1、2019 年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知复数 z （i 为虚数单位） ，则| z|（ ）A B2 C D2 （5 分）已知全集 UR，集合 A x|x|1 ，Bx|log 2x1，则（ UA）B（ ）A x|x1 Bx|0x1 C x|x1 D x|0x13 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件： ，则 z2 2x+y 的最大值为（ ）A B C D24 （5 分）在由直线 x1，yx 和 x 轴围成的三角形内任取一点（x ，y） ，记事件 A 为yx 3，B 为 y
2、x 2，则 P（ B|A）（ ）A B C D5 （5 分）若二项式（x ） n 的展开式中第 m 项为常数项，则 m，n 应满足（ ）A2n3（m1） B2n3m C2n3（m+1） D2nm6 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为 1，则该几何体的表面积为（ ）A20 B22 C24 D19+27 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x） ，g（x）满足 g（x）f（|x1|） ，则函数yg（x ）的图象关于（ ）A直线 x1 对称 B直线 x1 对称C原点对称 Dy 轴对称第 2 页（共 26 页）8 （5 分
3、）已知函数 f（x ）cos （2x ）+cos2x，将函数 f（x）的图象向左平移（0）个单位长度，得到函数 g（x）的图象，若函数 g（x）的图象关于 y 轴对称，则 的最小值是（ ）A B C D9 （5 分）如图，半径为 R 的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆惟的体积之和为球的体积的 ，则这两个圆锥高之差的绝对值为（ ）A B C DR10 （5 分）已知抛物线 C：x 22py（p0）上点 P 处的切线与 y 轴交于点 Q，F 为抛物线C 的焦点，若| PF|5，则|QF| （ ）A4 B5 C6 D711 （5 分）已知圆 C1，C 2，C
4、 3 是同心圆，半径依次为 1，2，3，过圆 C1 上点 M 作 C1 的切线交 C2 于 A，B 两点，P 为圆 C3 上任一点，则 的取值范围为（ ）A8，4 B0，12 C1 ，13 D4 ，1612 （5 分）已知函数 f（x ）x+（2kx）e x（x0） ，若 f（x）0 的解集为（a，b） ，且（a，b）中恰有两个整数，则实数 k 的取值范围为（ ）A （， ） B + ， ）C ， ） D +1， ）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知 cos（ ） （0） ，则 sin 14 （5
5、分）已知函数 f（x ） ，若 f（5a 2）f （2a 2） ，则实数 a 的取值范围为 第 3 页（共 26 页）15 （5 分）已知双曲线 1 上的一点到两渐近线的距离之积为 ，若双曲线的离心率为 2，则双曲线的虚轴长为 16 （5 分）在ABC 中，BAC 60，点 D 在线段 BC 上，且 BC3BD ，AD2，则ABC 面积的最大值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作
6、答 （一）必考题：共60 分17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足 Sna n+1 1，且 a11，数列 bn中，b11，b 59，2b nb n+1+bn1 （n2） （1）求数列a n和b n的通项公式：（2）若 cna nbn，求c n的前 n 项的和 Tn18 （12 分）如图，半圆柱 OO 中，平面 ABBA过上下底面的圆心 O，O点C，D 分别在半圆弧 AB，AB上且（1）求证：CD平面 ABBA（2）若 2ACABAA ，求二面角 CADB 的余弦值19 （12 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的右焦点为 F，点 M（1， ）在椭圆C 上且 MF 垂直于 x
