x）f （2x ） ，则（ ）A1 B1 C D08 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（ ）第 2 页（共 25 页）A B C D9 （5 分）已知点 A，B，C 在球 O 的表面上且 A ，b1
3、，c3三菱锥 OABC 的体积为 ，则球 O 的表面积为（ ）A16 B32 C20 D510 （5 分）设函数 f（x ）的定义域为 D，若 f（x）满足条件：存在a，b D（ab） ，使f（x）在a，b上的值域也是 a，b ，则称为“优美函数” ，若函数为“优美函数” ，则 t 的取值范围是（ ）A B （0，1） C D11 （5 分）在ABC 中 为边 BC 的三等分点，则 的最小值为（ ）A B C D312 （5 分）已知双曲线 ，抛物线 ，C 1 与 C2有公共的焦点 F，C 1 与 C2 在第一象限的公共点为 M，直线 MF 的倾斜角为
4、，且，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（ ）A仅有两个不同的离心率 e1，e 2 且 e1（1，2） ，e 2（4，6）B仅有两个不同的离心率 e1，e 2 且 e1（2，3） ，e 2（4，6）C仅有一个离心率 e 且 e（ 2，3）D仅有一个离心率 e 且 e（3，4）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，则 3 位男生中有且只有 2 位男第 3 页（共 25 页）生相邻的概率为 14 （5 分）已知 x、y 满足 ，则 的取值范围是 &nb
5、sp; 15 （5 分）已知圆 C：（x 3） 2+（y 4） 225，圆 C 上的点到直线l：3x +4y+m0（m0）的最短距离为 1，若点 N（a，b）在直线 l 位于第一象限的部分，则 的最小值为 16 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11，a 2 2 且Sn+23 Sn+1+2Sn+an0， （ nN*） ，记 Tn ，若（n+6）T n 对 nN*恒成立，则 的最小值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17 （12 分）已知 （2sinx，sin x+c
6、osx） ， （ cosx， （sin xcosx） ） （0） ，函数 f（x ） 的最大值为 2（）求函数 f（x ）的单调递减区间；（）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，cosA ，若 f（A）m0 恒成立，求实数 m 的取值范围18 （12 分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f 1（x）x 3，f 2（x）5 |x|，f 3（x ）2，f 4（x ） ，f 5（x ）sin（ +x） ，f 6（x）xcos x（）从中任意拿取 2 张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（）
7、现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 的分布列和数学期望19 （12 分）如图，在菱形 ABCD 中，ABC60，AC 与 BD 相交于点 O，AE平面ABCD， CFAE ，ABAE2（ I）求证：BD平面 ACFE；（ II）当直线 FO 与平面 BDE 所成的角为 45时，求二面角 BEFD 的余弦值第 4 页（共 25 页）20 （12 分）已知椭圆 与椭圆 有相同的离心率，且经过点 P（2，1） （ I）求椭圆 C1 的标准方程；（ II）设点 Q 为椭圆 C2 的下顶点，过点 P 作两条直线分别交椭圆 C1 于
8、 A、B 两点，若直线 PQ 平分APB，求证：直线 AB 的斜率为定值，并且求出这个定值21 （12 分）已知函数 ，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 （其中 e2.71828是自然对数的底数） （ I）求实数 a、b 的值；（ II）求证：f （x ）1请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为（ I）写出曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程；（ II）若直
9、线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求OAB 的面积选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +5| x1|（x R） （ I）解关于 x 的不等式 f（x ）x；（ II）证明：记函数 f（x）的最大值为 k，若 lga+lg（2b）lg（a+4b+k） ，试求 ab 的最小值第 5 页（共 25 页）第 6 页（共 25 页）2017 年四川师大附中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设集合 ，若 MN，则实数 a 的取值范围是（
10、;）A0a2 B0a C2a Da2【分析】由 2xx 20，解得 M0，2 根据 MN，即可得出 a 的取值范围【解答】解：由 2xx 20，解得 0x 2M0，2 MN，2 a故选：C【点评】本题考查了不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2 （5 分）若 z1i，则复数 z+z2 在复平面上对应的点的坐标为（ ）A （1，3） B （3，1） C （1，1） D （1，1）【分析】把 z1i 代入 z+z2，然后利用复数代数形式的乘法运算化简得答案【解答】解：z1i，z+z 21i+ （1i） 21i 2i13i ，则复数 z+z2 在复平面上对应
