1、 函数的应用高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率函数的零点2018 课标全国92018 课标全国152017 课标全国62017 课标全国11函数模型及其应用高考对函数应用的考查主要是函数零点个数的判断、零点所在的区间近几年全国卷考查函数模型及其应用较少，但也要引起重视. 2016 四川 52015 四川 13考点 1 函数的零点题组一 函数零点（方程的根）所在区间的判断调研 1 设 是方程 的解,且 ),则 _.0 101= =【答案】99【解析】令 ,则函数 在定义域 上单调递减,则()=101 (),因为(100)=101100100=10,所以函数 的零点在 内,即 .() (9
2、9,100)=99技巧点拨确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与 轴的交x点来确定.题组二 函数零点个数的判断调研 2 已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，Rfxffx03；当 时， ，则函数 的零点个数fx3x2fx|ln|y是A B1 2C D4 6【答案】C技巧点拨函数零点个数的判断方法（1）解方程法：令 f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b 上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0,所以函数 的零点在 内
3、,即 .() (99,100)=99技巧点拨确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与 轴的交x点来确定.题组二 函数零点个数的判断调研 2 已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，Rfxffx03；当 时， ，则函数 的零点个数fx3x2fx|ln|y是A B1 2C D4 6【答案】C技巧点拨函数零点个数的判断方法（1）解方程法：令 f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b 上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必
4、须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质（3 ）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.题组三 函数零点的应用问题调研 3 设 是定义在 R 上的偶函数，且 ，当 x2，0 时，()fx(2)()fxf，若在区间（2 ，6）内关于 x 的方程 （a0 且1fx logafa1）有且只有 4 个不同的根，则实数 a 的取值范围是A B （1，4）,1C （ 1， 8） D （8，+）【答案】D【解析】对于任意的 ，都有 ，xR2fxfx，函
5、数 是一个周期函数，且42fxfff，又当 时， ，且函数 是定义在 R 上的偶函数，T0x， 12xffx若在区间 内关于 的方程 恰有 4 个不同的实数解，则函数2,6log0af与 的图象在区间 上有 4 个不同的交点，如下图所yfxlog21ayx,6示：又 ，则对于函数 ，由题意可得，当 时的261ffflog2ayx6x函数值小于 1，即 ，由此解得 ， 的取值范围是 ，故选 Dlog8a88，技巧点拨高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略1已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据
6、函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；解不等式，即得参数的取值范围在求解时，注意函数图象的应用2已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题3借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较 f(a)与 f(b)的大小，通常先比较 f(a)、f (b)与 0 的大小若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：求出零点，直接比较大小；确定零点所在区间；同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.考点 2 函数模型及其应
7、用题组一 二次函数模型的应用调研 1 如图所示，用总长为定值 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于l一边的篱笆隔开.（1 ）设场地面积为 ，垂直于墙的边长为 ，试用解析式将 表示成 的函数，并确定这yxyx个函数的定义域；（2 ）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【答案】 （1） ， ；（2） 时， .3yxl0,3l6lx2max1ly【解析】 （1）设平行于墙的边长为 ，则篱笆总长 ，即 ， a3l3l场地面积 ， .3yxl0,3l（2 ） ， ，2261lllx0,3lx当且仅当 时， .6lx2max1ly综上，当场地垂直于墙的边长 为 时，最大面积为 .x6l
