1、一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 Ax| x2，Bx|0x3，则 AB（ ）A x|x2 Bx|x3 C x|2x3 D x|2x32 （5 分）若 iz1+ i，则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）设曲线 C 是双曲线，则 “C 的方程为 ”是“C 的渐近线方程为y2x ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）若 2m
2、2 n1，则（ ）A BCln（mn）0 D mn 15 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A B C D6 （5 分）我们可以用随机模拟的方法估计 的值，如图示程序框图表示其基本步骤（函数 RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数） 若输出的第 2 页（共 28 页）结果为 786，则由此可估计 的近似值为（ ）A3.126 B3.144 C3.213 D3.1517 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+） （0， ） ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，将函数 yf （x）
3、的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于 y轴对称，那么函数 yf（x ）的图象（ ）A关于点 对称 B关于点 对称C关于直线 对称 D关于直线 对称8 （5 分） 中国诗词大会 （第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味若将进酒 山居秋暝望岳 送杜少府之任蜀州和另外确定的两首诗词排在后六场， 将进酒与望岳相邻且将进酒排在望岳的前面， 山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（ ）A144 种 B48 种 C36 种 D72 种9 （5 分）已知椭圆 E： 的右焦点为 F，短轴
4、的一个端点为 M，直线 l：3x 4y 0 交椭圆 E 于 A，B 两点，若| AF|+|BF|6，点 M 与直线 l 的距离不小于第 3 页（共 28 页），则椭圆 E 的离心率的取值范围是（ ）A B C D10 （5 分）已知变量 x，y 满足条件 则目标函数 的最大值为（ ）A B1 C D11 （5 分）已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）ABCD 的外接球，BC3， ，点 E 在线段 BD 上，且 BD6BE ，过点 E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A B C D12 （5 分）已知函数 f
5、（x ）的导函数为 f（x） ，且对任意的实数 x 都有 f（x） f（x） （e 是自然对数的底数） ，且 f（0）1，若关于 x 的不等式 f（x）m0 的解集中恰有两个整数，则实数 m 的取值范围是（ ）A （e，0 Be 2，0） C e ，0） D （e 2，0二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分） 的展开式中的常数项是 14 （5 分）已知数列a n的首项为 3，等比数列b n满足 ，且 b10091，则 a2018的值为 15 （5 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，A
6、45，B60，D150，AB 2BC8，则四边形 ABCD 的面积为 16 （5 分）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星设正八角星的中心第 4 页（共 28 页）为 O，并且 ， ，若将点 O 到正八角星 16 个顶点的向量都写成，、R 的形式，则 + 的取值范围为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知函数 （I）求函数 f（x ）的最小正周期；（II）求函数 f（x ）在区
7、间 上的最值及相应的 x 值18 （12 分）如图，已知在四棱锥 PABCD 中，O 为 AB 中点，平面 POC平面ABCD， ADBC ，AB BC，PAPBBCAB2，AD3（1）求证：平面 PAB面 ABCD（2）求二面角 OPDC 的余弦值19 （12 分）1995 年联合国教科文组织宣布每年的 4 月 23 日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权 ”为了解大学生第 5 页（共 28 页）课外阅读情况，现从某高校随机抽取 100 名学生，将他们一年课外阅读量（单
8、位：本）的数据，分成 7 组20，30） ， 30，40） ，80，90） ，并整理得到如下频率分布直方图：（）估计其阅读量小于 60 本的人数；（）已知阅读量在20，30 ） ，30 ，40） ，40，50）内的学生人数比为 2：3：5为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在20，40）内的学生中随机选取 3 人进行调查座谈，用 X 表示所选学生阅读量在20，30）内的人数，求 X 的分布列和数学期望；（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计 100 名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论） 20 （12 分）椭圆 的左右焦点分别为 F1，F 2，与 y 轴正半