11、的点的坐标为（1，3） 故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分） （12x） 5 的展开式中含 x3 的系数为（ ）A80 B80 C10 D10【分析】根据二项式展开式的通项公式，令 x 的指数为 3，求出展开式中 x3 的系数【解答】解：（12x） 5 展开式的通项公式为Tr+1 （2x） r，第 7 页（共 25 页）令 r3，得（12x） 5 展开式中 x3 的系数为（2） 380故选：A【点评】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题4 （5 分）运行下面的程序，如果输入的 n 是 6，那么输出的
12、 p 是（ ）A120 B720 C1440 D5040【分析】讨论 k 从 1 开始取，分别求出 p 的值，直到不满足 k6，退出循环，从而求出p 的值，解题的关键是弄清循环次数【解答】解：根据题意：第一次循环：p1，k2；第二次循环：p2，k3；第三次循环：p6，k4；第四次循环：p24，k5；第五次循环：p120，k6；不满足条件，退出循环故选：A【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题5 （5 分）已知a n为等比数列且满足 a6a 230，a 3 a13，则数列a
13、n的前 5 项和S5（ ）A15 B31 C40 D121【分析】根据等比数列的通项公式列方程组求出 a1 公比 q，再计算数列a n的前 5 项和【解答】解：等比数列a n中，a 6a 230，a 3a 13，第 8 页（共 25 页） ， 10，即 q（q 2+1）10，q 3+q100，即（q2） （q 2+2q+5）0，q20 或 q2+2q+50，解得 q2，a 11；数列a n的前 5 项和为S5 31故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用问题，是中档题6 （5 分）已知 ，则 tan（ ）A B2 C D【分析】利用诱导公式，
14、同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得 tan2 的值，可得tan 的值【解答】解：已知 ，即sin（ ）cos（ ） ，即 sin（ 2） ，即 cos2 ，cos2 ，tan 24再结合 tan0 ，可得 tan 2，故选：B【点评】本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题7 （5 分）已知函数 f（x ）的定义域为 R 且满足f （x）f（x） ，f（x）f （2x ） ，则第 9 页（共 25 页）（ ）A1 B1 C D0【分析】由已知可得函数 f（ x）是奇函数，且 f（0）0 ，函数 f（x）的周期为 4又 2+ + ，即可【解答】解
15、：f（x ）f（x） ，函数 f（x）是奇函数，且 f（0）0f（x）f（2x ）f（ x）f（2x ）f（x）f（x+2）f（x）f（x+4） ，函数 f（x）的周期为 4又 2+ + f（4）f （0） 0故选：D【点评】本题考查了函数的周期性、奇函数的性质，考查了对数运算，属于中档题8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（ ）A B C D【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面且底面直角梯形的上底为 1，下底为 2，高为 1，四棱锥的高为 1四个侧
16、面都是直角三角形，第 10 页（共 25 页）其中PBC 的高 PB 故其侧面积是 SS PAB +SPBC +SPCD +SPAD 故选：A【点评】本题考查三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是中档题9 （5 分）已知点 A，B，C 在球 O 的表面上且 A ，b1，c3三菱锥 OABC 的体积为 ，则球 O 的表面积为（ ）A16 B32 C20 D5【分析】利用解三角形得出截面圆的半径 r，利用 d2+r2R 2，求解 R，计算球的表面积【解答】解：在ABC 中，由 a2b 2+c22bccos A 得 a设ABC 的外接圆的圆心为 r，则 2r ，即 r三菱锥 OABC
17、 的体积为 ， hO 到平面 ABC 的距离 h球 O 的半径为 R 则球 O 的表面积为 4R220故选：C【点评】本题综合考察了学生的空间思维能力，空间几何体性质，利用平面问题解决空间几何问题，属于中档题第 11 页（共 25 页）10 （5 分）设函数 f（x ）的定义域为 D，若 f（x）满足条件：存在a，b D（ab） ，使f（x）在a，b上的值域也是 a，b ，则称为“优美函数” ，若函数为“优美函数” ，则 t 的取值范围是（ ）A B （0，1） C D【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于 0，求出 t的取值范围【解答】解： 为增函数
18、，存在a，b D（ab） ，使 f（x ）在a，b上的值域也是 a，b，则 ，即a，b 是方程为 4x2 x+t0 的两个不等的根，设 2x m，m 2m+t0 有两个不等的实根，且两根都大于 0， ，解得 0t ，故选：D【点评】本题考察了函数的值域问题，解题时构造函数，渗透转化思想，是中档题11 （5 分）在ABC 中 为边 BC 的三等分点，则 的最小值为（ ）A B C D3【分析】用 表示出 ，得出 关于 bc 的函数，利用基本不等式得出最小值【解答】解： + ， + ， + + ，b+c4，第 12 页（共 25 页）b 2+c2162bc ， + （162bc） ，