7、轴（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 P 为椭圆 C 上的动点，直线 PM 与 x4 交于点 N，求证：点 N 到直线 PF 的距离为定值，并求出这个定值20 （12 分） “某班的健康调查小组从所在学校共选取 15 名男同学，其年龄、身高和体重数据如表所示（本题中身高单位：cm，体重单位：kg ） 第 4 页（共 26 页）年龄（身高，体重） 年龄（身高，体重）15 （154，48） ， （161，65） ， （168，64） 18 （166，64） ， （168，72） ， （182，74）16 （158，50） ， （162，59） ， （175，80） 19 （160，51） ， （1
8、72，68） ， （178，90）17 （161，60） ， （167，62） ， （173，68）（1）如果某同学“身高一体重100” ，则认为该同学超重，从上述 15 名同学中任选两名同学，其中超重的同学人数为 X，求 X 的分布列和数学期望；（2）根据表中数据，设计两种方案预测学生身高方案：建立平均体重与年龄的线性回归模型，表中各年龄的体重按三名同学的平均体重计算，数据整理如表i 1 2 3 4 5年龄 ti 15 16 17 18 19平均体重 si 59 63.3 64 70 69.7方案 ：建立平均体重与平均身高的线性回归模型，将所有数据按身高重新分成 6 组：153，158） ，
9、158，163） ，163，168） ，168 ，173） ，173 ，178） ，178，183，并将每组的平均身高依次折算为 155，160，165，170，175，180，各组的体重按平均体重计算，数据整理如表i 1 2 3 4 5 6平均身高 xi 155 160 165 170 175 180平均体重 yi 48 57 63 68 74 82（i）用方案预测 20 岁男同学的平均体重和用方案预测身高 168cm 的男同学的平均体重，你认为哪个更合理？请给出理由；（ii）请根据方察建立平均体重 y 与平均身高 x 的线性回归方程 y x+ （数据精确到 001） 附：b ，a ， ，1
10、68775， ，第 5 页（共 26 页）21 （12 分）已知函数 f（x ） （xa）lnxln（lnx） （1）当 ae 时，求曲线 yf （x）在点（e，f （e） ）处的切线方程：（2）若 f（x） 1ln2 恒成立，求实数 a 的取值范围选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的极坐标方程为 cos 24cos0，直线 l的参数方程为 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，且|AB |8，求以 AB 为直径的圆的方程选修 4-5：不等式选讲23 （10 分）设函数 f（x ）|2x
11、+1|+|x1| （1）求不等式 f（x ）2 的解集；（2）当 恒成立，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 26 页）2019 年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知复数 z （i 为虚数单位） ，则| z|（ ）A B2 C D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：z ，|z| 故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题2 （5 分）已知全集 UR，集合 A x|x|1 ，Bx|log 2x1，则（ UA）B（
12、 ）A x|x1 Bx|0x1 C x|x1 D x|0x1【分析】解不等式求出集合 A、B，根据补集与交集的定义计算即可【解答】解：全集 UR，集合集合 A x|x|1 x|x 1 或 x1B x|log2x1x |0x2 ， UAx| 1x1；（ UA）Bx |0x 1故选：D【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题3 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件： ，则 z2 2x+y 的最大值为（ ）A B C D2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案第 7 页（共