9、轴交于点B，若 BF1F2 为等腰直角三角形，且直线 BF1 被圆 x2+y2b 2 所截得的弦长为 2（1）求椭圆的方程；（2）直线 l 与椭圆交于点 A、C，线段 AC 的中点为 M，射线 MO 与椭圆交于点 P，点O 为PAC 的重心，探求PAC 的面积 S 是否为定值，若是求出这个值，若不是，求 S的取值范围21 （12 分）设函数 （） 讨论函数 f（x ）的单调性；（）若 x0 时，恒有 f（x）ax 3，试求实数 a 的取值范围；（）令 ，试证明：第 6 页（共 28 页）请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22
10、（10 分）在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的方程是 ，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；（）射线 OM：（其中 ）与曲线 C 交于 O，P 两点，与直线 l 交于点 M，求 的取值范围选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|2x 1| （1）设 f（x） +f（x +1）5 的解集为集合 A，求集合 A；（2）已知 m 为集合 A 中的最大自然数，且 a+b+cm （其中 a，b，c 为正实数） ，设求证：M8第 7 页（共 28 页）2018 年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（
11、理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 Ax| x2，Bx|0x3，则 AB（ ）A x|x2 Bx|x3 C x|2x3 D x|2x3【分析】根据并集的定义写出 AB【解答】解：集合 Ax| x2，B x|0x3，则 ABx|x3故选：B【点评】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题2 （5 分）若 iz1+ i，则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数
12、代数形式的乘除运算化简，求出 的坐标得答案【解答】解：iz1+ i，z ， ，则 z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（1，1） ，位于第四象限故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）设曲线 C 是双曲线，则 “C 的方程为 ”是“C 的渐近线方程为y2x ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据双曲线的渐近线方程结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可第 8 页（共 28 页）【解答】解：C 的方程为 ，则双曲线的渐近线方程为 y2x，即充分性成立，双曲线
13、 x 21 的渐近线方程也是 y2x ，即必要性不成立，故“C 的方程为 ”是“C 的渐近线方程为 y 2x”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的渐近线的性质是解决本题的关键4 （5 分）若 2m2 n1，则（ ）A BCln（mn）0 D mn 1【分析】2 m2 n1，可得 mn0，再利用函数的单调性、不等式的性质即可得出【解答】解：2 m2 n1， m n0， ， m ，ln（m n）与 0 的大小关系不确定， mn 1因此只有 D 正确故选：D【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
14、5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）第 9 页（共 28 页）A B C D【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为 120，又由侧视图知几何体的高为 4，底面圆的半径为 2，把数据代入圆锥的体积公式计算【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为 120，又由侧视图知几何体的高为 4，底面圆的半径为 2，几何体的体积 V 224 故选：D【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量6 （5
15、 分）我们可以用随机模拟的方法估计 的值，如图示程序框图表示其基本步骤（函数 RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数） 若输出的结果为 786，则由此可估计 的近似值为（ ）第 10 页（共 28 页）A3.126 B3.144 C3.213 D3.151【分析】我们可分析出程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取（0，1）上的x，y，求 x2+y21 的概率，计算 x2+y21 发生的概率，代入几何概型公式，即可得到答案【解答】解：根据已知中的流程图我们可以得到该程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取（0，1）上的两个数 x，y，求 x2+y21