8、21l题组二 指数函数、对数函数模型的应用调研 2 在热学中 ,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,如果物体的初始温度是 ,经过一定时间 后,温度 将满足 = ,其中 是环境温度, 称为半衰0 (12)(0) 期.现有一杯用 195F 热水冲的速溶咖啡,放在 75F 的房间内,如果咖啡降到 105F 需要 20 分钟,问降温到 95F 需要多少分钟?(F 为华氏温度单位,答案精确到 0.1，参考数据:）调研 3 声强级 (单位: )由公式 给出,其中 为声强( 单位: ). =101012 2(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为 ,能听到的最低声强为 ,求人听1/2 1012/2
9、觉的声强级范围;(2)在一演唱会中,某女高音的声强级高出某男低音的声强级 ,请问该女高音的声强是该20男低音声强的多少倍?【解析】(1)由题知: , , ,人听觉的声强级范围是 .0,120(2)设该女高音的声强级为 ,声强为 ,1 1该男低音的声强级为 ,声强为 ,2 2由题知: ,则 , ,12=2010110121021012=2012=2 .1=1002故该女高音的声强是该男低音声强的 倍.100题组三 分段函数模型的应用调研 4 水培植物需要一种植物专用营养液,已知每投放 且 )个单位的营养液,它在水中释放的浓度 (克 /升)随着时间 (天) 变化的函数关系式近似为 ,其中 =(),
10、若多次投放 ,则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液3025()xf在相应时刻所释放的浓度之和,根据经验, 当水中营养液的浓度不低于 4(克/升)时, 它才能有效.(1)若只投放一次 2 个单位的营养液,则有效时间最多可能达到几天 ?(2)若先投放 2 个单位的营养液,3 天后再投放 个单位的营养液,要使接下来的 2 天中,营养液能够持续有效,试求 的最小值.【答案】(1) 3； (2) . 18122【解析】(1)营养液有效则需满足 ,则 或 ,0234x即 或 ,解得 ,所以营养液有效时间最多可达 3 天.(2)设第二次投放营养液的持续时间为 天, 则此时第一次投放营养液的持续时间为
11、 天, (+3)且 .设 为第一次投放营养液的浓度, 为第二次投放营养液的浓度 , 为水中的营养液的浓度，1 2 所以 , ,1=25(+3)=42在 上恒成立,0,2所以 在 上恒成立,0,2令 ,则 ,又 ,当且仅当 ,即 时,取等号.=18 =32因为 ，所以 的最小值为 . 18122故要使接下来的 2 天中,营养液能够持续有效, 的最小值为 . 18122技巧点拨解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：（1 ）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2 ）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3 ）求解模型：求解数学模型，
12、得出数学结论；（4 ）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.1 （ 【全国百强校】四川省成都市树德中学 2019 届高三 11 月阶段性测试数学试题）函数的零点个数为12xfA0 个 B1 个 C 2 个 D3 个【答案】C【解析】函数 的零点个数也就是方程 的解的个数.12xf 12x当 时， ，而 不可能有交点.而 不能为 0，当 时，对0x10xxx取倒数， 也就是求函数 图象的交点个数.当 和1212x12xy与 1时，两个函数相等，结合两个函数图象（如下图） ，可知只能有 2 个交点.故原函x数有 2 个零点，故选 C.2 （ 【全国校级联考】湖南省澧县一中 2
13、019 届高三一轮复习第一次检测考试数学试题）已知函数 f（x）是定义域为 R 的周期为 3 的奇函数，且当 x（0 ，1.5 ）时 f（x）=ln（x 2x+1 ） ，则方程 f（x）= 0 在区间0，6上的解的个数是A5 B7 C 9 D11【答案】C【解析】 时， ，01.5x（ ， ） 2()ln1fxx（ ）令 ，则 ，解得 ，()f2又 是定义域为 的的奇函数，xR在区间 上，1.5， ()0,()fff(1.5).3)(1.5)(.),ffff，0又函数 是周期为 3 的周期函数，()fx则方程 在区间 的解有 0，1 ，1.5，2 ，3，4，4.5，5，6.06，共 9 个.故
14、选：D3 （ 【全国百强校】重庆市第一中学 2019 届高三 10 月月考数学试题）函数 ，exf关于 的方程 有 4 个不相等实根，则实数 的取值范x210fxmfxm围是A B2e(,1)2e+1(,)C D2(,)e2(,)e【答案】C【解析】根据题意画出函数 的图象，如图.()fx令 ，原问题等价于关于 的方程 有两个根 ，每个tfxt210tmt12,t值对应两个 x 值，故有两种情况：； .120(,)et 12e(0,)t当属于情况时，将 代入 得到 ，t210tmt1m此时方程 的根是确定的，一个为 0，一个为 2，不符合题意；210tm当属于情况时， 22 e1, .e【名师
15、点睛】函数零点的求解与判断方法：（1 ）直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点（2 ）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a ，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0 ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性 )才能确定函数有多少个零点（3 ）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点4 （ 【全国百强校】山东省济南外国语学校 2019 届高三上学期第一次月考数学试题）记为不超过 的最大整数，如 ，则函数x2.7,1.32的所有零点之和为 _.ln1fx【答案】 e2【名师点睛】本题
