1、人教版九年级下学期第 28 章 锐角三角函数2019 年单元测试卷一选择题（共 10 小题）1如图，在ABC 中，C90，AC5，若 cosA ，则 BC 的长为（ ）A8 B12 C13 D182已知 为锐角，下列结论：（1）sin +cos1；（2）若 45，则 sincos；（3）如果 cos ，则 60；（4） 1sin 其中正确结论的序号是（ ）A （1） （3） （4） B （2） （4） C （2） （3） （4） D （3） （4）3tan35cot1，则 等于（ ）A65 B35 C75 D554在ABC 中，A，B 均为锐角，且有|ta
2、n B |+（ 2cosA1） 20，则ABC 是（ ）A直角（不等腰）三角形 B等边三角形C等腰（不等边）三角形 D等腰直角三角形5用科学记算器计算锐角 的三角函数值时，不能直接计算出来的三角函数值是（ ）Acot Btan Ccos Dsin6已知抛物线 y3x 2+1 与直线 y4cos x 只有一个交点，则锐角 等于（ ）A60 B45 C30 D157 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，其中方田章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积 （弦矢+矢 2） ，弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，第 2 页（共 27 页）公式中“弦”指圆弧所对弦长
3、 AB， “矢”等于半径长与圆心 O 到弦的距离之差在如图所示的弧田中， “弦”为 8， “矢”为 3，则 cosOAB（ ）A B C D8山重水复的地形景观造就了网红重庆，如图，山坡 AB 的坡度 i1：2.4，坡上有一棵树BC，当太阳光线与水平线成 68沿斜坡照下时，在斜坡上的树影 AB 长为 6.5 米，则这棵树 BC 的高度为（ ）米 （结果精确到 0.1 米，参考数据： sin680.93，cos680.38，tan68 2.48）A12.4 B12.3 C14.8 D14.99如图，护林员在离树 8m 的 A 处测得树顶 B 的仰角为 45，已知护林员的
4、眼睛离地面的距离 AC 为 1.6m，则树的高度 BD 为（ ）A8m B9.6m C （4 ）m D （8 +1.6）m10如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA 2km，某船从港口 A 出发，沿北偏东15方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60的方第 3 页（共 27 页）向，则该船航行的距离（即 AB 的长）为（ ）A2km B km C km D （ +1）km二填空题（共 10 小题）11如图，P（12，a）在反比例函数 图象上，PHx 轴于 H，则 tanPOH 的值为 12
5、比较大小：cos35 sin6513已知：实常数 a、b、c、d 同时满足下列两个等式：asin+bcosc0；acosbsin+d0（其中 为任意锐角） ，则 a、b、c、d 之间的关系式是： 14在 RtABC 中，C90，若 sinA ，则 cosB 15若A 为锐角，且 tanA1，则A 的度数为 16在 RtABC 中，C90，AC8，AB2 ，则A 的大小为 （精确到0.1） 17如图，在 RtABC 中，ACB90，CD AB ，垂足为 DA
6、F 平分CAB ，交 CB于点 F交 CD 于点 E若 AC6，sinB ，则 DE 的长为 第 4 页（共 27 页）18如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成 60角时，梯子顶端距离地面 2 米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成45，则小巷的宽度为 米（结果保留根号） 19如图是将一正方体货物沿坡面 AB 装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度 BC 为 2 米，斜坡 AB 的坡度 ，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点 D 与 C 重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则 BD
7、 20如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物 ABCD 的 A、C 两点测得该塔顶端F 的仰角分别为 48和 65，矩形建筑物宽度 AD20m ，高度 CD30m，则信号发射塔顶端到地面的高度 FG 为 米（结果精确到 1m） 参考数据：sin480.7，cos480.7，tan481.1，cos650.4，tan652.1三解答题（共 10 小题）21我们知道：sin30 ， tan30 ，sin45 ，tan45 1，sin60 ，tan60 ，由此我们可以看到 tan30sin30，tan45sin45，第 5 页（共 27 页
