1、专题 13 计数原理1【2019 年高考全国卷理数】（1+2x 2 ）（1+x） 4 的展开式中 x3 的系数为A12 B16 C20 D24【答案】A【解析】由题意得 x3 的系数为 ，故选 A314282【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数2【2019 年高考浙江卷理数】在二项式 的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项9()x的个数是_【答案】 1625【解析】由题意， 的通项为 ，当 时，可得常数项为9()x91C(2)(0,129)rrrTx 0r；若展开式的系数为有理数，则 ，有 共 5 个项故091C()T 357=24681T, , 答案为
2、： ， 625【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确3【2019年高考江苏卷理数】设 已知 2 *01(1) ,4n nxaxaxN 234a（1）求n的值；（2）设 ，其中 ，求 的值(3)nab*,bN23b【答案】（1） ；（2） 53【解析】（1）因为 ，012(1)CC4n nnxxx ，所以 ，23()C,6nnaa4(1)()4n因为 ，23a所以 ，2(1)(1)()2(3)64nn解得 5n（2）由（1）知， 5(3)()n0123455555CC()(3)C()ab解法一：因为 ，所以 ，*,N
3、0241355553976,94ab从而 223764ab解法二： 50123455555(1)C(3)()C()(3)C()012345因为 ，所以 *,abN5()ab因此 2 55533(1)(3)(23【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力4【山东省郓城一中等学校 2019 届高三第三次模拟考试】已知二项式 的展开式中1(*)nxN第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 25，则 的系数为3xA14 B C240 D14 240【答案】C【解析】二项展开式的第 项的通项公式为 ，1r112rnrrrTx由展开式中第 2 项与第 3 项的二
4、项式系数之比是 25，可得： 即 ，12C:5n2(1)5n解得 或 （舍去）所以 ，6n036621CrrrTx令 ，解得 ，所以 的系数为 故选 C362r2r=3x226C140【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题5【广东省深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试（6 月）】已知 的展开式中各项系数51()2ax的和为 2，则该展开式中常数项为A B C D80404080【答案】D【解析】令 1，得展开式的各项系数和为 ，x51()2aa， ，2a=，5512xx5512xx所求展开式中常数项为 的展开式的常数项与 项的系
5、数和，5x展开式的通项为 ，512x55211C)()(2CrrrrrrTxx令 得 ；令 ，无整数解，r2=50展开式中常数项为 ，故选 D8【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系1CrnrTab数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用6【山东省淄博市 2019 届部分学校高三阶段性诊断考试试题数学】 展开式的常数项为831xA B C D528562【答案】D【解
6、析】 展开式的通项公式为 ，831x 488 31 831C()C()rrrrrTxx令 ，得 ，所求常数项为： ，故选 D480r668()2【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题，属于基础题7【河南省濮阳市 2019 届高三 5 月模拟考试】安排 ， ， ， ， ， ，共 6 名义工照顾甲，乙，ABCEF丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工 不安排照顾老人甲，A义工 不安排照顾老人乙，则安排方法共有BA30 种 B40 种 C42 种 D48 种【答案】C【解析】 名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有： 种安排方法，6264C90其中
7、照顾老人甲的情况有： 种，A125430照顾老人乙的情况有： 种，BC照顾老人甲，同时 照顾老人乙的情况有： 种，B143C2符合题意的安排方法有： 种，故选 C903【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解8【上海市浦东新区 2019 届高三下学期期中教学质量检测（二模）数学试题】二项式 展开式61(2)x的常数项为第_项【答案】4【解析】由二项式展开式的通项公式得：T r+1 （2x） 6r（ ） r （1） r262rx62r，Crx6C令 62r0，得 r3，T 4 为常数项，即二项式 展开式的常数项为第 4 项，故答案为：41()【点
8、睛】本题考查了二项式展开式的通项，属基础题9【河北省唐山市 2019 届高三第二次模拟考试】将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有_种（用数字作答）【答案】660【解析】若甲校 2 人，乙、丙、丁其中一校 2 人，共有 种，2364CA若甲校 3 人，乙、丙、丁每校 1 人，共有 种，则不同的分配方案共有 + 种，36 2364C6A0故答案为：660【点睛】本题考查排列组合，分类讨论思想，对每个学校人数讨论是关键，是基础题10【上海市交大附中 2019 届高三高考一模试卷数学试题】已知，且23 2*01111n
9、 nxxxaxax N（ ） （ ） （ ） （ ） （ ），那么 的展开式中的常数项为_0126naa n（ ）【答案】20【解析】 ，23 2*0111n nxxxaxax N（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）令 ，可得 ， ，1x2 1012nnnaa （ ） 126n，6n那么 ，即 的展开式的通项公式为 ，nx（ ） 6x（ ） 316CrrrTx（ ）令 ，求得 ，可得展开式中的常数项为 ，故答案为：2030r3r 3620【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题11【江西省南昌市南昌外国语学校 2019 届高三高考适
