1、第二十一讲综合复习二1.975935972口，要使这个连乘积的最后 4 个数字都是 0，那么在方框内最小应填什么数?【分析与解】975 含有 2 个质因数 5，935 含有 1 个质因数 5，972 含有 2 个质因数2而 975935972口的乘积最后 4 个数都是 0那么，至少需要 4 个质因数 5，4 个质因数 2所以，口至少含有 1 个质因数 5，2 个质因数 2，即最小为 522=202.如果两数的和是 64，两数的积可以整除 4875，那么这两个数的差等于多少?【分析与解】4875=355513，有 ab 为 4875 的约数，且这两个数的和为 64发现 39=313、25=55
2、这两个数的和为 64，所以 39、25 为满足题意的两个数那么它们的差为 39-25=14评注：由上题可推知，当两个数的和一定时，这两个数越接近，积越大，所以两个和为 64 的数的乘积最大为 3232=1024，而积最小为 163=63而 4875 在 641024 之间的约数有 65，195，325，375，975 等我们再对 65，195，325，375，975 等一一验证严格的逐步计算，才不会漏掉满足题意的其他的解而在本题中满足题意的只有 39、25 这组数3.用 11，22，33 的小正方形拼成一个 1111 的大正方形，最少要用 11 的正方形多少个？分析与解：用 3 个 22 正方
3、形和 2 个 33 正方形可以拼成 1 个56 的长方形（见左下图）。用 4 个 56 的长方形和 1 个 11 的正方形可以拼成 1 个 1111 的大正形（见右下图）。上面说明用 1 个 11 的正方形和若干 22，33 的正方形可以拼成 1111 的大正方形。那么，不用 11 的正方形，只用 22，33的正方形可以拼成 1111 的正方形吗？将 1111 的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上图）。将 22或 33 的正方形沿格线放置在任何位置，都将覆盖住偶数个白格，所以无论放置多少个 22 或 33 的正方形，覆盖住的白格数量总是偶数个。但是，右图中的白格有 117=77（个），是奇数，
4、矛盾。由此得到，不用 11 的正方形不可能拼成 1111 的正方形。综上所述，要拼成 1111 的正方形，至少要用 1 个 11 的小正方形。4.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃6 天。照此计算，可供多少头牛吃 10 天？分析与解：与例 1 不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例 1 的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份。20 头牛 5 天吃 100 份，15 头牛 6 天吃90 份，100-90=10（份），说明寒冷
5、使牧场 1 天减少青草 10 份，也就是说，寒冷相当于 10 头牛在吃草。由“草地上的草可供 20 头牛吃 5 天”，再加上“寒冷”代表的 10 头牛同时在吃草，所以牧场原有草（2010）5150（份）。由 1501015 知，牧场原有草可供 15 头牛吃 10 天，寒冷占去10 头牛，所以，可供 5 头牛吃 10 天。5.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30 分钟，同时开 5 个检票口需 20 分钟。如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟？分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口
6、”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。设 1 个检票口 1 分钟检票的人数为 1 份。因为 4 个检票口 30 分钟通过（430）份，5 个检票口 20 分钟通过（520）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（430-520）份，所以每分钟新来旅客（430-520）（30-20）=2（份）。假设让 2 个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为（4-2）30=60（份）或（5-2）20=60（份）。同时打开 7 个检票口时，让 2 个检票口专门通过新来
7、的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要60（7-2）=12（分）。6.有三块草地，面积分别为 5，6 和 8 公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃14 天。问：第三块草地可供 19 头牛吃多少天？分析与解：例 1 是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。5，6，8120。因为 5 公顷草地可供 11 头牛吃 10 天， 120524，所以 120 公顷草地可供 1124264（头）牛吃 10 天。因为 6 公顷草地可供 12 头牛吃 14 天，120620，所以 120