16、的概率，x（0，1） ， y（0，1） ，对应的平面区域面积为： 111，而 x2+y21 对应的平面区域的面积为： ，故由题意可得： ，解得：3.144，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知中的程序流程图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，本题属于基本知识的考查7 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+） （0， ） ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，将函数 yf （x）的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于 y轴对称，那么函数 yf（x ）的图象（ ）A关于点 对称 B关于点 对称第 11 页（共 28 页）C关于直线 对
17、称 D关于直线 对称【分析】由函数 yf（x）的图象与性质求出 T、 和 ，写出函数 yf （x）的解析式，再求 f（x）的对称中心，即可得解【解答】解：由函数 yf（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，可知其周期为 T ，所以 4，所以 f（x）sin（4x +） ；将函数 yf（x）的图象向左平移 个单位后，得到函数 ysin4（x + ）+图象因为得到的图象关于 y 轴对称，所以 4 +k + ，k Z，即 k ，k Z；又| ，所以 ，所以 f（x）sin（4x ） ，令 4x k，kZ，解得 x + ，k Z；k0 时，得 f（ x）的图象关于点（ ，0）对称，B 正确故选：B【点
18、评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了函数 yAsin（x+）的图象变换，属于中档题8 （5 分） 中国诗词大会 （第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味若将进酒 山居秋暝望岳 送杜少府之任蜀州和另外确定的两首诗词排在后六场， 将进酒与望岳相邻且将进酒排在望岳的前面， 山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（ ）A144 种 B48 种 C36 种 D72 种【分析】根据题意，分 2 步分析：，将将进酒与望岳捆绑在一起和另外确定第 12 页（共 28 页）的两首诗词进行全
19、排列，再将山居秋暝与送杜少府之任蜀州插排在 3 个空里（最后一个空不排） ，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分 2 步分析：，将 将进酒 与望岳捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有种排法，再将 山居秋暝 与送杜少府之任蜀州插排在 3 个空里（最后一个空不排） ，有 种排法，则后六场的排法有 36（种） ，故选：C【点评】本题考查排列组合的应用，注意常见问题的处理方法9 （5 分）已知椭圆 E： 的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x 4y 0 交椭圆 E 于 A，B 两点，若| AF|+|BF|6，点 M 与直线 l 的距离不小于，则椭圆 E 的离心率的
20、取值范围是（ ）A B C D【分析】由题意求出 a 的值与 b 的取值范围，计算离心率 e 的取值范围即可【解答】解：如图所示，设 F为椭圆的左焦点，连接 AF，BF，则四边形 AFBF是平行四边形，6|AF|+|BF|AF|+|AF|2a，a3；取 M（0，b） ，点 M 到直线 l 的距离不小于 ， ，解得 b2；e ，椭圆 E 的离心率的取值范围是（0， 故选：B第 13 页（共 28 页）【点评】本题考查了椭圆定义与离心率的计算问题，是基础题10 （5 分）已知变量 x，y 满足条件 则目标函数 的最大值为（ ）A B1 C D【分析】作出不等式组对应的平面区
21、域，利用目标函数的几何意义，求解即可【解答】解：变量 x，y 满足条件 的可行域如图：A（3，3） ，B（1，1），C（2，0） ，目标函数 ，表示 （ ，1）与 （ ， ）的数量积， 21cos， ， ，z2cos，z 取得最大值时 最小，即 C（2，0）时第 14 页（共 28 页）目标函数 的最大值为： 故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键11 （5 分）已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）ABCD 的外接球，BC3， ，点 E 在线段 BD 上，且 BD6BE ，过点 E 作球O 的截面，则所得截
22、面圆面积的取值范围是（ ）A B C D【分析】设BDC 的中心为 O1，球 O 的半径为 R，连接 O1D，OD，O 1E，OE，可得R23+（3R） 2，解得 R2，过点 E 作圆 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解【解答】解：如图，设BDC 的中心为 O1，球 O 的半径为 R，连接 O1D，OD，O 1E，OE ，则 O1D3sin60 ，AO 1 3，在 Rt OO1D 中，R 23+（3R） 2，解得 R2，BD6BE，DE2.5，在DEO 1 中， O1E ，OE ，过点 E 作圆 O 的截面，当截面与 OE
