1、阶段质量检测( 三) 空间向量与立体几何考试时间：120 分钟 试卷总分：160 分二题 号 一15 16 17 18 19 20总 分得 分一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分将答案填在题中的横线上)1已知 a(3,2,5)，b(1，x，1)，且 ab2，则 x 的值是_2设 A、B 、C、D 是空间不共面的四点，且满足 0， 0， 0，则BCD 的形状是ABD_3已知直线 l 与平面 垂直，直线的一个方向向量为 u(1,3，z) ，向量 v(3，2,1)与平面 平行，则 z_.4已知空间三点 A(0,2,3)，B(2,1,6) ，C (1，1,5)若|a| ，且
2、a 分别与 ，3 AB垂直，则向量 a 为_AC5已知 A(1,5， 2)，B(2,4,1)，C (x,3，y 2) ，且 A、B、 C 三点共线，则实数 x，y 的值分别为_、_.6已知向量 p 关于基底a， b，c 的坐标为(3,2，1)，则 p 关于基底2 a，b， c12的坐标是_7已知直线 l1，l 2 的方向向量分别为 a，b，且 a(1,2，2)，b(2,3，m )，若l1l 2，则实数 m 的值为_ 8已知 a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，则向量 ab 与 ab 的夹角是_9已知向量 a(cos ，sin ，1) ，b( ，1,2)，则|2ab|的最
3、大值是_310平面 的法向量为 u( 1，2，1)，平面 的法向量为 v(2,4,2)，则不重合的平面 与平面 的位置关系为 _11已知直角ABC 中，C90，B30 ，AB4，D 为 AB 的中点，沿中线将ACD 折起使得 AB ，则二面角 ACDB 的大小为13_12如图，在空间四边形 ABCD 中，AC 和 BD 为对角线，G 为ABC 的重心，E 是 BD 上一点，BE3ED，若以 ， ，C为基底，则 _.ADGE13正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，BB 1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为_14已知 (1,2,3)， (2,1,2)， (1,1,2) ，点 Q 在直线 OP
4、 上运动，则当OOP 取得最小值时，点 Q 的坐标为_QB二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 14 分)如图，已知 ABCDAB CD是平行六面体(1)化简 ，并在图中标出其结果；12ABC23(2)设 M 是 BD 的中点，N 是侧面 BCCB对角线 BC上的 分点，设34 ，试求 、 的值D16(本小题满分 14 分)已知空间三点 A(2,0,2)，B( 1，1,2)，C(3,0,4)，设 a，b .ABC(1)求 a 和 b 的夹角 的余弦值；(2)若向量 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k 的值17.(本小题满分 1
5、4 分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABCA 1B1C1 中， ACBC，D 是 AB 的中点，ACBCBB 1.(1)求证：BC 1AB 1；(2)求证：BC 1平面 CA1D.18(本小题满分 16 分)正ABC 的边长为 4，CD 是 AB 边上的高，E，F 分别是 AC和 BC 边的中点，现将ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A DCB .(1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角 EDFC 的余弦值；(3)在线段 BC 上是否存在一点 P，使 APDE ？如果存在，求出 的值；如果不存在，BPBC请说明理由19(北京高考)( 本
6、小题满分 16 分)如图 1，在 RtABC 中，C90，BC3，AC6，D、E 分别为 AC、AB 上的点，且 DEBC，DE2，将ADE 沿 DE 折起到A 1DE 的位置，使 A1CCD，如图 2.(1)求证：A 1C平面 BCDE；(2)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；(3)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由20(山东高考)( 本小题满分 16 分)如图所示，在三棱锥 PABQ 中，PB平面ABQ，BABP BQ，D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP ，BP 的中点，AQ 2BD，PD 与EQ 交于
7、点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH.(1)求证：ABGH；(2)求二面角 DGHE 的余弦值答 案1解析：ab32x52，x 5.答案：52.解析：BCD 中， ( )( ) 20， B 为锐角，BCDABDA同理，C ，D 均为锐角，BCD 为锐角三角形答案：锐角三角形3解析：平面 的法向量 u(1,3，z) ，v 与平面 平行，u v， uv133( 2)z10，z3.答案：34解析：设 a(x，y，z)， ( 2，1,3)， (1，3,2)ABAC则Error!解得 a(1,1,1)或(1 ，1，1)答案：(1,1,1)或(1，1， 1)5解析：若 A、B、C 三点共线，则
8、， 也共线ABC(1，1,3)， ( x2，1，y1)， 1 .x3，y2.1x 2 3y 1答案：3 26解析：由已知得 p3a2bc，则 p (2a)(2)( b)( 2) .32 (12c)故 p 关于基底 的坐标为 .2a， b，12c (32， 2， 2)答案： (32， 2， 2)7解析：l 1l2，ab.ab1( 2) 23( 2) m42m 0.m 2.答案：28解析：(ab)(ab)a 2 b2(cos 2sin 21)(sin 21cos 2)0，(ab)(ab)答案：909解析：因为 2ab(2cos ，2sin 1,0)，3所以|2 ab| 2cos 32 2sin 1
9、2 4.8 8sin 3答案：410解析：v2( 1，2，1) 2u，vu， .答案：平行11解析：如图，取 CD 中点 E，在平面 BCD 内过 B 点作 BFCD，交 CD 延长线于 F.据题意知 AECD，AEBF ，EF2，AB .3 13且 ， 为二面角的平面角，EAFB由 2( )2 得1333423cos ， ，AEFBcos ， ，EAFB12 ， 120.即所求的二面角为 120.答案：12012解析： ( )GEADE23AMD14 B13AC .AD14 B14 13 13 C112 B13 C34答案： 11213 3413解析：以 D 为原点，建立空间直角坐标系如图，
10、设正方体棱长为 1，D(0,0,0) ，B 1(1,1,1)，B(1,1,0)，则 (0,0,1)1B1D平面 ACD1， (1,1,1)为平面 ACD1 的法向量设 BB1 与平面 ACD1 所成的角为 ，则 sin ，|1| | 13 33cos .63答案：6314解析：Q 在 OP 上，可设 Q(x，x, 2x)，则 (1x,2x,32x )，A(2x,1x,22x )B 6x 216x 10，x 时， 最小，这时 Q .43 QA(43，43，83)答案： (43，43，83)15解：(1)取 DD的中点 G，过点 G 作 DC 的平行线 GH，使 GH DC，连接 AH，23则 .