8、 公顷草地可供 1220240（头）牛吃 14 天。120815，问题变为： 120 公顷草地可供 1915285（头）牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：“一块匀速生长的草地，可供 264 头牛吃 10 天，或供 240 头牛吃14 天，那么可供 285 头牛吃几天？”这与例 1 完全一样。设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份。每天新长出的草有（2401426410）（1410）180（份）。草地原有草（264180）10840（份）。可供 285 头牛吃840（285180）8（天）。所以，第三块草地可供 19 头牛吃 8 天。A7.1 至 9 这 9 个数字，按
9、图 4-1 所示的次序排成一个圆圈请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在 l 和 7 之间剪开，得到两个数是193426857 和 758624391)如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?【分析与解】 在解这道题之前我们先看一个规律：的差一定是nn位 原 序 数 与 位 反 序 数 9n的 倍 数 为 奇 数 时的 倍 数 为 偶 数 时(如：12365 为原序数，那么它对应的反序数为 56321，它们的差 43956 是 99 的倍数对于上面的规律想想为什么?)那么互为反序的两个九位数的差，一定能被
10、99 整除而 396=994，所以我们只用考察它能否能被 4 整除于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被 4 整除，显然只有当剪开处两个数的奇偶性相同时才有可能注意图中的具体数字，有(3，4)处、(8，5)处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足进一步验证，有(9，3)处剪开的末两位数字之差为 43-19=24，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(7，1)，(1，9)处剪开的末两位数字之差为 62-3=2886-42=44，58-26=32，85-17=68，91-57=34，71-39=32所以从(9，3)，(4，2)，(2，6
11、)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是 396 的倍数(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处左右两个数的乘积为27，8，12，48，35，98.已知两个数的和被 5 除余 1，它们的积是 2924，那么它们的差等于多少?【分析与解】2924=221743=AB，且有 A+B 被 5 除余 l，则和的个位为 1 或 6有 417+43=68+43=11l，也就是说 68、43 为满足题意的两个数它们的差为 68-43=259.要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？分析与解：因为图形由 3 个小方格
12、构成，所以要拼成的正方形内所含的小方格数应是 3 的倍数，从而正方形的边长应是 3 的倍数。经试验，不可能拼成边长为 3 的正方形。所以拼成的正方形的边长最少是 6（见右图），需要用题目所示的图形363= 12（个）。10.学校去年春季植树 500 棵，成活率为 85，去年秋季植树的成活率为 90。已知去年春季比秋季多死了 20 棵树，那么去年学校共种活了多少棵树？分析与解：去年春季种的树活了 50085=425（棵），死了 500-425=75（棵）。去年秋季种的树，死了 75-20=55（棵），活了 55（1-90）90=495（棵）。所以，去年学校共种活425+495=920（棵）。11
13、.牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供 10 头牛吃 20天，或者可供 15 头牛吃 10 天。问：可供 25 头牛吃几天？分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。设 1 头牛一天吃的草为 1 份。那么，10 头牛 20 天吃 200 份，草被吃完；15 头牛 10 天吃 150 份，草也被吃完
14、。前者的总草量是 200 份，后者的总草量是 150 份，前者是原有的草加 20 天新长出的草，后者是原有的草加 10 天新长出的草。20015050（份），201010（天），说明牧场 10 天长草 50 份，1 天长草 5 份。也就是说，5 头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5 头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草（l05） 20100（份）或（155）10100（份）。现在已经知道原有草 100 份，每天新长出草 5 份。当有 25 头牛时，其中的 5 头专吃新长出来的草，剩下的 20 头吃原有的草，吃完需100205（天）。所以，这片草地可供 25 头牛吃 5 天。
15、在例 1 的解法中要注意三点：（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。B12.有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 l 号到 15 号1 号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被 2 整除”，3 号说：“这个数能被 3 整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除1 号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得
