1、第二十讲综合复习一1甲、乙、丙同时给 100 盆花浇水已知甲浇了 78 盆，乙浇了 68 盆，丙浇了58 盆，那么 3 人都浇过的花最少有多少盆?【分析与解】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46 盆，此时甲单独浇过的为 78-46=32 盆，乙单独浇过的为 68-46=22 盆；欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端。于是三者都浇过花最少为 58-32-22=4 盆2某商品按原定价出售，每件利润为成本的 25；后来按原定价的 90出售，结果每天售出的件数比降价前增加了 15 倍问后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之几?【分析
2、与解】设这种商品的成本为“1”，共卖出商品“1”，则利润为 25，总利润为025，定价为 125那么按原定价的 90出售，即以 1.25 90=1.125 的价格出售，现在销售的件数比原来增加了 1.5 倍，利润为 0.125(1.5+1)=O.3125，而原来的总利润为 O.25，现在增加了0.3125 一 O.25=0.0625，0.06250.25：25所以，后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了 253赢利百分数= 10卖 出 价 买 入 价买 入 价某电子产品去年按定价的 80出售，能获得 20的赢利；由于今年买入价降低，按同样定价的 75出售，却能获得 25的赢利那么 是多少?
3、今 年 买 入 价去 年 买 入 价【分析与解】 根据题中给出的公式知：赢利百分数买入价=卖出价一买入价则买入价(赢利百分数+1)=卖出价，那么买入价= 卖 出 价赢 利 百 分 数 +1 今 年 买 入 价去 年 买 入 价 今 年 卖 出 价 25去 年 卖 入 价 751280定 价定 价 904蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管要灌满一池水，单开甲管需要 3 小时，单开丙管需要 5 小时要排光一池水，单开乙管需要 4 小时，单开丁管需要 6 小时现在池内有 池水如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开 1 小时，16问经过多少时间后水开始溢出水池?【分析与解】 方法一
4、：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开 l 小时，共开 4 小时，池内灌进的水是全池的 = .13451670最优情况为：在完整周期后的 1 小时内灌满一池水因为此时为甲管进水时间，且甲的效率是四条管子中最大的那么在最优情况下：完整周期只需注入 1 池水32所需周期数为 41270632那么，至少需要 5 个完整周期，而 5 个完整周期后，水池内有水 5= 1670剩下 l 池水未灌满，而完整周期后 l 小时内为甲注水时间，有 341 143(小时).所以，需 5 个完整周期即 20 小时，再加上 小时，即 20 小时后水开始溢出3434方法二：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开 1 小时，共开
5、 4 小时，池内灌进的水是全池的 = .1341670加上池内原有的水，池内有水： = .760再过四个 4 小时，也就是 20 小时后，池内有水： 4= ，在 20 小时后，176045只需要再灌水 1 ,水就开始溢出560 = (小时)，即再开甲管 小时，水开始溢出，所以 20+ =20 (小时)后，水开433434始溢出水池 方法三：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开 1 小时，共开 4 小时，池内灌进的水是全池的 .151670一个周期后，池内有水： = , 有待注入；6430二个周期后，池内有水： = , 即 有先待注入；25三个周期后，池内有水： ， 有待注入；0719四个周期后，
6、池内有水： ， 即 有待注入；31607826013五个周期后，池内有水： ， 即 有待注入45而此时，只需注入 的水即可，小于甲管 1 小时注入的水量，所以有 = (小4 143时)，即再开甲管 小时，水开始溢出，所以 20+ 20 (小时)后,水开始溢出水池334评注：这道题中要求的是第一次溢出，因为在一个周期内不是均匀增加或减少，而是有时增加有时又减少，所以不能简单的运用周期性来求解，这样往往会导致错误的解答，至于为什么?我们给出一个简单的问题，大家在解完这道题就会知晓有一口井，深 20 米，井底有一只蜗牛，蜗牛白天爬 6 米，晚上掉 4 米，问蜗牛爬出井需多少时间?5一个水池，地下水从
7、四壁渗入，每小时渗入该水池的水是固定的当这个水池水满时，打开 A 管，8 小时可将水池排空；打开 B 管，10 小时可将水池排空；打开 C 管，12 小时可将水池排空如果打开 A，B 两管，4 小时可将水池排空，那么打开 B，C 两管，将水池排空需要多少时间? 【分析与解】 设这个水池的容量是“1”A 管每小时排水量是： +每小时渗入水量； 18B 管每小时排水量是： +每小时渗入水量； 0C 管每小时排水量是： +每小时渗入水量；12A、B 两管每小时排水量是： +每小时渗入水量4因为 +每小时渗入水量+ +每小时渗入水量= +每小时渗入水量，因此，每小时渗18014入水量是： （ ） .4