19、bccosA bc， （162bc）+ bc，bc（ ） 24，当 bc4 时， 取得最小值 故选：C【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，基本不等式的应用，属于中档题12 （5 分）已知双曲线 ，抛物线 ，C 1 与 C2有公共的焦点 F，C 1 与 C2 在第一象限的公共点为 M，直线 MF 的倾斜角为 ，且，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（ ）A仅有两个不同的离心率 e1，e 2 且 e1（1，2） ，e 2（4，6）B仅有两个不同的离心率 e1，e 2 且 e1（2，3） ，e 2（4，6）C仅有一个离心率 e 且 e（ 2，3）D仅有一个离心率 e 且 e（3，4）
20、【分析】由倾斜角的范围可得 cos（1，1） ，求得 0a1，求出抛物线的焦点和准线方程，设 M（m，n） ，m0可得|MF| ，由双曲线的第二定义可得 |MF|ema，求得 m，再在MFF' 中运用余弦定理，化简整理，可得 a 的方程，解方程即可得到 a 的值，进而得到离心率【解答】解：直线 MF 的倾斜角为 ，可得 cos（1，1，由题意可得 cos（1，1） ，由 ，可得| |1 ，第 13 页（共 25 页）解得 0a1，由题意可得 F（1，0） ，准线方程为 x1，即 c1，设 M（m，n） ，m0由抛物线的定义可得|MF |m +1，由双曲线的第二定义可得，|MF |ema
21、 a，求得 m ，m+1 ，设双曲线的左焦点为 F'，由双曲线的第一定义可得|MF'|2a+m +1，在MFF '中，可得cos a ， ，即有 a25a+20，解得 a （舍去大于 1 的数） ，可得 a ，即有 e （2，3） 故选：C【点评】本题考查抛物线的方程和定义、双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查运算能力，属于中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，则 3 位男生中有且只有 2 位男生相邻的概率为 【分析】先求出基本事件总数
22、n ，再求出 3 位男生中有且只有 2 位男生相邻位包含的基本事件个数 m ，由此能求出男生中有且只有 2 位男生相邻的概率【解答】解：3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，基本事件总数 n ，第 14 页（共 25 页）3 位男生中有且只有 2 位男生相邻位包含的基本事件个数 m ，男生中有且只有 2 位男生相邻的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用14 （5 分）已知 x、y 满足 ，则 的取值范围是 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，联立直线方程与
23、抛物线方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用判别式为 0 求得目标函数最小值；数形结合得到使目标函数取得最大值的最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得最大值【解答】解：由约束条件 作出可行域，化目标函数为 y ，联立 ，得 2x2x 2z0由1+16z 0，得 z 由图可知，当直线 y 过 A（1，1）时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 的取值范围是： 故答案为： 第 15 页（共 25 页）【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题15 （5 分）已知圆 C：（x 3） 2+（y 4） 225，圆 C 上的点到直线l：3x +4y+m0（m0）的最短距
24、离为 1，若点 N（a，b）在直线 l 位于第一象限的部分，则 的最小值为 【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆 C 上的点到直线 l：3x +4y+m0（m0）的最短距离为 1，求出 m，然后推出 a，b 的方程，利用基本不等式求解表达式的最值【解答】解：圆 C：（x 3） 2+（y 4） 225，圆心坐标（3，4） ，半径为 5，圆 C 上的点到直线 l：3x+4y+m 0（m0）的最短距离为 1，可得 6，解得 m55点 N（a，b）在直线 l 位于第一象限的部分，可得 3a+4b55则 （ ） （3a+4b） 7+ + （7+ ） 当且仅当 3a24b 2，a
25、取等号故答案为： 【点评】本题考查与与圆的方程的应用，基本不等式求解表达式的最值，考查分析问题解决问题的能力16 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11，a 2 2 且Sn+23 Sn+1+2Sn+an0， （ nN*） ，记 Tn ，若（n+6）T n 对 nN*恒成立，则 的最小值为 【分析】推导出 Sn+23S n+1+2Sn+ana n+22a n+1+an0，从 an+2a n+1a n+1a n，进而a n是首项为 1，公差为 211 的等差数列，由此得到第 16 页（共 25 页） 2（ ） ，由此利用裂项求和法能求出 的最小值【解答】