16、不对，其余同学都对问：(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你，1 号写的数是五位数，请求出这个数【分析与解】 (1)列出这 14 个除数：2、3、4、5 、6、7、 8、9 、 10、11 、12 、 13 、 14 、 15.注意到如果这个数不能被 2 整除，那么一定不能被 4、6、8、10等整除，显然超过两个自然数；类。似这种情况的还有 36、9；48、12；510、15；612；若不能被 7 整除，那么一定不能被 14 整除，而这两个自然数不连续；若不能被 12 整除，那么 4 和 3 中至少有一个不能整除 1 号所说的自然数，而 12 与3、4 均不连
17、续；类似这种情况的还有 10(对应 2 和 5)；14(对应 2 和 7)；15(对应 3 和 5)；这样只剩下 8、9、11、13，而连续的只有 8、9所以说的不对的两位同学的编号为 8、9 这两个连续的自然数(2)由(1)知，这个五位数能被 2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15 整除所以2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15= 3571113=600602所以 1 号写出的五位数为 6006013在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10 的自然数甲、乙两名运动员各射了 5 箭，每人 5 箭得到的环数的积都是1764，但
18、是甲的总环数比乙少 4 环求甲、乙的总环数各是多少?【分析与解】 1764=223377，1764 对应为 5 个小于 10 的自然数乘积只能是 1764=43377=26377=22977=16677=14977对应的和依次为4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28对应的和中只有 24，28 相差 4，所以甲的 5 箭环数为 4、3、3、7、7，乙的 5 箭环数为 1、4、9、7、7所以甲的总环数为 24，乙的总环数为 2814.下图的七种图形都是由 4 个相同的小方格组成的。现在要用这些图形拼成一个 4
19、7 的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？分析与解：先从简单的情形开始考虑。显然，只用 1 种图形是可以的，例如用 7 个（7）；用 2 种图形也没问题，例如用 1 个（7），6 个（1）。经试验，用 6 种图形也可以拼成 47 的长方形（见下图）。能否将 7 种图形都用上呢？7 个图形共有 47=28（个）小方格，从小方格的数量看，如果每种图形用 1 个，那么有可能拼成 47 的长方形。但事实上却拼不成。为了说明，我们将 47 的长方形黑、白相间染色（见右图），图中黑、白格各有 14 个。在 7 种图形中，除第（2）种外，每种图形都覆盖黑、白格各 2 个，共覆盖
20、黑、白格各 12 个，还剩下黑、白格各 2 个。第（2）种图形只能覆盖 3 个黑格 1 个白格或 3 个白格 1 个黑格，因此不可能覆盖住另 6 种图形覆盖后剩下的 2 个黑格 2 个白格。综上所述，要拼成 47 的长方形，最多能用上 6 种图形。15.育红小学四年级学生比三年级学生多 25，五年级学生比四年级学生少 10，六年级学生比五年级学生多 10。如果六年级学生比三年级学生多 38 人，那么三至六年级共有多少名学生？分析：以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的 125，五年级是三年级的 125（1-10），六年级是三年级的 125（1-10）（1+10）。因为已知六年级比三年级多
21、 38 人，所以可根据六年级的人数列方程。解：设三年级有 x 名学生，根据六年级的人数可列方程：x125（1-10）（1+10）=x+38，x12590110=x+38，1.2375x=x+38，0.2375x=38，x=160。三年级有 160 名学生。四年级有学生 160125=200（名）。五年级有学生 200（1-10）180（名）。六年级有学生 160+38=198（名）。160+200+180+198=738（名）。答：三至六年级共有学生 738 名。16.一条环形道路，周长为 2 千米甲、乙、丙 3 人从同一点同时出发，每人环行 2 周现有自行车 2 辆，乙和丙骑自行车出发，甲步
22、行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑已知甲步行的速度是每小时 5 千米，乙和丙步行的速度是每小时 4 千米，3 人骑车的速度都是每小时 20 千米请你设计一种走法，使 3 个人 2 辆车同时到达终点那么环行 2 周最少要用多少分钟?【分析与解】 如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间 ；乙、丙情况类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单10位“1”路程，耽搁的时间比为： 1:3:4520而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即为 4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离
