1、第 13 讲 计算综合一内容概述了解等比数列的基本概念，学会利用错位相减的方法进行求和；灵活使用各种方法简化较复杂的分散算式；具有一定综合性的“定义新运算”问题；较复杂的数列与数表问题典型问题兴趣篇1计算 ;2561843216842)( 2计算 .3365423计算 09209251514计算 653421535计算 21049318274631524312 6规定新运算“*”为：a*b=3 a 2 b.（1）计算： （2）已知 ，求 x);56*4(356)4*(3x7图 17-1 中除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，例如：2.75 是 2.5 和 3
2、的平均数，请问：第 100 行中的各数之和是多少？8有这样一列数，前两个数分别是 0 和 1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和：0，l，l，2，3，5，8，13，21，34，请问：这个数列的第 1000 个数除以 8 所得的余数是多少？9观察下面的数阵：根据前五行数所表达的规律，求：(1)嚣这个数在由上至下的第几行？在这一行中，它是由左向右的第几个？(2)第 28 行第 19 个数是什么？10观察数列 求，,4123,4,132,12,(1)数列中第 150 项；(2) 数列中前 300 项的和拓展篇1如图 17-2，有一个边长为 81 厘米的等边三角形，将它每条边都三等分，以中间那一
3、份为边向外作等边三角形，得到图 17-3.由图 17-3 通过同样方法又得到图 17-4.如果再由图17-4 通过同样方法得到一个新的图形，试问：这个新的图形的周长是多少？2计算： ;221)( 765432 7654323111)(3某工厂生产一种新型的乒乓球，第一天生产出了若干个，接下来每天的产量恰好是前一天的 1.5 倍，且每天都生产整数个乒乓球，请问：第一周的总产量至少是多少？4计算： 403286|432115计算： ).19819879( 226对于任意的两个自然数 a 和 b，规定新运算“ ”为：求 x 的值。)2(1ab ,15603)().1(x如 果7定义新运算 ab 为
4、a 与 b 之间( 包含 a、b)所有与 a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如：714=(7+9+11 +13) 4=10，1810=(18+16+14+12+10) 5=14.(1)计算：1019；(2)在算式口 (1999)= 80 的方框中填入恰当的自然数后可使等式成立，请问：所填的数是什么？81 至 2008 这 2008 个自然数的所有数字之和是多少？9有一串数如下：1，2，4，7，11，16，它的规律是：由 1 开始，依次加 1，加 2，加 3，逐个产生这串数，直到第 50 个数为止，求第 50 个数除以 3 的余数1070 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的 3 倍都恰
5、好等于与它相邻的两个数之和这一行最左边的几个数是这样的：0，l，3，8，21，请问：这列数中除以 6余 l 的数有多少个？11观察数列 的规律，问：2087,5,10;875,36,14,2(1)数列中第 2008 项是什么？ (2)数列中前 2008 项的和是多少？12将从 1 开始的自然数按照如图 17-5 所示的规律排成数阵，数 1000 所在的行与列中分别有一个最小的数，求这两个数的和超越篇1求所有分母为 360 的最简真分数的和2有一种运算“*” ，满足以下条件：2 * 3 = 5；a * b = b * a；a *（b + c）=a * b * c （这里的“+”是通常的加号）请计
6、算：8*93下面的数列是按某种规律排列的：1，3，4，7，11，18，29，47， 试问：(1)其中第 300 个数被 6 除余几？(2)如果数列按第 n 组含有 n 个数的规律分组，成为： (1)， (3，4) ，(7，11，18)，那么第 300 组内各数之和除以 6 的余数是多少？4如图 17-6 所示的三角形数阵中，从第 2 行起，每行都是把上一行抄一遍，然后在相邻两数之间填入它们的和，请问：第 999 行各数之和被 7 除所得的余数是多少？5有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点上标上 1；第二次，再将两个半圆周分别分成两个 圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和
7、的 ；第三次，41 2再将四个 圆周分别分成两个 圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的 ；第四次，418 3再将八个 圆周分别分成两个 圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的 如816 41此进行了 100 次请问：最后圆周上的所有数之和是多少？6将非零自然数按照图 17-7 中的规律不断写出，发现有些数被写出多次，还有些数永远不会出现，请问：99 在数表中共出现过几次？最后一次位于哪里？最小的永不出现的数是多少？7请写出 5 个不同的最简分数，分子都是 2，而且这 5 个分数组成一个等差数列8规定运算“”对任意的 x、y、z 都满足 y x = 5，x (yz)=(xy) + z 5，
