1、一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）集合 Mx |x1，N x|x2x 0 ，则（ ）AMN x|x1 BMN x|x0 CM N DNM2 （5 分）i 为虚数单位，复数 z 满足 z（1+i ）i，则|z| （ ）A B C1 D3 （5 分）某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（ ）Ar 4r 20 r1r 3 Br 2r 40r 1r 3Cr 2r 40r 3r 1 Dr 4r 2 0r 3r 14 （5 分）已知向量
2、， ， 若 为实数，则 （ ）A2 B1 C D5 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线与圆（x 2） 2+（y1） 21 相切，则 （ ）A B C D第 2 页（共 23 页）6 （5 分）半径 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A R3 B R3 C R3 D R37 （5 分）要得到函数 y cos2x+sinxcosx 的图象，只需将函数 ysin2x 的图象（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位8 （5 分）设函数 f（x ）x 3+（
3、a2）x 2+2x，若 f（x）为奇函数，则曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为（ ）Ay5x2 Byx+2 Cy5x+8 Dy x+49 （5 分）如图，直角三角形的两直角边长分别为 6 和 8，三角形内的空白部分是由三个半径为 3 的扇形构成，向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A B C D10 （5 分）若 ，且 ，则 cos2 的值为（ ）A B C D11 （5 分）如图，在下列三个正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F，G 均为所在棱的中点，过 E，F ，G 作正方体的截面在各正方体中，直线 BD1
4、与平面 EFG 的位置关系描述正确的是（ ）第 3 页（共 23 页）ABD 1平面 EFG 的有且只有 ；BD 1平面 EFG 的有且只有BBD 1平面 EFG 的有且只有；BD 1平面 EFG 的有且只有C.BD 1平面 EFG 的有且只有；BD 1平面 EFG 的有且只有DBD 1平面 EFG 的有且只有 ；BD 1平面 EFG 的有且只有12 （5 分）已知函数 f（x ） ，若关于 x 的方程 f（f （x ） ）m 只有两个不同的实根，则 m 的取值范围为（ ）A1，2 B1，2） C0 ，1 D0 ，1）二、填空题：本大题共 4 小题每小题 5 分.13
5、 （5 分）已知函数 f（x ） ，那么 f（f （3） ） 14 （5 分）已知 x，y 满足不等式 ，则 zx +2y 最大值为 15 （5 分）已知直线 l：y kx+1 与圆 C：x 2+y22x2y+10 相交于 A，B 两点，若|AB| ，则 k 16 （5 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，若且 b1，则 a+c 的取值范围为 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生
6、都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分17 （12 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，且 2Sn3a n 3（1）求a n的通项公式；（2）若 bn ，求数列b n的前 n 项和18 （12 分）如图，点 C 在以 AB 为直径的上运动，PA平面 ABC，且 PAAC，点D、E 分别是 PC、PB 的中点（1）求证：PCAE；（2）若 AB2BC2，求点 D 到平面 PAB 的距离第 4 页（共 23 页）19 （12 分）某书店为了了解销售单价（单位：元）在8，20 内的图书销售情况，从 2018年上半年已经销售的图书中随机抽取 100 本，
7、获得的所有样本数据按照8，10） ，10，12 ） ，12，14） ，14 ，16） ，16 ，18） ，18，20分成 6 组，制成如图所示的频率分布直方图：已知样本中销售单价在14， 16）内的图书数是销售单价在18 ，20内的图书数的 2 倍（1）求出 x 与 y，再根据频率分布直方图估计这 100 本图书销售单价的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（2）用分层抽样的方法从销售单价在8，20 内的图书中共抽取 40 本，求单价在 6 组样本数据中的图书销售的数量；（3）从（2）中抽取且价格低于 12 元的书中任取 2 本，求这 2 本书价格都不低于 10 元的概率20
