2019年高考数学理科第二伦专题:不等式与线性规划(命题猜想)

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1、【考向解读】 不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容,对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值;(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域,往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合,在知识的交汇处命题,难度中档;在解答题中,特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解,但难度偏高.【命题热点突破一】不等式的解法1一元二次不等式的解法先化为一般形式 ax2bx c 0(a0),再求相应一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根,最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等

2、式的解集2简单分式不等式的解法(1) 0(0(0)的解集为(x 1,x 2),且 x2x 115,则 a_.(2)已知 f(x)是 R 上的减函数,A(3,1) ,B(0,1)是其图象上两点,则不等式 |f(1lnx)|0,即 x1 时,y ,1t 4t 1因为 t 2 4(当且仅当 t2 时取等号),4t 4所以 y ,1t 4t 115即 y 的最大值为 (当 t2,即 x5 时 y 取得最大值).15【点评】求条件最值问题一般有两种思路:一是利用函数单调性求最值;二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形,变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件,即“和”或“积

3、”为定值.等号能够取得.【变式探究】设 a,bR,a 22b 26,则 a b 的最小值为 ( )2A.2 B. C.3 D.3533 3 723【变式探究】两圆 x2y 22ax a 240 和 x2y 24by14b 20 恰有三条公切线,若 aR,bR 且ab0,则 的最小值为( )1a2 1b2A.1 B.3 C. D.19 49答案 A解析 由两圆恰有三条公切线知,两圆外切,可得 a24b 29, 1,1a2 1b2 (1a2 1b2)a2 4b29 19(5 a2b2 4b2a2)当且仅当 a22b 2 时取等号.【变式探究】如图,在 RtABC 中,P 是斜边 BC 上一点,且满

4、足 ,点 M,N 在过点 P的直线上,BP 12PC 若 , (0,0),则 2 的最小值为( )AM AB AN AC A.2 B. C.3 D.83 103答案 B解析 ( ) ,AP AB BP AB 13BC AB 13AC AB 23AB 13AC 23AM 13AN 因为 M,N,P 三点共线,所以 1.23 13因此 2(2 ) 2 ,(23 13) 43 43 343 433 83当且仅当 , 时“ ” 成立,43 23故选 B.【命题热点突破三】简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标 函数表示的几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边

5、界上的点 ),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决例 3、(2018天津)设变量 x,y 满足约束条件Error!则目标函数 z3x5y 的最大值为( )A.6 B.19 C.21 D.45答案 C解析 画出可行域如图中阴影部分所示(含边界) ,由 z3 x5y,得 y x .35 z5设直线 l0 为 y x,平移直线 l0,当直线 y x 过点 P(2,3) 时,z 取得最大值,35 35 z5zmax325321.故选 C.【变式探究】 【2017 课标 II,理 5】设 , 满足约束条件 ,则 的最小值是( xy 2zxy)A B C D15919【答案】A【解析】x、y 满足约

6、束条件 的可行域如图:z=2x+y 经过可行域的 A 时,目标函数取得最小值,由 解得 A(6,3),则 z=2x+y 的最小值是:15.故选:A.【变式探究】若 x, y满足203xy,则 2xy的最大值为 ( )A.0 B.3 C.4 D.5 【答案】C【解析】作出如图可行域,则当 yxz2经过点 P时,取最大值,而 )2,1(P,所求最大值为 4,故选C. 【感悟提升】(1)线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区域面积;三是确定目标函数中的字母系数的取值范围(2)一般情况下,目标函数的最 大或最小值会在可行域的端点或边界上取得【变式探究】若 x,y 满足约束条件Error!则

7、的最大值为_.yx【答案】3 【解析】画出可行域如图阴影所示, 表示过点(x,y )与原点(0,0)的直线的斜率,yx点(x, y)在点 A 处时 最大.yx由Error! 得Error!A(1,3). 的最大值为 3.yx【变式探究】设 x,y 满足约束条件Error! 则 z|x3y| 的最大值为( )A.15 B.13 C.3 D.2答案 A解析 画出约束条件所表示的可行域,如图(阴影部分含边界) 所示,设 z1x 3y,可化为 y x ,13 z13当直线 y x 经过点 A 时,13 z13直线在 y 轴上的截距最大,此时 z1 取得最大值,当直线 y x 经过点 B 时,13 z1

8、3直线在 y 轴上的截距最小,此时 z1 取得最小值,由Error! 解得 A(3,4),此时最大值为 z1334 15;由Error! 解得 B(2,0),此时最小值为 z1230 2,所以目标函数 z| x3y |的最大值为 15.【高考真题解读】1. (2018 年天津卷)设变量 x,y 满足约束条件 则目标函数 的最大值为A. 6 B. 19 C. 21 D. 45【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值,联立直线方程: ,可得点 A 的坐标为: ,据此可知目标函数的最大值为:.,本题选择 C 选项.2. (2018

9、 年全国 I 卷理数) 已知集合 ,则A. B. C. D. 【答案】B【解析】解不等式 得 ,所以 ,所以可以求得 ,故选 B.3. (2018 年全国卷理数)设 , ,则A. B. C. D. 【答案】B【解析】.,即又即故选 B.4. (2018 年浙江卷)若 满足约束条件 则 的最小值是_,最大值是_【答案】 (1). -2 (2). 8【解析】作可行域,如图中阴影部分所示,则直线 过点 A(2,2)时 取最大值 8,过点 B(4,-2)时 取最小值-2. 5. (2018 年天津卷)已知 ,且 ,则 的最小值为_.【答案】【解析】由 可知 ,且: ,因为对于任意 x, 恒成立,结合均