16、主要考查了分段函数的零点问题，属于中档题.研究函数零点(方程根)的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两,ygxh个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交,yagx点个数的图象的交点个数问题，交点的横坐标即零点.5 （天津市第一中学 2018 届高三下学期第四次月考数学试题）已知函数，函数 恰有三个不同的零点，则 的取
17、21,63xafgxfaxa值范围是_ 【答案】 1,26【解析】函数 恰有三个不同的零点，就是函数 与 有三gxfax fxya个交点，也就是函数 与 的图象有两个交点， 与y23,fxax的图象有一个交点，画出函数 与 的图象如图，函数12,6fxxfyx，看作直线斜率为 ，由图象可知， 小于直线与抛物线相切的斜率，yaa1,6由 ，可得 ，解得2 3x22320,380xa，综上 时，函数 与 的图象有三个交点，即a1,6afxy函数 恰有三个不同的零点，故答案为 .gxfx1,326【方法点睛】已知函数零点(方程根) 的个数，求参数取值范围的三种常用的方法： (1)直接法，直接根据题设
18、条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的,ygxh个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数,yagx问题 .6 （ 【全国百强校】广西南宁市第二中学 2018 届高三 2 月月考数学试题）已知函数， ，其中 .若满足不等式 的解12xfa1gxbf,abRfxg的最小值为 ，则实数 的取值范围是_【答案】 或 .427 （安徽省皖中地区 2
19、019 届高三入学摸底考试数学试题）在直角坐标系 中，如果相xOy异两点 ， 都在函数 的图象上，那么称 ， 为函数,Aab,ByfxAB的一对关于原点成中心对称的点（ ， 与 ， 为同一对）函数fxAB的图象上有 _对关于原点成中心对称的点6sin,02logxf【答案】3【解析】 关于原点的对称图象的解析式为 ，yfx yfx因此 关于原点对称的点的个数实际上就是 在 上解的个fx fxf0,数又当 时， ，考虑 与 在 上的图象0sin2fxsin2y6logyx,的交点的个数如下图所示，它们有 3 个公共点，从而函数 的图象上有 3 对关于原点成中心对称的点6si,0 logxf8 （
20、 【市级联考】山东省潍坊市 2019 届高三上学期期中考试数学理试题）某公司的新能源产品上市后在国内外同时销售，已知第一批产品上市销售 40 天内全部售完，该公司对这批产品上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，如图所示，其中图中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图中的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；下表表示的是产品广告费用、产品成本、产品销售价格与上市时间的关系（1 ）分别写出国外市场的日销售量 、国内市场的日销售量 与产品上市时间ft gt的函数关系式；t（2 ）产品上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过 260 万元?(日销售利润=(单件产品销售价单
21、件产品成本)日销售量当天广告费用，)153.87【答案】(1)见解析；（ 2）新能源产品上市后，在第 16，17，18 ，19，20 共 5 天，这家公司的日销售利润超过 260 万元.【解析】 （1）由图的折线图可得：,2,03,() 640,ttf tN同理图表示的是二次函数一部分，可得：.23,0gttt（2 ）设这家公司的日销售利润为 F（t） ，则国内外日销售总量为由表可知：28,03,34,tftgtN 当 时， ，02t29()0Fttt则 ，14.Ftt故 F（t）在（0, 20上单调递增，且 ；52160,260.8F当 时，令 ，无解；232160t当 时， .4t2334
22、7470F答：新能源产品上市后，在第 16，17，18 ，19，20 共 5 天，这家公司的日销售利润超过 260 万元.1 （ 2018 年高考新课标 I 卷理科）已知函数 若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值e0lnxf， ， ， gxfa范围是A1，0） B0，+） C 1， +） D1 ，+）【答案】C【解析】画出函数 的图象， 在 y 轴右侧的图象去掉，再画出直线 ，fxexyx之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程 有fa两个解，也就是函数 有两个零点，此时满足 ，即 ，故选
23、 Cgx1a【名师点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：首先根据 g（x）存在 2 个零点，得到方程 有两个解，将其转化为 有两个解，即直线0fxafa与曲线 有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数yyfx的图象，再画出直线 ，并将其上下移动，从图中可以发现，当 时，fx 1a满足 与曲线 有两个交点，从而求得结果.yayfx2 （ 2017 年高考新课标理科）