8、）tan60sin60，那么对于任意锐角 ，是否可以得到 tansin 呢？请结合锐角三角函数的定义加以说明22已知 为一锐角，sin ，求 cos，tan 23在 RtABC 中，C90，若 sinA 求 cosA，sinB，tanB 的值24 （1）已知A 是锐角，求证：sin 2A+cos2A1（2）已知A 为锐角，且 sinAcosA ，求A 的度数25计算：2sin30tan60 +cos60tan4526计算：cos30tan604sin30+tan4527 （1）验证下列两组数值的关系：2sin30cos30与 sin60；2sin22.5cos22.5与 sin45（2）用一句
9、话概括上面的关系（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立（4）如果结论成立，试用 表示一个锐角，写出这个关系式28用计算器求下列各式的值：（1）sin59；（2）cos684229如图，ABC 中，AB AC 13，BDAC 于点 D，sinA（1）求 BD 的长；（2）求 tanC 的值30如图，已知ABC 中，ACB 90，D 是边 AB 的中点，P 是边 AC 上一动点，BP与 CD 相交于点 E第 6 页（共 27 页）（1）如果 BC6，AC8，且 P 为 AC 的中点，求线段 BE 的长；（2）联结 PD，如果 PDAB，且 CE2，ED3，求 cosA 的值
10、；（3）联结 PD，如果 BP22CD 2，且 CE2，ED3，求线段 PD 的长第 7 页（共 27 页）人教版九年级下学期第 28 章 锐角三角函数2019 年单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1如图，在ABC 中，C90，AC5，若 cosA ，则 BC 的长为（ ）A8 B12 C13 D18【分析】先根据C90， AC5，cos A ，即可得到 AB 的长，再根据勾股定理，即可得到 BC 的长【解答】解：ABC 中，C90，AC5，cosA ， ，AB13，BC 12，故选：B【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角 A 的邻边 b 与斜边 c 的
11、比叫做A 的余弦，记作 cosA2已知 为锐角，下列结论：（1）sin +cos1；（2）若 45，则 sincos；（3）如果 cos ，则 60；（4） 1sin 其中正确结论的序号是（ ）A （1） （3） （4） B （2） （4） C （2） （3） （4） D （3） （4）【分析】根据锐角三角函数的定义、互余角的三角函数的关系、锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值及绝对值的定义求解第 8 页（共 27 页）【解答】解：（1）如果 30，那么sin ，cos ，sin+cos 1，错误；（2）9045，0 90 45，sinsin （90） ，sin cos，正确；
12、（3）cos60 ，余弦函数随角增大而减小， 如果 cos ，则 60，正确；（4）sin 1，sin 10， |sin1|1sin ，正确故正确结论的序号是（2） （3） （4） 故选：C【点评】本题综合性较强，涉及知识点较多，须认真仔细3tan35cot1，则 等于（ ）A65 B35 C75 D55【分析】根据同角三角函数的关系 tancot1 解答即可【解答】解：由 tan35cot1，得 35故选：B【点评】本题考查了同角的三角函数的关系中的同角的正切和余切的关系4在ABC 中，A，B 均为锐角，且有|tan B |+（ 2cosA1） 20，则ABC 是（
13、;）A直角（不等腰）三角形 B等边三角形C等腰（不等边）三角形 D等腰直角三角形【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出B，A 的度数，进而得出答案【解答】解：|tanB |+（2cos A1） 20，tanB ， 2cosA1，则B60，A60，ABC 是等边三角形故选：B【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键5用科学记算器计算锐角 的三角函数值时，不能直接计算出来的三角函数值是（ ）第 9 页（共 27 页）Acot Btan Ccos Dsin【分析】本题要求熟练应用计算器进行计算【解答】解：用科学记算器计算锐角 的三角函数值时，只能计算正弦、余弦
14、、正切的值，要计算余切的值，需先计算正切值，在借助倒数进行计算得出答案，故答案为 A【点评】本题考查计算器的基本功能6已知抛物线 y3x 2+1 与直线 y4cos x 只有一个交点，则锐角 等于（ ）A60 B45 C30 D15【分析】抛物线 y3x 2+1 与直线 y4cos x 只有一个交点，则把 y4cosx 代入二次函数的解析式，得到的关于 x 的方程中，判别式0，据此即可求解【解答】解：根据题意得：3x 2+14cosx，即 3x24cos x+10，则16cos 24310，解得：cos ，所以 30故选：C【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握一元二次方程跟的判