10、值不等式的结论可得: .当且仅当 ,即 时等号成立.综上可得 的最小值为 .6. (2018 年北京卷)若 x,y 满足 x+1y2x,则 2yx 的最小值是 _【答案】3【 解析】作可行域,如图,则直线 过点 A(1,2)时, 取最小值 3.7. (2018 年江苏卷)在 中,角 所对的边分别为 , , 的平分线交 于点D,且 ,则 的最小值为_【答案】9【解析】由题意可知, ,由角平分线性质和三角形面积公式得,化简得 ,因此当且仅当 时取等号,则 的最小值为 .8. (2018 年全国 I 卷理数) 若 , 满足约束条件 ,则 的最大值为_【答案】6【解析】根据题中所给的约束条件,画出其对

11、应的可行域,如图所示:由 可得 ,画出直线 ,将其上下移动,结合 的几何意义,可知当直线过点 B 时,z 取得最大值,由 ,解得 ,此时 ,故答案为 6.9. (2018 年全国卷理数)若 满足约束条件 则 的最大值为_【答案】9【解析】作可行域,则直线 过点 A(5,4)时 取最大值 9.1.【2017 北京,理 4】若 x,y 满足 则 x + 2y 的3y, ,最大值为(A)1 (B)3(C)5 (D)9【答案】D【解析】如图,画出可行域,表示斜率为 的一组平行线, 当过点 时,目标函数取得最大值 ,2zxy123,C故选 D.2.【2017 浙江,4】若 , 满足约束条件 ,则 的取值

12、范围是xy yxz2A0,6 B0,4 C6, D4 ,)【答案】D【解析】如图,可行域为一开放区域,所以直线过 点 时取最小值 4,无最大值,选 D (2,1)xoy2xy02yx03y3.【2017 山东,理 7】若 ab,且 1a,则下列不等式成立的是(A) (B)(C) (D)【答案】B【解析】因为 ,且 ,所以0ab1a,所以选 B.4.【2017 课标 II,理 5】设 , 满足约束条件 ,则 的最小值是( )xy 2zxyA B C D1919【答案】A【解析】x、y 满足约束条件 的可行域如图:z=2x+y 经过可行域的 A 时,目标函数取得最小值,由 解得 A(6,3),则

13、z=2x+y 的最小值是:15.故选:A.5.【2017 山东,理 4】已知 x,y 满足 ,则 z=x+2y 的最大值是(A)0 (B) 2 (C) 5 (D)6【答案】C【解析】由 画出可行域及直线 20xy如图所示,平移 20xy发现,当其经过直线 与 x-3的交点 (,4)时, 2zxy最大为 ,选 C.6.【2017 天津,理 2】设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为,xy zxy(A) (B)1(C) ( D)33【答案】D 【解析】目标函数为四边形 ABCD 及其内部,其中 ,所以直线过点 B 时取最大值 3,选 D.zxy1. 【2016 高考新课标 1 卷】若 ,则(

14、 )(A) cab (B) cab (C ) (D)【答案】C【解析】用特殊值法,令 3, 2, 1c得123,选项 A 错误, ,选项 B 错误,选项 C 正确, ,选项 D 错误,故选 C2.【2016 高考天津理数】设变量 x,y 满足约束条件 则目标函数 25zxy的最小值为( )(A) 4(B)6 (C)10 (D )17【答案】B【解析】可行域为一个三角形 ABC 及其内部,其中 ,直线 z25xy过点 B 时取最小值 6,选 B.3.【2016 高考山东理数】若变量 x,y 满足2,390,xy+-则2xy+的最大值是( )(A)4 (B) 9 (C)10 (D)12【答案】C【

15、解析】不等式组表示的可行域是以 A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域, 2xy表示点(x,y)到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为 210O,故选 C.4.【2016 高考浙江理数】在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影由区域中的点在直线 x+y2=0 上的投影构成的线段记为 AB,则AB= ( )A2 B4 C3 2 D 6【答案】C【解析】如图 PQR为线性区域,区域内的点在直线 上的投影构成了线段 RQ,即 AB,而 ,由 得 (1,)Q,由 20xy得 (,2)R,故选 C5.【2016 年高考北京理

16、数】若 x, y满足203xy,则 2xy的最大值为 ( )A.0 B.3 C.4 D.5 【答案】C【解析】作出如图可行 域,则当 yxz2经过点 P时,取最大值,而 )2,1(P,所求最大值为 4,故选C. 6.【2016 年高考四川理数】设 p:实数 x,y 满足 ,q:实数 x,y 满足1,x则p 是 q 的( )(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】画出可行域(如图所示) ,可知命题 q中不等式组表示的平面区域 ABC在命题 p中不等式表示的圆盘内,故选 A.7.【2016 高考新课标 3 理数】若 ,xy满足约束条件 则 zxy的最大 值为_.【答案】 2【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.由图知,当直线 zxy经过点 A时,z 取得最大值.由 得12xy,即 (,)A,则 答案 0 2 32

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