8、（12 分）设椭圆 ，定义椭圆 C 的“相关圆”方程为若抛物线 x24y 的焦点与椭圆 C 的一个焦点重合，且椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形第 5 页（共 23 页）（1）求椭圆 C 的方程和“相关圆 ”E 的方程；（2）过“相关圆”E 上任意一点 P 的直线 l：ykx+m 与椭圆 C 交于 A，B 两点O 为坐标原点，若 OAOB，证明原点 O 到直线 AB 的距离是定值，并求 m 的取值范围21 （12 分）已知函数 f（x ）xalnx1（1）若函数 f（x ）的极小值为 0，求 a 的值；（2）t0 且 a1，求证： （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、
9、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，过点 P（2，4）的直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 sin22cos，记直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点（1）求曲线 C 和 l 的直角坐标方程；（2）证明：|PM|、| MN|、|PN| 成等比数列选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +3|2（1）解不等式 f（x ）|x 1|；（2）若 xR，使得 f（x ）|2x1|+b 成立，
10、求实数 b 的取值范围第 6 页（共 23 页）2019 年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）集合 Mx |x1，N x|x2x 0 ，则（ ）AMN x|x1 BMN x|x0 CM N DNM【分析】可求出集合 Nx|0 x1 ，从而得出 N 是 M 的真子集，即选项 D 正确【解答】解：Nx|0x1 ；MN x|0x 1，M Nx|x 1 ，NM故选：D【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，真子集的定义2 （5 分）i 为虚数
11、单位，复数 z 满足 z（1+i ）i，则|z| （ ）A B C1 D【分析】直接利用复数的模的运算法则化简求解即可【解答】解：i 为虚数单位，复数 z 满足 z（1+i ）i， ，故选：B【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力3 （5 分）某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（ ）第 7 页（共 23 页）Ar 4r 20 r1r 3 Br 2r 40r 1r 3Cr 2r 40r 3r 1 Dr 4r 2 0r 3r 1【分析】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集
12、中在一条线附近，说明相关性越强，进而可得出结果【解答】解：根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：（1） （3）为正相关， （2） （4）为负相关；故 r10，r 30；r 20，r 40；又（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故 r1r 3，r 2r 4，因此，r 2r 40r 3r 1故选：C【点评】本题主要考查相关系数，根据散点图的特征记性判断即可，属于基础题型4 （5 分）已知向量 ， ， 若 为实数，则 （ ）A2 B1 C D【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解： （1
13、+ ，2） ， ，4（1+ ）230，第 8 页（共 23 页）解得 故选：C【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线与圆（x 2） 2+（y1） 21 相切，则 （ ）A B C D【分析】求得双曲线的渐近线方程，以及圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：dr，计算可得 3a4b，即可得到结果【解答】解：双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线为 y x，即为 axby0，圆（x2） 2+（y 1） 21 的圆心（2，1） ，半径为 1，由直线和圆相切可得， 1，
14、化为 a2+b24a 24ab+ b2，可得 3a4b， 故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，注意渐近线方程和圆方程的运用，考查直线和圆相切的条件：dr，考查运算能力，属于中档题6 （5 分）半径 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A R3 B R3 C R3 D R3【分析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积【解答】解：2r R，所以 r ，则 h ，所以 V故选：A【点评】本题是基础题，考查圆锥的展开图与圆锥之间的计算关系，圆锥体积的求法，第 9 页（共 23 页）考查计算能力7 （5 分）要得到函数 y cos2x