23、垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为 ，最小面积为 ，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为 4故选：A第 15 页（共 28 页）【点评】本题考查三棱锥外接球的截面圆面积的取值范围的求法，考查球、圆锥等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题12 （5 分）已知函数 f（x ）的导函数为 f（x） ，且对任意的实数 x 都有 f（x） f（x） （e 是自然对数的底数） ，且 f（0）1，若关于 x 的不等式 f（x）m0 的解集中恰有两个整数，则实数 m 的取值范围是（ ）A （e，0 Be 2，0） C e ，0） D （e
24、 2，0【分析】利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出【解答】解：f'（x ）e x （2x+3）f（x） ，e xf（x）+f（x）2x +3，e xf（x）x 2+3x+c，f（0）1，10+0+ c，解得 c1f（x）（x 2+3x+1）e x ，f（x） （x 2+x2）e x （x1） （x+2）e x 令 f（x）0 ，解得 x1 或 x2，当 x2 或 x1 时，f（x）0，函数 f（x）单调递减，当2x1 时，f（x）0，函数 f（x ）单调递减增，可得：x1 时，函数 f（x）取得极大值，x2 时，函数 f（x）取得极小值，第 16 页（共 28 页）f（
25、1） ，f（2）e 20，f （1）e，f（0）10，f（3）e 30em0 时，f （x ）m0 的解集中恰有两个整数恰有两个整数1，2故 m 的取值范围是（e，0 ，故选：A【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值及其图象性质、方程与不等式的解法、数形结合思想方法、构造方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分） 的展开式中的常数项是 11 【分析】把 按照二项式定理展开，可得 的展开式中的常数项【解答】解： （2x+1）（1 + + + ） ，故它的展开式中的常数项是 11211，故答案为：11【点评】本题
26、主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题14 （5 分）已知数列a n的首项为 3，等比数列b n满足 ，且 b10091，则 a2018的值为 3 【分析】等比数列b n满足 ，可得 lnan+1lna nlnb n，利用累加求和方法可第 17 页（共 28 页）得：lna 2018lna 1ln（b 1b2b2017）ln ln 10，即可得出【解答】解：等比数列b n满足 ，lna n+1lna nlnb n，lna 2018lna 2017lnb 2017，lna2017lna 2016lnb 2016，lna2lna 1lnb 1，lna 2018
27、lna 1ln（b 1b2b2017）ln ln 1 0，a 2018a 13故答案为：3【点评】本题考查了等比数列的通项公式与性质、数列递推关系、对数运算性质、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15 （5 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，A45，B60，D150，AB 2BC8，则四边形 ABCD 的面积为 【分析】采用分割法对三角形进行分割，进一步利用余弦定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积公式求出结果【解答】解：如图，连接 AC，可得DCB105在ABC 中，由余弦定理得 AC2BC 2+BA22BCBA cos6048AB 2AC 2+B
28、C2，CAB30，ACB 90，DCADAC15 tan15四边形 ABCD 的面积为 12 ）+8 244 故答案为：244 第 18 页（共 28 页）【点评】本题考查的知识要点：解三角形知识的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用16 （5 分）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星设正八角星的中心为 O，并且 ， ，若将点 O 到正八角星 16 个顶点的向量都写成，、R 的形式，则 + 的取值范围为 1 ，1+ 【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则求出 + 的最大值和最小值即可【解答】解：以
29、 O 为原点，以 OA 为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示：设圆 O 的半径为 1，则 OM1，过 M 作 MNOB ，交 x 轴于 N，则OMN 为等腰直角三角形，ON ，OM1， + ，此时 +1+ ；同理可得： + ，此时 +1 ；+ 的最大值为 1+ ，最小值为1 故答案为：1 ，1+ 第 19 页（共 28 页）【点评】本题考查了平面向量的基本定理与应用问题，是中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知函数 （I）求函数 f（x ）的最小正周期；（II）求函数 f（x ）在区间 上的最值及相应的 x 值【分