8、1那么有 A、B、C 管每小时的排水量如下表所示：于是打开 B、C 两管，将水池排空需要1（ - ）=1 =4.8（小时）.183204526图 16-15 中外侧的四边形是一边长为 10 厘米的正方形，求阴影部分的面积【分析与解】 如下图所示，所以阴影部分在图中为四边形 EFGH设阴影部分面积为“阴”平方厘米，正方形内的其他部分面积设为“空”平方厘米DGH、 HMG 的面积相等， GCF 与 GPF； FBE 与 EOF， HAE 与 HNE 这 3 对三角形AAAA的面积也相等阴一空=23=6，阴+空=lO10=100阴=(6+100)2=53即阴影部分的面积为 53 平方厘米7如图 16
9、-16，长方形被其内的一些直线划分成了若干块，已知边上有 3 块面积分别是13，35，49那么图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】 如下图所示，为了方便叙述，将部分区域标上序号，设阴影部分面积为“阴”：(49+35)+(13+)= 矩形的面积，12+阴+= 矩形的面积比较上面两个式子可得阴影部分的面积为 97A8某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有 7 个车站，现在新增了 3 个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？分析：方法一：一张车票包括起点和终点，原来有 P（7、2）=42 张，（相当于从 7 个元素中取 2 个的排列），现在有 P（10、2）=
10、90，所以增加9042=48 张不同车票。方法二：1、新站为起点，旧站为终点有 37=21 张，2、旧站为起点，新站为终点有 73=21 张，3、起点、终点均为新站有 32=6 张，以上共有 21216=48 张9图书室有 100 本书，借阅图书者需在图书上签名已知这 100 本书中有甲、乙、丙签名的分别有 33，44 和 55 本，其中同时有甲、乙签名的图书为 29 本，同时有甲、丙签名的图书为 25 本，同时有乙、丙签名的图书为 36 本问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?【分析与解】 设甲借过的书组成集合 A，乙借过的书组成集合 B，丙借过的书组成集合 C=33,
11、 =44， =55， =29， =25， =36ABCABCB本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与 100 作差即可,当 最大A BC时， 有最大值.ABC也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少有一人借过的书最多而 最大不超过 、 、 、 、 、 6 个数中的ABCBC最小值，所以 最大为 25ABC此时 =33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借过的书最多为 67 本，所以这批图书中最少有 33 本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过10有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖已知：第一包糖的粒数是第二包糖的 23；在第一包糖中，
12、奶糖占 25，在第二包糖中，水果糖占 50；巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的两倍当两包糖合在一起时，巧克力糖占 28，那么水果糖所占百分比等于多少?【分析与解】表述 1：设第一包有 2a粒糖，则第二包有 3a粒糖，设第二包有 3b粒巧克力糖，则第一包有 4b粒巧克力糖 432ba28，所以 57a28=20于是第一包中，巧克力糖占 2=40，水果糖占 1-40-25=35在两包糖总粒数中，水果糖占 350a44表述 2：设第一包糖总数为“2”，那么第二包糖总数为“3”，并设第一包糖含有巧克力糖 2c，第二包糖含有巧克力糖 c那么有 22c+3c=28(2+3)，有
13、7c=140，所以 c=20，那么有如下所示的每种糖所占的百分数所以水果糖占总数的(352+503)(2+3)=4411一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水若只开甲、丙两管，甲管注入 18 吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入 27 吨水时，水箱才满又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的 2 倍则该水箱最多可容纳多少吨水?【分析与解】 设甲管注入 18 吨水所需的时间为“1”，而乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的 2 倍，那么乙管注入 18 吨的水所需时间为“O.5”，所以乙管注入 27 吨水所需的时间为 27180.5=0.75.以下采用两种方法：方法一：设丙在单位时间内注入
14、的水为“1”，那么有：因此 18+“1”=27+“O.75”，则“0.25”=9 吨，所以“1”=36 吨，即丙在单位时间内灌入 36 吨的水所以水箱最多可容纳 18+36=54 吨的水方法二：也就是说甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的 34再设甲单独灌水的工作效率为“1”，那么乙单独灌水的工作效率为“2”，有 1+丙=(2+丙)；所以丙的工作效率为“2”，即丙的工作效率等于乙的工作效率，那么在乙、丙合灌时，丙也灌了 27 吨，那么水箱最多可容纳 27+27=54 吨水12如图 16-12，BD，CF 将长方形 ABCD 分成 4 块，红色三角形面积是 4 平方厘米，黄色三角形面积是