11、AH12 BC23A如图所示(2) MN 12DB34 C ( ) ( )12A34 AD .1214 34 ， ， .12 14 3416解：a (1,1,2)(2,0,2) (1,1,0)，ABb (3,0,4)( 2,0,2) (1,0,2)C(1)cos ，ab|a|b| 1 0 025 1010a 与 b 的夹角 的余弦值为 .1010(2)kab(k，k,0)( 1,0,2)(k1，k,2)，ka2b(k，k, 0)(2,0,4)(k2，k，4)，(k1，k,2)( k2，k ，4)(k1)(k2)k 280.即 2k2k100，k 或 k2.5217证明： 如图所示，以 C1 点
12、为原点，建立空间直角坐标系，设 ACBCBB 12，则 A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A 1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D(1,1,2)(1)由于 (0，2，2)， (2,2，2) ，11 0440，BCA即 ，故 BC1AB1.1(2)取 A1C 的中点 E，连结 DE.由于 E(1,0,1)， (0,1,1)，又 (0，2，2) ，D1B ，且 ED 与 BC1 不共线，12 CEDBC1，又 ED平面 CA1D，BC 1平面 CA1D，BC1平面 CA1D.18解：(1)在ABC 中，由 E，F 分别是 AC，BC 中点，得 EFAB
13、，又 AB平面 DEF，EF平面 DEF，AB平面 DEF.(2)以点 D 为坐标原点，以直线 DB、DC、DA 分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2 ，0)，E(0 ， ，1)，F(1 ， ，0)， (1， ，0)，3 3 3 DF3(0， ，1)， (0,0,2)DE3 平面 CDF 的法向量为 (0,0,2)，DA设平面 EDF 的法向量为 n(x，y，z)，则Error!即Error!取 n(3 ， ，3)，3cos ，n ，DAn| |n| 217所以二面角 EDFC 的余弦值为 .217(3)存在设 P(s，t,0
14、)，则 t20，DE3t ，233又 (s2，t,0)， (s,2 t, 0)，BC3 ，(s2)(2 t)st ，P3 st2 .3 3把 t 代入上式得 s ， ，233 43 BP13 C在线段 BC 上存在点 P，使 APDE.此时 .BPBC 1319解：(1)证明：因为 ACBC，DE BC，所以 DEAC.所以 EDA1D，DE CD，所以 DE平面 A1DC.所以 DEA1C.又因为 A1CCD，且 CDDED，所以 A1C平面 BCDE.(2)如图，以 C 为坐标原点，CB、CD、CA 1 为 x、y 、z 轴，建立空间直角坐标系 Cxyz，则 A1(0,0,2 )， D(0
15、,2,0)，3M(0,1， )，B(3,0,0)，3E(2,2,0)设平面 A1BE 的法向量为 n(x，y，z) ，则 n 0， n 0.1E又 3，0，2 ，BE( 1,2,0)，B3所以Error!令 y1，则 x2，z .所以 n(2,1 ， )3 3设 CM 与平面 A1BE 所成的角为 .因为 (0,1， )CM3所以 sin |cosn ， | | .n|n| 484 22所以 CM 与平面 A1BE 所成角的大小为 .4(3)线段 BC 上不存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直，理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中 p0,3设平面 A1
16、DP 的法向量为 m(x，y，z)，则m 0，m 0.DP又 0，2，2 ， ( p，2,0)，13 D所以Error!令 x2，则 yp，z .所以 m(2，p， )p3 p3平面 A1DP平面 A1BE，当且仅当 mn0，即 4pp0.解得 p2，与 p0,3矛盾所以线段 BC 上不存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直20解：(1)证明：因为 D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，所以EF AB，DC AB.所以 EF DC.又 EF平面 PCD，DC平面 PCD，所以 EF平面 PCD.又 EF平面 EFQ，平面 EFQ平面 PCDGH，所以 EFGH.
17、又 EFAB，所以 ABGH.(2)在ABQ 中， AQ2BD，AD DQ ，所以ABQ90.又 PB平面 ABQ，所以 BA，BQ ，BP 两两垂直以 B 为坐标原点，分别以 BA，BQ，BP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系设 BABQ BP2，则 E(1,0,1)，F(0,0,1) ，Q(0,2,0)，D (1,1,0)，C (0,1,0)，P(0,0,2) 所以 (1,2，1)， (0,2，1) ，(1，1，2)， (0，1,2) DPP设平面 EFQ 的一个法向量为 m( x1，y 1，z 1)，由 m 0，m 0，得Error!EQF取 y11，得 m(0,1,2) 设平面 PDC 的一个法向量为 n( x2，y 2，z 2)，由 n 0， n 0，得 Error!DPC取 z21，得 n(0,2,1) ，所以 cosm，n .mn|m|n| 45因为二面角 DGHE 为钝角，所以二面角 DGHE 的余弦值为 .45