10、应性测试数学试卷】设 为正整数， m2mxy展开式的二项式系数的最大值为 展开式的二项式系数的最大值为 ，若 ，则21maxy， b158ab_m【答案】7【解析】 展开式中二项式系数的最大值为 ，2mxy2Cma展开式中二项式系数的最大值为 ，21 12b因为 ，所以 ，即 ，解得 158ab1215C8m(2)!(1)!58m7m【点睛】本题考查了二项式定理及二项式系数最大值的问题，解题的关键是要能准确计算出二项式系数的最大值12【北京市首都师范大学附属中学 2019 届高三一模数学试题】若 展开式中的二项式系数和为21nx（ ）64，则 等于_，该展开式中的常数项为_n【答案】6 15
11、【解析】由 展开式中的二项式系数和为 64，可得 ，解得 ，21nx 264n6n的展开式的通项公式为 ，622n 1123166CrrrrrTxx令 ，解得 ，故该展开式中的常数项为 ，130r4r 4265本题正确结果为：6，15【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题13【广东省 2019 届高三六校第一次联考数学试题】若 ，则 的展开式02sinc()oaxd6ax（ ）中常数项为_【答案】240【解析】 ，002sinco(2cosin)( |()2)0)4axdx展开式的通项公式为 ，64x（ ） 6 36621
12、4C41Cr rrr rrTx（ ）令 ，即 3-02r4r的展开式中，常数项是 ，故答案为 24064x（ ） 64461=20（ ）【点睛】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键14【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评】二项式 的展开式0nbax，中，设“所有二项式系数和”为 A，“所有项的系数和” 为 B，“常数项”值为 C，若 ，25670ABC，则含 的项为_6x【答案】 8【解析】依题得 ，所以 n=8，在 的展开式中令 x=1，则有 ，所以256nnbax8256aba+b=2，又因为 展开式的通项公
13、式为 ，令bax881CCrrr rrbTax所以得到 （舍），当 时，由 得8204r48C70ab， 1a2b所以令 ，所以 ，故答案为： 1ab261r1628x68x【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：（1）求展开式中的特定项可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可（2）已知展开式的某项，求特定项的系数可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1 项，由特定项得出 r 值，最后求出其参数15【山东省烟台市 2019 届高三 5 月适应性练习（二）】设 在，则 展开20|sin|xd2()nx式中 的系数为_2x【答案】 8【解析】由题意，2 20 20 0
14、|sin|sin|sin|si(sin)xdxdxdxxd， 的通项公式为 ，0cos4x4(1)414CrrrrT当 时， ，当 时， ，故2r=223C6Tx3r334x展开式中 的系数为 故答案为： 1()nx2x(2)688【点睛】本题考查了定积分的计算、二项式定理，正确求出 值，是解题的关键n16【湖南省师范大学附属中学 2019 届高三考前演练（五）】习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排 6 名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少 1
15、人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_【答案】360【解析】方法 1：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少 1 人，可分四种情况：（1）甲校安排 1 名教师，分配方案种数有 ；1423255CA0（ ）（2）甲校安排 2 名教师，分配方案种数有 ；23424（ ）（3）甲校安排 3 名教师，分配方案种数有 ；1536（4）甲校安排 4 名教师，分配方案种数有 ；421C0由分类计数原理，可得共有 （种）分配方案1506方法 2：由 6 名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2，（1）对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李
16、老师自己去一个学校有 种，其余 5 名分成一人组12C和四人组有 种，共 （种）；李老师分配到四人组且该组不去甲校有425CA4215C0（种），则第一种情况共有 （种）；31250460（2）对于第二种情况，李老师分配到一人组有 （种），李老师分配到三人组有3215CA（种），李老师分配到两人组有 （种），所以第二种情况共有125CA3248（种）；40840（3）对于第三种情况，共有 （种）；1254C60综上所述，共有 （种）分配方案623【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基
17、础题17【上海市复旦大学附属中学 2019 届高三高考 4 月模拟试卷数学试题】袋中装有 5 只大小相同的球，编号分别为 1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出 3 只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是_（结果用最简分数表示）【答案】【解析】从 5 只球中随机取出 3 只，共 种情况，35C10而取出的 3 只球的编号之和为奇数，有 2 偶 1 奇和 3 只全为奇数两种情况，若取出 3 只球中有 2 只偶数 1 只是奇数，则有 种情况，2若取出的 3 只球中有 3 只是奇数则有 种情况，3C1所以取出的球的编号之和为奇数的概率为 235420故答案为： 25【点睛】本题考查概率的求法，是
18、基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用18【河北省衡水市 2019 届高三四月大联考数学试题】现有一圆桌，周边有标号为 1，2，3，4 的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有_种（用数字作答）【答案】8【解析】先按排甲，其选座方法有 种，由于甲、乙不能相邻，14C所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有 种，2A所以共有坐法种数为 种故答案为：8124A【点睛】排列、组合问题由于其思想方法独特、计算量大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则，先取后排原则，先分组后分配原则，正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向同时解答组合问题时必须考虑周全，做到不重不漏，正确解题