15、+sinxcosx 的图象，只需将函数 ysin2x 的图象（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位【分析】由题意利用函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：要得到函数y cos2x+sinxcosx + sin2x sin（2x+ ）的图象，只需将函数 ysin2x 的图象向左平移 个单位，故选：C【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，属于基础题8 （5 分）设函数 f（x ）x 3+（a2）x 2+2x，若 f（x）为奇函数，则曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线
16、方程为（ ）Ay5x2 Byx+2 Cy5x+8 Dy x+4【分析】利用函数的奇偶性求出 a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程【解答】解：函数 f（x ）x 3+（a2）x 2+2x，若 f（x）为奇函数，可得 a2，函数 f（x） x3+2x，可得 f（x）3x 2+2，又 f（1）3；曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线的斜率为：5，则曲线 yf（x）在点（1，3）处的切线方程为：y35（x1） 即 y5x2故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力，是中档题9 （5 分）如图，直角三角形的两直角边长分别为 6 和 8，
17、三角形内的空白部分是由三个半第 10 页（共 23 页）径为 3 的扇形构成，向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A B C D【分析】由几何概型中的面积型得：P（A）1 1 1 ，得解【解答】解：由图可知：S 24，S 白 32 ，记事件 A 为“该点落在阴影部分” ，由几何概型中的面积型得：P（A）1 1 1 ，故选：B【点评】本题考查了几何概型中的面积型，属中档题10 （5 分）若 ，且 ，则 cos2 的值为（ ）A B C D【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可求 cos+sin ，两边平方，解得 sin2 ，可求 cossin
18、，由+ 可得cos ，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解 cos2 的值【解答】解： ，且 ，3（cos 2sin 2） （cossin ） ，3（cossin） （cos+sin ） （cos sin ） ，cos+sin ，或 cossin 0， （舍去） ，第 11 页（共 23 页）两边平方，可得：1+sin2 ，解得：sin2 ，cossin ，由 +可得：cos ，可得：cos22cos 212（ ） 21故选：A【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题11 （5 分）如图，在下列三个正方体
19、 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F，G 均为所在棱的中点，过 E，F ，G 作正方体的截面在各正方体中，直线 BD1 与平面 EFG 的位置关系描述正确的是（ ）ABD 1平面 EFG 的有且只有 ；BD 1平面 EFG 的有且只有BBD 1平面 EFG 的有且只有；BD 1平面 EFG 的有且只有C.BD 1平面 EFG 的有且只有；BD 1平面 EFG 的有且只有DBD 1平面 EFG 的有且只有 ；BD 1平面 EFG 的有且只有【分析】 利用平面 EFG 与平面 BB1D1D 可确定 BD1平面 EFG；利用三垂线定理可证得 EFBD 1，EGBD 1，从而确定 BD
20、1平面 EFG；建立空间坐标系，利用 ，可得 BD1EF，BD 1EG，得BD1平面 EFG【解答】解：中利用 GEBD，EFBB 1，可证得平面 EFG平面 BB1D1D，从而确定 BD1平面 EFG；中利用 EFA 1B 则 EFBD 1；第 12 页（共 23 页）EGAD 1，则 EGBD 1，可得 BD1平面 EFG；设棱长为 2，以 D 为原点，以 DA，DC，DD 1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间坐标系，则 B（2，2，0） ，D 1（0，0， 2） ，E（1，0，0） ，F（2，1，2） ，G （0，2，1） ， ， 22+40，24+20，BD 1EF，BD 1EG，B