26、解：数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11，a 22 且Sn+23S n+1+2Sn+an0， （nN *） ，S n+23S n+1+2Sn+anS n+2S n+12（S n+1S n） +ana n+22a n+1+an0，a n+2a n+1a n+1a n，a n是首项为 1，公差为 211 的等差数列，a n1+（n1）1n， ， 2（ ） ，T n2（ ） ，（n+6） T n 对 nN*恒成立， ，n2 或 n3 时， 有最大值 ， ， 的最小值为 故答案为： 【点评】裂项相减法是最难把握的求和法之一，其原因是有时很验证找到裂项的方向，突破这一难点的方程是根据式子的结构特点
27、，掌握一些常见的裂项技巧，要注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果出错三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17 （12 分）已知 （2sinx，sin x+cosx） ， （ cosx， （sin xcosx） ） （0） ，函数 f（x ） 的最大值为 2（）求函数 f（x ）的单调递减区间；（）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，cosA ，若 f（A）m0 恒成立，求实数 m 的取值范围第 17 页（共 25 页）【分析】 （）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，求得 f（x）的解析式，再
28、利用正弦函数的单调性，求函数 f（x ）的单调递减区间（）利用余弦定理求得 cosC 的值，可得 C 的值，再利用正弦函数的定义域和值域，求得 f（A）的最小值，可得 m 的范围【解答】解：（）函数 sin2xcos2 x2（ sin2x cos2x）2sin（2x ） ，因为 f（x）的最大值为 2，所以解得 1，则 由 ，可得： ， ，所以函数 f（x）的单调减区间为 ，kZ （）由 可得 2b2abb 2+c2a 2，即 b2+a2c 2ab，解得 ，即 因为 ， ， 因为 恒成立，则 恒成立，即m1【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性，余弦定理，正弦
29、函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题18 （12 分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f 1（x）x 3，f 2（x）5 |x|，f 3（x ）2，f 4（x ） ，f 5（x ）sin（ +x） ，f 6（x）xcos x（）从中任意拿取 2 张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 的分布列和数学期望【分析】 （）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另第 18
30、 页（共 25 页）一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数，先求出基本事件总数为，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，再求出满足条件的基本事件个数为 ，由此能求出结果（） 可取 1，2，3，4分别求出对应的概率，由此能求出 的分布列和数学期望【解答】 （本小题满分 12 分）解：（） 为奇函数；为偶函数；f3（x）2 为偶函数；为奇函数；为偶函数； f6（x）xcosx 为奇函数（3 分）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；故基本事件总数为满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数
31、，故满足条件的基本事件个数为故所求概率为 （6 分）（） 可取 1，2，3，4（7 分），；故 的分布列为 1 2 3 4第 19 页（共 25 页）P（10 分） 的数学期望为 （12 分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型解题时要注意排列组合和概率知识的合理运用19 （12 分）如图，在菱形 ABCD 中，ABC60，AC 与 BD 相交于点 O，AE平面ABCD， CFAE ，ABAE2（ I）求证：BD平面 ACFE；（ II）当直线 FO 与平面 BDE 所成的角为 45时，求二面角 BEFD 的余弦值【分析】 （ I）只需证明 DBAC ，
32、BD AE ，即可得 BD平面 ACFE；（ II）取 EF 的中点为 M，以 O 为坐标原点，以 OA 为 x 轴，以 OB 为 y 轴，以 OM为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 ，D（0， ，0） ，F（1，0，h） ，E（1，0，2） ，则 ， ，利用向量法求解【解答】 （ I）证明：在菱形 ABCD 中，可得 DBAC ，又因为 AE平面 ABCD，BDAE，且 AEACA，BD平面 ACFE；（ II）解：取 EF 的中点为 M，以 O 为坐标原点，以 OA 为 x 轴，以 OB 为 y 轴，以OM 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 ，D（0， ，0） ，F（1，0，h） ，E（
