1、2019 年福建省厦门一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）全集 UR，Ax |ylog 2019（x1） ， ，则A（ UB）（ ）A （1，2） B （1，2 C1 ，2） D1 ，22 （5 分）已知 i 为虚数单位，若 ，则 ab（ ）A1 B C D23 （5 分）下列说法中，正确的是（ ）A命题“若 am2bm 2，则 ab”的逆命题是真命题B命题“x 0 0，x 02x 00”的否定是：“x0，x 2x0”C命题 pq 为真命题，
2、则命题 p 和命题 q 均为真命题D已知 xR，则“x1”是“x2”的充分不必要条件4 （5 分）设函数 ，则 f（log 26）的值为（ ）A3 B6 C8 D125 （5 分）圆 x2+y21 的一条切线与圆 x2+y24 相交于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）两点，O为坐标原点，则 x1x2+y1y2（ ）A B2 C2 D6 （5 分）已知抛物线 x24y，斜率为 的直线交抛物线于 A，B 两点若以线段 AB 为直径的圆与抛物线的准线切于点 P，则点 P 到直线 AB 的距离为（ ）A B C D7 （5 分）我国南宋时期的数学家秦九
3、韶（约 12021261）在他的著作（数书九章）中提出了多项式求值的秦九韶算法如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例若输入的 n5，1，x2，则程序框图计算的结果为（ ）第 2 页（共 29 页）A15 B31 C63 D1278 （5 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了 100 个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为 m1，m 2；平均数分别为 s1，s 2，则下面正确的是（ ）Am 1m 2，s 1s 2 Bm 1m 2，s 1
4、s 2Cm 1m 2，s 1s 2 Dm 1m 2，s 1s 29 （5 分）已知四棱锥 PABCD 的三视图如图所示，则四棱锥 PABCD 外接球的表面积是（ ）第 3 页（共 29 页）A20 B C25 D2210 （5 分）已知双曲线 的右焦点为 F，直线 l 经过点 F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线 l 与双曲线的右支交于不同两点 A，B，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D11 （5 分）如图，四边形 ABCD 内接于圆 O，若AB 1，AD2， BDcosDBC+CDsinBCD ，则 SBCD 的最大值为（ ）A B C D12
5、 （5 分）已知函数 f（x ）e xax 有两个零点 x1，x 2，则下列判断：ae；x 1+x22；x 1x21；有极小值点 x0，且 x1+x22x 0则正确判断的个数是（ ）第 4 页（共 29 页）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，zx 2y 的最小值是 14 （5 分）若（x+a） 9a 0+a1（x+l）+a 2（x+l ） 2+a9（x+l） 9，当 a5126 时，实数 a的值为 15 （5 分）在AB
6、C 中，角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c，且 a1，A ，若当b、c 变化时， g（b，c）b+c 存在最大值，则正数 的取值范围是 16 （5 分）已知 f（x ）tanx，数列a n满足：对任意 nN*，a n（0， ） ，且a1 ，f（a n+1） ，则使得 sina1sina2sinak 成立的最小正整数 k为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知等
7、差数列a n满足（n+1）a n2n 2+n+k，k R（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn ，求数列b n的前 n 项和 Sn18 （12 分）如图，在平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，B 1A底面ABCD， BB1BC2AB，ABC60（1）求证：ABA 1D；（2）求二面角 AA 1DC 的余弦值19 （12 分）某保险公司对一个拥有 20000 人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工第 5 页（共 29 页）只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为 A，B ，C 三类工种，从事这三类工种的人数分别为 12000，6000，20
8、00，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表（并以此估计赔付概率）：工种类别 A B C赔付频率 已知 A，B ，C 三类工种职工每人每年保费分别为 25 元、25 元、40 元，出险后的赔偿金额分别为 100 万元、100 万元、50 万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年 10 万元（1）求保险公司在该业务所或利润的期望值；（2）现有如下两个方案供企业选择：方案 1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年 12 万元；方案 2
