1、2020 年广东省广州市数学模拟试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）13 的倒数是（ ）A3 B C D32将如图所示的等腰直角三角形经过平移得到图案是（ ）A B C D3下列计算中正确的是（ ）Aa 2+a3=a5 Ba 3a2=a Ca 2a3=a6 Da 3a2=a4某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间（小时） 5 6 7 8人数 10 15 20 5则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ）A6.2 小时 B6.4 小时 C6.5 小时 D7 小时5二次函数 y=3（xh） 2+k 的图象如
2、图所示，下列判断正确的是（ ）Ah0，k0 Bh0，k0 Ch0，k0 Dh0，k06如图，直线 ab下列关系判断正确的是（ ）A1+2=180 B1+2=90 C1=2 D无法判断7不等式组 的解集为（ ）Ax1 B2x1 Cx 2 D无解8如图，在ABD 中，D=90，CD=6，AD=8，ACD=2B，则 BD 的长是（ ）A12 B14 C16 D189若函数 y=kx3 的图象如图所示，则一元二次方程 x2+x+k1=0 根的存在情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C没有实数根 D无法确定10四边形 ABCD 中，BAD=130，B= D=90，在 BC、CD 上分
3、别找一点 M、N，使三角形 AMN 周长最小时，则AMN+ANM 的度数为（ ）A80 B90 C100 D130二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11如果 有意义，那么 x 的取值范围是 12因式分解：a 23ab= 13若O 的直径为 2，OP=2，则点 P 与O 的位置关系是：点 P 在O 14如图，在边长为 1 的小正反形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，则 tanB 的值为 15如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 16利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入
4、1 2 3 4 5 输出 当输入的数据是 8 时，输出的数据是 ，当输入数据是 n 时，输出的数据是 三、解答题（本大题共 9 小题，共 102 分）17解分式方程： = 18已知：E、F 是ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF=CE ，求证：CDF=ABE19先化简，再求值：（m1） 2m（n2） （m1）（m+1），其中 m 和 n 是面积为 5 的直角三角形的两直角边长202017 年 3 月全国两会胜利召开，某学校就两会期间出现频率最高的热词：A蓝天保卫战，B不动产保护，C经济增速，D 简政放权等进行了抽样调查，每个同学只能从中选择一个“我最关注” 的热词，如图是根据调查结果绘制的
5、两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了 名同学；（2）条形统计图中，m= ，n= ；（3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词 D 的学生的概率是多少？21如图，在 RtABC 中，ABC=90，AB=3，BC=4，AD 是BAC 的平分线（1）尺规作图：过点 D 作 DEAC 于 E；（2）求 DE 的长22某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知 2 根 A 型跳绳和 1 根 B 型跳绳共需 56 元，1 根 A 型跳绳和 2 根 B 型跳绳共需 82 元（1）求一根 A 型跳绳和一根 B 型跳绳的售价各是多少元？（2）学校准备购
6、进这两种型号的跳绳共 50 根，并且 A 型跳绳的数量不多于 B型跳绳数量的 3 倍，请设计书最省钱的购买方案，并说明理由23如图，在矩形 OABC 中，OA=3，OC=2，F 是 AB 上的一个动点（F 不与A，B 重合），过点 F 的反比例函数 y= （k0）的图象与 BC 边交于点 E（1）当 F 为 AB 的中点时，求该函数的解析式；（2）当 k 为何值时，EFA 的面积为 24已知O 中，弦 AB=AC，点 P 是BAC 所对弧上一动点，连接PA，PB（1）如图，把ABP 绕点 A 逆时针旋转到ACQ，连接 PC，求证：ACP+ACQ=180；（2）如图，若BAC=60，试探究 PA