15、别式是解题的关键7 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，其中方田章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积 （弦矢+矢 2） ，弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长 AB， “矢”等于半径长与圆心 O 到弦的距离之差在如图所示的弧田中， “弦”为 8， “矢”为 3，则 cosOAB（ ）A B C D【分析】如图，作 OHAB 于 H利用已知条件以及勾股定理构建方程组求出 OA，OH即可解决问题【解答】解：如图，作 OHAB 于 H第 10 页（共 27 页）由题意：AB8，OA OH3，OHAB，AHBH 4，AH 2+OH2OA 2，4 2（OA+
16、 OH） （OAOH） ，OA+ OH ，OA ，OH ，cosOAB ，故选：B【点评】本题考查解直角三角形的应用，垂径定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型8山重水复的地形景观造就了网红重庆，如图，山坡 AB 的坡度 i1：2.4，坡上有一棵树BC，当太阳光线与水平线成 68沿斜坡照下时，在斜坡上的树影 AB 长为 6.5 米，则这棵树 BC 的高度为（ ）米 （结果精确到 0.1 米，参考数据： sin680.93，cos680.38，tan68 2.48）A12.4 B12.3 C14.8 D14.9【分析】延长 CB 交 AD 于
17、 E设 BCxm 想办法构建方程即可解决问题【解答】解：延长 CB 交 AD 于 E设 BCxm 第 11 页（共 27 页）在 Rt ABE 中，AB 6.5m，BE：AE1：2.4，AE6（m） ， BE2.5（m） ，在 Rt ACE 中，tan68 ，2.48 ，x12.3812.4，BC12.4（m） ，故选：A【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行投影等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型9如图，护林员在离树 8m 的 A 处测得树顶 B 的仰角为 45，已知护林员的眼睛离地面的距离 AC 为 1.6m，则树的高度 BD 为（
18、;）A8m B9.6m C （4 ）m D （8 +1.6）m【分析】利用 45的正切值可得 HB 的长度，加上 1.6 即为树的高度第 12 页（共 27 页）【解答】解：在 RtCBH 中， HCB45，CH8m， ，HBCHtanHAB8tan458m，HDHB +AC8+1.6 9.6答：树的高度为 9.6m故选：B【点评】本题考查解直角三角形的应用，利用 45的正切值得到 HB 的长度是解决本题的关键10如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA 2km，某船从港口 A 出发，沿北偏东15方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60的方向，则该船航
19、行的距离（即 AB 的长）为（ ）A2km B km C km D （ +1）km【分析】过点 A 作 ADOB 于 D先解 RtAOD，得出 AD OA1，再由ABD 是等腰直角三角形，得出 BD AD1，则 AB AD2 【解答】解：如图，过点 A 作 ADOB 于 D在 Rt AOD 中，ADO 90，AOD 30，OA2，AD OA1在 Rt ABD 中，ADB90，BCABAOB753045，BDAD 1，第 13 页（共 27 页）AB AD 即该船航行的距离（即 AB 的长）为 km故选：C【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三
20、角形是解题的关键二填空题（共 10 小题）11如图，P（12，a）在反比例函数 图象上，PHx 轴于 H，则 tanPOH 的值为 【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tanPOH 为 POH 的对边比邻边，求出即可【解答】解：P（12，a）在反比例函数 图象上，a 5，PHx 轴于 H，PH5，OH12，tanPOH ，故答案为： 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边12比较大小：cos35 sin65第 14 页（共 27 页）【分析】根据一个角的余弦等于它余角的