8、试求20091949.第 17 讲 计算综合一内容概述 了解等比数列的基本概念，学会利用错位相减的方法进行求和；灵活使用各种方法简化较复杂的分散算式；具有一定综合性的“定义新运算”问题；较复杂的数列与数表问题典型问题兴趣篇1 计算 ;2561843216842)( 答案：511解析：设 S=1+2+4+8+16+32+64+128+256则 2S=2+4+8+16+32+64+128+256+512那么 S=2S-S=512-1=511 25618643218421)(答案：1255256解析：设 S= 11)(则 S= + + + + + + + +12 121418116132164 11
9、28 1256 1512S=S- S=1- =12 12 1512511512所以 S=2 =1511512 2552562计算 .334答案：1092解析：设 S=3+32+33+34+35+36则 3S=32+33+34+35+36+372S=3S-S=37-3=2184所以 S=21842=10923计算 0920925151答案：285287解析：分子化简为 1995（1+10001+100010001）分母化简为 2009（1+10001+100010001）分子分母同时约去 1+10001+100010001原式= =199520092852874计算 65343答案：126解析：
10、原式=（40+1 ） +（50+2 ） +（60+3 ）13 34 12 45 35 56=40 + +50 + +60 + 3443 34 4552 45 56185 56=30+1+40+2+50+3=1265计算 21049318274631524312 答案：170334解析：原式=（ 1+100）1002-（3+99 ）3322+（ + - ）33+121314 12=5050-3366+19 +1412=1703346规定新运算“*”为：a*b=3 a 2 b.（1）计算： （2）已知 ，求 x);56*(356)4*(3x（1）答案：1310解析：原式= *(3 -2 )43 5
11、4 65= *( - )43 154125= *432720=3 -243 2720=1310（2）答案：1310解析： *(x )=43 54 65所以 3 -2(x )=43 54 65所以 x* =（3 - ）2=54 4365 75所以 3x-2 =5475所以 x=（ +2 ）3=175 54 3107图 17-1 中除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，例如：2.75 是 2.5 和 3 的平均数，请问：第 100 行中的各数之和是多少？答案：204解析：各行的和构成一个等差数列：6，8，10，12，14第 100 个数为 6+（100-1）2=20
12、4，即第 100 行个数之和为 2048有这样一列数，前两个数分别是 0 和 1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和：0，l，l，2，3，5，8，13，21，34，请问：这个数列的第 1000 个数除以 8 所得的余数是多少？答案：2解析：这一列数除以 8 的余数分别为：0、1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1、0、1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1，每12 个循环一次，100012=834，所以这个数列的第 1000 个数除以 8 所得的余数是2。9观察下面的数阵：根据前五行数所表达的规律，求：(1) 这个数在由上至下的第几行？在这一行中，它是由左向右的第几个？3367(
13、2)第 28 行第 19 个数是什么？（1）答案：第 99 行，第 67 个解析：通过观察，每一行的分数，它的分子与分母的和与所在行数的差是 1。例如：第 1 行的分数，分数的分子与分母的和为 2；第 2 行的分数，每个分数的分子与分母的和为 3；第 3 行的分数，每个分数的分子与分母的和为 4；所以， 应该在第 33+67-1=99 行，第 99 行的所有分数的分子从 99 开始倒序，分子 33 所3367在的位置应该是第 99-33+1=67 个。（2）答案：1019解析：第 28 行的分数的分子从左到右是从 28 开始倒序的，第 19 个数的分子是 28-19+1=10，在利用分子与分母
