1、【考向解读】 不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.【命题热点突破一】不等式的解法1一元二次不等式的解法先化为一般形式 ax2bx c 0(a0)，再求相应一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等
2、式的解集2简单分式不等式的解法(1) 0(0(0)的解集为(x 1，x 2)，且 x2x 115，则 a_.(2)已知 f(x)是 R 上的减函数，A(3，1) ，B(0,1)是其图象上两点，则不等式 |f(1lnx)|0，即 x1 时，y ，1t 4t 1因为 t 2 4(当且仅当 t2 时取等号)，4t 4所以 y ，1t 4t 115即 y 的最大值为 (当 t2，即 x5 时 y 取得最大值).15【点评】求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积
3、”为定值.等号能够取得.【变式探究】设 a，bR，a 22b 26，则 a b 的最小值为 ( )2A.2 B. C.3 D.3533 3 723【变式探究】两圆 x2y 22ax a 240 和 x2y 24by14b 20 恰有三条公切线，若 aR，bR 且ab0，则 的最小值为( )1a2 1b2A.1 B.3 C. D.19 49答案 A解析 由两圆恰有三条公切线知，两圆外切，可得 a24b 29， 1，1a2 1b2 (1a2 1b2)a2 4b29 19(5 a2b2 4b2a2)当且仅当 a22b 2 时取等号.【变式探究】如图，在 RtABC 中，P 是斜边 BC 上一点，且满
4、足 ，点 M，N 在过点 P的直线上，BP 12PC 若 ， (0，0)，则 2 的最小值为( )AM AB AN AC A.2 B. C.3 D.83 103答案 B解析 ( ) ，AP AB BP AB 13BC AB 13AC AB 23AB 13AC 23AM 13AN 因为 M，N，P 三点共线，所以 1.23 13因此 2(2 ) 2 ，(23 13) 43 43 343 433 83当且仅当 ， 时“ ” 成立，43 23故选 B.【命题热点突破三】简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标 函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边
5、界上的点 )，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决例 3、(2018天津)设变量 x，y 满足约束条件Error!则目标函数 z3x5y 的最大值为( )A.6 B.19 C.21 D.45答案 C解析 画出可行域如图中阴影部分所示(含边界) ，由 z3 x5y，得 y x .35 z5设直线 l0 为 y x，平移直线 l0，当直线 y x 过点 P(2，3) 时，z 取得最大值，35 35 z5zmax325321.故选 C.【变式探究】 【2017 课标 II，理 5】设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是（ xy 2zxy）A B C D15919【答案】A【解析】x、y 满足约
6、束条件 的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，由 解得 A(6,3)，则 z=2x+y 的最小值是：15.故选：A.【变式探究】若 x， y满足203xy，则 2xy的最大值为 （ ）A.0 B.3 C.4 D.5 【答案】C【解析】作出如图可行域，则当 yxz2经过点 P时，取最大值，而 )2,1(P，所求最大值为 4，故选C. 【感悟提升】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围(2)一般情况下，目标函数的最 大或最小值会在可行域的端点或边界上取得【变式探究】若 x，y 满足约束条件Error!则
7、的最大值为_.yx【答案】3 【解析】画出可行域如图阴影所示， 表示过点(x，y )与原点(0,0)的直线的斜率，yx点(x， y)在点 A 处时 最大.yx由Error! 得Error!A(1,3). 的最大值为 3.yx【变式探究】设 x，y 满足约束条件Error! 则 z|x3y| 的最大值为( )A.15 B.13 C.3 D.2答案 A解析 画出约束条件所表示的可行域，如图(阴影部分含边界) 所示，设 z1x 3y，可化为 y x ，13 z13当直线 y x 经过点 A 时，13 z13直线在 y 轴上的截距最大，此时 z1 取得最大值，当直线 y x 经过点 B 时，13 z1
8、3直线在 y 轴上的截距最小，此时 z1 取得最小值，由Error! 解得 A(3，4)，此时最大值为 z1334 15；由Error! 解得 B(2，0)，此时最小值为 z1230 2，所以目标函数 z| x3y |的最大值为 15.【高考真题解读】1. （2018 年天津卷）设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 的最大值为A. 6 B. 19 C. 21 D. 45【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程： ，可得点 A 的坐标为： ，据此可知目标函数的最大值为：.，本题选择 C 选项.2. （2018
9、 年全国 I 卷理数） 已知集合 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】解不等式 得 ，所以 ，所以可以求得 ，故选 B.3. （2018 年全国卷理数）设 ， ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】.,即又即故选 B.4. （2018 年浙江卷）若 满足约束条件 则 的最小值是_，最大值是_【答案】 (1). -2 (2). 8【解析】作可行域，如图中阴影部分所示，则直线 过点 A(2,2)时 取最大值 8，过点 B(4,-2)时 取最小值-2. 5. （2018 年天津卷）已知 ，且 ，则 的最小值为_.【答案】【解析】由 可知 ，且： ，因为对于任意 x， 恒成立，结合均