21、正弦，可得正弦函数，根据正弦函数随锐角的增大而增大，可得答案【解答】解：cos35sin（9035）sin55，由正弦函数随锐角的增大而增大，得sin55sin65，即 cos35sin65故答案为：【点评】本题考查了锐角三角函数的增加性，利用一个角的余弦等于它余角的正弦得出正弦函数是解题关键13已知：实常数 a、b、c、d 同时满足下列两个等式：asin+bcosc0；acosbsin+d0（其中 为任意锐角） ，则 a、b、c、d 之间的关系式是： a 2+b2c 2+d2 【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用 sin2+cos21，即可找到这四个数的关系【解答】解：由得 as
22、in+bcosc，两边平方，a 2sin2+b2cos2+2absincosc 2由得 acosbsin d，两边平方，a 2cos2+b2sin22absin cosd 2+得a2（sin 2+cos2）+ b2（sin 2+cos2）c 2+d2a 2+b2c 2+d2【点评】本题考查了 sin2+cos21 的应用14在 RtABC 中，C90，若 sinA ，则 cosB 【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案【解答】解：由C90，若 sinA ，得 cosBsinA ，故答案为： 【点评】本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦
23、等于它余角的正弦是解题第 15 页（共 27 页）关键15若A 为锐角，且 tanA1，则A 的度数为 45 【分析】直接根据 tan451 进行解答即可【解答】解：A 为锐角，且 tanA1，tan45 1，A45故答案为：45【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键16在 RtABC 中，C90，AC8，AB2 ，则A 的大小为 23.5 （精确到 0.1） 【分析】依据 cosA 0.917，即可得到A 的大小【解答】解：在 RtABC 中，C90，AC8，AB2 ，cosA 0.917 ，A23.5，故答案为：23.5【点评】本题主要考查了三角
24、函数，用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数17如图，在 RtABC 中，ACB90，CD AB ，垂足为 DAF 平分CAB ，交 CB于点 F交 CD 于点 E若 AC6，sinB ，则 DE 的长为 【分析】先由 AF 平分CAB，CDAB，过点 E 作 EG 垂直于 AC，利用角平分线的性质定理得 EG 等于 DE，易得 RtAED 全等于 RtAEG 以及DCA 等于B，从而求得AD，AG，CG，然后在 RtCEG 中，由勾股定理求出 EG，即为 DE 的长度【解答】解：过点 E 作 EG AC 于点 G，又AF 平分CAB
25、 ，CD AB，交 CB 于点 F交 CD 于点 E，第 16 页（共 27 页）EGED ，在 Rt AED 和 RtAEG 中，RtAEDRtAEG（HL） ，AGADACB90，CDAB，B+BACDCA+BAC90，DCAB，AC6，sinB ，sinDCAsinB ， ，AD ，DC ，AGAD ，CGAC AG ，在 RtCEG 中，CE 2EG 2+CG2，（DCED） 2（DCEG） 2EG 2+CG2 ，EG ，DE 故答案为： 【点评】本题综合运用了角平分线的性质定理，全等三角形判断，勾股定理等知识，难第 17 页（共 27 页）度较大18如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架
26、梯子斜靠在左侧墙上与地面成 60角时，梯子顶端距离地面 2 米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成45，则小巷的宽度为 2+2 米（结果保留根号） 【分析】本题需要分段求出巷子被分成的两部分，再加起来即可先在直角三角形 ABC中，用正切和正弦，分别求出 BC 和 AC（即梯子的长度） ，然后再在直角三角形 DCE中，用DCE 的余弦求出 DC，然后把 BC 和 DC 加起来即为巷子的宽度【解答】解：如图所示：AB 米，ACB60，DCE45，ACCE则在直角三角形 ABC， ， ，直角三角形 DCE 中，CE AC4， ， ，故答案为：【点评】本题需
27、要综合应用正切、正弦余弦来求解，注意梯子长度不变，属于中档题第 18 页（共 27 页）19如图是将一正方体货物沿坡面 AB 装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度 BC 为 2 米，斜坡 AB 的坡度 ，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点 D 与 C 重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则 BD 米 【分析】利用斜坡 AB 的坡度 得到 ，进而证得CBDBAE，得到 ，然后设 CDx 米，则 BD3x 米，在 RtCBD 中，利用勾股定理求得答案即可【解答】解：如图，斜坡 AB 的坡度 ， ，CBD+ABE90，ABE +A90，CBDA，CDBAEB