14、的和等于行数加一，求得分母应该是 28+1-10=19，所以第 28行第 19 个分数是 。101910观察数列 求，,4123,4,132,2,(1)数列中第 150 项；(2) 数列中前 300 项的和（1）答案：613解析：分子和分母都是有规律的，把这些分数按分母大小分组如下:( ),( , , ),( , , , , ),( , , , , , , )11 122212 1323332313 14243444342414第一组 1 项，第二组 3 项，第三组 5 项，要求第 150 项是多少，就得知道第 150项是第几组第几个数。由于 1+3+5+21+23=122=144，所以 15
15、0 是在有 25 个数的那一组中的第 150-144=6 个数。而第 13 组有 25 个数，所以第 150 项是第 13 组第 6 个数，是 。613（2）答案：15623解析：先确定第 300 项在哪一组：1+3+5+31+33=17 2=289,300-289=11，所以第300 项是第 18 组的第 11 个数，即 。所以前 300 项的和为：1+2+3+4+16+17+1118+ + =156118 218 1118 23拓展篇1如图 17-2，有一个边长为 81 厘米的等边三角形，将它每条边都三等分，以中间那一份为边向外作等边三角形，得到图 17-3.由图 17-3 通过同样方法又
16、得到图 17-4.如果再由图17-4 通过同样方法得到一个新的图形，试问：这个新的图形的周长是多少？答案：576 厘米解析：通过观察可知，每个图形的周长比上一个图形周长增加了原来的 ，即是上一个图形13周长的 倍，所以第四幅图形的周长应为：813 =576（厘米）43 43 43 432 计算： ;221)( 76542答案：255解析：设 S=1+2+22+23+24+25+26+27则 2S=2+22+23+24+25+26+27+28 那么 S=2S-S=28-1=255 7654323111)(答案：110932187解析：设 S=1+ + + + + + +13 132 133 13
17、4 135 136 137则 S= + + + + + + +13 13 132 133 134 135 136 137 138那么 S=1- = ，S= =123 13865606561 65606561 23 109321873某工厂生产一种新型的乒乓球，第一天生产出了若干个，接下来每天的产量恰好是前一天的 1.5 倍，且每天都生产整数个乒乓球，请问：第一周的总产量至少是多少？答案：2059 个解析：设第一天生产 a 个乒乓球，那么第二天生产 a 个，第三天生产 a 个,第七天32 3222生产 a 个，a 代表的个数至少和 26 相等，才能保证每天生产的乒乓球个数为整数。那么3626每天
18、的生产量分别为：2 6=64 个、64 =96 个、96 =144 个、144 =216 个、32 32 32216 =324 个、324 =486 个、486 =729 个，总数为 2059 个。32 32 324计算： 40386|4311答案：14解析：原式= 123+123222+ +123100100100234+234222+ +234100100100= 123(1+222+ +100100100)234(1+222+ +100100100)= 145计算： ).19819879( 22答案：7987解析：通过提取公因数，原式= （ + ）798 798 19991998+119
19、981999+1= （ +1）798 798= 798 878=79876对于任意的两个自然数 a 和 b，规定新运算“ ”为：求 x 的值。)2(1ab ,15603)().1(x如 果答案：2解析：设 x 3=y，原式=y （y+1 ）（y+2）=15600=2 435213=242526则 y=24，即 x 3= x（x+1 ）（x+2）=24=2 33=234，所以 x=27定义新运算 ab 为 a 与 b 之间( 包含 a、b)所有与 a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如：714=(7+9+11 +13) 4=10，1810=(18+16+14+12+10) 5=14.(1)计算：1
20、019；(2)在算式口 (1999)= 80 的方框中填入恰当的自然数后可使等式成立，请问：所填的数是什么？（1）答案：14解析：1019=（10+12+14+16+18）5=14（2）答案：100 或 101解析：714=(7+9+11+13) 4=10，可以转化成 714=（7+13）2=10，1810=(18+16+14+12+10) 5=14，可以转化成 1810=（18+10）2=14，即求a、b 两数之间最大和最小两个奇（偶）数的平均值。由此如下解题：1999=（19+99）2=59 ，假设 “口”中填入的是 x，当 x 为奇数时，x59=(x+59)2=80，x=101；当 x
