1、第十四讲 分数的问题1.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。2.分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。 一、分数与除法的关系，真分数和假分数1、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。 2、真分数和假分数： 分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于 1。 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于 1 或等于 1。 由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。 2、假分数与带分数的互化： 把假分数化成带分数，用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。 把带分数化成假分数，
2、用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。 二、分数的基本性质分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。 2、分数的大小比较： 同分母分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小； 同分子分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。 异分母分数，先化成同分母分数（分数单位相同），再进行比较。（依据分数的基本性质进行变化）三、约分（最简分数）1、最简分数：分子和分母只有公因数 1 的分数叫做最简分数。2、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 （并不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分；但一般要约到最简分数为止）
3、注意：分数加减法中，计算结果能约分的，一般要约分成最简分数。 五、分数和小数的互化：1、小数化分数：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几?，能约分的必须约成最简分数；2、分数化小数：用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。（一般保留三位小数。） 3、分数和小数比较大小：一般把分数变成小数后比较更简便。 六、分数的加法和减法 1、真分数加减法（1） 同分母分数加、减法 （分母不变，分子相加减） （2） 异分母分数加、减法 （通分后再加减） （3） 分数加减混合运算：同整数。 （4） 结果要是最简分数2、带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再
4、把所得的结果合并起来。3、（1）同分母分数加、减法同分母分数加、减法：同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。 计算的结果，能约分的要约成最简分数。 （2）异分母分数加、减法分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。 异分母分数的加减法：异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。 （3）分数加减混合运算分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。1在 、 、 、 四个分数中，第二大的是.436872913答案：解析：提示,将分子“通分”为 72
5、，再比较分母的大小.2.有一个分数,分子加 1 可以约简为 ,分子减 1 可约简为 ,这个分数是.35答案： 154解析：事实上,所求分数为 和 的平均数,即( + )2= .5143.已知 .把 A、 B、 C、 D、 E 这五个数54%79032EDCBA从小到大排列,第二个数是.答案： C解析：因为 ,又 ,所6310 3214094以 DEBCA,故从小到大第二个数是 C.4.所有分母小于 30 并且分母是质数的真分数相加,和是.答案： 2159解析：分母是 n 的所有真分数共有 n-1 个,这 n-1 个分数的分子依次为 1n-1, 和为,所以分母 n 的所有真分数之和等于 .本题的
6、解为)(n 21+21 21932197321753 = +1+2+3+5+6+8+9+11+14= .95.三个质数的倒数和为 ,则 a=.31答案： 131解析：因为 231=3711, 易知这 3 个质数分别为 3,7 和 11,又 + = ,故31721a=131.6.计算,把结果写成若干个分母是质数的既约分数之和:=.195951答案： .74解析;原式= ,令 ,则1389243719583206 197ba19 a+7 b=83,易见 a=4,b=1,符合要求.A1分数 32、 07、 61、 29从小到大排列为.答案： 、 、 、 .2. 有分母都是 7 的真分数、假分数和带分
7、数各一个，它们的大小只差一个分数单位.这三个分数分别是.答案： 6， ， 8.3.已知 15432915BA D.C74381542A、 B、 C、 D 四个数中最大的是.答案： B.解析： 从题目看, A、 B、 C、 D 中最大的,即为 9与 53与 15.2 与14.8 743中最小的,容易求出,与 B 相乘的 15432最小,所以 B 最大.4.所有分子为 11,而且不能化成有限小数的假分数共有个.答案： 4.解析： 符合题意的假分数有 31、 6、 7和 9共 4 个.5.在等式 ba431中, a,b 都是由三个数字 1,4,7 组成的带分数,这两个带分数的和是.答案： 28.解析
8、： 由 1,4,7 三个数字组成的带分数有 741, , ,经验算,只有 a= ,b=714符合条件. a+b= .4171B6.在下面算式的两个括号中,各填入一个三位数,使等式成立: 1 1198.解析： .(填出一组即可)740159862提示:设 a,b 为 1998 的两个互质的约数,且 ab.将 分解为两个单位分数之差,得98到 .因为baab 11)(198198 a198与 都是三位数，所以ba)(198ba100 .100 ,得9)(a18b所以 .,120,1980aa20又由 ,得 , ,所以 , .由)(b198b231bab此得到: 93也就是说,只要找到满足式的 19