24、设函数 ，则下列结论错误的是(3cos)fxA 的一个周期为 B 的图象关于直线()fx2()yfx对称83C 的一个零点为 D 在( , )单调递减()fx6xfx2【答案】D【解析】函数 的最小正周期为 ，则函数 的周期为()f 21T()f，取 ，可得函数 的一个周期为 ，选项 A 正确；2TkZkfx2函数 图象的对称轴为 ，即 ，取 ，可得()fx3xkZ3kZ3ky=f(x)的图象关于直线 对称，选项 B 正确；8，函数 的零点满足coscos33fxx()fx，即 ，取 ，可得 的一个零点32xkZ6kZ0k()f为 ，选项 C 正确；6当 时， ，函数 在该区间内不单调，选项
25、D 错误.,2x54,36x()fx故选 D【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为 或(n)siyAx的形式，则最小正周期为 ；奇偶性的判断关键是看解析式是(s)coyAx2T否为 或 的形式.incosyAxb（2）求 的对称轴，只需令 ，求s0()fx2xkZx 即可；求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 即可.()xk3 （ 2017 年高考新课标理科） 已知函数 有唯一零点，则21()exfaa=A B12 3C D112【答案】C【解析】函数 的零点满足 ，()fx21exxa设 ，则 ，1exg2111exxxg 当 时， ；当 时， ，函数 单调递减；0 0g
26、当 时， ，函数 单调递增，1xgxgx当 时，函数 取得最小值，为 .12设 ，当 时，函数 取得最小值，为 ，2hx1xhx1若 ，函数 与函数 没有交点；0ahag若 ，当 时，函数 和 有一个交点，gxag即 ，解得 .故选 C212【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.4 (2016 年高考天津卷理科) 已知函数 (a0，且 a1)243log1axxf,在 R 上单调递减，且关于 x 的
27、方程 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取|f值范围是A B72(,43 23,4C D1,1,)【答案】C 【解析】当 时，f(x )单调递减，必须满足 0，故 0a ，此时函数 f(x)0432a34在0，)上单调递减，若 f(x)在 R 上单调递减，还需 ，即 ，所以13134a结合函数图象，当 x0 时，函数 y=|f(x)|的图象和直线 y=2x 有且只有一个公共点，即当 x0 时，方程|f(x )|=2x 只有一个实数解因此，只需当 x0 时，方程|f(x)| =2x 恰有一个实数解根据已知条件可得，当 x0 时，f (x)0 ，即只需方程 f(x)=2x 恰有一个实数解，即，即
28、在(，0)上恰有唯一的2432xa21320a实数解，判别式 ，2214347413a 因为 ，所以 3a0当 3a20 ，即 a 时，方程 有一个正实根、一个负实321320xax根，满足要求；当 3a2=0，即 a= 时，方程 的一个根为 0，一个根为 ，32132xax 23满足要求；当 3a20 ，即 a 时，因为 (2a1)0 ，此时方程4有两个负实根，不满足要求；1320xx当 a= 时，方程 有两个相等的负实根，满足要求421320ax综上可知，实数 a 的取值范围是 故选 C,45 （ 2016 年四川理科）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年
29、投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（参考数据：lg 1.120.05， lg 1.30.11，lg2 0.30）A2018 年 B2019 年C 2020 年 D2021 年【答案】B6 （ 2018 年高考新课标卷理科） 函数 在 的零点个数为cos36fx0，_【答案】 3【解析】 ， ，由题可知 或0x19366x3362x，解得 或 ，故有 3 个零点.5362x4,97【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.解题时，首先求出 的范围，再由函数值为零，得到 的取
30、值可得零点个数.36x6x7 （ 2018 年高考浙江卷）已知 R ，函数 f(x)= ，当 =2 时，不等式 f(x)24,30 的解集是_ 若函数 f(x)恰有 2 个零点，则 的取值范围是_【答案】(1,4) 1,34,【解析】由题意得 或 ，所以 或 ，即20x230x24x12，故不等式 f(x)0 的解集是14x1,4当 时， ，此时 ，即在 上42,13fxx,有两个零点；当 时， ，由 在0,f 24f上只能有一个零点得 .综上， 的取值范围为 .,13,【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，
31、即得参数 的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解8 （ 2018 年高考天津卷理科） 已知 ，函数 若关于0a2,0,.xaxf的方程 恰有 2 个互异的实数解，则 的取值范围是 _.xfax【答案】 48，【解析】分类讨论：当 时，方程 即 ，整理可得： ，很明0xfxa2xa21xa显 不是方程的实数解，则 ；121当 时，方程 即 ，整理可得： ，很明0xfxa2xa2xa显 不是方程的实数解，则 .2令 ，其中 ，2,01,xg2121xx，则原问题等价于函数 与函数 有两个不同的交点，242xxgya求 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 的图象，同时绘制a gx函数 的图象如图所示，考查临界条件，结合 观察可得，实数 的取值范围y 0aa是 .4,8