21、为偶数时，x59=(x+60)2=80 ，x=10081 至 2008 这 2008 个自然数的所有数字之和是多少？答案：28054解析：在一位数和两位数的前面补 0 变成三位数，不会影响最终计算结果。首先考虑从 0到 999 这 1000 个数（从 0 开始等于从 1 开始，也不影响最终结果） ，从 000 到 999 这 1000个数总共 3000 个数字，09 这 10 个数字出现的次数相同，都各自出现了 300010=300 次，所以数位和=（0+1+2+3+4+5+6+7+8+9）300=13500 ，同理 10001999 的数字之和就是1000 个 1 加上 000999 的数字
22、和，即 1000+13500=14500，20002008 的数字和为29+（1+2+3+4+5+6+7+8）=54，因此，11 至 2008 这 2008 个自然数的所有数字之和为；13500+14500+54=28054。 9有一串数如下：1，2，4，7，11，16，它的规律是：由 1 开始，依次加 1，加 2，加 3，逐个产生这串数，直到第 50 个数为止，求第 50 个数除以 3 的余数答案：2解析：这一列数除以 3 的余数分别为：1、2、1、1、2、1、1、2、1、1、2，从排列规律看，从第三项开始，每 3 个数一个循环。 （50-2）3=160，所以第 50 个数除以 3 的余数应
23、该是 2。1070 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的 3 倍都恰好等于与它相邻的两个数之和这一行最左边的几个数是这样的：0，l，3，8，21，请问：这列数中除以 6余 l 的数有多少个？答案：12 个解析：这一列数除以 6 的余数分别为：0、1、3 、2、3、1、0、5、3、4、3、5、 0、1、3 、2、3、1，从排列规律看，每 12个数一个循环，每个循环中 2 个余数为 1，7012=510，所以这 70 个数除以 6 余 1 的共：25+2=12 个。11观察数列 的规律，问：2087,5,0;875,6,4, (1)数列中第 2008 项是什么？ (2)数列中前 2008
24、项的和是多少？（1）答案：109126解析：分子和分母都是有规律的，把这些分数按分母大小分组如下:( ),( , ),( , , )（ , , ）每组的分子都是奇数，分母是偶数，12 1434 163656 12008 32008 52008 20072008分数的个数等于分母的 。12第一组 21=1 项，第二组 42=2 项，第三组 62=3 项，要求第 2008 项是多少，就得知道第 2008 项是第几组第几个数。由于 1+2+3+4+62=1953，所以第 2008 是在有63 个数的那一组中的第 2008-1953=55 个数。所以数列中第 2008 项分数的分母是632=126，分
25、子是 552-1=109，即为 。109126（2）答案：10003263解析：据观察发现，第一组所有分数的和是 ，第二组所有分数的和是 1，第三组所12有分数的和是 1 ，相邻组内所有分数和成等差数列，公差是 。所以，数列中前 200812 12项的和为： +1+1 +2+2 +30 +31+（ + + + + ）=( +31)62 +12 12 12 12 1126 3126 5126 107126109126 12 12=976 +24 =10001+3+5+107+109126 12 1126 326312将从 1 开始的自然数按照如图 17-5 所示的规律排成数阵，数 1000 所在
26、的行与列中分别有一个最小的数，求这两个数的和答案：1594解析：观察数阵可知，每奇数列的第一个数字是这个奇数的平方，每偶数行的第一个数是这个偶数的平方。31 2=961,第 32 列的第一个数字是 961+1=962，962+31=993，1000-963=7，所以 1000 在第 32 行的第 32-7=25 个位置，其所在行和列的最小数分别为：252+25+1=601、993，其和为 601+993=1594。超越篇1求所有分母为 360 的最简真分数的和答案：48解析：要求分母为 360 的最简分数，就要排除非最简分数。而非最简分数的分子一定是360 的约数或者是 360 的约数的倍数，
27、这样的数一共有： + + + + +3602 3603 3605 36023 36025+ =264 个，最简分数有 360-264=96 个，每 2 个的和是 1，所以总和为36035 360235962=482有一种运算“*” ，满足以下条件：2 * 3 = 5； a * b = b * a； a *（b + c）=a * b+a * c （这里的“+”是通常的加号）请计算：8*9答案：60解析：8*9=8*（3+6 ）=8*3+8*6=8*3+8*（3+3）=8*3+8*3+8*3=3（8*3）=3(2+2+2+2)*3=34（2*3）=34 5=603下面的数列是按某种规律排列的：1，