30、析】 （I）直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化积即可求函数 f（x）的最小正周期；（II）结合已知条件求出 ，进而可求出函数 f（x）在区间上的最值及相应的 x 值【解答】解：（） ，f（x）的最小正周期是 ；（） ，02x， ，当 时，f（x ） max2第 20 页（共 28 页）当 时，f（x ） min1【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查 yAsin（x+）型函数的图象和性质，是基础题18 （12 分）如图，已知在四棱锥 PABCD 中，O 为 AB 中点，平面 POC平面ABCD， ADBC ，AB BC，PAPBBCAB2，AD3（1）求证：平面 PAB面 A
31、BCD（2）求二面角 OPDC 的余弦值【分析】 （1）利用侧面 PAB底面 ABCD，可证 PO底面 ABCD，从而可证POCD，利用线面垂直的判定，可得 PO底面 ABCD，即可证明结论；（2）过点 C 作 CMOD 于点 M，过点 M 作 MNPD 于点 N，连接 CN，证明MNC是二面角 OPDC 的平面角，从而可求二面角 OPDC 的余弦值【解答】 （1）证明：AD BC，ABBC，BC AB2，AD3OC ，OD ，CD ，OD 2OC 2+DC210，OCCD ，即 CD平面 POC，CDPOPAPBAB，O 为 AB 中点，POAB，PO底面 ABCD，PO平面 PAB，平面
32、PAB面 ABCD（6 分）（2）解：过点 C 作 CMOD 于点 M，过点 M 作 MNPD 于点 N，连接 CN第 21 页（共 28 页）则由于 PO平面 OCD，PO 平面 POD，所以平面 POD平面 OCD，CM平面 OCD，平面 POD平面 OCDOD，CM平面 POD，CMPD ，MNPD，MNCMM，PD平面 MCN，PDNC，即MNC 是二面角 OPD C 的平面角在 Rt OCD 中，CM ，在 Rt PCD 中， CN ，所以 MN ，所以二面角 OPD C 的余弦值为 （12 分）【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定
33、是关键19 （12 分）1995 年联合国教科文组织宣布每年的 4 月 23 日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权 ”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取 100 名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成 7 组20，30） ， 30，40） ，80，90） ，并整理得到如下频率分布直方图：第 22 页（共 28 页）（）估计其阅读量小于 60 本的人数；（）已知阅读量在20，30 ） ，30 ，40） ，40，50）内的学生人数比为 2：3：5为了
34、解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在20，40）内的学生中随机选取 3 人进行调查座谈，用 X 表示所选学生阅读量在20，30）内的人数，求 X 的分布列和数学期望；（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计 100 名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论） 【分析】 （）利用 10010010（0.04+0.022）即可得出（）由已知条件可知：20，50）内人数为：10010010（0.04+0.02+0.02+0.01 ）10；同理可得：20，30）人数为 2 人，30 ，40）人数为 3 人，40，50）人数为 5人X 的可能取值为 0，1，2利用超几何分布列
35、及其数学期望计算公式可得（）利用平均数的计算公式为：小矩形的面积乘以矩形底边中点的横坐标之和即可得出结论【解答】解：（）10010010（0.04+0.022）20（人）（）由已知条件可知：20，50）内人数为：10010010（0.04+0.02+0.02+0.01 ）10；20，30）人数为 2 人，30，40）人数为 3 人，40，50）人数为 5 人X 的可能取值为 0，1，2P（X0） P（X1） P（X 2） ，所以 X 的分布列为X 0 1 2第 23 页（共 28 页）P（）第六组【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列及其期望计算公式、平均数的计算公式，考查了推理
36、能力与计算能力，属于中档题20 （12 分）椭圆 的左右焦点分别为 F1，F 2，与 y 轴正半轴交于点B，若 BF1F2 为等腰直角三角形，且直线 BF1 被圆 x2+y2b 2 所截得的弦长为 2（1）求椭圆的方程；（2）直线 l 与椭圆交于点 A、C，线段 AC 的中点为 M，射线 MO 与椭圆交于点 P，点O 为PAC 的重心，探求PAC 的面积 S 是否为定值，若是求出这个值，若不是，求 S的取值范围【分析】 （1）根据题意，由等腰直角三角形的性质分析可得 bc，又由直线与圆的位置关系可得 a 的值，进而可得 b 的值，将 a、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，分 2