7、、PB、PC 之间的关系（3）若BAC=120 时，（ 2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明25在坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（3，0）和 B（1，0），与y 轴交于点 C，（1）求抛物线的表达式；（2）若点 D 为此抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，当DAC 的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）设抛物线顶点关于 y 轴的对称点为 M，记抛物线在第二象限之间的部分为图象 G点 N 是抛物线对称轴上一动点，如果直线 MN 与图象 G 有公共点，请结合函数的图象，直接写出点 N 纵坐标 t 的取值范围参考答案与试题
8、解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）13 的倒数是（ ）A3 B C D3【考点】17：倒数【分析】利用倒数的定义，直接得出结果【解答】解：3（ ）=1，3 的倒数是 故选：C 2将如图所示的等腰直角三角形经过平移得到图案是（ ）A B C D【考点】Q5：利用平移设计图案；KW：等腰直角三角形【分析】根据平移的性质即可得出结论【解答】解：由平移的性质可知，只有 B 选项可以通过平移得到故选 B3下列计算中正确的是（ ）Aa 2+a3=a5 Ba 3a2=a Ca 2a3=a6 Da 3a2=a【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法
9、【分析】根据整式的运算法则即可判断【解答】解：（A）a 2 与 a3 不是同类项，不能合并，故 A 错误；（B） a3 与 a2 不是同类项，不能合并，故 B 错误；（C）原式 =a5，故 C 错误；故选（D）4某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间（小时） 5 6 7 8人数 10 15 20 5则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ）A6.2 小时 B6.4 小时 C6.5 小时 D7 小时【考点】W2 ：加权平均数【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式（510+615+720+85）50，再进行计算即可【解答】解：根据题意得
10、：（510+615+720+85）50=（50+ 90+140+40）50=32050=6.4（小时）故这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 6.4 小时故选：B 5二次函数 y=3（xh） 2+k 的图象如图所示，下列判断正确的是（ ）Ah0，k0 Bh0，k0 Ch0，k0 Dh0，k0【考点】H4：二次函数图象与系数的关系【分析】观察函数图象，找出顶点所在的象限，由此即可得出结论【解答】解：观察函数图象可知：顶点（h，k）在第四象限，h0，k0故选 B6如图，直线 ab下列关系判断正确的是（ ）A1+2=180 B1+2=90 C1=2 D无法判断【考点】JA：平行线的性质【分
11、析】根据平行线的性质，得出1=3，再根据2+3=180，即可得到1+2=180【解答】解：直线 a b，1= 3，又2+3=180，1+2=180，故选：A7不等式组 的解集为（ ）Ax1 B2x1 Cx 2 D无解【考点】CB ：解一元一次不等式组【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可【解答】解：解不等式得：x1，解不等式得：x2，不等式组的解集为 x1，故选 A8如图，在ABD 中，D=90，CD=6，AD=8，ACD=2B，则 BD 的长是（ ）A12 B14 C16 D18【考点】KQ：勾股定理【分析】根据勾股定理求出 AC，根据三角形的外角的性质得到 B=CAB ，根据
12、等腰三角形的性质求出 BC，计算即可【解答】解：D=90，CD=6，AD=8，AC= =10，ACD=2 B，ACD=B+CAB，B=CAB，BC=AC=10，BD=BC+CD=16 ，故选：C 9若函数 y=kx3 的图象如图所示，则一元二次方程 x2+x+k1=0 根的存在情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C没有实数根 D无法确定【考点】AA：根的判别式；F7：一次函数图象与系数的关系【分析】先根据函数 y=kx3 的图象可得 k0，再根据一元二次方程 x2+x+k1=0中，=1 241（k1） =54k0，即可得出答案【解答】解：根据函数 y=kx3 的图象可得 k
13、0，则一元二次方程 x2+x+k1=0 中，=1 241（k1）=5 4k0，则一元二次方程 x2+x+k1=0 根的存在情况是有两个不相等的实数根，故选：A10四边形 ABCD 中，BAD=130，B= D=90，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使三角形 AMN 周长最小时，则AMN+ANM 的度数为（ ）A80 B90 C100 D130【考点】PA：轴对称最短路线问题【分析】延长 AB 到 A使得 BA=AB，延长 AD 到 A使得 DA=AD，连接AA与 BC、CD 分别交于点 M、N，此时AMN 周长最小，推出AMN+NM=2（A+A）即可解决【解答】解：延长 AB 到 A使得
