1、2017-2018 学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分 ）1 （4 分）下列图形中，中心对称图形有（ ）A BC D2 （4 分）若 mn，则下列不等式不一定成立的是（ ）Am+2n+2 B2m2n C Dm 2n 23 （4 分）下列分式中，最简分式是（ ）A BC D4 （4 分）如图，RtABC 沿直线边 BC 所在的直线向右平移得到DEF，下列结论中不一定正确的是（ ）ADEF90BBE CFCCECFDS 四边形 ABEHS 四边形 DHCF5 （4 分）如图
2、，在ABC 中，ABAC ，A40，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交AC 于点 E，连接 BE，则CBE 的度数为（ ）第 2 页（共 33 页）A70 B80 C40 D306 （4 分）如图，四边形 ABCD 中，对角线相交于点 O，E、F、G 、H 分别是AD、BD、BC、 AC 的中点，要使四边形 EFGH 是矩形，则四边形 ABCD 需要满足的条件是（ ）AABCD BABCD CABAD DACBD7 （4 分）如图，ABC 中，ABAC 16，AD 平分BAC，点 E 为 AC 的中点，连接DE，若 CDE 的周长为 26，则 BC 的长为（ &n
3、bsp;）A20 B16 C10 D88 （4 分）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，若 AF、BE 分别是DAB、CBA 的平分线，AB 4，BC3，则 EF 的长是（ ）A1 B2 C3 D49 （4 分）若关于 x 的分式方程 + 1 有增根，则 m 的值是（ ）第 3 页（共 33 页）Am0 或 m3 Bm3 Cm0 Dm 110 （4 分）如图，直线 yx+ 与 ykx 1 相交于点 P，点 P 的纵坐标为 ，则关于 x 的不等式 x+ kx1 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D11 （4 分）如图，在菱形 ABC
4、D 中，对角线 AC、BD 相交于点O，BD 8，BC5，AE BC 于点 E，则 AE 的长等于（ ）A5 B C D12 （4 分）如图，ABCD 中，AD2AB，F 是 BC 的中点，作 AECD，垂足 E 在线段CD 上，连接 EF、AF ，下列结论：2BAFC； EFAF ； SABF S AEF；BFE 3CEF 中，一定成立的是（ ）A只有 B只有 C只有 D二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.）13 （4 分）分解因式：x 2y4y 第 4 页（共 33 页）1
5、4 （4 分）如果分式 有意义，那么 x 的取值范围是 15 （4 分）若正多边形的一个内角等于 150，则这个正多边形的边数是 16 （4 分）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共 50 个，购买资金不超过 3000 元若每个篮球 80 元，每个足球 50 元，则篮球最多可购买 个17 （4 分）如图，已知点 P 是AOB 角平分线上的一点，AOB60，PD OA，M 是OP 的中点，DM 4cm ，如果点 C 是 OB 上一个动点，则 PC 的最小值为 cm18
6、（4 分）如图，已知ABC 中，C90，ACBC ，将ABC 绕点 A 逆时针反向旋转 60到ABC的位置，连接 CB，则 CB 的长为 三、简答题（本大题共 9 个小题，共 78 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19 （6 分）先化简，再求值：（ x+2） ，其中 x520 （6 分）解不等式组 ，并将它的解集在数轴上表示出来21 （6 分）如图，已知 E、F 分别是ABCD 的边 BC、AD 上的点，且 BEDF 求证：四边形 AECF 是平行四边形22 （8 分）北京到济南的距离约为 500km，一辆高铁和一辆特快列车都从北京去济南，高铁比特快列车
7、晚出发 3 小时，最后两车同时到达济南，已知高铁的速度是特快列车速度第 5 页（共 33 页）的 2.5 倍求高铁和特快列车的速度各是多少？（列方程解答）23 （8 分）如图，平面直角坐标系中，已知点 A（0， ） ，ABO60若对于平面内一点 C，当ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形时，称点 C 时线段 AB 的“等长点” （1）请判断点 C1（1，2 ） ，点 C2（0，2 ）是否是线段 AB 的“等长点” ，并说明理由；（2）若点 D（m，n）是线段 AB 的“等长点” ，且DAB60，求 m 和 n 的值24 （10 分）为贯彻党的“绿水青山就是金山银山”的理念，我市计划购买甲、乙两
8、种树苗共 7000 株用于城市绿化，甲种树苗每株 24 元，一种树苗每株 30 元相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为 85%、90% （1）若购买这两种树苗共用去 180000 元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）若要使这批树苗的总成活率不低于 88%，则甲种树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用25 （10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB2cm，BC 4 cm点 P 从点 D 出发向点 A 运动，运动到点 A 即停止；同时，点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，运动到点 C 即停止，点P、Q 的速度都是 1cm/s，
9、连接 PQ、AQ、CP 设点 P、Q 运动的时间为 ts（1）当 t 为何值时，四边形 ABQP 是矩形；（2）当 t 为何值时，四边形 AQCP 是菱形26 （12 分）问题的提出：如果点 P 是锐角ABC 内一动点，如何确定一个位置，使点 P到ABC 的三顶点的距离之和 PA+PB+PC 的值为最小？（1）问题的转化：把APC 绕点 A 逆时针旋转 60得到APC，连接 PP，这样就把确定 PA+PB+PC 的最小值的问题转化成确定 BP+PP+PC 的最小值的问题了，请你利用图 1 证明：PA+PB+PC BP +PP+ PC；第 6 页（共 33 页）（2）问题的解决：当点 P 到锐角