9、：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的 70%，职工个人负责保费的 30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议20 （12 分）已知椭圆 C： + 1（ab0）的四个顶点组成的四边形的面积为2 ，且椭圆 C 经过点（1， ） （1）求椭圆 C 的方程；（2）若椭圆 C 的下顶点为 P，如图所示，点 M 为直线 x2 上的一个动点，过椭圆 C的右焦点 F 的直线 l 垂直于 OM，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，与 OM 交于点 N，设四边形 AMBO 和ONP 的面积分别为 S1，S 2，求 S1S2 的最大值第 6 页（共 29 页）2
10、1 （12 分）已知 f（x ）x （lnx） 2klnx 1（kR） （1）若 f（x）是（ 0，+）上的增函数，求 k 的取值范围；（2）若函数 f（x ）有两个极值点，判断函数 f（x）零点的个数（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M 的极坐标方程为 2cos，若极坐标系内异于 O 的三点 A（ 1，） ，B（ 2，+ ） ，C（ 3， ） （ 1， 2， 30）都在曲线 M 上（1）求
11、证： 2+3；（2）若过 B，C 两点直线的参数方程为 （t 为参数） ，求四边形 OBAC 的面积选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 2|x+a|，其中 a0（1）求函数 f（x ）的值域；（2）对于满足 b2+c2+bc1 的任意实数 b，c，关于 x 的不等式 f（x）3（b+c）恒有解，求 a 的取值范围第 7 页（共 29 页）2019 年福建省厦门一中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）全集 UR，Ax |ylog 2019（x1）
12、， ，则A（ UB）（ ）A （1，2） B （1，2 C1 ，2） D1 ，2【分析】可求出集合 A，B，然后进行补集、交集的运算即可【解答】解： y|y2； UBy| y2；A（ UB）（1，2） 故选：A【点评】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，配方法求二次函数值域的方法，以及交集、补集的运算2 （5 分）已知 i 为虚数单位，若 ，则 ab（ ）A1 B C D2【分析】利用复数相等的条件列式求得 a，b 的值，则答案可求【解答】解： ， ， 故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题3 （5 分）下列说法中，正确的是
13、（ ）A命题“若 am2bm 2，则 ab”的逆命题是真命题B命题“x 0 0，x 02x 00”的否定是：“x0，x 2x0”C命题 pq 为真命题，则命题 p 和命题 q 均为真命题第 8 页（共 29 页）D已知 xR，则“x1”是“x2”的充分不必要条件【分析】A 先写出逆命题再利用不等式性质判断；B 中“xR，x 2x0”为特称命题，否定时为全称命题；C 命题“pq”为真命题指命题 “p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可；D 应为必要不充分条件【解答】A“若 am2bm 2，则 ab”的逆命题是“若 a b，则 am2bm 2”，m0 时不正确；B 中“xR，x
14、2x 0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C 命题“pq”为真命题指命题 “p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可，错误；D 应为必要不充分条件故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，问题涉及不等式性质、复合命题真假判断、全称命题及特称命题、命题的否定、充要条件等，考查面较广4 （5 分）设函数 ，则 f（log 26）的值为（ ）A3 B6 C8 D12【分析】根据题意，由于 2log 263，结合函数的解析式可得 f（log 26）f（log 26+1）f（log 212） ，进而计算可得答案【解答】解：根据题意，函数 ，2log 263，则 f（log 26）
15、f（log 26+1）f（log 212） 12；故选：D【点评】本题考查分段函数的应用，涉及函数值的计算，属于基础题5 （5 分）圆 x2+y21 的一条切线与圆 x2+y24 相交于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）两点，O为坐标原点，则 x1x2+y1y2（ ）A B2 C2 D【分析】根据题意，设 AB 与圆 x2+y21 相切于点 P，由两个圆的方程分析可得第 9 页（共 29 页）|OP|1，|OA |OB|2，进而可得AOB120；结合数量积的计算公式 x 1x2+y1y2，计算可得答案【解答】解：根据题意，设 AB 与圆 x2+y21 相切于点 P，分析
16、可得|OP| 1，| OA|OB |2，又由 OPAB，则BOP60，则AOB120，又由 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x 1x2+y1y2| OA|OB|cos1202，则 x1x2+y1y22；故选：B【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及直线与圆以及圆与圆的位置关系，属于基础题6 （5 分）已知抛物线 x24y，斜率为 的直线交抛物线于 A，B 两点若以线段 AB 为直径的圆与抛物线的准线切于点 P，则点 P 到直线 AB 的距离为（ ）A B C D【分析】设直线 AB 的方程为 y x+b，根据以线段 AB 为直径的圆与抛物线的准线切于点 P 可得