14、 BA=AB，延长 AD 到 A使得 DA=AD，连接AA与 BC、CD 分别交于点 M、NABC=ADC=90，A、A关于 BC 对称，A、A关于 CD 对称，此时AMN 的周长最小，BA=BA， MBAB，MA=MA，同理： NA=NA，A=MAB ，A=NAD，AMN= A+MAB=2A，ANM=A+NAD=2A，AMN+ANM=2（A+A），BAD=130，A+A=180 BAD=50MAMN+NM=250=100 故选 C二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11如果 有意义，那么 x 的取值范围是 x2 【考点】72：二次根式有意义的条件【分析】根据被开方数
15、大于等于 0 列不等式求解即可【解答】解：由题意得，x20，解得 x2故答案为：x212因式分解：a 23ab= a（a 3b） 【考点】53：因式分解提公因式法【分析】先确定公因式为 a，然后提取公因式整理即可【解答】解：a 23ab=a（a 3b）13若O 的直径为 2，OP=2，则点 P 与O 的位置关系是：点 P 在O 外 【考点】M8：点与圆的位置关系【分析】由条件可求得圆的半径为 1，由条件可知点 P 到圆心的距离大于半径，可判定点 P 在圆外【解答】解：O 的直径为 2，O 的半径为 1，OP=2 1，点 P 在O 外，故答案为：外14如图，在边长为 1 的小正反形组成的网格中，
16、ABC 的三个顶点均在格点上，则 tanB 的值为 【考点】T1：锐角三角函数的定义【分析】根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案【解答】解：如图：，tanB= = 故答案是： 15如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 2 【考点】MP：圆锥的计算；U3：由三视图判断几何体【分析】根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥又已知底面半径可求出母线长以及侧面积【解答】解：综合主视图，俯视图，左视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且底面圆的半径为 1，母线长为 2，因此侧面面积为：1 2=2故答案为：216利用计算机设计了一个计
17、算程序，输入和输出的数据如下表：输入 1 2 3 4 5 输出 当输入的数据是 8 时，输出的数据是 ，当输入数据是 n 时，输出的数据是 （1） n+1 【考点】1G：有理数的混合运算【分析】根据表格得出输入的数据是 8 时，输出的数据，归纳总结得到一般性规律，确定出所求即可【解答】解：当输入的数据是 8 时，输出的数据是 ，当输入数据是 n 时，输出的数据是（1） n+1 故答案为： ；（1） n+1三、解答题（本大题共 9 小题，共 102 分）17解分式方程： = 【考点】B3 ：解分式方程【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解
18、【解答】解：去分母得：x6=4x，解得：x= 2，经检验 x=2 是分式方程的解18已知：E、F 是ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF=CE ，求证：CDF=ABE【考点】L5：平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的对边相等可得 AB=CD，对边平行可得 ABCD ，再根据两直线平行，内错角相等可得BAE=DCF，然后利用“边角边” 证明ABE 和CDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得结论【解答】证明：AF=CE AE=CF，在ABCD 中，AB=CD ，ABCD，BAE= DCF，在ABE 和CDF 中， ，ABECDF（SAS），CDF=ABE19先化简，再求值：（m1） 2m
19、（n2） （m1）（m+1），其中 m 和 n 是面积为 5 的直角三角形的两直角边长【考点】4J：整式的混合运算化简求值【分析】先将原式化简，然后根据题意列出 m 与 n 的关系即可代入求值【解答】解：由题意可知：mn=10，原式=m 22m+1mn+2m（m 21）=m22m+1mn+2mm2+1=2mn=8202017 年 3 月全国两会胜利召开，某学校就两会期间出现频率最高的热词：A蓝天保卫战，B不动产保护，C经济增速，D 简政放权等进行了抽样调查，每个同学只能从中选择一个“我最关注” 的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次
20、调查中，一共调查了 300 名同学；（2）条形统计图中，m= 60 ，n= 90 ；（3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词 D 的学生的概率是多少？【考点】X4：概率公式；VB：扇形统计图；VC：条形统计图【分析】（1）根据 A 的人数为 105 人，所占的百分比为 35%，求出总人数，即可解答；（2）C 所对应的人数为：总人数30%，B 所对应的人数为：总人数A 所对应的人数C 所对应的人数D 所对应的人数，即可解答；（3）根据概率公式，即可解答【解答】解：（1）10535%=300（人），故答案为：300；（2）n=300 30%=90（人），m=3001059045=60（人）故答案为
