小五数学第21讲:综合复习二(教师版)-黄庄张志焱
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1、第二十一讲综合复习二1.975935972口,要使这个连乘积的最后 4 个数字都是 0,那么在方框内最小应填什么数?【分析与解】975 含有 2 个质因数 5,935 含有 1 个质因数 5,972 含有 2 个质因数2而 975935972口的乘积最后 4 个数都是 0那么,至少需要 4 个质因数 5,4 个质因数 2所以,口至少含有 1 个质因数 5,2 个质因数 2,即最小为 522=202.如果两数的和是 64,两数的积可以整除 4875,那么这两个数的差等于多少?【分析与解】4875=355513,有 ab 为 4875 的约数,且这两个数的和为 64发现 39=313、25=55
2、这两个数的和为 64,所以 39、25 为满足题意的两个数那么它们的差为 39-25=14评注:由上题可推知,当两个数的和一定时,这两个数越接近,积越大,所以两个和为 64 的数的乘积最大为 3232=1024,而积最小为 163=63而 4875 在 641024 之间的约数有 65,195,325,375,975 等我们再对 65,195,325,375,975 等一一验证严格的逐步计算,才不会漏掉满足题意的其他的解而在本题中满足题意的只有 39、25 这组数3.用 11,22,33 的小正方形拼成一个 1111 的大正方形,最少要用 11 的正方形多少个?分析与解:用 3 个 22 正方
3、形和 2 个 33 正方形可以拼成 1 个56 的长方形(见左下图)。用 4 个 56 的长方形和 1 个 11 的正方形可以拼成 1 个 1111 的大正形(见右下图)。上面说明用 1 个 11 的正方形和若干 22,33 的正方形可以拼成 1111 的大正方形。那么,不用 11 的正方形,只用 22,33的正方形可以拼成 1111 的正方形吗?将 1111 的方格网每隔两行染黑一行(见下页右上图)。将 22或 33 的正方形沿格线放置在任何位置,都将覆盖住偶数个白格,所以无论放置多少个 22 或 33 的正方形,覆盖住的白格数量总是偶数个。但是,右图中的白格有 117=77(个),是奇数,
4、矛盾。由此得到,不用 11 的正方形不可能拼成 1111 的正方形。综上所述,要拼成 1111 的正方形,至少要用 1 个 11 的小正方形。4.由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天,或可供 15 头牛吃6 天。照此计算,可供多少头牛吃 10 天?分析与解:与例 1 不同的是,不仅没有新长出的草,而且原有的草还在减少。但是,我们同样可以利用例 1 的方法,求出每天减少的草量和原有的草量。设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份。20 头牛 5 天吃 100 份,15 头牛 6 天吃90 份,100-90=10(份),说明寒冷
5、使牧场 1 天减少青草 10 份,也就是说,寒冷相当于 10 头牛在吃草。由“草地上的草可供 20 头牛吃 5 天”,再加上“寒冷”代表的 10 头牛同时在吃草,所以牧场原有草(2010)5150(份)。由 1501015 知,牧场原有草可供 15 头牛吃 10 天,寒冷占去10 头牛,所以,可供 5 头牛吃 10 天。5.某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失,同时开 4 个检票口需 30 分钟,同时开 5 个检票口需 20 分钟。如果同时打开 7 个检票口,那么需多少分钟?分析与解:等候检票的旅客人数在变化,“旅客”相当于“草”,“检票口
6、”相当于“牛”,可以用牛吃草问题的解法求解。旅客总数由两部分组成:一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客,另一部分是开始检票后新来的旅客。设 1 个检票口 1 分钟检票的人数为 1 份。因为 4 个检票口 30 分钟通过(430)份,5 个检票口 20 分钟通过(520)份,说明在(30-20)分钟内新来旅客(430-520)份,所以每分钟新来旅客(430-520)(30-20)=2(份)。假设让 2 个检票口专门通过新来的旅客,两相抵消,其余的检票口通过原来的旅客,可以求出原有旅客为(4-2)30=60(份)或(5-2)20=60(份)。同时打开 7 个检票口时,让 2 个检票口专门通过新来
7、的旅客,其余的检票口通过原来的旅客,需要60(7-2)=12(分)。6.有三块草地,面积分别为 5,6 和 8 公顷。草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草地可供 11 头牛吃 10 天,第二块草地可供 12 头牛吃14 天。问:第三块草地可供 19 头牛吃多少天?分析与解:例 1 是在同一块草地上,现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题,只需将三块草地的面积统一起来。5,6,8120。因为 5 公顷草地可供 11 头牛吃 10 天, 120524,所以 120 公顷草地可供 1124264(头)牛吃 10 天。因为 6 公顷草地可供 12 头牛吃 14 天,120620,所以 120