23、比为4:3:3因为有 3 人，2 辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长于是，甲步行的距离为 2 43=0.8 千米；则骑车的距离为 22-0.8=3.2 千米；所以甲需要时间为( )60=19.2 分钟0.825环形两周的最短时间为 19.2 分钟参考方案如下：甲先步行 0.8 千米，再骑车 3.2 千米；乙先骑车 2.8 千米，再步行 0.6 千米，再骑车 0.6 千米(丙留下的自行车) ；丙先骑车 3.4 千米，再步行 0.6 千米C17.找出 4 个不同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除如果要求这 4 个数中最大的数与最小的数
24、的和尽可能的小，那么这 4 个数里中间两个数的和是多少?【分析与解】 我们设这四个数中最小的一个数为 a，要求 4 个最大的数与最小的数的和尽可能小，则先尽量让 a 最小当 a=1，设 4 个数中另外三个数中某个数为 b，有 等必须为整数，而 =1+1b1，则 2 能被(b-1)整除，显然(b-1)只能为 2 或 1，对应 b 只能是 3 或 2，但是题中要b1求 a 至少能与三个数存在差能被和整除的关系，所以不满足当 a=2，设 4 个数中另外三个数中某个数为 c，有 必须为整数，而 =l+ ，+-2c+-24则 4 能被(c-2)整除，有(c-2)可以为 4、2、1，对应 c 可以为 6、
25、4 或 3验证 6、4、3、2 是满足条件的数组，它们的中间两个数的和为 4+3=7 即为题中条件下的和试求 6 个不同的正整数，使得它们中任意两数之积可被这两个数之和整除【试题分析】取六个数 1，2，3，4，5，6，并把它们两两相加得到 15 个和：1+2，l+3，5+6这 15 个和的最小公倍数是： 5711=2772032把它依次乘所取的六个数得：27720，55440，83160，110880，138600 及 166320.这六个数就满足题目的要求18.一个长方体的长、宽、高是连续的 3 个自然数，它的体积是 39270 立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?【分析与解】方
26、法一：39270=23571117，为三个连续自然数的乘积，而 343434 即 最接近 39270，39270 的约数中接近或等于 34 的有3435、34、33，有 333435=39270所以 33、34、35 为满足题意的长、宽、高则长方体的表面积为：2(长宽+宽高+高长)=2(3334+3435+3533)=6934(平方厘米)方法二：39270=23571117，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数 17，如果 17 作为长、宽或高显然不满足当 17 与 2 结合即 34 作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数 7，与 34 接近的数 3236 中，只有 35 含有 7，于
27、是 7 与 5 的乘积作为长方体的一条边的长度而 39270 的质因数中只剩下了 3 和 1l，所以这个长方体的大小为333435长方体的表面积为 2( + + )=2(1190+1155+1122)9270492705=23467=6934(平方厘米)19.有许多边长为 1 厘米、2 厘米、3 厘米的正方形硬纸片。用这些硬纸片拼成一个长 5 厘米、宽 3 厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）解：有一个边长 3 厘米纸片有如下 3 种拼法：有两个边长 2 厘米纸片的有如下 4 种拼法：有一个边长 2 厘米及 11 个边长 1 厘米纸片的有
28、 2 种拼法，边长全是1 厘米纸片的有 1 种拼法。共有不同的拼法 342+1=10（种）。答：共有 10 种不同的拼法。20.已知猫跑 5 步的路程与狗跑 3 步的路程相同；猫跑 7 步的路程与兔跑 5 步的路程相同而猫跑 3 步的时间与狗跑 5 步的时间相同；猫跑 5 步的时间与兔跑 7 步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为 300 米的圆形跑道，同时同向同地出发问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程?【分析与解】 方法一：由题意，猫与狗的速度之比为 9:25，猫与兔的速度之比为25:49设单位时间内猫跑 1 米，则狗跑 259米，兔跑 4米狗追上猫一圈需 300( -1)= 单位时间，
29、67兔追上猫一圈需 300( -1)= 单位时间 425猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是 的整数倍，又是 的整数倍.54625与 的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大67542公约数,即 =8437.5 675,21875,4上式表明，经过 8437.5 个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇此时，猫跑了 8437.5 米，狗跑了8437.5 =23437.5 米，兔跑了 8437.5 =165375 米259492方法二：有猫跑 35 步的路程与狗跑 21 步的路程，兔跑 25 步的路程相；而猫跑 15 步的时间与狗跑 25 步的时间，兔跑 21 步的时间相同所以猫、狗、兔的