21、D 1平面 EFG，故选：A【点评】此题考查了线面平行，面面平行，线面垂直，空间向量等，综合性较强，难度适中12 （5 分）已知函数 f（x ） ，若关于 x 的方程 f（f （x ） ）m 只有两个不同的实根，则 m 的取值范围为（ ）A1，2 B1，2） C0 ，1 D0 ，1）【分析】由题，先求出 f（f（x） ）的函数解析式，再画出其图象，由数形结合可得结果【解答】解：f（f（x） ） ，画出函数图象，因为关于 x 的方程 f（f（x） ）m 只有两个不同的实根，x 1，x 2，所以x10，x 22，0m1第 13 页（共 23 页）故选：D【点评】本题考查了函数性质，解
22、析式的求法以及函数的图象，求其解析式以及画出函数图象是解题的关键，属于较难题二、填空题：本大题共 4 小题每小题 5 分.13 （5 分）已知函数 f（x ） ，那么 f（f （3） ） 25 【分析】根据题意，由函数的解析式求出 f（3）的值，即可得 f（f（3） ）f（5） ，计算可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x ） ，则 f（3）2（3）5 ，则 f（f（3） ）f（5）（5） 225；故答案为：25【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题14 （5 分）已知 x，y 满足不等式 ，则 zx +2y 最大值为 11 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用
23、几何意义求最值，只需求出直线 zx+2y过 y 轴的截距最大，即 z 最大值，从而求解【解答】解：先根据 x，y 满足不等式 ，画出可行域，目标函数 zx+2y，经过点 B 时 z 取得最大值，B（1，5） ，可得 zmax1+2511，故最大值为：11，故答案为：11第 14 页（共 23 页）【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，是中档题15 （5 分）已知直线 l：y kx+1 与圆 C：x 2+y22x2y+10 相交于 A，B 两点，若|AB| ，则 k 1 【分析】根据圆心到直线的距离 d 与半径和弦长的关系求出 k 的值即可【解答】解：圆 C：
24、x 2+y22x2y+10，化为：（x1） 2+（y1） 21，圆心为 C（1，1） ，半径为 1，则圆心到直线的距离为 d ，即 ，解得：k1故答案为：1【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，是基础题16 （5 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，若且 b1，则 a+c 的取值范围为 （ ，2 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 sinBsinC sinCcosB，结合sinC0，可得 tanB ，由 B 为锐角，可得 B ，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求 a+c2sin（A+） ，由已知可求范围 A（
25、 ， ） ，利用正弦函数的图象和性质可求其范围【解答】解： ，cosB（cos C sinC） cos（B+C）cosBcosCsinBsin C，可得：sinBsinC sinCcosB，sinC0，可得：tanB ，第 15 页（共 23 页）由 B 为锐角，可得 B ，由正弦定理 ，b1，a+c （sinA+sin C） sinA+sin（ A ） （ cosA+ sinA）2sin（A+ ） ， ，可得：A（ ， ） ，A+ （ ， ） ，可得： sin（A+ ）（ ，1，a+c2sin（A+ ）（ ，2 故答案为：（ ，2【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理以及正弦
26、函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分17 （12 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，且 2Sn3a n 3（1）求a n的通项公式；（2）若 bn ，求数列b n的前 n 项和【分析】 （1）根据和项与通项关系求解即可， （2）先化简 bn，再根据裂项相消法求和【解答】解：（1）因为 2Sn3a n3所以 2sn1 3a n1 3（n2）所以 2an3a
27、n3a n1 （n2） ， 3（m2） ，第 16 页（共 23 页）2s 13a 13，a 13数列a n是以首项为 3，公比为 3 的等比数列，故 an3 n（2）因为 bn 所以T nb 1+b2+bn1 【点评】本题考查由和项求通项以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题18 （12 分）如图，点 C 在以 AB 为直径的上运动，PA平面 ABC，且 PAAC，点D、E 分别是 PC、PB 的中点（1）求证：PCAE；（2）若 AB2BC2，求点 D 到平面 PAB 的距离【分析】 （1）证明 DE平面 PBC 可得 PCDE ，再结合 PCAD 即可得出 PC平面ADE，故