10、ABC 的三顶点的距离之和 PA+PB+PC 的值为最小时，求APB 和APC 的度数；（3）问题的延伸：如图 2 是有一个锐角为 30的直角三角形，如果斜边为 2，点 P 是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点 P 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值27 （12 分）如图，已知菱形 ABCD 边长为 4，BD4，点 E 从点 A 出发沿着 AD、DC 方向运动，同时点 F 从点 D 出发以相同的速度沿着 DC、 CB 的方向运动（1）如图 1，当点 E 在 AD 上时，连接 BE、BF，试探究 BE 与 BF 的数量关系，并证明你的结论；（2）在（1）的前提下，求 EF 的最小值和此
11、时BEF 的面积；（3）当点 E 运动到 DC 边上时，如图 2，连接 BE、DF，交点为点 M，连接 AM，则AMD 大小是否变化？请说明理由附加题（本大题共 3 个小题，第 1、2 题，每小题 5 分，第 3 题 10 分，共 20 分，得分不计入总分.）28 （5 分）若关于 x 的分式方程 无解，则 m 29 （5 分）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点 B1 在 y 轴上，顶点C1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、在 x 轴上，已知正方形 A1B1C1D1 的边长为1，B 1C1O60，B 1C1B 2C2B 3C3，则正方形 A2018B2
12、018C2018D2018 的边长是 第 7 页（共 33 页）30 （10 分）如图，APB 中，AB2，APB90，在 AB 的同侧作正ABD、正APE 和正BPC，求四边形 PCDE 面积的最大值第 8 页（共 33 页）2017-2018 学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分 ）1 （4 分）下列图形中，中心对称图形有（ ）A BC D【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中
13、心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误故选：B【点评】本题考查了中心对称图形的概念中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后两部分重合2 （4 分）若 mn，则下列不等式不一定成立的是（ ）Am+2n+2 B2m2n C Dm 2n 2【分析】根据不等式的性质，可得答案【解答】解：A、两边都加 2，不等号的方向不变，故 A 成立，B、两边都乘 2，不等号的方向不变，故 B 成立；C、两边都除以2，不等号的方向改变，故 C 不成立；D、当 mn1 时，m 2n 2 成立，当 0m1，n1 时，m 2n 2，故 D 不一定
14、成立，故选：D【点评】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键第 9 页（共 33 页）3 （4 分）下列分式中，最简分式是（ ）A BC D【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分【解答】解：A、 ，不符合题意；B、 ，不符合题意；C、 是最简分式，符合题意；D、 ，不符合题意；故选：C【点评】本题考查了最简分式的定义及求法一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视
15、的问题在解题中一定要引起注意4 （4 分）如图，RtABC 沿直线边 BC 所在的直线向右平移得到DEF，下列结论中不一定正确的是（ ）ADEF90BBE CFCCECFDS 四边形 ABEHS 四边形 DHCF【分析】由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案【解答】解：RtABC 沿直线边 BC 所在的直线向右平移得到DEF，第 10 页（共 33 页）DEFABC90，BC EF ，S ABC S DEF ，BCECEFEC，S ABC S HEC S DEF S HEC ，BECF，S 四边形 ABEHS 四边形 DHCF，但不能得出 CECF，故选：C【点评
16、】本题考查了平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等5 （4 分）如图，在ABC 中，ABAC ，A40，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交AC 于点 E，连接 BE，则CBE 的度数为（ ）A70 B80 C40 D30【分析】由等腰ABC 中，ABAC ，A40，即可求得ABC 的度数，又由线段AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，可得 AEBE ，继而求得ABE 的度数，则可求得答案【解答】解：等腰ABC 中，ABAC ，A40，ABCC 70，线段 AB 的垂直平分线交 AB 于
17、D，交 AC 于 E，AEBE，ABE A40，CBEABCABE30故选：D【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用6 （4 分）如图，四边形 ABCD 中，对角线相交于点 O，E、F、G 、H 分别是第 11 页（共 33 页）AD、BD、BC、 AC 的中点，要使四边形 EFGH 是矩形，则四边形 ABCD 需要满足的条件是（ ）AABCD BABCD CABAD DACBD【分析】根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”来推断由三角形中位线定理和平行四边形的判定定理易推知四边形 EFGH 是平行四边形，若 FEEH