30、速度比为 ，它们的最大公约数为15:3.,2152,37即设猫的速度为 ，那么狗的速度为1525325162537，则兔的速度为 2417于是狗每跑 300(625-225)= 单位时追上猫；兔每跑 300(441-225)= 单位时追上猫518而 3,257,418，所以猫、狗、兔跑了 752单位时，三者相遇有猫跑了 225=8437.5 米，狗跑了 625=23437.5 米，兔跑了 441=16537.5752米评注：方法一、方法二中的相遇时间一个是 8437.5 单位，一个是 单位，可是答案却是一样的，为什么呢?在方法二中，如果按下面解答会得到不同答案，又是为什么?哪个方法有问题呢?自
31、己试着解决，并在今后的学习中避免这种错误于是狗每跑 300(625-225) 625= 米追上猫；18754兔每跑 300(441-225)441= 米追上猫；2而 ，1875,18752,4421.甲乙两包糖的重量比是 4：l，如果从甲包取出 10 克放入乙包后，甲乙两包糖的重量比变为 7：5那么两包糖重量的总和是多少克?【分析与解】两包糖数量的总数是 41321004675克.22如图 4-2，依次排列的 5 个数是 13，12，15，25，20它们每相邻的两个数相乘得 4个数这 4 个数每相邻的两个数相乘得 3 个数这 3 个数每相邻的两个数相乘得 2 个数这 2 个数相乘得 1 个数请
32、问：最后这个数从个位起向左数可以连续地数出几个零?【分析与解】 如下图，我们在图中标出每个数含有质因数 2、5 的个数，除第一行外，每个数都是上一行左、右上方两数的乘积，所以每个数含有质因数 2、5 的个数也都是上一行左、右上方两数含有质因数 2、5 个数的和所以，最后一行的一个数含有 10 个质因数 2，15 个质因数 5而一个数末尾含有连续 0 的个数决定于质因数 2、5 个数的最小值，所以最后一行的一个数末尾含有 10 个连续的 023.一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是 1998 立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?【分析与解】 我们知道任意个已确定个数
33、的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小如 3 个数的积为 18，则三个数为 2、3、3 时和最小，为 81998=233337，37 是质数，不能再分解，所以 2333 对应的两个数应越接近越好有 2333=69 时，即 1998=6937 时，这三个自然数最接近它们的和为 6+9+37=52(厘米)分析与解：在五年级学习“奇偶性”时已经讲过类似问题。左上图共有 34 个小方格，17 个 12 的卡片也有 34 个小方格，好象能覆盖住。我们将左上图黑白相间染色，得到右上图。细心观察会发现，右上图中黑格有 16 个，白格有 18 个，而 12 的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格，所以 17
34、个 12 的卡片应当盖住黑、白格各 17 个，不可能盖住左上图。25.甲、乙、丙 3 名搬运工同时分别在 3 个条件和工作量完全相同的仓库工作，搬完货物甲用 10 小时，乙用 12 小时，丙用 15 小时第二天 3 人又到两个较大的仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同甲在 A 仓库，乙在 B 仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了 16 小时后同时搬运完毕问丙在 A 仓库做了多长时间?【分析与解】 设第一天的每个仓库的工作量为“1”，那么甲、乙、丙的合作工作效率为 = ，第二天，甲、乙、丙始终在102514同时工作，所以第二天两个仓库的工作总量为 16=4，即第二天的每个仓库的工作总量为 42=2于
35、是甲工作了 16 小时只完成了 16 = 的工程量，剩下的 2- = 的工程量由丙帮助1085852完成，则丙需工作 25 =6(小时).丙在 A 仓库做了 6 小时26.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走 15 级梯级，结果男孩用了5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？分析：与例 3 比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩 5 分钟走了
36、205 100（级），女孩 6分钟走了 15690（级），女孩比男孩少走了 1009010（级），多用了 651（分），说明电梯 1 分钟走 10 级。由男孩 5 分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（2010）5150（级）。解：自动扶梯每分钟走（205156）（65）10（级），自动扶梯共有（2010）5150（级）。答：扶梯共有 150 级。27.把若干个自然数 1，2，3，乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少?【分析与解】 方法一：要求乘积的末十三位均是 0，那么这个乘积至少含有 13 个质因数 2，13