37、 种情况讨论，若直线 l 的斜率不存在，容易求出PAC 的面积，若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx+m，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，联立直线与椭圆的方程，结合一元二次方程中根与系数的关系，求出PAC 的面积，综合 2 种情况可得结论【解答】解：（1）根据题意，由BF 1F2 为等腰直角三角形可得 bc，直线 BF1：yx +b 被圆 x2+y2b 2 所截得的弦长为 2，即 BF12，所以 a2， ，所以椭圆的方程为 （2）若直线 l 的斜率不存在，则 若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx+m，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y
38、 2） ，即 则 ， ，第 24 页（共 28 页）由题意点 O 为PAC 重心，设 P（x 0，y 0） ，则 ， ，所以 ， ，代入椭圆 ，得 ，整理得 ，设坐标原点 O 到直线 l 的距离为 d，则PAC 的面积 综上可得PAC 的面积 S 为定值 【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程21 （12 分）设函数 （） 讨论函数 f（x ）的单调性；（）若 x0 时，恒有 f（x）ax 3，试求实数 a 的取值范围；（）令 ，试证明：第 25 页（共 28 页）【分析】 （I）先求导数，再求出 f'（x）0 时 x 的范围；并且求出 f&
39、#39;（x）0 时 x 的范围；进而解决单调性问题（II）令 g（x）f（x ）ax 3xln （x+ ）ax 3则 g（x ），令 h（x） ，求其导数，下面对 a进行分类讨论：（1）当 a 时， （2）当 0a 时， （3）当 a0 时，h（x）0，最后综合得出实数 a 的取值范围（III）在（ II）中取 a ，则 x0， ，时，xln （ x+ ） x3，即x3+ln（x+ ）x，令 x（ ） 2n，利用等比数列求和公式即可证明结论【解答】解：（I）函数的定义域为 R，由于 f（x） 1 0，知 f（x）是 R 上的增函数（II）令 g（x）f（x ）ax 3xln （x+ ）ax
40、3则 g（x） ，令 h（x） ，则 h（x） ，（1）当 a 时，h（x）0，从而 h（x）是0，+）上的减函数，因 h（0）0，则 x0 时，h（x ）0，也即 g（x ）0，进而 g（x）是0 ，+）上的减函数，注意 g（0）0，则 x0 时，g（x）0，也即 f（x）ax 3，（2）当 0a 时，在0， ，h（x）0，从而 x0， 时，也即f（x）ax 3，（3）当 a0 时，h（x）0，同理可知：f （x）ax 3，第 26 页（共 28 页）综合，实数 a 的取值范围 ，+ ） （III）在（ II）中取 a ，则 x0， ，时，xln （ x+ ） x3，即x3+ln（x+ ）x
41、，令 x（ ） 2n，则 （ ） 2n，【点评】本小题主要考查导数在最大值、最小值问题中的应用、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想解决此类问题的关键是熟练掌握求导该生并且利用导数解决函数的单调区间问题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的方程是 ，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；（）射线 OM：（其中 ）与曲线 C 交于 O，P 两点，与直线 l 交
42、于点 M，求 的取值范围【分析】 （）由 ，能求出直线 l 的极坐标方程；由 ，消参数得 x2+（y2 ） 24，由此能求出曲线 C 的极坐标方程（）将 分别带入 4sin， ，得|OP |4sin， ，由 ，能求出 的取值范围【解答】解：（）直线 l 的方程是 ， ，直线 l 的极坐标方程是 ，由 ，消参数得 x2+（y2） 24，曲线 C 的极坐标方程是 4sin 5 分第 27 页（共 28 页）（）将 分别带入 4sin， ，得|OP |4sin， ， ， ， ， ， 的取值范围是 10 分【点评】本题考查圆、直线的极坐标方程以及极坐标相关量的几何意义，考查运算求解能力，考查函数与方程
43、思想，是基础题选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|2x 1| （1）设 f（x） +f（x +1）5 的解集为集合 A，求集合 A；（2）已知 m 为集合 A 中的最大自然数，且 a+b+cm （其中 a，b，c 为正实数） ，设求证：M8【分析】 （1）根据 f（x ）|2x1| 即可由 f（x）+f （x+1）5 得到不等式，|2x 1|+|2x+1|5，解该绝对值不等式便可得出 ；（2）据题意即可求得 m1，即得出 a+b+c1，从而得出 ，而同理可得出 ， ，从而得出 ，即得出M8【解答】解：（1）f（x ）+f（x+1）5，即|2x 1|+|2 x+1|5；当 时，不等式化为 12x2x15， ；当 时，不等式化为 12x+2x+15，不等式恒成立；当 时，不等式化为 2x1+2x+15， ；综上，集合 ；（2）证明：由（1）知 m1 ，则 a+b+c1；则 ；同理 ；第 28 页（共 28 页）则 ；即 M8【点评】考查绝对值不等式的解法：讨论 x 去绝对值号，以及基本不等式的应用，不等式的性质