17、 b1，从而可得直线 AB 的方程和 P 的坐标，再根据点到直线的距离可得【解答】解：设直线 AB 的方程为 y x+b 并代入 x2 4y 得 x2+2x4b0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x22， x1x24b，y 1+y2 x1+b x2+b 1+2b，第 10 页（共 29 页）|AB| 因为以线段 AB 为直径的圆与抛物线的准线切于点 P，所以 +1 ，即+1 ，即 b22b+10，解得 b1，所以直线 AB 的方程为 y x+1，P （1，1） ，点 P 到直线 AB：x +2y20 的距离为 故选：B【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题7 （
18、5 分）我国南宋时期的数学家秦九韶（约 12021261）在他的著作（数书九章）中提出了多项式求值的秦九韶算法如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例若输入的 n5，1，x2，则程序框图计算的结果为（ ）A15 B31 C63 D127【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 i，v 的值，当 i1 时，不满足条件 i0，跳出循环，输出 v 的值为 63，即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得n5，v1，x2，i4第 11 页（共 29 页）满足条件 i0，执行循环体， v3，i3满足条件 i0，执行循环体， v7，i2满足条件 i0，执行循环体， v1
19、5，i1满足条件 i0，执行循环体， v31，i0满足条件 i0，执行循环体， v63，i1不满足条件 i0，退出循环，输出 v 的值为 63由于 25+24+23+22+2+163故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v 的值是解题的关键，属于基础题8 （5 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了 100 个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为 m1，m 2；平均数分别为 s1，s 2，则下面正确的是（ ）Am
20、1m 2，s 1s 2 Bm 1m 2，s 1s 2Cm 1m 2，s 1s 2 Dm 1m 2，s 1s 2【分析】利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果【解答】解：由频率分布直方图得：甲地区40，60）的频率为：（ 0.015+0.020）100.35，60 ，70）的频率为0.025100.25，甲地区用户满意度评分的中位数 m160+ 66，第 12 页（共 29 页）甲地区的平均数S1450.01510+550.02010+650.02510+75 0.02010+850.01010+950.0101067乙地区50，70）的频率为：（
21、 0.005+0.020）100.25，70 ，80）的频率为：0.035100.35，乙地区用户满意度评分的中位数 m270+ 1077.1，乙地区的平均数S2550.00510+650.02010+750.03510+85 0.02510+950.0151077.5m 1m 2，s 1s 2故选：C【点评】本题考查平均数、中位数的求法与比较，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9 （5 分）已知四棱锥 PABCD 的三视图如图所示，则四棱锥 PABCD 外接球的表面积是（ ）A20 B C25 D22【分析】几何体为四棱锥，根据三视图判断
22、四棱锥的一个侧面与底面垂直，判断各面的形状及三视图的数据对应的几何量，求出外接球的半径，可得答案第 13 页（共 29 页）【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为 4，2，满足侧面 PAD底面 ABCD，PAD 为等腰直角三角形，且高为 ，可知底面外接圆心为对角线的交点，三角形 PAB 的外接圆 O半径为 r，则（ r） 2+4r 2解得 r ，底面外接圆 E 的半径为 AE 可求得球 O 的半径为：R 外接球 O 的表面积为： 故选：B【点评】本题考查了由三视图求四棱锥外接球的半径，根据三视图判断几何体的结构特征是关键10 （5 分
23、）已知双曲线 的右焦点为 F，直线 l 经过点 F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线 l 与双曲线的右支交于不同两点 A，B，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D【分析】不妨设直线 l 的斜率为 ，直线 l 的方程为 y （xc） ，联立直线方程与双曲线方程，化为关于 y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求第 14 页（共 29 页）解【解答】解：如图，不妨设直线 l 的斜率为 ， 直线 l 的方程为 y （ xc） ，联立 ，得（b 2a 2）c 2y22ab 3cy+a2b40 由题意，方程得（b 2a 2）c 2y22ab 3cy+a2b40 的两根异