37、个质因数 5连续的自然数中 2 的倍数的个数远大于 5 的倍数的个数所以只用考虑质因数 5 的个数，有：135=65，而 165 中，25、50 均含有 2 个质因数 5所以只需连乘到(13-2)5=55 即可也就是说 123的积的末十三位均是 0，那么最后出现的自然数最小应是 55方法二：我们分段考虑质因数 5 的出现的情况：在 1 至 9 中，有 5 本身，出现 1 次因数 5；在 10 至 19 中，有 10、15，出现 2 次因数 5；在 20 至 29 中，有 20、25，由于 25=55，5 出现了 2 次，所以共出现 3 次因数 5；在 30 至 39、40 至 49 中，各出现
38、 2 次 5 的因子，至此共出现了 l+2+3+2+2=10 次 5 的因子在 50 至 59 中，有 50、55、50=255 出现了两次 5 的次因子，所以这里共有 3 个 5的因子所以到 55 为止，共出现 13 次 5 的因子，55 为出现的最小自然数，使得 2 乘到它的结果中末尾有 13 个 028.在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?【分析与解】 如下图，设长、宽、高依次为 a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209ac+ab=a(c+b)=209，而 209=1119当 a=11 时，c+b=19，
39、当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数 2，则 c+b=2+17;当 a=19 时，c+b=11，则 c+b=2+9，b 为 9 不是质数，所以不满足题意所以它们的乘积为 11217=37429.用七个 12 的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？分析与解：盲目无章的试验，很难搞清楚。我们采用分类讨论的方法。如下图所示，盖住 A 所在的小格只有两种情况，其中左下图中两个小长方形只能如图覆盖，其余部分有 4 种覆盖方法：右下图中三个小长方形只能如图覆盖，其余部分有 3 种覆盖方法。所以，共有 7 种不同覆盖方法。 30.一次考试共有 5 道试题。做对第 1，2，3，4，5 题的
40、人数分别占参加考试人数的 85，95，90，75，80。如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？分析与解：因为百分数的含义是部分量占总量的百分之几，所以不妨设总量即参加考试的人数为 100。由此得到做错第 1 题的有 100（1-85）=15（人）；同理可得，做错第 2，3，4，5 题的分别有 5，10，25，20 人。总共做错 15+5+10+25+20=75（题）。一人做错 3 道或 3 道以上为不及格，由 753=25（人），推知至多有 25 人不及格，也就是说至少有 75 人及格，及格率至少是 75。31.一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水
41、池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开 2 个出水管，那么 8 分钟后水池空；如果同时打开 3 个出水管，那么 5 分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？分析：虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，“水”相当于“草”，进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例 1 相似。出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。设出水管每分钟排出水池的水为 1 份，则 2 个出水管 8
42、 分钟所排的水是 2816（份），3 个出水管 5 分钟所排的水是 3515（份），这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是在 8-5=3（分）内所放进的水量，所以每分钟的进水量是有的水，可以求出原有水的水量为解：设出水管每分钟排出的水为 1 份。每分钟进水量答：出水管比进水管晚开 40 分钟。32.纺织厂的女工占全厂人数的 80，一车间的男工占全厂男工的25。问：一车间的男工占全厂人数的百分之几？分析与解：因为“女工占全厂人数的 80”，所以男工占全厂人数的 1-80=20。又因为“一车间的男工占全厂男工的 25”，所以一车间的男工占全厂人数的 202
43、5=5。33.圆珠笔和铅笔的价格比是 4：3，20 支圆珠笔和 21 支铅笔共用 715 元问圆珠笔的单价是每支多少元?【分析与解】:设圆珠笔的价格为 4，那么铅笔的价格为 3，则 20 支圆珠笔和 21 支铅笔的价格为 204+213=143，则单位“1”的价格为 71.5143：0.5 元所以圆珠笔的单价是 O.54=2(元)34.有一堆糖果，其中奶糖占 45，再放人 16 块水果糖后，奶糖就只占 25那么，这堆糖果中有奶糖多少块? 【分析与解】方法一：原来奶糖占 459102，后来占 5104，因此后来的糖果数是奶糖的 4 倍，也比原来糖果多 16 粒，从而原来的糖果是 16+( 9420 1)=20 块.其中奶糖有 20 920=9 块方法二：原来奶糖与其他糖(包含水果糖)之比是 45：(1-45)=9：11,设奶糖有 9 份，其他糖(包含水果糖)有 11 份现在奶糖与其他糖之比是 25：(1-25)=1：3=9：27,奶糖的份数不变，其他糖的份数增加了 27-11=16 份，而其他糖也恰好增加了 16 块，所以，l 份即 1 块奶糖占 9 份，就是 9 块奶糖课 程 顾 问 签 字 ： 教 学 主 管 签 字 ：