1、特殊平行四边形全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 理解矩形、菱形的概念，探索并证明矩形、菱形的性质定理，以及它们的判定定理.2. 理解正方形的概念，探索并掌握正方形的对称性及其他有关性质，以及一个四边形是正方形的条件.3.会初步综合应用特殊平行四边形的知识，解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、矩形1定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3面积： 宽 长矩 形 S判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（
2、3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3面积： 2对 角 线对 角 线高 底菱 形 S4判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直
3、角的四边形叫做正方形.2性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3面积： =S形边长边长 12对角线对角线4判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、矩形1、 （2015 春青山区期中）如图 1，已知 ABCD，AB=
4、CD，A=D（1）求证：四边形 ABCD 为矩形；（2）E 是 AB 边的中点，F 为 AD 边上一点，DFC=2BCE如图 2，若 F 为 AD 中点，DF=1.6，求 CF 的长度：如图 2，若 CE=4，CF=5，则 AF+BC= ，AF= 【答案与解析】（1）证明：ABCD，AB=CD，四边形 ABCD 为平行四边形，A=D，A+D=180，A=90，四边形 ABCD 为矩形；（2）解：延长 DA，CE 交于点 G，四边形 ABCD 是矩形，DAB=B=90，ADBC，GAE=90，G=ECB，E 是 AB 边的中点，AE=BE，在AGE 和BCE 中， ，AGEBCE（AAS） ，A
5、G=BC，DF=1.6，F 为 AD 中点，BC=3.2，AG=BC=3.2，FG=3.2+1.6=4.8，ADBC，DFC=BCF，DFC=2BCE，BCE=FCE，ADBC，BCE=G，CF=FG=4.8；若 CE=4，CF=5，由得：AG=BC，CF=FG，GE=CE=4，AG=AD，CG=8，AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；故答案为：5；设 DF=x，根据勾股定理得：CD 2=CF2DF 2=CG2DG 2，即 52x 2=82（5+x） 2，解得：x= ，DG=5+ = ，AD= DG= ，AF=ADDF= ；故答案为： 【总结升华】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判
6、定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；本题有一定难度.举一反三：【变式】如图，O 为ABC 内一点，把 AB、OB、OC、AC 的中点 D、E、F、G 依次连接形成四边形 DEFG（1）四边形 DEFG 是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形 DEFG 是矩形，点 0 所在位置应满足什么条件？说明理由【答案】解：（1）四边形 DEFG 是平行四边形理由如下：D、G 分别是 AB、AC 的中点，DG 是ABC 的中位线；DGBC，且 DG 12BC；同理可证：EFBC，且 EF BC；DGEF，且 DGEF；故四边形 DEFG 是平行四边形；（2）O 在 BC 边的高上且 A 和垂足除外
7、理由如下：连接 OA；同（1）可证：DEOAFG；四边形 DEFG 是矩形，DGDE；OABC；即 O 点在 BC 边的高上且 A 和垂足除外2、在 RtABC 中，ACB90，BC4过点 A 作 AEAB 且 ABAE，过点 E 分别作 EFAC，EDBC，分别交 AC 和 BC 的延长线与点 F，D若 FC5，求四边形 ABDE 的周长【思路点拨】首先证明ABCEAF，即可得出 BCAF，ACEF，再利用勾股定理得出 AB的长，进而得出四边形 EFCD 是矩形，求出四边形 ABDE 的周长即可【答案与解析】解：ACB90，AEAB，1B1290B2 EFAC，459034在ABC 和EAF