24、号，则 ab，此时 0， 0则 ，即 a2ba 24b 24（c 2a 2） ，4c 25a 2，即 e 故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题11 （5 分）如图，四边形 ABCD 内接于圆 O，若AB 1，AD2， BDcosDBC+CDsinBCD ，则 SBCD 的最大值为（ ）第 15 页（共 29 页）A B C D【分析】由题意利用正弦、余弦定理，结合图形求出BCD 的面积表达式，再求面积的最大值【解答】解：在BCD 中，由正弦定理得sinBDC sinBCDcos DBC+sin DBCsinBCD，又BDC（DBC+ BCD） ，所以 s
25、in（DBC+BCD） sinBCDcosDBC+sinDBCsin BCD，展开整理得 sinDBCcosBCDsinDBCsin BCD，因为 sinDBC0，所以 tanBCD ，故BCD ；又四边形 ABCD 内接于圆，所以A ；在ABD 中，由余弦定理得BD2AB 2+AD22AB ADcosA1+4212cos 7，因此 BD ；在BCD 中，由余弦定理得 BD2BC 2+CD22BC CDcos BC 2+CD2BC CD，7BC 2+CD2BCCD2BCCDBC CDBC CD，BCCD7，当且仅当 BCCD 时“”成立；所以 SBCD BCCDsinBCD BCCDsin B
26、CCD ，所以 SBCD 的最大值为 故选：C【点评】本题考查了三角恒等变换以及三角形面积计算问题，是中档题12 （5 分）已知函数 f（x ）e xax 有两个零点 x1，x 2，则下列判断：第 16 页（共 29 页）ae；x 1+x22；x 1x21；有极小值点 x0，且 x1+x22x 0则正确判断的个数是（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【分析】利用函数的导数，判断函数的单调性，对四个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于，f（x）e xax ，f（x）e xa，令 f（x）e xa0，当 a0 时，f（x ）e xa0 在 xR 上恒成立，f（x）在
27、R 上单调递增当 a0 时，f（x ）e xa0，e xa0，解得 xlna，f（x）在（ ，lna）单调递减，在（lna ，+）单调递增函数 f（x） exax 有两个零点 x1、x 2，f（lna）0，a0，e lnaalna0，ae，所以错误；对于 ，x 1+x2ln（a 2x1x2）2lna +ln（x 1x2）2+ln（x 1x2） ，取 a ，f（2）e 22a0，x 22，f（0）10，0x 11，x 1+x22，所以错误；对于 ，f（0）10，0x 11，x 1x21 不一定，错误；对于 ，f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）单调递增，有极小值点 x0lna，且 x
28、1+x22x 02lna，所以 正确综上，正确的命题序号是故选：D【点评】本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，是难题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，zx 2y 的最小值是 2 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求即可第 17 页（共 29 页）【解答】解：由 zx2y 得 y x ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分 ABC）平移直线 y x ，由图象可知当直线 y x ，过点 B 时，直线 y x 的截距最大，此时 z 最小，由 ，解得 B（0
29、，2） 代入目标函数 zx2y ，得 z022目标函数 zx2y 的最小值是2故答案为：2【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法14 （5 分）若（x+a） 9a 0+a1（x+l）+a 2（x+l ） 2+a9（x+l） 9，当 a5126 时，实数 a的值为 0 或 2 【分析】根据：（x+a） 9（x+1）+（a1） 9，按照二项式定理展开，可得 a5 的值，再根据 a5126，求得 a 的值【解答】解：（x+a） 9（ x+1）+（a1） 9a 0+a1（x+ l）+a 2（x+l） 2+a9（x+l ）9，a
30、5 （a1） 4126，实数 a0，或 a2，故答案为：0 或 2【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，第 18 页（共 29 页）属于基础题15 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c，且 a1，A ，若当b、c 变化时， g（b，c）b+c 存在最大值，则正数 的取值范围是 （ ，2） 【分析】由正弦定理得 b+c （sinB+sinC）由辅助角公式得：b+c sin（B+）其中tan ， b+c 存在最大值，即 B+ 有解，即 （ ）即 ，得解【解答】解：由正弦定理得： ，所以 b+c （sinB+sinC）
31、sinB+sin（ ） （1 ）sinB+ cosB sin（B+ ）其中 tan ，由 B ） ，b+c 存在最大值，即 B+ 有解，即 （ ）即 ，所以 ，故答案为：（ ，2）【点评】本题考查了正弦定理、辅助角公式、函数有解问题，属中档题16 （5 分）已知 f（x ）tanx，数列a n满足：对任意 nN*，a n（0， ） ，且a1 ，f（a n+1） ，则使得 sina1sina2sinak 成立的最小正整数 k为 298 第 19 页（共 29 页）【分析】f（x ） 可得 tanan+1 ，可得 ，sina n 则有 sina1sina2sinak 解得 k 即可【解答】解：f（