8、 公顷草地可供 1220240(头)牛吃 14 天。120815,问题变为: 120 公顷草地可供 1915285(头)牛吃几天?因为草地面积相同,可忽略具体公顷数,所以原题可变为:“一块匀速生长的草地,可供 264 头牛吃 10 天,或供 240 头牛吃14 天,那么可供 285 头牛吃几天?”这与例 1 完全一样。设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份。每天新长出的草有(2401426410)(1410)180(份)。草地原有草(264180)10840(份)。可供 285 头牛吃840(285180)8(天)。所以,第三块草地可供 19 头牛吃 8 天。A7.1 至 9 这 9 个数字,按
9、图 4-1 所示的次序排成一个圆圈请你在某两个数字之间剪开,分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如,在 l 和 7 之间剪开,得到两个数是193426857 和 758624391)如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除,那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?【分析与解】 在解这道题之前我们先看一个规律:的差一定是nn位 原 序 数 与 位 反 序 数 9n的 倍 数 为 奇 数 时的 倍 数 为 偶 数 时(如:12365 为原序数,那么它对应的反序数为 56321,它们的差 43956 是 99 的倍数对于上面的规律想想为什么?)那么互为反序的两个九位数的差,一定能被
10、99 整除而 396=994,所以我们只用考察它能否能被 4 整除于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被 4 整除,显然只有当剪开处两个数的奇偶性相同时才有可能注意图中的具体数字,有(3,4)处、(8,5)处的两个数字奇偶性均不相同,所以一定不满足而剩下的几个位置奇偶性相同,有可能满足进一步验证,有(9,3)处剪开的末两位数字之差为 43-19=24,(4,2),(2,6),(6,8),(5,7),(7,1),(1,9)处剪开的末两位数字之差为 62-3=2886-42=44,58-26=32,85-17=68,91-57=34,71-39=32所以从(9,3),(4,2),(2,6
11、),(6,8),(5,7),(1,9)处剪开,所得的两个互为反序的九位数的差才是 396 的倍数(9,3),(4,2),(2,6),(6,8),(5,7),(1,9)处左右两个数的乘积为27,8,12,48,35,98.已知两个数的和被 5 除余 1,它们的积是 2924,那么它们的差等于多少?【分析与解】2924=221743=AB,且有 A+B 被 5 除余 l,则和的个位为 1 或 6有 417+43=68+43=11l,也就是说 68、43 为满足题意的两个数它们的差为 68-43=259.要不重叠地刚好覆盖住一个正方形,最少要用多少个右图所示的图形?分析与解:因为图形由 3 个小方格
12、构成,所以要拼成的正方形内所含的小方格数应是 3 的倍数,从而正方形的边长应是 3 的倍数。经试验,不可能拼成边长为 3 的正方形。所以拼成的正方形的边长最少是 6(见右图),需要用题目所示的图形363= 12(个)。10.学校去年春季植树 500 棵,成活率为 85,去年秋季植树的成活率为 90。已知去年春季比秋季多死了 20 棵树,那么去年学校共种活了多少棵树?分析与解:去年春季种的树活了 50085=425(棵),死了 500-425=75(棵)。去年秋季种的树,死了 75-20=55(棵),活了 55(1-90)90=495(棵)。所以,去年学校共种活425+495=920(棵)。11
13、.牧场上一片青草,每天牧草都匀速生长。这片牧草可供 10 头牛吃 20天,或者可供 15 头牛吃 10 天。问:可供 25 头牛吃几天?分析与解:这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化,我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的,新长出的草虽然在变化,因为是匀速生长,所以这片草地每天新长出的草的数量相同,即每天新长出的草是不变的。下面,就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。设 1 头牛一天吃的草为 1 份。那么,10 头牛 20 天吃 200 份,草被吃完;15 头牛 10 天吃 150 份,草也被吃完
14、。前者的总草量是 200 份,后者的总草量是 150 份,前者是原有的草加 20 天新长出的草,后者是原有的草加 10 天新长出的草。20015050(份),201010(天),说明牧场 10 天长草 50 份,1 天长草 5 份。也就是说,5 头牛专吃新长出来的草刚好吃完,5 头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出,牧场上原有草(l05) 20100(份)或(155)10100(份)。现在已经知道原有草 100 份,每天新长出草 5 份。当有 25 头牛时,其中的 5 头专吃新长出来的草,剩下的 20 头吃原有的草,吃完需100205(天)。所以,这片草地可供 25 头牛吃 5 天。