33、1，0，2） ，则， ，设平面 BDE 的法向量 ，由 ，可取第 20 页（共 25 页），|cos | ，h3，故 F（1，0，3） ， ， ，设平面 BFE 的法向量为 ，由 ，可取 ，设平面 DFE 的法向量为 ，由 ，可取 ，cos ，二面角 BEF D 的余弦值为 【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题20 （12 分）已知椭圆 与椭圆 有相同的离心率，且经过点 P（2，1） （ I）求椭圆 C1 的标准方程；（ II）设点 Q 为椭圆 C2 的下顶点，过点 P 作两条直线分别交椭圆 C1 于 A、B 两点，若直线 PQ 平分APB，求证：直线 AB 的斜率
34、为定值，并且求出这个定值【分析】 （ I）求出离心率，结合椭圆经过的点，列出方程组求解 a，b，即可求椭圆 C1第 21 页（共 25 页）的标准方程；（ II）由直线 PQ 平分APB 和 Q（0，1） ，P（2，1）k PQ.0k PA+kPB0，而由直线 AB：ykx+ m 与椭圆联立，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，结合韦达定理转化求解即可【解答】解：（ I）椭圆 与椭圆 有相同的离心率，可得 e ，椭圆 经过点 P（2，1） 可得： ，解得a28，b 22椭圆 ；（ II）由直线 PQ 平分APB 和 Q（0，1） ，P（2，1）k PQ0k PA+kPB0，而由
35、直线 AB：y kx+ m 与 ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ，由恒成立直线 AB 的斜率为定值 第 22 页（共 25 页）【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，椭圆求法求法求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值问题的求法，考查转化思想以及计算能力21 （12 分）已知函数 ，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 （其中 e2.71828是自然对数的底数） （ I）求实数 a、b 的值；（ II）求证：f （x ）1【分析】 （）求出 b 的值，求出函数的导数，根据 f（1）ae，求出 a 的值即可；（）问题转化为证明 在（0，1）上恒成立，根据函
36、数的单调性证明即可【解答】解：（ I）；（ II）要证明 f（x ）1，即证明 xlnx+5e2 xe x ，而函数 yxlnx 在 上单减，在 上单增，同时函数 在（0，1）上单增，在（1，）上单减（此处证明略） ，因此只须证明 在（0，1）上恒成立首先证明 ，因第 23 页（共 25 页） ；然后证明 ，因 h'（x）在（0，1）上单减，且 在 上单增，在 上单减， 综上可知，f（x ）1 成立【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22
37、（10 分）已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为（ I）写出曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程；（ II）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求OAB 的面积【分析】 （I）曲线 C 的参数方程消去参数 ，求出曲线 C 的标准方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程；由直线 l 的极坐标方程，能求出直线 l 的直角坐标方程（II）圆 C 的圆心 C（1，1）到直线 l：x+y10 的距离为 d ，从而求出| AB|，再求出 O（0，0）到直线 l：x+y10 的距离 h，由此能求出OAB
38、 的面积【解答】解：（I）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，消去参数 ，得曲线 C 的标准方程为（x1） 2+（y+1） 22，即 x2+y22x+2y0，曲线 C 的极坐标方程式为 2cos2sin ，即 ，直线 l 的极坐标方程 直线 l 的直角坐标方程为 x+y10（II）圆 C 的圆心 C（1，1）到直线 l：x+y10 的距离为：第 24 页（共 25 页）d ，|AB| 2 ，O（0，0）到直线 l：x+y 10 的距离 h ，OAB 的面积 SOAB 【点评】本题考查考查直线方程的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化、点到直线的距离公式、弦长公式等基础知识，考
39、查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +5| x1|（x R） （ I）解关于 x 的不等式 f（x ）x；（ II）证明：记函数 f（x）的最大值为 k，若 lga+lg（2b）lg（a+4b+k） ，试求 ab 的最小值【分析】 （）通过讨论 x 的范围，求出各个区间上的 x 的范围，取并集即可；（）求出 k 的值，结合已知得到 ab2 30，解出即可【解答】解：（I）由 x5 和（x+5）+（x1）x6x 5由5x1 和（x +5）+ （x1）x 5x 4，由 x1 和（x+5）（x 1） xx6，因此x| 6x 4 或 x6；（II）由 f（x）|x+5|x1|x +5x +1|6，故 k6，由 lga+lg（2b）lg（a+4 b+k） ，得 2aba+4b+6，得 2ab4 +6，故 ab2 30，即（ 3） （ +1）0，解得： 3，故 ab9【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题