13、 26 页）【解答】解：由实数 x，y 满足约束条件： ，作出可行域如图，则z2 2x+ y 的最大值就是 u2xy 的最小值时取得联立 ，解得 A（1，1） ，化目标函数 u2x+y 为 y 2x+u，由图可知，当直线 y2x +u 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z 有最大值为22+1 故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题4 （5 分）在由直线 x1，yx 和 x 轴围成的三角形内任取一点（x ，y） ，记事件 A 为yx 3，B 为 yx 2，则 P（ B|A）（ ）A B C D【分析】根据 P（B|A） 可得，其中
14、S（AB）表示 A 和 B 同时发生所构成区域的面积，S（A）表示事件 A 发生构成区域的面积【解答】解：设 S（AB）表示 A 和 B 同时发生所构成区域的面积，S（A）表示事件 A 发生构成区域的面积根据条件概率的概率计算公式 P（B| A） 第 8 页（共 26 页） 故选：D【点评】本题考查了几何概型，条件概率，定积分等知识，属于中档题5 （5 分）若二项式（x ） n 的展开式中第 m 项为常数项，则 m，n 应满足（ ）A2n3（m1） B2n3m C2n3（m+1） D2nm【分析】在第 m 项的通项公式中，令未知数的系数等于零，可得结论【解答】解：二项式（x ） n
15、 的展开式中第 m 项为常数项，即Tm （ 1） m1 为常数项，n+ 0，且 m1n，即 2n3m 3，且 mn+1 ，故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题6 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为 1，则该几何体的表面积为（ ）第 9 页（共 26 页）A20 B22 C24 D19+2【分析】根据三视图知该几何体是棱长为 2 的正方体截去两个相同的三棱锥剩余部分，结合图中数据求出该几何体的表面积【解答】解：根据三视图知，该几何体是棱长为 2 的正方体，截去两个三棱锥剩余的部分，如图
16、所示；则该几何体的表面积为 S62 24 212 11+2 22故选：B【点评】本题利用几何体三视图考查了求简单组合体表面积应用问题，是基础题7 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x） ，g（x）满足 g（x）f（|x1|） ，则函数yg（x ）的图象关于（ ）A直线 x1 对称 B直线 x1 对称C原点对称 Dy 轴对称【分析】根据图象变换即可求出答案【解答】解：由 yf（|x |）关于 y 轴对称，由 yf （x）向右平移一个单位可得yf（x1） ，即函数 yg（x）的图象关于 x1 对称，故选：B第 10 页（共 26 页）【点评】本题考查了函数图象的变换，属于基础题8
17、 （5 分）已知函数 f（x ）cos （2x ）+cos2x，将函数 f（x）的图象向左平移（0）个单位长度，得到函数 g（x）的图象，若函数 g（x）的图象关于 y 轴对称，则 的最小值是（ ）A B C D【分析】因为 f（x ）sin（2x+ ） ，g（x）sin （2x+2 + ） ，2+ k +【解答】解：因为 f（x ）cos2x cos +sin2xsin +cos2x sin2x+ cos2xsin（2x+ ） ，将 f（x）sin（2x + ）向左平移 个单位长度得 g（x）sin2（x+）+ sin（2x+2 + ） ，由 g（x）的图象关于 y 轴对称可得
18、2+ k+ 解得 + ，kZ，0，k 0 时， 的最小值为 故选：A【点评】本题考查了函数 yAsin （ x+）的图象变换，属中档题9 （5 分）如图，半径为 R 的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆惟的体积之和为球的体积的 ，则这两个圆锥高之差的绝对值为（ ）A B C DR【分析】设球的半径为 R，圆锥底面半径为 r，上面圆锥的高为 h，在OO 1C 中，求得r22Rhh 2写出两个圆锥的体积和，再由体积比求得 h 与 R 的关系得答案【解答】解：设球的半径为 R，圆锥底面半径为 r，上面圆锥的高为 h，则下面圆锥的高为 2Rh，第 11 页（共 26 页）在OO 1C
19、中，有 R2r 2+（R h） 2，得 2Rhh 2两个圆锥体积和为 ，球的体积 由题意， 4h 28Rh+3 R20，即 下面的圆锥的高为 则这两个圆锥高之差的绝对值为| |R故选：D【点评】本题考查圆锥与球的体积，考查数形结合的解题思想方法，是中档题10 （5 分）已知抛物线 C：x 22py（p0）上点 P 处的切线与 y 轴交于点 Q，F 为抛物线C 的焦点，若| PF|5，则|QF| （ ）A4 B5 C6 D7【分析】设出 P 的坐标，利用函数的导数求出切线的斜率，求出切线方程，得到 Q 的坐标，然后求解|QF|【解答】解：抛物线 C：x 22py（p0）上点 P（m，