8、 中，342BAE，ABCEAF（AAS） BCAF，ACEFBC4，AF4FC5，ACEF9在 RtABC 中，AB 22497CBA.AE 7EDBC，76590四边形 EFCD 是矩形CDEF9，EDFC5四边形 ABDE 的周长ABBDDEEA 97495 7182 9【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出 ACEF9 是解题关键举一反三：【变式】 （2015杭州模拟）如图，平行四边形 ABCD 中，AC=6，BD=8，点 P 从点 A 出发以每秒 1cm 的速度沿射线 AC 移动，点 Q 从点 C 出发以每秒 1cm 的速度沿射线
9、 CA 移动（1）经过几秒，以 P，Q，B，D 为顶点的四边形为矩形？（2）若 BCAC 垂足为 C，求（1）中矩形边 BQ 的长【答案】解：（1）当时间 t=7 秒时，四边形 BPDQ 为矩形理由如下：当 t=7 秒时，PA=QC=7，AC=6，CP=AQ=1PQ=BD=8四边形 ABCD 为平行四边形，BD=8AO=CO=3BO=DO=4OQ=OP=4四边形 BPDQ 为平形四边形，PQ=BD=8四边形 BPDQ 为矩形；（2）由（1）得 BO=4，CQ=7，BCACBCA=90BC2+CQ2=BQ2BQ= 类型二、菱形3、如图，平行四边形 ABCD 中，ABAC，AB1，BC 5对角线
10、AC，BD 相交于点O，将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC，AD 于点 E，F.（1）证明：当旋转角为 90时，四边形 ABEF 是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段 AF 与 EC 总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数【思路点拨】 （1）当旋转角为 90时，AOF90，由 ABAC，可得 ABEF，即可证明四边形 ABEF 为平行四边形；（2）证明AOFCOE 即可；（3）当 EFBD 时，四边形BEDF 为菱形，又由 ABAC，AB1，BC 5，易求得 OAA
11、B，即可得AOB45，求得AOF45，则可得此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的最小度数为 45【答案与解析】（1）证明：当AOF90时，ABEF，又 AFBE，四边形 ABEF 为平行四边形 （2）证明： 四边形 ABCD 为平行四边形，AOCO，FAOECO，AOFCOE.AOFCOEAFCE（3）四边形 BEDF 可以是菱形 理由：如图，连接 BF，DE，由（2）知AOFCOE，得 OEOF，EF 与 BD 互相平分当 EFBD 时，四边形 BEDF 为菱形 在 RtABC 中， 512AC，OA1AB，又 ABAC，AOB45， AOF45，AC 绕点 O 顺时针旋转 45时，四边形 B
12、EDF 为菱形【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】已知:如图所示，BD 是ABC 的角平分线，EF 是 BD 的垂直平分线，且交 AB 于 E，交 BC 于点 F.求证:四边形 BFDE 是菱形.【答案】证明：EF 是 BD 的垂直平分线，EBED，EBDEDB.又EBD FBD，FBDEDB，EDBF. 同理，DFBE， 四边形 BFDE 是平行四边形.又EBED，四边形 BFDE 是菱形.4、在 口 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD2AB，点 E、F 分别是 OA、BC 的中点
13、连接 BE、EF（1）求证：EFBF；（2）在上述条件下，若 ACBD，G 是 BD 上一点，且 BG：GD3：1，连接 EG、FG，试判断四边形 EBFG 的形状，并证明你的结论【思路点拨】（1）根据平行四边形性质推出 BD2BO，推出 ABBO，根据三线合一定理得出 BEAC，在BEC 中，根据直角三角形斜边上中线性质求出 EFBFCF 即可；（2）根据矩形性质和已知求出 G 为 OD 中点，根据三角形中位线求出 EGAD，EG 12BC，求出 EGBC，EG 12BC，求出 BFEG，BFEG，EGGF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可【答案与解析】（1）证明：四边形 ABCD 是
14、平行四边形，BD2BO，BD2AB，ABBO，E 为 OA 中点，BEAC，BEC90，F 为 BC 中点，EFBFCF，即 EFBF；（2）四边形 EBFG 是菱形，证明：连接 CG，四边形 ABCD 是平行四边形，ACBD，四边形 ABCD 是矩形，ADBC，ABCD，ADBC，BD2BO2OD，BD2AB2CD，OCCD，BG：GD3：1，OBOD，G 为 OD 中点，CGOD（三线合一定理），即CGB90，F 为 BC 中点，GF 12BC AD，E 为 OA 中点，G 为 OD 中点，EGAD，EG AD，EGBC，EG 12BC，F 为 BC 中点，BF BC，EGGF，即 EGB