21、：60，90；（3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词 D 的学生的概率是 = ，答：从该校学生中随机抽取一个最关注热词 D 的学生的概率是 21如图，在 RtABC 中，ABC=90，AB=3，BC=4，AD 是BAC 的平分线（1）尺规作图：过点 D 作 DEAC 于 E；（2）求 DE 的长【考点】N2：作图基本作图；KF：角平分线的性质【分析】（1）根据过直线外一点作直线垂线的作法即可画出图形；（2）设 DE=x，则 AC= =5，跟进吧 AD 是BAC 的平分线，ABC=90， DEAC 可得出 BD=DE=x，CD=BCBD=4x，再由 SACD= = 求出 x 的值即可（3）【解
22、答】解：（1）方法 1，如图 1 所示，过点 D 作 AC 的垂线即可；方法 2：运用角平分线的性质，以点 D 为圆心，BD 的长为半径画圆，D 和AC 相切于点 E，连接 DE 即可（2）方法一：设 DE=x，则 AC= =5AD 是BAC 的平分线，ABC=90，DEAC ，BD=DE=x ，CD=BC BD=4xS ACD = = ， = ，解得 x= ，DE=x= 方法二：设 DE=x，则 AC= =5AD 是BAC 的平分线，ABC=90，DEAC ，BD=DE=x ，CD=BC BD=4xDEC= ABC=90，C= C，DECABC ， = ， = ，解得 x= ，DE=x= 方
23、法三：设 DE=x，则 AC= =5AD 是BAC 的平分线，ABC=90，DEAC ，BD=DE=x ，CD=BC BD=4x在 RtABC 中，sin C= = ，在 Rt DEC 中，sin C= = ， = ，解得 x= ，DE=x= 22某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知 2 根 A 型跳绳和 1 根 B 型跳绳共需 56 元，1 根 A 型跳绳和 2 根 B 型跳绳共需 82 元（1）求一根 A 型跳绳和一根 B 型跳绳的售价各是多少元？（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共 50 根，并且 A 型跳绳的数量不多于 B型跳绳数量的 3 倍，请设计书最省钱的购买方案
24、，并说明理由【考点】FH：一次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用【分析】（1）设一根 A 型跳绳售价是 x 元，一根 B 型跳绳的售价是 y 元，根据：“2 根 A 型跳绳和 1 根 B 型跳绳共需 56 元，1 根 A 型跳绳和 2 根 B 型跳绳共需 82 元”列方程组求解即可；（2）首先根据“A 型跳绳的数量不多于 B 型跳绳数量的 3 倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和 A 型跳绳之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可【解答】解：（1）设一根 A 型跳绳售价是 x 元，一根 B 型跳绳的售价是 y 元，根据题意，得：，解得： ，答：一根 A 型跳绳售价是 10 元
25、，一根 B 型跳绳的售价是 36 元；（2）设购进 A 型跳绳 m 根，总费用为 W 元，根据题意，得：W=10m+ 36（50 m）=26m+1800，260，W 随 m 的增大而减小，又m3（50m），解得：m37.5，而 m 为正整数，当 m=37 时， W 最小 =237+350=276，此时 5037=13，答：当购买 A 型跳绳 37 只，B 型跳绳 13 只时，最省钱23如图，在矩形 OABC 中，OA=3，OC=2，F 是 AB 上的一个动点（F 不与A，B 重合），过点 F 的反比例函数 y= （k0）的图象与 BC 边交于点 E（1）当 F 为 AB 的中点时，求该函数的解
26、析式；（2）当 k 为何值时，EFA 的面积为 【考点】GB：反比例函数综合题；G5：反比例函数系数 k 的几何意义；G7：待定系数法求反比例函数解析式【分析】（1）当 F 为 AB 的中点时，点 F 的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于 k 的方程，通过解方程求得 k 的值即可【解答】解：（1）在矩形 OABC 中，OA=3，OC=2，B（ 3，2），F 为 AB 的中点，F（3，1），点 F 在反比例函数 y= （k0）的图象上，k=3，该函数的解析式为 y= ；（2）由题意知 E，F 两点坐标分别为 E（ ，2）， F（3，
27、 ），S EFA = AFBE= k（3 k），= k k2EFA 的面积为 k k2= 整理，得k26k+8=0，解得 k1=2，k 2=4，当 k 的值为 2 或 4 时，EFA 的面积为 24已知O 中，弦 AB=AC，点 P 是BAC 所对弧上一动点，连接PA，PB（1）如图，把ABP 绕点 A 逆时针旋转到ACQ，连接 PC，求证：ACP+ACQ=180；（2）如图，若BAC=60，试探究 PA、PB、PC 之间的关系（3）若BAC=120 时，（ 2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明【考点】MR ：圆的综合题【分析】（1）如图，连接 P