20、 ） ，函数的导数为：y P 处的切线的斜率为： ，切线方程为：y ，切线与 y 轴交于点 Q（0， ） ，F 为抛物线 C 的焦点（0， ） ，第 12 页（共 26 页）若|PF| 5，可得 ，则|QF | ，故选：B【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查11 （5 分）已知圆 C1，C 2，C 3 是同心圆，半径依次为 1，2，3，过圆 C1 上点 M 作 C1 的切线交 C2 于 A，B 两点，P 为圆 C3 上任一点，则 的取值范围为（ ）A8，4 B0，12 C1 ，13 D4 ，16【分析】由平面向量数量积的性质及其
21、运算及平面向量的线性运算得： （）（ ） 2 +（ ）9+2 +2 7+2 7+2| | |cos7+6cos1，13，得解【解答】解：由题意可知：向量 ， 的夹角为 ，则 2，取 AB 中点为 C，则 2 ，设向量 ， 的夹角为 ，0，因为 （ ）（ ） 2 +（ ） 9+2+2 7+2 7+2| | |cos7+6cos1，13，故选：C【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及平面向量的线性运算，属中档题12 （5 分）已知函数 f（x ）x+（2kx）e x（x0） ，若 f（x）0 的解集为（a，b） ，且（a，b）中恰有两个整数，则第 13 页（共 26 页）实数 k 的取值
22、范围为（ ）A （， ） B + ， ）C ， ） D +1， ）【分析】利用导数研究函数的图象得：设 g（x） ，则 g（x） 当 0x1时，g（x）0，当 x1 时，g（x ）0，所以函数 g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+）为减函数，作函数 g（x） 的图象与直线 ykx2，由其位置关系得： ，解得：，得解【解答】解：设 g（x） ，则 g（x）当 0x1 时，g（x ）0，当 x1 时，g（x）0，所以函数 g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+）为减函数，f（x）0 的解集为（ a，b）等价于 （kx2）的解集为（a，b） ，即当且仅当在区间（a，b）上函数 g（
23、x） 的图象在直线 ykx 2 的上方，函数 g（x） 的图象与直线 ykx2 的位置关系如图所示，由图可知： ，解得： ，故选：C第 14 页（共 26 页）【点评】本题考查了函数图象的作法及利用导数研究函数的图象，属难度较大的题型二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知 cos（ ） （0） ，则 sin 【分析】由已知求得 sin（ ） ，再由 sinsin（ ） 展开两角差的正弦求解【解答】解：0， ，又 cos（ ） ，sin（ ） sin sin（ ） sin （ ）cos cos（ ）sin 故答案为： 【点评】本题考查三角函数
24、的化简求值，考查两角差的正弦，是基础题14 （5 分）已知函数 f（x ） ，若 f（5a 2）f （2a 2） ，则实数 a 的取值范围为 （ ，2） 【分析】判断 f（x ）为递增函数，且最小值为1，可得 5a21，且 5a22a 2，解不等式可得所求范围【解答】解：函数 f（x ） ，可得 x1 时，f（x）1；x1 时，f（x）递增，f（x ）1，第 15 页（共 26 页）对 f（5a2）f（2a 2） ，若 5a21，即 a ，可得 f（5a2）1，不成立；则 5a21，即 a ，且 5a22a 2，解得 a2，可得 a2，故答案为：（ ，2） 【点评】本题考查分段函数
25、的单调性的判断和应用：解不等式，考查运算能力和推理能力，属于中档题15 （5 分）已知双曲线 1 上的一点到两渐近线的距离之积为 ，若双曲线的离心率为 2，则双曲线的虚轴长为 【分析】根据双曲线方程可得它的渐近线方程为 bxay0，利用点到直线的距离，结合已知条件列式，结合离心率，即可得 b【解答】解：根据双曲线 1 上的两条渐近线的方程为 bxay0 或bx+ay0，依题意，点 P（m，n）到两条渐近线的距离之积为 ，即 ，又点 P（m，n）为双曲线上的一点， b 2m2a 2n2a 2b2， ，双曲线的离心率为 2，可得 ，b ，则双曲线的虚轴长为 2 故答案为：