15、F，EGBF，四边形 EBFG 是平行四边形，EGGF，平行四边形 EBFG 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半类型三、正方形5、 （2016日照）如图，在正方形 ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上两点，且EAF=45，将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90后，得到ABQ，连接 EQ，求证：（1）EA 是QED 的平分线；（2）EF 2=BE2+DF2【思路点拨】 （1）
16、直接利用旋转的性质得出AQEAFE（SAS） ，进而得出AEQ=AEF，即可得出答案；（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案【答案与解析】证明：（1）将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90后，得到ABQ，QB=DF，AQ=AF，BAQ=DAF，EAF=45，DAF+BAE=45，QAE=45，QAE=FAE，在AQE 和AFE 中，AQEAFE（SAS） ，AEQ=AEF，EA 是QED 的平分线；（2）由（1）得AQEAFE，QE=EF，在 RtQBE 中，QB2+BE2=QE2，则 EF2=BE2+DF2【总结升华】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，
17、正确得出AQEAFE（SAS）是解题关键举一反三：【变式】如图（1），正方形 ABCD 和正方形 CEFG 有一公共顶点 C，且 B、C、E 在一直线上，连接 BG、DE（1）请你猜测 BG、DE 的位置关系和数量关系？并说明理由（2）若正方形 CEFG 绕 C 点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG 和 DE 是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由【答案】解：(1)BGDE，BGDE；理由是：延长 BG 交 DE 于点 H，因为 BCDC，CG CE，BCGDCE所以BCGDCE，所以 BGDE，GBCCDE由于CDECED90，所以GBCDEC90， 得B
18、HE90所以 BGDE.(2)上述结论也存在理由：设 BG 交 DE 于 H，BG 交 DC 于 K，同理可证BCGDCE，得 BGED，KBCKDH又因为KBCBKC90，可得DKHKDH90，从而得KHD90所以 BGDE.6、探究：如图，在四边形 ABCD 中，BADBCD90，ABAD，AECD 于点E若 AE10，求四边形 ABCD 的面积应用：如图，在四边形 ABCD 中，ABCADC180，ABAD，AEBC 于点 E若AE19，BC10，CD6，则四边形 ABCD 的面积为_.【思路点拨】探究：过点 A 作 AFCB，交 CB 的延长线于点 F，先判定四边形 AFCE 为矩形，
19、根据矩形的四个角都是直角可得FAE90，然后利用同角的余角相等求出FABEAD，再利用“角角边”证明AFB 和AED 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AEAF，从而得到四边形 AFCE 是正方形，然后根据正方形的面积公式列计算即可得解；应用：过点 A 作 AFCD 交 CD 的延长线于 F，连接 AC，根据同角的补角相等可得ABCADF，然后利用“角角边”证明ABE 和ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AFAE，再根据 ABCDDSSV四 边 形 列式计算即可得解【答案与解析】解:探究：如图，过点 A 作 AFCB，交CB 的延长线于点 F，AECD，BCD90，四边形 AFCE
20、 为矩形，FAE90，FABBAE90，EADBAE90，FABEAD，在AFB 和AED 中，90FABED，AFBAED（AAS），AFAE，四边形 AFCE 为正方形， AFCEABCDS正 方 形四 边 形 210100；应用：如图，过点 A 作 AFCD 交 CD 的延长线于 F，连接 AC，则ADFADC180，ABCADC180，ABCADF，在ABE 和ADF 中，90ABCDFE，ABEADF（AAS），AFAE19， ABCDDSSV四 边 形 12BCAE CDAF 1019 126199557152故答案为：152【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键；（2）作辅助线构造出全等三角形并把四边形分成两个三角形是解题的关键