28、而 PCAE ；（2）取 AC 中点 F，过 F 作 FMAB 于 M，则可证 FM平面 PAB，从而 FM 即为所求【解答】 （1）证明：PA平面 ABC，BC 平面 ABC，PABC，AB 是圆的直径，BCAC，又 ACPAA，BC平面 PAC，第 17 页（共 23 页）又 PC平面 PACBCPC，DE 是PBC 的中位线，DEBC，PCDE，PAAC，D 是 PC 的中点，ADPC，又 ADDE D ，PC平面 ADE，又 AE平面 ADE，PCAE（2）解：取 AC 中点 F，过 F 作 FMAB 于 M，D，F 分别是 PC，AC 的中点，DFPA，又 DF平面 PAB，PA平面
29、 PAB，DF平面 PAB，D 到平面 PAB 的距离等于 F 到平面 PAB 的距离PA平面 ABC，FM平面 ABC，FMPA，又 FMAB ，PAABA，FM平面 PAB，F 到平面 PAB 的距离为线段 FM 的长在 Rt ABC 中，AB2AC 2，AC ，C 到 AB 的距离为 ，又 F 为 AC 的中点，FM 点 D 到平面 PAB 的距离为 第 18 页（共 23 页）【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，点到直线的距离计算，属于中档题19 （12 分）某书店为了了解销售单价（单位：元）在8，20 内的图书销售情况，从 2018年上半年已经销售的图书中随机抽取 100 本，获
30、得的所有样本数据按照8，10） ，10，12 ） ，12，14） ，14 ，16） ，16 ，18） ，18，20分成 6 组，制成如图所示的频率分布直方图：已知样本中销售单价在14， 16）内的图书数是销售单价在18 ，20内的图书数的 2 倍（1）求出 x 与 y，再根据频率分布直方图估计这 100 本图书销售单价的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（2）用分层抽样的方法从销售单价在8，20 内的图书中共抽取 40 本，求单价在 6 组样本数据中的图书销售的数量；（3）从（2）中抽取且价格低于 12 元的书中任取 2 本，求这 2 本书价格都不低于 10 元的概率【分析】
31、 （1）先求出 x 与 y，再根据直方图求出平均值；（2）根据分层抽样是按比例抽样可得；（3）用列举法和古典概型概率公式可得【解答】解：（1）样本中图书的销售单价在14，16）内的图书数是 x2100200x ，样本中图书的销售单价在18，20）内的图书数是 y2100200y ，依据题意，有 200x2200y，即 x2y，根据频率分布直方图可知（0.12+0.025+x+0.05+ y）2 1，由得 x0.15，y0.075 （3 分）根据频率分布直方图估计这 100 本图书销售单价的平均数为0.0252+ 0.052+ 0.12+ 0.152+ 0.1第 19 页（共 23 页）2+ 0
32、.07520.45+1.1+2.6+4.5+3.4+2.8514.9（元） （6 分）（2）因为销售单价在8，10 ） ，10 ，12） ，12，14） ，14，16） ，16 ，18） ，18，20的图书的分层抽样比为 1：2：4：6：4：3，故在抽取的 40 本图书中，销售单价在8，10） ，10，12） ，12，14） ，14 ，16） ，16 ，18） ，18，20内的图书分别为40 2，40 4，40 8，40 12，40 8，40 6 （本）（8 分）（3）这 40 本书中价格低于 12 元的共有 6 本，其中价格低于 10 元的 2 本，记这 2 本为A1，A 2，另外 4 本记
33、为 B1，B 2，B 3，B 4，从中抽取 2 本的基本事件有：A1A2，A 1B1，A 1B2，A 1B3，A 1B4，A 2B1，A 2B2，A 2B3，A 2B4，B 1B2，B 1B3，B 1B4，B 2B3，B 2B4，B 3B4 共 15 个，其中价格不低于 10 元的有 6 个，所以：这 2 本书价格都不低于 10 元的概率 P （12 分）【点评】本题考查了频率分布直方图，属中档题20 （12 分）设椭圆 ，定义椭圆 C 的“相关圆”方程为若抛物线 x24y 的焦点与椭圆 C 的一个焦点重合，且椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形（1）求椭圆 C 的方程和“相关圆
34、 ”E 的方程；（2）过“相关圆”E 上任意一点 P 的直线 l：ykx+m 与椭圆 C 交于 A，B 两点O 为坐标原点，若 OAOB，证明原点 O 到直线 AB 的距离是定值，并求 m 的取值范围【分析】 （1）求出已知抛物线的焦点坐标，得到 c1，再由椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，得到 bc1，进一步求得 a，则椭圆及相关圆的方程可求；（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及条件 OAOB ，得 3m22k 220，再由得到直线的距离公算证明原点 O 到直线 AB 的距离是定值，结合判别式大于 0 求得