15、6 平方厘米问：绿色四边形面积是多少平方厘米?【分析与解】 连接 BF，四边形 BCDF 为梯形，则 ABFE 的面积与黄色 ACDE 的面积相等为 6. 63FEDBCFECDSSAA ，所以 3649BCES.915BC.又因为 BD 是长方形 ABCD 的对角线， 15ABDCS所以 FE4ABDSS绿 色 四 边 形 EF红 色 .绿色四边形面积为 11 平方厘米B137 个相同的球放在 4 个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？分析：因为 7=1111111，相当于从 6 个加号中取 3 个的组合，C（6、3）=20 种14如图 8-2，5 条同样长的线段拼成了一个
16、五角星如果每条线段上恰有1994 个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?【分析与解】 如下图，下图中“ ”位置均有两条线段通过，也就是交A点，如果这些交点所对应的线段都在“ ”位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少，有 19945-(2-1)10=9960个15某次数学竞赛设一、二、三等奖已知：甲、乙两校获一等奖的人数相等：甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为 5:6；甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的 20；甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的 50；甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的 4.5 倍
17、那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少?【分析与解】表述 1：不妨设甲校有 60 人获奖，由、，乙校有 50 人获奖由知两校获二等奖的共有(60+50)20=22 人；由知甲校获二等奖的有 22(4.5+1)4.5=18 人；由知甲校获一等奖的有 60-6050-18=12 人，从而所求百分数等于 1250100=24表述 2：(这有一个“5”)1.25100=24，即乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的 2416某水池的容积是 100 立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管甲、乙两管单独灌满水池分别需要 10 小时和 15 小时水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排
18、水管放水，需要 6 小时将水池中的水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要 2 小时将水池中的水放完问水池中原有水多少立方米?【分析与解】 甲每小时注水 10010=10(立方米)，乙每小时注水 10015= (立方米)，203设排水管每小时排水量为“排”，则(“排”10 )3=(“排”10)，整理得 3“排”3 =“排”50310,2“排”=40，则“排”=20 所以水池中原有水(2010)2=20(立方米) 17如图 16-13，平行四边形 ABCD 周长为 75 厘米以 BC 为底时高是 14 厘米；以 CD 为底时高是 16 厘米求平行四边形 ABCD 的面积【分析与解】 因为平行四边形
19、面积等于底与对应高的积，所以有 14BC=16 CD，即 BC：CD=8：7，而 2(BC+CD)=75，所以 BC=20，以 BC 为底，对应高为 14，2014=280，所以平行四边形 ABCD 的面积为 280 平方厘米C18四年级一班有 46 名学生参加 3 项课外活动其中有 24 人参加了数学小组，20 人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的 35 倍，又是 3 项活动都参加人数的 7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于 3 项都参加的人数的 2 倍，既参加数学小组又参加语文小组的有 10 人求参加文艺小组的人数【分析与解】 设参加数学小组
20、的学生组成集合 A，参加语文小组的学生组成集合 B，参加文艺小组的学生组成集合 G三者都参加的学生有 z 人有 =46， =24， =20， =3.5， =7 ， =2ACABCBC， =10因为 ，所以ABCABCABC46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得 x=3，即三者的都参加的有 3 人那么参加文艺小组的有 3 7=21 人19甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有 100 个故事每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读已知甲读了 7.5 个故事，乙读了 60 个故事，丙读了52 个故事那么甲、乙、丙 3 人共同读过的故事最少有多少个?【分析与解】 只考虑甲乙两人情况，有甲、
