1、简单的线性规划与基本不等式跟踪知识梳理考纲解读：1. 基本不 等式掌握基本不等式 (a，b 0)及其应用。2a2. 简单的线性规划（1 ）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组； （2 ）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；（3 ）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 考点梳理：一、基本不等式1.如果 ，那么 （当且仅当 时取等号“=”）,Rab2abab推论： （ ）2,2.如果 ， ,则 ， （当且仅当 时取等号“=”）.0ab2abab推论： （ ， ） ；2()022()3.22(,0)1ababab二、简单的线性规划1二元一次不等式
2、表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式 AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0 某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式 AxBy C0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实 线(2)由于对直线 AxBy C0 同一侧的所有点(x ，y)，把它的坐标(x，y )代入 AxByC ，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点 ，由Ax0 By0C 的符号即可判断 AxByC 0 表示的直线是 AxBy C0 哪一侧的平面区域 2线性规划相关概念名称 意义约束条件
3、由变量 x，y 组成的一次不等式线性约束条件 由 x，y 的一次不等式(或方 程) 组成的不等式组目标函数 欲求最大值或最小值的函数线性目标函数 关于 x，y 的一次解析式可行解 满足线性约束条件的解 来源:ZXXK可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求
4、出最大值或最小值.核心能力必练一、选择题1 (2017 河南平顶山一模,6)若对任意 x0, a 恒成立,则 a 的取值范围是 ( ) 231A.a B.a C.a0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0 某一侧所有点组成的平面区域 我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式 AxByC0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线(2)由于对直线 AxBy C0 同一侧的所有点(x ，y)，把它的坐标(x，y )代入 AxByC ，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点 ，由Ax0By 0C 的符号即
5、可判断 AxByC0 表示的直线是 AxBy C0 哪一侧的平面区域2线性规划相关概念名称 意义约束条件 由变量 x，y 组成的一次不等式线性约束条件 由 x，y 的一次不等式( 或方程)组成的不等式组目标函数 欲求最大值或最小值的函数线性目标函数 关于 x，y 的一次解析式可行解 满足线性约束条件的解可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形(3)确定最优解：在可行
6、域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.核心能力必练一、选择题1 (2017 河南平顶山一模,6)若对任意 x0, a 恒成立,则 a 的取值范围是 ( ) 231A.a B.a C.a D.a 515【答案】A2 (2018 广东广州 3 月测试,8) 若 x,y 满足约束条件 则 z=x2+2x+y2 的最小值为0,21,xy( )A. B. C.- D.- 1241234【答案】D3 (2018 江西南昌 NC S 项目 3 月联考,5)设不等式组 表示的平面区域为 M,30,15xy若直线 y= kx 经过区域 M 内的
7、点,则实数 k 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 1,214,31,24,23【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示,易知当直线 y=kx 经过点 A(2,1)时, k取得最小值 ,当直线 y=kx 经过点 C(1,2)时,k 取得最大值 2,可得实数 k 的取值范围为12.故选 C. ,4 .(2018 广东肇庆二模,7)已知实数 x,y 满足约束条件 若 z=2x+y 的最小值为 3,20,xyb则实数 b= ( ) A. B. C.1 D. 943234【答案】A5已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ )0xy231xy23xyA1 B2 C4 D 25
8、6【答案】C6已知实数 满足 则 的最小值为（ ）,xy0,26,xy2xyA1 B3 C4 D6【答案】C【解析】画出可行域如图，由图可知目标函数 在点 处取220yxx,A得最小值为 .47设变量 满足 则 的最大值为（ ）xy、,342,xy|3|zxyA8 B3 C. D192【答案】A【解析】画出不等式组 表示的区域如图，由 可得 ，,342yx|3|zxyzyx即 ，结合图形可知当动直线 经过点 时，该直线在 轴zxy31xy13)2,(A上的截距 最大，即 的 最大值为 .故选 A. |x8|6|maz8若实数 满足不等式组 则 的最小值是（ ）,xy3,7240,8yxzxyA