26、2 【点评】本题给出双曲线点到渐近线的距离乘积，双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题16 （5 分）在ABC 中，BAC 60，点 D 在线段 BC 上，且 BC3BD ，AD2，则第 16 页（共 26 页）ABC 面积的最大值为 【分析】设BAD，则 060，根据三角形的面积公式即可求出 AC，AB，则可得 SABC ABACsin603 sin（2+30） ，根据三角函数的性质即可求出【解答】解：设BAD，则 060BC3BD，AD2，S ABD SABC ， ABADsin ABACsin60，AC4 sin，同理可得 A
27、B2 sin（60） ，S ABC ABACsin60 2 sin（60）4 sin 6 sinsin（60）3 （ sincossin 2）3 （ sin2+ cos2 ）3 sin（2+30） ，060，302+30150 sin（2 +30）1，3 sin（2 +30） ，当 30时取等号故ABC 面积的最大值为 ，故答案为： 【点评】本题考查了余弦定理和基本不等式，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必
28、考题：共60 分17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足 Sna n+1 1，且 a11，数列 bn中，b11，b 59，2b nb n+1+bn1 （n2） 第 17 页（共 26 页）（1）求数列a n和b n的通项公式：（2）若 cna nbn，求c n的前 n 项的和 Tn【分析】本题第（1）题对于数列a n可利用公式 anS n Sn1 得到 an+1 和 an 的递推关系式，根据递推关系式判断出数列a n是等比数列，即可求出通项公式，对于数列 bn可根据等差中项判别法判别出数列b n是等差数列，也可求出通项公式；第（ 2）题先求出 cn 的通项公式，然后根据 cn
29、 的通项公式的特点利用错位相减法求出前 n 项的和Tn【解答】解：（1）由题意，可知：对于数列a n：当 n 1 时， a11当 n 2 时， anS nS n1 （a n+11）（a n1） an+1a na n+12a n数列a n是以 1 为首项，2 为公比的等比数列a n2 n1 对于数列b n：2b nb n+1+bn1 （n2） 根据等差中项判别法，可知：数列b n是等差数列又公差 d 数列b n是以 1 为首项，2 为公差的等差数列b n1+（n1）22n1（2）由（1） ，可知：cna nbn，（2n1）2 n1 Tnc 1+c2+cn11+32 1+522+（2n1）2 n1
30、 ，+（2n1）2 n，可得：第 18 页（共 26 页）+22n1 （2n1）2 n1+4（1+2+2 2+2n2 ） （2n1）2 n1+4 （2n1）2 n1+4（2 n1 1）（2n1）2 n（32n）2 n3T n（2n3）2 n+3【点评】本题第（1）题主要考查根据递推公式求出通项公式，以及据等差中项判别法判别出数列是等差数列，然后求出通项公式；第（2）题主要考查利用错位相减法求出数列的前 n 项和18 （12 分）如图，半圆柱 OO 中，平面 ABBA过上下底面的圆心 O，O点C，D 分别在半圆弧 AB，AB上且（1）求证：CD平面 ABBA（2）若 2ACABAA ，求二面角
31、CADB 的余弦值【分析】 （1）在底面半圆周上取点 E，使得 ，连接 DE，证明平面 CDE平面 ABBA ，得出 CD平面 ABBA；（2）建立空间坐标系，求出平面 ABD 和平面 ACD 的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小【解答】 （1）证明：在底面半圆周上取点 E，使得 ，连接 DE，则DEBB，又 ， ，ABCBCE，AB CE，又 ABBBB，CEDE E，平面 CDE平面 ABBA，又 CD平面 CDE，第 19 页（共 26 页）CD平面 ABBA （2）解：以 O 为原点建立空间坐标系 Oxyz，设 OA1，则 A（0，1，0 ） ，B（0，1，0） ，C（ ， ，0