28、90，CBDBAE， 设 CDx 米，则 BD3x 米，在 Rt CBD 中， BD2+CD2BC 2，即：x 2+（3x） 22 2，x （负值舍去） ，BD 米故答案为 米第 19 页（共 27 页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能够从实际问题中整理出直角三角形，难度不大20如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物 ABCD 的 A、C 两点测得该塔顶端F 的仰角分别为 48和 65，矩形建筑物宽度 AD20m ，高度 CD30m，则信号发射塔顶端到地面的高度 FG 为 109 米（结果精确到 1m） 参考数据：sin480.7，cos480.7，tan481.1，
29、cos650.4，tan652.1【分析】延长 AD 交 FG 于 H，则四边形 ABGH 是矩形，ABCDGH30m，AHBG设 FHxm想办法构建方程即可解决问题【解答】解：延长 AD 交 FG 于 H，则四边形 ABGH 是矩形，ABCDGH30m，AHBG设 FHxm在 RtAFH 中，AH ，第 20 页（共 27 页）CGDH 20，在 Rt FCG 中， tan65 ，2.1 ，x79.2，FGFH +GH109.2109（m ） ，故答案为 109【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题三解答题（共
30、 10 小题）21我们知道：sin30 ， tan30 ，sin45 ，tan45 1，sin60 ，tan60 ，由此我们可以看到 tan30sin30，tan45sin45，tan60sin60 ，那么对于任意锐角 ，是否可以得到 tansin 呢？请结合锐角三角函数的定义加以说明【分析】由直角三角形中斜边最长及锐角三角函数的定义可以证明：对于任意锐角 ，都有 tansin【解答】解：对于任意锐角 ，都有 tansin ，理由如下：如图，ABC 中，C90，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，设A则 tan ，sin ，bc， ，tan sin【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在 R
31、tABC 中，C90（1）正弦：我们把锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做A 的正弦，记作 sinA第 21 页（共 27 页）即 sinAA 的对边：斜边a：c（2）余弦：锐角 A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做A 的余弦，记作 cosA即 cosAA 的邻边：斜边b：c（3）正切：锐角 A 的对边 a 与邻边 b 的比叫做A 的正切，记作 tanA即 tanAA 的对边：A 的邻边a：b（4）三角函数：锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做A 的锐角三角函数22已知 为一锐角，sin ，求 cos，tan 【分析】根据 sin ，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表
32、达式即可推出 cos的值，同理可得 tan的值【解答】解：由 sin ，设 a4x，c5x ，则 b 3x，故 cos ，tan 【点评】本题考查了同角三角函数的关系，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值23在 RtABC 中，C90，若 sinA 求 cosA，sinB，tanB 的值【分析】根据 sinA 设 AB13x，BC 12x ，根据勾股定理求出 AC5x，根据锐角三角函数的定义求出即可【解答】解：sinA ，设 AB13x，BC12x，第 22 页（共 27 页）由勾股定理得：AC 5x
33、，cosA ，sinBcosA ，tanB 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键24 （1）已知A 是锐角，求证：sin 2A+cos2A1（2）已知A 为锐角，且 sinAcosA ，求A 的度数【分析】 （1）利用三角函数的定义即可得出结论；（2）利用三角函数的定义得出 c2ab，再用勾股定理得出 a2+b2c 2，进而得出 ab，即可得出结论【解答】解：如图，在 Rt ABC 中，sinA ，cosA ，根据勾股定理得， a2+b2c 2，（1）证明：sin 2A+cos2A（ ） 2+（ ） 2 1 ，（2）sinAcosA ，