28、3，4，7，11，18，29，47， 试问：(1)其中第 300 个数被 6 除余几？(2)如果数列按第 n 组含有 n 个数的规律分组，成为： (1)， (3，4) ，(7，11，18)，那么第 300 组内各数之和除以 6 的余数是多少？(1)答案：4解析：用数列的每个数去除 6，找到余数的排列规律如下：1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,0,1,1,2,3,5,2， 1,3,4,1,5,0,5,5,4，循环周期为 24，30024=1212，即循环 12 个整周期后，下一周期的第 12 个数即为答案。(2)答案：4解析：根据和的余数等于余数的和，找到每组数
29、之和除以 6 的余数分别为：1,1,0,5,3,4,1,3,2,5,3,4,3,5,2,3,1,4,3,5,0,1,1,0,1,1,0,5,3,4,通过排列规律可以发现，每 24 个数一个循环周期，30024=1212，即循环 12 个整周期后，下一周期的第 12 个数即为答案。4如图 17-6 所示的三角形数阵中，从第 2 行起，每行都是把上一行抄一遍，然后在相邻两数之间填入它们的和，请问：第 999 行各数之和被 7 除所得的余数是多少？答案：3解析：我们发现这个数列每一行的第一个数字和最后一个数字都是 1，我们先来找一下每一行各数之和的规律，假设某一行所含的数为：1、a、b、c、d、e、
30、1，假设和为 m。那么下一行所包含的数为：1、1+a、a、a+b、b、b+c、c 、c+d 、d、d+e、e、e+1 、1，除 1 之外，每个字母都出现了三次，所以这行数的和 n=3m-2，即数列中每一行的和是上一行和的 3 倍减去 2。由此规律算出每行的和之后，每行的和除以 7 所得的余数规律如下：2、4、3、0、5、6、2、4、3、0、5、6、2每 4 个数一个循环周期，9996=1663，所以第 999 行各数之和被 7 除所得的余数是 3。5有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点上标上 1；第二次，再将两个半圆周分别分成两个 圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的
31、 ；第三次，41 2再将四个 圆周分别分成两个 圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的 ；第四次，418 3再将八个 圆周分别分成两个 圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的 如816 41此进行了 100 次请问：最后圆周上的所有数之和是多少？答案：3434解析：第一次的和为：2 第二次的和为：2（1+ 2）=412第三次的和为：4（1+ 2）=613 23第四次的和为：6 （1+ 2）=1023 14第 100 次的和为：2（1+ 2）（1+ 2） （1+ 2）12 13 23 14（1+ 2）=2 =34341100 42 53 64 75 10199 1021006将非零自然数按照
32、图 17-7 中的规律不断写出，发现有些数被写出多次，还有些数永远不会出现，请问：（1）99 在数表中共出现过几次？（2）最后一次位于哪里？（3）最小的永不出现的数是多少？（1）答案：14解析：由给出的数表我们可以观察出，每行 99 个连续自然数按由小到大的顺序排列，每列从第二个数开始，每个数跟上一个数的差分别为 1、2、3、4、5，由于每行的数按由小到大排列，所以只有每行的第一个数不大于 99 时，99 才会在此行出现，切出现一次，那么我们按照每列之间的规律找到：1+1+2+3+4+13=92991+1+2+3+14=106，所以第 14 行的第一个数是 92，第 15 行的第一个数是 10
33、6，所以前 14 行的每一行都会出现一次 99，共 14 次。（2）答案：第 14 行第 8 列解析：有上题可知，99 最后一次出现在第 14 行，第 14 行第一个数是 92，99-92+1=8，所以 99 最后一次应该是出现在第 14 行第 8 列。（3）答案：5050解析：由以上两题我们知道，每行 99 个数，假设某一行的第一个数是 a，那从从a 至 a+98 这 99 个数都会出现，如果下一行的第一个数是 a+100，或大于 a+100，那么a+99 这个数就永远不会出现。1+1+2+3+4+99+100=5051,5051-1=5050，所以最小的永远不会出现的数是 5050。7请写
34、出 5 个不同的最简分数，分子都是 2，而且这 5 个分数组成一个等差数列答案： 、 、 、 、2315 2105263245 235解析：设这 5 个分数的分母分别是 a、b、c、d、e ，通分之后应该是 2a、2b、2c 、2d、2e的形式。由于是最简分数，且分子为 2，所以 a、b、c、d、e 这 5 个分母都不可能是偶数，而且构成一个等差数列，此时分母应为 a、b、c、d、e 这 5 个数的最小公倍数，以1、3、5、7、9 来举例，1,3,5,7,9=315, 这 5 个分数分别为： 、 、 、 、 ，化简2315 6315103151431518315即得 、 、 、 、2315 2105263245 2358规定运算“”对任意的 x、y、z 都满足 y x = 5，x (yz)=(xy) + z 5，试求20091949.题目错误