32、） ，D（ ， ，2） （ ， ，2） ， （ ， ，0） ， （0，2，0） ，设平面 ACD 的法向量为 （x，y，z） ，则 ，即 ，令 x1 可得 （1， ， ） ，同理可得平面 ABD 的法向量为 （1，0， ） cos 二面角 CADB 的余弦值为 【点评】本题考查了线面平行的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题19 （12 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的右焦点为 F，点 M（1， ）在椭圆C 上且 MF 垂直于 x 轴（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 P 为椭圆 C 上的动点，直线 PM 与 x4 交于点 N，求证：点 N 到直线 PF 的距离为定值，并求出这个定值第
33、20 页（共 26 页）【分析】 （1）由题意可得 ，解得 a24，b 23，即可求出椭圆的方程，（2）设点 P 的坐标为（x 0，y 0） ，由 M（1， ） ，求出直线 PM 的方程，即可求出点 N的坐标，再求出直线 PF 的方程，由点到直线的距离公式，结合点 P 在椭圆上，化简整理可得点 N 到直线 PF 的距离为定值【解答】解：（1）由题意可得 ，解得 a24，b 23，故椭圆 C 的方程为 + 1证明（2）设点 P 的坐标为（x 0，y 0） ，由 M（1， ） ，可得直线 PM 的方程为 y （x 1） ，将 x4，代入可得 y + ，故点 N（4， + ） ，F（1，0） ，直线
34、 PF 的方程为 y （x 1） ，即 y0x+（1x 0）yy 00点 N 到直线 PF 的距离为 3，故 N 到直线 PF 的距离为定值，定值为 3第 21 页（共 26 页）【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用，属于中档题20 （12 分） “某班的健康调查小组从所在学校共选取 15 名男同学，其年龄、身高和体重数据如表所示（本题中身高单位：cm，体重单位：kg ） 年龄（身高，体重） 年龄（身高，体重）15 （154，48） ， （161，65） ， （168，64） 18 （166，64） ， （168，72） ， （1
35、82，74）16 （158，50） ， （162，59） ， （175，80） 19 （160，51） ， （172，68） ， （178，90）17 （161，60） ， （167，62） ， （173，68）（1）如果某同学“身高一体重100” ，则认为该同学超重，从上述 15 名同学中任选两名同学，其中超重的同学人数为 X，求 X 的分布列和数学期望；（2）根据表中数据，设计两种方案预测学生身高方案：建立平均体重与年龄的线性回归模型，表中各年龄的体重按三名同学的平均体重计算，数据整理如表i 1 2 3 4 5年龄 ti 15 16 17 18 19平均体重 si 59 63.3 64 7
36、0 69.7方案 ：建立平均体重与平均身高的线性回归模型，将所有数据按身高重新分成 6 组：153，158） ，158，163） ，163，168） ，168 ，173） ，173 ，178） ，178，183，并将每组的平均身高依次折算为 155，160，165，170，175，180，各组的体重按平均体重计算，数据整理如表i 1 2 3 4 5 6第 22 页（共 26 页）平均身高 xi 155 160 165 170 175 180平均体重 yi 48 57 63 68 74 82（i）用方案预测 20 岁男同学的平均体重和用方案预测身高 168cm 的男同学的平均体重，你认为哪个更合
37、理？请给出理由；（ii）请根据方察建立平均体重 y 与平均身高 x 的线性回归方程 y x+ （数据精确到 001） 附：b ，a ， ，168775， ，【分析】 （1）15 人中有 4 人超重，故取两人超重的人数 X 的所有取值为 0，1，2X 服从超几何分布，根据计数原理计算概率，列分布列，求期望即可（2） （i）用方案预测身高 168cm 的男同学的平均体重更合理，身高和体重的相关关系强于年龄与体重的相关关系（ii）将所给的数据代入 b 的公式，再根据（ ， ）在回归直线上，可以求出 a，进而得到回归方程【解答】解：根据表中数据，15 人中，有 4 人超重，故随机变量 X 的所有取值为
38、0，1，2，P（X0） ，P （X1） ，P（X2） 所以 X 的分布列为：X 0 1 2P 所以 E（X ）1 +2 （2） （i）对比两种方案，用方案 预测身高 168cm 的男同学的平均体重更合理，第 23 页（共 26 页）因为身高和体重的相关关系强于年龄与体重的相关关系（ii）b 2.295，又因为（ ， ）在回归直线上，ab 2.295 65.333平均体重 y 与平均身高 x 的线性回归方程 y 2.295x+65.333【点评】本题考查了超几何分布，回归分析等知识，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ） （xa）lnxln（lnx） （1）当