35、m 的取值范围【解答】解：（1）抛物线 x24y 的焦点（0，1）与椭圆 C 的一个焦点重合，c1，第 20 页（共 23 页）又椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，bc1，则a2b 2+c22故椭圆 C 的方程为 ， “相关圆”E 的方程为 ；（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，联立方程组 ，得（2+k 2）x 2+2kmx+m220，4k 2m24（2+ k2） （m 2 2）4（2k 22m 2+4）0，即 k2m 2+20， ，y1y2（kx 1+m） （kx 2+m） 由条件 OAOB，得 3m22k 220，原点 O 到直线 l 的距离是 d
36、，由 3m22k 220，得 d 为定值又圆心到直线 l 的距离为 ，直线 l 与圆由公共点 P，满足条件由0，即 k2m 2+20， 0，即 m2+20又 ，即 3m22， ，即 m 或 m 综上，m 的取值范围为（ ， ，+） 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）xalnx1（1）若函数 f（x ）的极小值为 0，求 a 的值；第 21 页（共 23 页）（2）t0 且 a1，求证： 【分析】 （1）求出 ，当 a0 时，f（x ）0，函数 f（x）在定义域上递增，不满足条件；当 a0 时，函数 f（x
37、）在（0，a）上递减，在（a，+）上递增，从而 f（x）在 xa 取得极小值 0，由此能求出 a（2）法 1：由 ，由 a1，得只需证当 t0 时， 恒成立，令，xlnx10，令 xe t 得 ett10，由此能证明 法 2： ，设（t 0） ，则 g'（t ）e tata，推导出 g（t）单调递增，得g（t）g（0）0，由此能证明 【解答】解：（1）函数 f（ x）xalnx1， ，当 a0 时，f（x ）0，函数 f（x）在定义域上递增，不满足条件；当 a0 时，函数 f（x ）在（0，a）上递减，在（a，+）上递增，故 f（x）在 xa 取得极小值 0，f（a）aalna 1 0
38、，令 p（a）aalna1，p'（ a）lna ，所以 p（a）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减，故 p（a）p（1）0，f（a）0 的解为 a1，故 a1证明：（2）证法 1：由 ，a1，所以只需证当 t0 时， 恒成立，令 ，由（1）可知 xlnx 10，令 xe t 得 ett 10，g（t）在（0，+）上递增，故 g（t ）g（0）0，故 第 22 页（共 23 页）证法 2： ，设 （t0） ，则 g'（t ）e tata，则 g''（t）e ta，又 ete 01，a1，得 g''（t）0，g'（t）单调递增，得 g
39、'（t）g（0）1a0，g（t）单调递增，得 g（t）g（0）0，故 【点评】本题考查实数值的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，过点 P（2，4）的直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 sin22cos，记直线 l 与曲线 C 分别交于
40、M，N 两点（1）求曲线 C 和 l 的直角坐标方程；（2）证明：|PM|、| MN|、|PN| 成等比数列【分析】 （1）根据互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程，消去参数可得直线 l 的普通方程（2）根据参数得几何意义以及等比数列的定义可得【解答】解：（1）由 sin22cos ，得 2sin22cos ，所以曲线 C 的直角坐标方程为 y22x，由 消去参数 t 得直线 l 得普通方程为 yx2（2）证明，将直线 l 的参数方程代入 y22x 中，t 210 t+40，设 M，N 对应的参数为 t1，t 2，则有 t1+t210 ，t 1t240所以|MN |2|t 1t 2|2（t 1
41、+t2） 24t 1t240，第 23 页（共 23 页）因为|PM| |PN|t 1t2|40 |MN|2，|PM |、|MN|、|PN| 成等比数列【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +3|2（1）解不等式 f（x ）|x 1|；（2）若 xR，使得 f（x ）|2x1|+b 成立，求实数 b 的取值范围【分析】 （1）分三种情况讨论，去掉绝对值，求不等式的解集即可；（2）先由题意得，|x +3|2x1| 2b，令 g（x）|x+3|2x1|2，求出 g（x）的最小值，即可得出结果【解答】解：（1）由 f（x ）|x1| ，可得|x+3|2| x1|，当 x1 时，x+32x 1 不成立，当3x1 时，x +321x ，3x0，当 x3 时，x 321x ，51 成立，不等式 f（x） |x1| 的解集为 x|x0（2）依题意，|x +3|2x 1|2b，令 g（x）|x+3|2x 1|2 ，易知 g（x） maxg（ ） ，则有 b，即实数 b 的取值范围是（， 【点评】本题主要了考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的思想即可求解，属于常考题型