21、乙都读过的最少为：75+60-100=35 个，此时甲单独读过的为 75-35=40 个，乙单独读过的为 60-35=25 个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为 52-40=12 个评注：注意与 14 题的区别，本题中必须是从一端连续的排下去，而 14 题没有要求连续20某校毕业生共有 9 个班，每班人数相等已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多 1；四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1那么该校毕业生中男、女生人数比是多少?【分析与解】表述 1：由知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多 1知，四至九
22、班的男生总数比七、八、九班总人数少 1因此，一至九班的男生总数是二、三、七、八、九共五个班的人数，则女生总数等于四个班的人数所以，男、女生之比是 5：4表述 2： 有“一、二、三班男生”加上“四、五、六、七、八、九班男生”即为一至九班全体男生数，恰为“二、三班总人数”加上“四、五、六班总人数”，即为五个班总人数，则女生总数等于四个班的人数所以，男、女生之比是 5：421一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管当打开4 个进水管时，需要 5 小时才能注满水池；当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满水池现在需要在 2 小时内将水池注满，那么最少要打开多少个进水管
23、? 【分析与解】 记水池的容积为“1”，设每个进水管的工作效率为“进”，排水管的工作效率为“排”，那么有：4“进”“排”= ， 2“进”“排”= .1515所以有，2“进”=( )= ，那么“进”= ，则“排”= .215题中需同时打开 x 个进水管 2 小时才能注满，有：x“进”“排”= ，即 x = ，解得 x=8.5 151所以至少需打开 9 个进水管，才能在 2 小时内将水池注满 22如图 16-14，一个正方形被分成 4 个小长方形，它们的面积分别是 平方米、 平105方米、 平方米和 平方米已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方31025米?【分析与解】 为了方便叙述，
24、将某些点标上字母，如下图：大正方形的面积为 ，所以大正方形的边长应为 1.32105上面两个长方形的面积之比为 =3：4，所以 IG= :47下面两个长方形的面积之比为 =2：l，所以 IG= 1:5013那么 LI= ，那么阴影小正方形的面积为 415732521423一台晚会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目。问：如果 4 个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序？如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序？分析：4 个舞蹈节目要排在一起，好比把 4 个舞蹈?在一起看成一个节目，这样和 6 个演唱共有 7 个节目，全排列 7！，加上 4 个舞蹈本身也
25、有全排 4！，所以共有 7！4！=120960 种。4 个舞蹈必须放在 6 个演唱之间，6 个演唱包括头尾共有 7 个空档，7 个空档取出 4 个放舞蹈共有 P（7、4），加上 6 个演唱的全排 6！，共有P（7、4）6！=604800 种。247 个相同的球放在 4 个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？分析：因为 7=1111111，相当于从 6 个加号中取 3 个的组合，C（6、3）=20 种25如图 8-1，已知甲、乙、丙 3 个圆的面积均为 30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为 6，8，5，而 3 个圆覆盖的总面积为 73求阴影部分的面积【分析与解】 设
26、甲圆组成集合 A，乙圆组成集合 B，丙圆组成集合 CABC=30， B=6， =8， C=5， A=73，而 = .ABCABCABC有 73=303-6-8-5+ ，即 =2，即甲、乙、丙三者的公共面积(部分面积)为 2那么只是甲与乙()，乙与丙()，甲与丙()的公共的面积依次为 6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(、部分之和)的面积为 73-4-6-3-2=5826在从 1 至 1000 的自然数中，既不能被 5 除尽，又不能被 7 除尽的数有多少个?【分析与解】 l1000 之间，5 的倍数有 10=200 个，7 的倍数有107=142 个，因为既是 5 的倍数，又是
27、7 的倍数的数一定是 35 的倍数，所以这样的数有 103=28 个所以既不能被 5 除尽，又不能被 7 除尽的数有 1000-200-142+-28=686 个27五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项其中有 25 人参加自然兴趣小组，35 人参加美术兴趣小组，27 人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有 12 人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有 8 人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有 9 人，语文、美术、自然 3 科兴趣小组都参加的有 4 人求这个班的学生人数【分析与解】 设参加自然兴趣小组的人组成集合 A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组