39、 ae 时，求曲线 yf （x）在点（e，f （e） ）处的切线方程：（2）若 f（x） 1ln2 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）当 ae 时，对函数进行求导，求出点（e，f（e） ）处的切线的斜率，用点斜式求出切线方程；（2）令 lnxt（0，+） ，把 a 从不等式中分离出来，构造函数，对新函数进行求导，利用导数的单调性，最后求出 a 的取值范围【解答】解：（1）ae 时，f （x） （xe）lnx ln（lnx） ，f（e）0，f'（x） lnx+ ，f'（e） ，于是，函数 yf（x）在点（e，f （e） ）处的切线方程为 y（ ） （xe） ，即 y（
40、 ）x +1 （2）令 lnxt（0，+） ，则 f（x ）1ln2 等价于 （e ta）tlnt 1ln2，即 ae t 恒成立，记 g（t）e t ，则 g（t）e t+ ，再令 h（t）t 2et+2lnt2ln2，则 h（t）（t 2+2t）e t+ 0，于是 h（t）在（0，+）上递增，第 24 页（共 26 页）又 h（2）4e 20，h（ ） 4ln20，所以 h（t）有唯一的零点 x0（ ，2） ，当 t（0，t 0）时，g（t）0，g（t）单调递减；当 t（t 0，+）时，g（t）0，g（t）单调递增，而 t0 满足 t02e +2lnt02ln2 0，即 t0e ln e
41、ln ，令 （t ）te t，则 t0 满足 （t 0）（ln ） ，其中 t0（ ，2） ，ln （0，ln4） ，又 （t）（t+1 ）e t，所以 t（1，+）时，（t）0，（t）单调递增，因此 t0ln ，即 lnt0t 0+ln2，e ，于是 ag（t） ming（t 0）e 2，即 a（，2【点评】本题考查了曲线的切线方程、函数的零点、利用导数研究恒成立问题，属难题选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的极坐标方程为 cos 24cos0，直线 l的参数方程为 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C
42、交于 A、B 两点，且|AB |8，求以 AB 为直径的圆的方程【分析】 （1）两边同乘以 后，用互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程，有直线参数方程消去参数 t 后可得直线 l 的直角坐标方程；（2）联立直线与曲线 C 根据韦达定理以及抛物线的定义可得 tan1，根据中点公式可得 AB 的中点的坐标，再写出圆的方程【解答】解（1）由 cos24cos 0 得2 2cos24cos0x 2+y2x 24x0所以曲线 C 的直角坐标方程为 y24x （3 分）由 ，消去参数 t 得直线 l 的直角坐标方程为 ytan （x1） （5 分）第 25 页（共 26 页）（
43、2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）由得 tan2x2（2tan 2+4）x +tan20所以 ， （7 分）因直线 l 恒过点（1，0）即过抛物线 C 的焦点，所以 （8 分）由题设知 ，又 ，故 tan1，因此 l 的方程为 yx1又|AB| x1+x2+28 x1+x26，所以 AB 的中点坐标为（ 3，2） ， （9 分）因此所求圆的方程为（x3） 2+（y2） 216 &nb
44、sp; （10 分）【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23 （10 分）设函数 f（x ）|2x+1|+|x1| （1）求不等式 f（x ）2 的解集；（2）当 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）通过去掉绝对值符号，转化求解不等式即可（2）画出函数的图象，利用数形结合转化求解即可【解答】解：（1） ，f（x ）2 等价于 或或 ，所以 或 0x1 或 x1，故原不等式的解集为 （5 分）（2）yf（x）的图象如图所示： ，B（1，3） ，直线 过定点第 26 页（共 26 页）因为 ，所以 （10 分）【点评】本题考查函数与方程的应用，绝对值不等式的解法，考查数形结合以及计算能力