34、，c 22ab，a 2+b22ab，即：（ab） 20，ab，在 Rt ABC 中，tanA 1，A45【点评】考查了同角三角函数关系和特殊角的三角函数值熟记锐角三角函数的定义进第 23 页（共 27 页）行解答即可25计算：2sin30tan60 +cos60tan45【分析】根据解特殊角的三角函数值解答【解答】解：2sin30tan60+cos60tan45 【点评】考查了特殊角的三角函数值熟记特殊角的三角函数值是解题的关键26计算：cos30tan604sin30+tan45【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答【解答】解：原式 4 +1 2+1 【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于
35、识记性题目，基础题27 （1）验证下列两组数值的关系：2sin30cos30与 sin60；2sin22.5cos22.5与 sin45（2）用一句话概括上面的关系（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立（4）如果结论成立，试用 表示一个锐角，写出这个关系式【分析】 （1）分别计算出各数，进而可得出结论；（2）根据（1）中的关系可得出结论；（3）任选一个角验证（3）的结论即可；（4）用 表示一个锐角，写出这个关系式即可【解答】解：（1）2sin30 cos302 ，sin60 2sin22.5cos22.520.380.920.7，sin45 0.7，2sin30cos3
36、0sin60 ，2sin22.5 cos22.5sin45；第 24 页（共 27 页）（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的 2 倍，等于该角 2 倍的正弦值；（3）2sin15cos1520.260.97 ，sin30 ；故结论成立；（4）2sin cossin2【点评】本题考查的是三角函数，根据题意找出规律是解答此题的关键28用计算器求下列各式的值：（1）sin59；（2）cos6842【分析】直接利用计算器计算即可【解答】解：（1）sin59 0.857；（2）cos6842cos68.70.363【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力29如图，ABC 中，AB
37、AC 13，BDAC 于点 D，sinA（1）求 BD 的长；（2）求 tanC 的值【分析】 （1）根据三角函数得出 BD12 即可；（2）利用勾股定理得出 AD 5，进而得出 DC8，利用三角函数解答即可【解答】解：（1）ABC 中，ABAC 13，BDAC 于点 D，sinA ，即 ，解得：BD12；（2）ACAB13，BD 12，BDAC，第 25 页（共 27 页）AD5，DC8，tanC 【点评】此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出 BD 的值30如图，已知ABC 中，ACB 90，D 是边 AB 的中点，P 是边 AC 上一动点，BP与 CD 相交于点 E（1）如果
38、BC6，AC8，且 P 为 AC 的中点，求线段 BE 的长；（2）联结 PD，如果 PDAB，且 CE2，ED3，求 cosA 的值；（3）联结 PD，如果 BP22CD 2，且 CE2，ED3，求线段 PD 的长【分析】 （1）根据已知条件得到 CP4，求得 BP2 ，根据三角形重心的性质即可得到结论；（2）如图 1，过点 B 作 BFCA 交 CD 的延长线于点 F，根据平行线分线段成比例定理得到 ，求得 ，设 CPk ，则 PA3k，得到 PAPB3k 根据三角函数的定义即可得到结论；（3）根据直角三角形的性质得到 CDBD AB，推出PBDABP，根据相似三角形的性质得到BPDA，推
39、出DPE DCP，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）P 为 AC 的中点，AC 8，CP4，ACB90，BC6，BP2 ，D 是边 AB 的中点， P 为 AC 的中点，点 E 是ABC 的重心，第 26 页（共 27 页）BE BP ；（2）如图 1，过点 B 作 BFCA 交 CD 的延长线于点 F， ，BDDA ，FDDC，BFAC，CE2，ED3，则 CD5，EF8， ， ， ，设 CPk，则 PA3k，PDAB，D 是边 AB 的中点，PAPB3kBC2 k，AB2 k，AC4k，cosA ；（3）ACB90，D 是边 AB 的中点，CDBD AB，PB 22CD 2，BP 22CDCDBDAB ，PBDABP，PBDABP，BPDA，ADCA，第 27 页（共 27 页）DPEDCP，PDECDP，DPEDCP，PD 2DE DC，DE3，DC5，PD 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键