32、x ）tan x ，f （x） f（a n+1） ，则 tanan+1 ， 数列tan 2an是以 3 为首项，公差为 1 的等差数列，a n（0， ） ，sina n sina 1sina2sinak k297，则使得 sina1sina2sinak 成立的最小正整数 k 为 298故答案为：298【点评】本题考查了函数与数列的综合应用，属于难题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知等差数列a n满足（n+1）a n2n
33、 2+n+k，k R（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn ，求数列b n的前 n 项和 Sn【分析】 （1）直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式（2）利用裂项相消法求出数列的和【解答】解：（1）等差数列a n满足（n+1）a n2n 2+n+k，k R第 20 页（共 29 页）令 n1 时， ，n2 时， ，n3 时， ，由于 2a2a 1+a3，所以 ，解得 k1由于 （2n1） （n+1） ，且 n+10，则 an2n1；（2）由于 ，所以 Sn + +n 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用18 （12 分）如图，在平行六面体
34、 ABCDA 1B1C1D1 中，B 1A底面ABCD， BB1BC2AB，ABC60（1）求证：ABA 1D；（2）求二面角 AA 1DC 的余弦值第 21 页（共 29 页）【分析】 （1）根据四边形 A1B1CD 是平行四边形可得 A1DB 1C，证明 AB平面 AB1C可得 ABB 1C，故而 ABA 1D；（2）建立空间坐标系，求出平面 AA1D 和平面 A1CD 的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小【解答】 （1）证明：B 1A底面 ABCD，AB平面 ABCD，ABB 1A，在 Rt ABB1 中，BB 12AB，B 1BA60，BCBB 1， ABCB 1BA60，A
35、BB 1ABC，BACBAB 190，ABAC，又 AB1AC A，AB平面 AB1C，又 B1C平面 AB1C，ABB 1C，A 1B1 AB，AB CD，A 1B1 CD，四边形 A1B1CD 是平行四边形，A 1DB 1C，ABA 1D（2）以 A 为原点，以 AB，AC，AB 1 为坐标轴建立空间直角坐标系 Axyz，设 AB1，则 ACAB 1 ，于是 A（0，0，0） ，A 1（1，0， ） ，D （1， ，0） ，C（0， ，0） ， （1， ，0） ， （0， ， ） ， （1，0，0） ，设平面 AA1D 的法向量为 （ x1，y 1，z 1） ，平面 A1CD 的法向量为
36、（x 2，y 2，z 2） ，则 ， ，即 ， ，令 y11 可得 （ ，1，1） ，令 y21 可得 （0，1，1） cos 二面角 AA 1DC 的余弦值为 第 22 页（共 29 页）【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题19 （12 分）某保险公司对一个拥有 20000 人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为 A， B，C 三类工种，从事这三类工种的人数分别为 12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表（并以此估计赔付概率）：工种类别
37、A B C赔付频率 已知 A，B ，C 三类工种职工每人每年保费分别为 25 元、25 元、40 元，出险后的赔偿金额分别为 100 万元、100 万元、50 万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年 10 万元（1）求保险公司在该业务所或利润的期望值；（2）现有如下两个方案供企业选择：方案 1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年 12 万元；方案 2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的 70%，职工个人负责保费的 30%，出险后赔偿金
38、由保险公司赔付，企业无额外专项开支请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议【分析】 （1）分别计算保险公司在三种工种的利润的数学期望，从而可得出保险公司的总利润期望；（2）分别计算两种方案的企业支出费用，从而得出结论【解答】解：（1）设工种 A、B、C 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、 Z，则 X、Y 、Z 的分布列为：X 25 2510010 4第 23 页（共 29 页）PY 25 2510010 4PZ 40 405010 4P 1E（X）25（1 ）+（2510010 4） 15，E（Y） 25（1 ）+（2510010 4） 5，E（
39、Z） 40（1 ）+（405010 4） 10，保险公司的利润的期望值为 1200015+6000520001010000090000，保险公司在该业务所获利润的期望值为 9 万元 （2）方案 1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：12000100104 +6000100104 +200050104 +1210446104，方案 2：企业与保 险公司合作，则企业支出保险金额为：（1200025+600025+200040）0.737.110 4，4610437.110 4，建议企业选择方案 2【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列