10、值不等式的结论可得： .当且仅当 ，即 时等号成立.综上可得 的最小值为 .6. （2018 年北京卷）若 x，y 满足 x+1y2x，则 2yx 的最小值是 _【答案】3【 解析】作可行域，如图，则直线 过点 A(1,2)时， 取最小值 3.7. （2018 年江苏卷）在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交 于点D，且 ，则 的最小值为_【答案】9【解析】由题意可知， ,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得 ，因此当且仅当 时取等号，则 的最小值为 .8. （2018 年全国 I 卷理数） 若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_【答案】6【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对
11、应的可行域，如图所示：由 可得 ，画出直线 ，将其上下移动，结合 的几何意义，可知当直线过点 B 时，z 取得最大值，由 ，解得 ，此时 ，故答案为 6.9. （2018 年全国卷理数）若 满足约束条件 则 的最大值为_【答案】9【解析】作可行域，则直线 过点 A(5,4)时 取最大值 9.1.【2017 北京，理 4】若 x，y 满足 则 x + 2y 的3y， ，最大值为（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】如图，画出可行域，表示斜率为 的一组平行线， 当过点 时，目标函数取得最大值 ，2zxy123,C故选 D.2.【2017 浙江，4】若 ， 满足约束条件 ，则 的取值
12、范围是xy yxz2A0，6 B0，4 C6， D4 ，)【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过 点 时取最小值 4，无最大值，选 D (2,1)xoy2xy02yx03y3.【2017 山东，理 7】若 ab，且 1a，则下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】因为 ，且 ，所以0ab1a，所以选 B.4.【2017 课标 II，理 5】设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）xy 2zxyA B C D1919【答案】A【解析】x、y 满足约束条件 的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，由 解得 A(6,3)，则
13、z=2x+y 的最小值是：15.故选：A.5.【2017 山东，理 4】已知 x,y 满足 ，则 z=x+2y 的最大值是（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6【答案】C【解析】由 画出可行域及直线 20xy如图所示，平移 20xy发现，当其经过直线 与 x-3的交点 (,4)时， 2zxy最大为 ，选 C.6.【2017 天津，理 2】设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为,xy zxy（A） （B）1（C） （ D）33【答案】D 【解析】目标函数为四边形 ABCD 及其内部，其中 ，所以直线过点 B 时取最大值 3，选 D.zxy1. 【2016 高考新课标 1 卷】若 ,则(
14、 )（A） cab （B） cab （C ） （D）【答案】C【解析】用特殊值法，令 3， 2， 1c得123，选项 A 错误， ，选项 B 错误，选项 C 正确， ，选项 D 错误，故选 C2.【2016 高考天津理数】设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 25zxy的最小值为（ ）（A） 4（B）6 （C）10 （D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形 ABC 及其内部，其中 ，直线 z25xy过点 B 时取最小值 6，选 B.3.【2016 高考山东理数】若变量 x，y 满足2,390,xy+-则2xy+的最大值是（ ）（A）4 （B） 9 （C）10 （D）12【答案】C【
15、解析】不等式组表示的可行域是以 A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域, 2xy表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为 210O,故选 C.4.【2016 高考浙江理数】在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影由区域中的点在直线 x+y2=0 上的投影构成的线段记为 AB，则AB= （ ）A2 B4 C3 2 D 6【答案】C【解析】如图 PQR为线性区域，区域内的点在直线 上的投影构成了线段 RQ，即 AB，而 ，由 得 (1,)Q，由 20xy得 (,2)R，故选 C5.【2016 年高考北京理
16、数】若 x， y满足203xy，则 2xy的最大值为 （ ）A.0 B.3 C.4 D.5 【答案】C【解析】作出如图可行 域，则当 yxz2经过点 P时，取最大值，而 )2,1(P，所求最大值为 4，故选C. 6.【2016 年高考四川理数】设 p：实数 x，y 满足 ，q：实数 x，y 满足1,x则p 是 q 的( )（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】画出可行域（如图所示） ，可知命题 q中不等式组表示的平面区域 ABC在命题 p中不等式表示的圆盘内，故选 A.7.【2016 高考新课标 3 理数】若 ,xy满足约束条件 则 zxy的最大 值为_.【答案】 2【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线 zxy经过点 A时，z 取得最大值.由 得12xy，即 (,)A，则 答案 0 2 32