9、8 B4 C6 D2【答案】DX XK9设 满足约束条件 则 的最小值是（ ）,xy5180,2,xy26zxyA9 B6 C.15 D 5【答案】B【解析】可行域为三角形 及其内部，其中 ，因此AC1,2,43,ABC，从而直线 过点 B 时取最小值 6，故选 B.26zxyxy26zxy10不等式组 （ ）所表示的平面区域的面积为 ，则 的最小值0,4ykx0S21k等于（ ）A B C D34321418【答案】C【解析】 ，所以 ，当且仅当 时取等号，1482Sk221184kkS1k故选 C.11已知变量 满足约束条件 若目标函数 的最小,xy6,321,xy(0,)zaxby值为
10、2，则 的最小值为（ ）21abA B C D817【答案】B【解析】画出可行域如图所示：来源12已知实数 ， 满足 则 的最小值为（ ）xy20,341,xyyx93A. B. C. D.8249232【答案】C【解析】 ，令 ，作出不等式组表示的可行域，如23923xyxyxy2zxy图所示，作直线 ： ，平移 ，可知，当 ， 时， ，此时l0l1min4z，等号可取，故 的最小值是 ，故选 C. 39xy39xy913已知： ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是0,xy21xy2xymm（ ）A B ,24,42,C. D, ,【答案】D14设 ，则 取最小值时 的值为（ ）0,4x
11、yx2yxxA1 B2 C4 D8【答案】B【解析】 ，当且仅当42,022xyyxyxyx时等号成立，此时 ，故选 B.y215已知在正项等比数列 中，存在两项 ， 满足 ，且 ，naman14mna6542a则 的最小值是（ ）14mnA B2 C D3273256【答案】A【解析】由 得 ，解得 ，由 可654a20q1q舍 去 14mna得 ，即 ，2mn6n所以 ，故选 A.14143552466nmm16已知 为正实数，则 的最小值为（ ）,xy43xyA B C D353102【答案】D17若 ，则 的最小值为（ ）,lglabababA B C D2468【答案】B【解析】因为
12、 ，所以 ，因为 ，lglab1abab0,ab所以 ，故选 Bb1()22418已知不等式 对任意正实数 恒成立，则正实数 的最小值为（ 9)(yaxyx, a）A B C D2468【答案】B【解析】因为 ，要使原不等式恒成1() 120axyxyaa立，只需 ，即 ，故 a4，所以正数 a 的最小值是 4.29a2419已知 ， 对于一切实数 恒成立，又 ，使b0xbx0xR成立，则 的最小值为（ ）20ax2aA1 B C2 D 2【答案】D【解析】因为 对于一切实数 恒成立，所以 又 ，20axbx0,4ab0xR使 成立，所以 ，故 ，即 ，204a,1a所以 ，故选 D2ab2a
13、b2b20若正数 满足 ，则 的取最小值时 的值为（ ）,xy35xy43yyA1 B3 C4 D5【答案】A二、填空题21当 时， 的最小值是 .0x2()fx【答案】 2【解析】 ，当且仅当 时等号成20, 2xfxx2x立，所以最小值为 .22已知 满足 的最大值为 ，若正数 满足 ，yx,230,1,yyxz2mba,m则 的最小值为 ba41【答案】 23【解析】作出不等式组所对应的平面区域，如图所示，由 得 ，由图2zxy2xz象可知直线 经过点 时，直线 的截距最大，即 最大，则yxz(3,0)Ay，即 ，则max6z6b14144()5()66baab，当且仅当 ，即 等号成立
14、，所以 的最小14(52) 2,b41值为 .323已知实数 满足 ，则 的最小值是 .,ab29412ba【答案】2524设变量 满足约束条件 且 的最小值是yx,20,1,xy yaxz)1(3)(22，则实数 20a【答案】 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知，当直线经过点 时， 取得最小值 ，即yaxz)1(3)(22(2,)Az20，解得 160aa来源:ZXXK25设 满足约束条件 则 的最大值为 _,xy,1,yx2y【答案】 5【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示.目标函数 表示可行域内的点到2xy原点的距离的平方，显然顶点 到原点的距离最大，所以2,
15、1A2max5.26若实数 满足 则 的最小值为 .,xy10,23xyz【答案】127设 满足不等式组 若 的最大值为 ，最小值为 ，yx,60,213,xyyaxz42a1a则实数 的取 值范围为 .a【答案】 2,1【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，其中 ， ， ，2,4A1,B71,3C可化为 ， 表示直线在 轴上的截距，可知 在点 处取zaxyaxzyzaxyA最大值，在点 处取最小值，则 ，则 .B12a,128当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 1x1xaa【答案】 (,329当实数 ， 满足不等式组 时，恒有 成立，则实数 的取值范xy0,2xy3axya围是 【答案】 (,3【解析】满足不等式组 的平面区域如图所示，对任意的实数 ，不等式0,2xy ,xy恒成立，根据图形可得斜率 或 ，解得 ，则3axy0a301ABk3a实数 的取值范围是 (,330已知 ，且 ，则 的最小值是 ab12ab【答案】 2