40、，数学期望的计算，属于中档题20 （12 分）已知椭圆 C： + 1（ab0）的四个顶点组成的四边形的面积为2 ，且椭圆 C 经过点（1， ） （1）求椭圆 C 的方程；（2）若椭圆 C 的下顶点为 P，如图所示，点 M 为直线 x2 上的一个动点，过椭圆 C的右焦点 F 的直线 l 垂直于 OM，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，与 OM 交于点 N，设四第 24 页（共 29 页）边形 AMBO 和ONP 的面积分别为 S1，S 2，求 S1S2 的最大值【分析】 （1）由 在椭圆 C 上，可得 ；又椭圆四个顶点组成的四边形的面积为 ，可得： 2 ，联立解出即可得出（2）由（1）可知 F（
41、1，0） ，设 M（2，t） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则当 t0 时， ，直线 AB 的方程为 2x+ty20（t0） ，与椭圆方程联立：（8+t 2）x 216x+8 2t 20，利用根与系数的关系、弦长公式可得| AB|，再利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（1） 在椭圆 C 上， ，又椭圆四个顶点组成的四边形的面积为 ， ，解得 a22，b 21，椭圆 C 的方程为 （2）由（1）可知 F（1，0） ，设 M（2，t） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则当 t0 时， ，所以 ，直线 AB 的方程为 ，即 2x+ty20（t 0） ，由
42、 得（8+t 2） x216x+82t 20，则（16） 24（8+t 2） （ 82t 2）8（t 4+4t2）0，第 25 页（共 29 页），又 ， ，由 ，得 ， ， ，当 t0 时，直线，当 t0 时， 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题21 （12 分）已知 f（x ）x （lnx） 2klnx 1（kR） （1）若 f（x）是（ 0，+）上的增函数，求 k 的取值范围；（2）若函数 f（x ）有两个极值点，判断函数 f（x）零点的个数【分析】 （1）由题意知 f（ x）0 恒成立，构造
43、函数 F（x）xlnxk，对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；（2）当 k1 时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证f（x 1）0，f（x 2）0【解答】解：（1）由 f（x ）x ，得 f'（x） ，由题意知 f'（x ）0 恒成立，即 xlnxk0，设 F（x ）xlnx k，F'（x）1 ，x（0，1）时 F'（x）0，F（x）递减；x（1，+）时，F'（x）0，F（x）递增；第 26 页（共 29 页）故 F（x ） min F（1）1k0，k1，故 k 的取值范围是：（，1；（2）当 k1 时，f（x）单调，无极值；当
44、k1 时，F（1）1k0，一方面，F（e k）e k ，且 F（x）在（0，1）递减，F（x ）在区间（ ek ，1）有一个零点，另一方面，F（e k）e k2k，设 g（k）e k2k （k 1） ，则 g'（k）e k20，从而 g（k）在（1，+）递增，则 g（k）g（1）e 20，即 F（e k）0，又F（x）在（ 1， +）递增，F（x ）在区间（ 1，e k）有一个零点，因此，当 k1 时，f'（x）在（e k ，1）和（1，e k）各有一个零点，将这两个零点记为x1，x 2（x 11 x2） ，当 x（0，x 1）时 F（x ）0，即 f'（x）0；当 x
45、（x 1，x 2）时 F（x）0，即 f'（x）0；当 x（x 2，+）时 F（x）0，即 f'（x ）0，从而 f（x）在（ 0，x 1）递增，在（x 1，x 2）递减，在（x 2，+）递增；于是 x1 是函数的极大值点，x 2 是函数的极小值点，下面证明：f（x 1）0，f（x 2）0，由 f'（x 1）0 得 x1lnx 1k0，即 kx 1lnx 1，由得 ，令 ，则 m'（x ） ，当 x（0，1）时 m'（x）0，m （x）递减，则 m（x ）m（1）0，而 x11，故f（x 1）0；当 x（1，+ ）时 m'（x）0，m（x ）递减
46、，则 m（ x）m（1）0，而 x21，故 f（x 2）0；一方面，因为 f（e 2k ）e 2k 10，又 f（x 1）0，且 f（x）在（0，x 1）递增，第 27 页（共 29 页）f（x）在（e 2k ，x 1）上有一个零点，即 f（x ）在（0，x 1）上有一个零点另一方面，根据 ex1+ x（x0）得 ek1+k，则有 f（e 4k）e 4k12k 21（1+ k） 412k 21 ，又 f（x 2）0，且 f（x ）在（ x2，+）递增，故 f（x）在（x 2，e 4k）上有一个零点，故 f（x ）在（x 2，+）上有一个零点，又 f（1）0，故 f（x）有三个零点【点评】本题考查函数的零点与导数的综合应用，关键是利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，属难题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23