9、98 的两个(互质的)约数,就能得到符合题意的一组解.满式的 a,b 有三组:3，2；54，37；37，27.于是得到 7401598611987.将五个数 3,02按从小到大的顺序排列,其中第 3 个位置与第 4 个位置上的两数之和为.解析： .43758通过通分(找最简公分子), ,156023,915,860,49.显然 ,因此, .所求两1602418 37201数之和为 .437598.设 化为循环小数后,它们的循环节长度分别是 m,n,k(即它们的循环节2,分别有 m,n,k 位),则 m+n+k=.答案： 14.解析： , , .70.313069.49036.271故 m=3,
10、n=6,k=5,因此 m+n+k=14.9.把 表示成三个不同的分数单位和的式子是.2答案： .4613解析： .46123210.小林写了八个分数,已知其中的五个分数是 、 、 、 、 ，如果78329318这八个分数从小到大排列的第四个分数是 ，那么按从大到小排列的第三个分数是.9答案： .1839解析：提示:已知的五个分数从大到小排列依次为 、 、 、 、 ，31783929因此未知的三个分数都小于 .29C11如果 ，其中 AB,求 A B.17答案：注意到 1997 是质数,其约数为 1 和 1997.解析： .9819719所以 A=19971998, B=1998.故 AB=19
11、97.12.将 05632写成分母是连续自然数的五个真分数的和.解析： 原式= 10987141= +27635= 1098113.在分母小于 15 的最简分数中,比 5大并且最接近 52的是哪一个?解析： 设所求的分数为 ,(m,n)=1,n15.因为 - = .nm52由题目要求,取 m、 n 使右边式子大于 0,且为最小,若 5m-2n=1,则 m= 当 n15 时,使,512m 为整数的最大整数 n 是 12,此时, m=5,差为 .12若 5m-2n1, 则 .故此 大并且最接近 的54552n是 .1214.分数 83a中的 a 是一个自然数,为了使这个分数成为可约分数, a 最小
12、是多少?解析： .8193)(5a原分数是可约分数, 也应是可约分数,推知 a 最小是 11.819a15.(1)要把 9 块完全相同的巧克力平均分给 4 个孩子(每块巧克力最多只能切成两部分),怎么分?(2)如果把上面(1)中的“4 个孩子”改为“7 个孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，为什么？解析： (1)把 9 块中的三块各分为两部分:431, 2, 431.每个孩子得 块:甲:1+1+ ；乙:1+ ；丙: 1+ 2+ ；丁:1+1+ 41.(2)好分,每人分 71块:甲:1+ 72；乙: 45；丙: 63；丁: 71；戊: 36；己: 754；庚: 12.1.有一个分数,
13、它的分母比分子多 4.如果把分子、分母都加上 9,得到的分数约分后是97,这个分数是.答案： 5解析：后来的分母为 18974,故原来分母为 18-9=9,原来分子为 9-4=5,原分数为 5.2.甲、乙两数是自然数,如果甲数的 6恰好是乙数的 41.那么甲、乙两数之和的最小值是.答案：13解析：甲数是乙数的 103654,甲乙两数之和是乙数的 103,要使甲乙两数之和最小,乙只能是 10,从而甲数是 3,和为 13.3.商店的书包降价 后,又提价 ,最后的价格是 8 元 1 角一个,那么最初是元钱一个.答案：9解析： 941581(元).4.小萍今年的年龄是妈妈的 3,二年前母子年龄相差 2
14、4 岁,四年后小萍的年龄是.答案： 16解析： 24312416(岁).5.甲从 A 地到 B 地需要 5 小时,乙从 B 地到 A 地,速度是甲的 85.现在甲、乙二人分别从A、 B 两地同时出发,相向而行.在途中相遇后继续前进.甲到 B 地后立即返回,乙到 A 地后也立即返回,他们在途中又一次相遇.如果两次相遇点相距 72 千米, A、 B 两地相距多少千米?解析： 将 A、 B 两地的距离看作单位“1”,则甲每小时行 51,乙每小时行 815,第一次相遇时间是 1340851(小时).此时甲行了全程的 340,乙行了全程的 3.从第一次相遇到第二次相遇,两人合走了两个全程,甲走了全程的
15、13628,这个地方离甲的出发点是全程的 132682,故两次相遇点之间距离是全程的 ,全程的距离是 15367(千米).1.足球赛门票 15 元一张,降价后观众增加了一半,收入增加了五分之一,一张门票降价是元.解析： 321515(元).2.把一根绳子分别等分折成 5 股和 6 股,如果折成 5 股比 6 股长 20 厘米,那么这根绳子的长度是厘米.解析： 601520(厘米).3.张、王、李三人共有 54 元,张用了自己钱数的 53,王用了自己钱数的 43,李用了自己钱数的 3,各买了一支相同的钢笔,那么张和李两人剩下的钱共有元.解析：王的钱数是张的 543,李的钱数是张的 109325,
16、故张原有 201954(元),李原有 8(元),张与李共剩下 1438320(元).4.某工厂的 27 位师傅共带徒弟 40 名,每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟.如果带一名徒弟的师傅人数是其他师傅的人数的两倍,那么带两名徒弟的师傅有位.解析：带一名徒弟的师傅人数是 18327(位);于是带二名或三名徒弟的师傅人数是27-18=9(位),他们共带了 40-18=22(名)徒弟.假设这 9 位师傅都带了三名徒弟,就少了 529(位)徒弟,这说明 5 位师傅没有带三名徒弟,而是带两名徒弟.5.李明到商店买一盒花球,一盒白球,两盒球的数量相等.花球原价是 1 元钱 2 个,白球原价是 1
17、元钱 3 个.节日降价,两种球的售价都是 2 元钱 5 个,结果李明少花了 4 元钱,那么他共买了个球.解析： 240524(个).6.把 100 个人分成四队,一队人数是二队人数的 31倍,一队人数是三队人数的 41倍,那么四队有人.解析：第二队人数是第一队人数的 41;第三队人数是第一队人数的 5,三队人数和是第一队人数的 203.由于四队人数和为 100 人,第一队人数只能是 20.故第四队有 492051(人).7.有一篓苹果,甲取一半少一个,乙取余下的一半多一个,丙又取余下的一半,结果还剩下一个,如果每个苹果 1 元 9 角 8 分,那儿这篓苹果共值元.解析： 8.192298.1(
18、元).8.小刚有若干本书,小华借走一半加一本,剩下的书小明借走一半加两本,再剩下的书小峰借走一半加三本,最后小刚还剩下两本书,那么小刚原有本书.解析：小峰未借前有书 102)3(本),小明未借之前有 4)10(本),小刚原有书 5024(本).9.一条绳子第一次剪掉 1 米,第二次剪掉剩余部分的 21,第三次剪掉 1 米,第四次剪掉剩余部分的 32,第五次剪掉 1 米,第六次剪掉剩余部分的 43,这条绳子还剩下 1 米.这条绳子原长米.解析：第六次剪前绳长 43(米);第四次剪前绳长 21)4(=15(米),第二次剪前绳长 3)5(米),绳子原长 32+1=33 米.课 程 顾 问 签 字 ： 教 学 主 管 签 字 ：