28、的人组成集合 CA=25， =35， =27， =12， AB =8， =9， ABC=4.BCB= C.所以，这个班中至少参加一项活动的人有 25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项即这个班有 62 人28抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的 15如果 3 人合抄只需 8 天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？【分析与解】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的 18，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的 ，即甲每天抄写书稿的 16；由于丙抄写 5 天相当于甲乙合抄一天
29、，从而丙 6 天抄写书稿的 8，即丙每天抄写书稿的 148；于是可知乙每天抄写书稿的 1 48 2.所以乙一人单独抄写需要 1 2=24 天才能完成29游泳池有甲、乙、丙三个注水管如果单开甲管需要 20 小时注满水池；甲、乙两管合开需要 8 小时注满水池；乙、丙两管合开需要 6 小时注满水池那么，单开丙管需要多少小时注满水池?【分析与解】 乙管每小时注满水池的 18- 20= 34,丙管每小时注满水池的 16- 340= .因此，单开丙管需要 1 = =101(小时)30如果从 3 本不同的语文书、4 本不同的数学书、5 本不同的外语书中选取 2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？分
30、析：因为强调 2 本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：34=12；来自语文、外语：35=15；来自数学、外语：45=20；所以共有 121520=4731某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有 7 个车站，现在新增了 3 个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？分析：方法一：一张车票包括起点和终点，原来有 P（7、2）=42 张，（相当于从 7 个元素中取 2 个的排列），现在有 P（10、2）=90，所以增加9042=48 张不同车票。方法二：1、新站为起点，旧站为终点有 37=21 张，2、旧站为起点，新站为终点有 73=21 张，3
31、、起点、终点均为新站有 32=6 张，以上共有 21216=48 张32如果从 3 本不同的语文书、4 本不同的数学书、5 本不同的外语书中选取 2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？分析：因为强调 2 本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：34=12；来自语文、外语：35=15；来自数学、外语：45=20；所以共有 121520=4733有 5 个标签分别对应着 5 个药瓶，恰好贴错 3 个标签的可能情况共有多少种？分析：第一步考虑从 5 个元素中取 3 个来进行错贴，共有 C（5、3）=10，第二步对这 3 个瓶子进行错贴，共有 2 种错贴方法，所以可能情况共有1
32、02=20 种。34如图 16-6，已知 D 是 BC 中点，E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点三角形 ABC 由这 6 部分组成，其中比多 6 平方厘米那么三角形 ABC 的面积是多少平方厘米?【分析与解】 因为 E 是 DC 中点，F 为 Ac 中点，有 AD=2FE 且阳平行于 AD，则四边形ADEF 为梯形在梯形 ADEF 中有=，=，：=A 2D：F E=4又已知-=6，所以=6(4-1)=2，=4：8，所以=：16，而=，所以=4，梯形 ADEF 的面积为、四块图形的面积和，为8+4+4+2=18有CEF 与ADC 的面积比为 CE 平方与 CD 平方的比，即为 1：4所以
33、ADC 面积为梯形 ADEF 面积的 4-1= 3，即为 18 43=24因为 D 是 BC 中点，所以ABD 与ADC 的面积相等，而ABC 的面积为ABD、ADC 的面积和，即为 24+24=48 平方厘米三角形 ABC 的面积为 48 平方厘米评注：梯形中连接两条对角线则分梯形为 4 部分，称之为：上、下、左、右如下图：运用比例知识，知道：上、下部分的面积比等于上、下边平方的比左、右部分的面积相等上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积35图 16-7 是一个各条边分别为 5 厘米、12 厘米、13 厘米的直角三角形如图 16-8，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图 1
34、68 中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图，为了方便说明，将某些点标上字母有ABC 为直角，而CED=ABC，所以CED 也为直角.而 CE=CB=5.ADE 与CED 同高，所以面积比为底的比，及 ADECS= =13-5=8，设ADE 的面积为“8”，则CED 的面积为“5”CED 是由CDB 折叠而成，所以有CED、CDB 面积相等，ABC 是由ADE、CED、CDB 组成，所以 ABCS=“8”+“5”+“5”=“18”对应为 12512=30，所以“1”份对应为 53，那么ADE 的面积为 853=131平方厘米即阴影部分的面积为 131平方厘米课 程 顾 问 签 字 ： 教 学 主 管 签 字 ：