28、C根据“内接四边形的对角互补的性质”即可证得结论；（2）如图，通过作辅助线 BC、PE、C E（连接 BC，延长 BP 至 E，使PE=PC，连接 CE）构建等边 PCE 和全等三角形 BECAPC；然后利用全等三角形的对应边相等和线段间的和差关系可以求得 PA=PB+PC；（3）如图，在线段 PC 上截取 PQ，使 PQ=PB，过点 A 作 AGPC 于点G利用全等三角形ABPAQP （SAS）的对应边相等推知AB=AQ，PB=PG，将 PA、PB、PC 的数量关系转化到APC 中来求即可【解答】（1）证明：如图，连接 PCACQ 是由ABP 绕点 A 逆时针旋转得到的，ABP=ACQ由图知
29、，点 A、B、P 、C 四点共圆，ACP+ABP=180（圆内接四边形的对角互补），ACP+ACQ=180（等量代换）；（2）解：PA=PB+PC 理由如下：如图，连接 BC，延长 BP 至 E，使 PE=PC，连接 CE弦 AB=弦 AC，BAC=60，ABC 是等边三角形（有一内角为 60的等腰三角形是等边三角形）A、B、P 、C 四点共圆，BAC+ BPC=180（圆内接四边形的对角互补），BPC+EPC=180，BAC=CPE=60，PE=PC，PCE 是等边三角形，CE=PC，E=ECP= EPC=60；又BCE=60+BCP，ACP=60+BCP ，BCE= ACP（等量代换）在B
30、EC 和APC 中， ，BEC APC（SAS），BE=PA，PA=BE=PB+PC；（3）若BAC=120 时，（ 2）中的结论不成立 PA=PB+PC理由如下：如图，在线段 PC 上截取 PQ，使 PQ=PB，过点 A 作 AGPC 于点 GBAC=120 ，BAC+BPC=180，BPC=60弦 AB=弦 AC，APB=APQ=30在ABP 和AQP 中， ，ABPAQP （SAS），AB=AQ， PB=PQ（全等三角形的对应边相等），AQ=AC（等量代换）在等腰AQC 中，QG=CG在 Rt APG 中，APG=30，则 AP=2AG，PG= AGPB +PC=PGQG+PG+CG=P
31、GQG+PG+QG=2PG=2 AG， PA=2 AG，即 PA=PB+PC25在坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（3，0）和 B（1，0），与y 轴交于点 C，（1）求抛物线的表达式；（2）若点 D 为此抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，当DAC 的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）设抛物线顶点关于 y 轴的对称点为 M，记抛物线在第二象限之间的部分为图象 G点 N 是抛物线对称轴上一动点，如果直线 MN 与图象 G 有公共点，请结合函数的图象，直接写出点 N 纵坐标 t 的取值范围【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）设抛物线的解析式为 y=a（x+3
32、）（x1），然后将 a=1 代入即可求得抛物线的解析式；（2）过点 D 作 DEy 轴，交 AC 于点 E先求得点 C 的坐标，然后利用待定系数法求得直线 AC 的解析式，设点 D 的坐标为（x，x 22x+3），则 E 点的坐标为（x，x+3），于是得到 DE 的长（用含 x 的式子表示，接下来，可得到ADC 的面积与 x 的函数关系式，最后依据配方法可求得三角形的面积最大时，点 D 的坐标；（3）如图 2 所示：先求得抛物线的顶点坐标，于是可得到点 M 的坐标，可判断出点 M 在直线 AC 上，从而可求得点 N 的坐标，当点 N与抛物线的顶点重合时，N的坐标为（1，4），于是可确定出 t
33、的取值范围【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=a（x+3）（x1）由题意可知：a=1抛物线的解析式为 y=1（x+3）（x 1）即 y=x22x+3（2）如图所示：过点 D 作 DEy 轴，交 AC 于点 E当 x=0 时， y=3，C（ 0，3）设直线 AC 的解析式为 y=kx+3将 A（3，0）代入得： 3k+3=0，解得：k=1 ，直线 AC 的解析式为 y=x+3设点 D 的坐标为（x，x 22x+3），则 E 点的坐标为（x，x+3）DE=x 22x+3（x+3）=x 23xADC 的面积= DEOA= 3（x 23x）= （x+ ） 2+ 当 x= 时，ADC 的面积有最大值D（ ， ）（3）如图 2 所示：y=x 22x+3=（x+1） 2+4，抛物线的顶点坐标为（1，4）点 M 与抛物线的顶点关于 y 轴对称，M（1，4）将 x=1 代入直线 AC 的解析式得 y=4，点 M 在直线 AC 上将 x=1 代入直线 AC 的解析式得：y=2，N（1，2）又当点 N与抛物线的顶点重合时，N的坐标为（1，4）当 2t4 时，直线 MN 与函数图象 G 有公共点