15、在例 1 的解法中要注意三点:(1)每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。(2)在已知的两种情况中,任选一种,假定其中几头牛专吃新长出的草,由剩下的牛吃原有的草,根据吃的天数可以计算出原有的草量。(3)在所求的问题中,让几头牛专吃新长出的草,其余的牛吃原有的草,根据原有的草量可以计算出能吃几天。B12.有 15 位同学,每位同学都有编号,他们是 l 号到 15 号1 号同学写了一个自然数,2号说:“这个数能被 2 整除”,3 号说:“这个数能被 3 整除”,依次下去,每位同学都说,这个数能被他的编号数整除1 号作了一一验证:只有编号连续的两位同学说得
16、不对,其余同学都对问:(1)说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1 号写的数是五位数,请求出这个数【分析与解】 (1)列出这 14 个除数:2、3、4、5 、6、7、 8、9 、 10、11 、12 、 13 、 14 、 15.注意到如果这个数不能被 2 整除,那么一定不能被 4、6、8、10等整除,显然超过两个自然数;类。似这种情况的还有 36、9;48、12;510、15;612;若不能被 7 整除,那么一定不能被 14 整除,而这两个自然数不连续;若不能被 12 整除,那么 4 和 3 中至少有一个不能整除 1 号所说的自然数,而 12 与3、4 均不连
17、续;类似这种情况的还有 10(对应 2 和 5);14(对应 2 和 7);15(对应 3 和 5);这样只剩下 8、9、11、13,而连续的只有 8、9所以说的不对的两位同学的编号为 8、9 这两个连续的自然数(2)由(1)知,这个五位数能被 2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15 整除所以2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15= 3571113=600602所以 1 号写出的五位数为 6006013在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶),或者是不超过10 的自然数甲、乙两名运动员各射了 5 箭,每人 5 箭得到的环数的积都是1764,但
18、是甲的总环数比乙少 4 环求甲、乙的总环数各是多少?【分析与解】 1764=223377,1764 对应为 5 个小于 10 的自然数乘积只能是 1764=43377=26377=22977=16677=14977对应的和依次为4+3+3+7+7=24,2+6+3+7+7=25,2+2+9+7+7=27,1+6+6+7+7=27,l+4+9+7+7=28对应的和中只有 24,28 相差 4,所以甲的 5 箭环数为 4、3、3、7、7,乙的 5 箭环数为 1、4、9、7、7所以甲的总环数为 24,乙的总环数为 2814.下图的七种图形都是由 4 个相同的小方格组成的。现在要用这些图形拼成一个 4
19、7 的长方形(可以重复使用某些图形),那么,最多可以用上几种不同的图形?分析与解:先从简单的情形开始考虑。显然,只用 1 种图形是可以的,例如用 7 个(7);用 2 种图形也没问题,例如用 1 个(7),6 个(1)。经试验,用 6 种图形也可以拼成 47 的长方形(见下图)。能否将 7 种图形都用上呢?7 个图形共有 47=28(个)小方格,从小方格的数量看,如果每种图形用 1 个,那么有可能拼成 47 的长方形。但事实上却拼不成。为了说明,我们将 47 的长方形黑、白相间染色(见右图),图中黑、白格各有 14 个。在 7 种图形中,除第(2)种外,每种图形都覆盖黑、白格各 2 个,共覆盖
20、黑、白格各 12 个,还剩下黑、白格各 2 个。第(2)种图形只能覆盖 3 个黑格 1 个白格或 3 个白格 1 个黑格,因此不可能覆盖住另 6 种图形覆盖后剩下的 2 个黑格 2 个白格。综上所述,要拼成 47 的长方形,最多能用上 6 种图形。15.育红小学四年级学生比三年级学生多 25,五年级学生比四年级学生少 10,六年级学生比五年级学生多 10。如果六年级学生比三年级学生多 38 人,那么三至六年级共有多少名学生?分析:以三年级学生人数为标准量,则四年级是三年级的 125,五年级是三年级的 125(1-10),六年级是三年级的 125(1-10)(1+10)。因为已知六年级比三年级多
21、 38 人,所以可根据六年级的人数列方程。解:设三年级有 x 名学生,根据六年级的人数可列方程:x125(1-10)(1+10)=x+38,x12590110=x+38,1.2375x=x+38,0.2375x=38,x=160。三年级有 160 名学生。四年级有学生 160125=200(名)。五年级有学生 200(1-10)180(名)。六年级有学生 160+38=198(名)。160+200+180+198=738(名)。答:三至六年级共有学生 738 名。16.一条环形道路,周长为 2 千米甲、乙、丙 3 人从同一点同时出发,每人环行 2 周现有自行车 2 辆,乙和丙骑自行车出发,甲步
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