18、或者 EGFH就可以判定四边形 EFGH 是矩形【解答】解：当 ABCD 时，四边形 EFGH 是矩形，ABCD，GHAB ，EHCD，EHGH ，即EHG 90 ，四边形 EFGH 是矩形；故选：B【点评】此题考查了中点四边形的性质、矩形的判定以及三角形中位线的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用7 （4 分）如图，ABC 中，ABAC 16，AD 平分BAC，点 E 为 AC 的中点，连接DE，若 CDE 的周长为 26，则 BC 的长为（ ）A20 B16 C10 D8【分析】根据等腰三角形的性质可得 ADBC，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案
19、【解答】解：ABAC，AD 平分BAC，第 12 页（共 33 页）ADBC，ADC90，点 E 为 AC 的中点，DECE AC8CDE 的周长为 26，CD10，BC2CD20故选：A【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半8 （4 分）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，若 AF、BE 分别是DAB、CBA 的平分线，AB 4，BC3，则 EF 的长是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，若 AF、BE 分别是DAB、CBA 的平分线，易得ADF 与BCE 是等腰三
20、角形，继而求得 DFCEBC3，则可求得答案【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，CDAB4，ADBC3，AFDBAF，ABEBEC ，AF、BE 分别是DAB 、 CBA 的平分线，DAFBAF，CBEABE ，DAFAFD，CBEBEC，ADDF 3，CEBC3，EFDF +CECD2故选：B【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质注意证得ADF与BCE 是等腰三角形是关键第 13 页（共 33 页）9 （4 分）若关于 x 的分式方程 + 1 有增根，则 m 的值是（ ）Am0 或 m3 Bm3 Cm0 Dm 1【分析】分式方程去分母转化为
21、整式方程，由分式方程有增根，得到 x40，求出 x的值，代入整式方程求出 m 的值即可【解答】解：去分母得：3xm x4，由分式方程有增根，得到 x40，即 x4，把 x4 代入整式方程得：34m 0，解得：m1，故选：D【点评】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值10 （4 分）如图，直线 yx+ 与 ykx 1 相交于点 P，点 P 的纵坐标为 ，则关于 x 的不等式 x+ kx1 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D【分析】先把 y 代入 yx + ，得出 x1，再观察函数图象
22、得到当 x1 时，直线 yx+ 都在直线 ykx 1 的上方，即不等式 x+ kx1 的解集为 x1，然后用数轴表示解集【解答】解：把 y 代入 yx + ，得x+ ，解得 x1第 14 页（共 33 页）当 x1 时，x + kx 1，所以关于 x 的不等式 x+ kx1 的解集为 x1，用数轴表示为： 故选：A【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 ykx+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 ykx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合11 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，
23、对角线 AC、BD 相交于点O，BD 8，BC5，AE BC 于点 E，则 AE 的长等于（ ）A5 B C D【分析】在 RtOBC 中，根据 OC 求出 OC，再利用面积法可得AEBCBO AC，由此求出 AE 即可【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，BD8，BODO 4 ，BOC90，在 Rt OBC 中， OC 3，AC2OC6，AEBCBOAC故 5AE24，解得：AE 故选：C【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用三角形面积求出 AE 的长第 15 页（共 33 页）是解题关键12 （4 分）如图，ABCD 中，AD2AB，F 是 BC
24、 的中点，作 AECD，垂足 E 在线段CD 上，连接 EF、AF ，下列结论：2BAFC； EFAF ； SABF S AEF；BFE 3CEF 中，一定成立的是（ ）A只有 B只有 C只有 D【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出MBF ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案【解答】解：F 是 BC 的中点，BFFC，在ABCD 中，AD2AB ，BC2AB2 CD，BF FC AB，AFB BAF，ADBC，AFB DAF，BAF DAF，2BAF BAD，BADC，BAF 2C 故 正确；延长 EF，交 AB
25、 延长线于 M，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，MBF C，F 为 BC 中点，BFCF，在MBF 和 ECF 中，第 16 页（共 33 页），MBF ECF（ASA） ，FEMF，CEFM，CEAE，AEC90，AECBAE90，FMEF，EFAF，故正确；EFFM，S AEF S AFM ，S ABF S AEF ，故错误；设 FEAx ，则FAEx，BAF AFB90x，EFA 1802x，EFB 90x+1802x2703x，CEF90x，BFE 3CEF，故正确，故选：C【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出AEFDM
26、E二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.）第 17 页（共 33 页）13 （4 分）分解因式：x 2y4y y（x+2） （x2） 【分析】先提取公因式 y，然后再利用平方差公式进行二次分解【解答】解：x 2y4y ，y（x 24） ，y（x+2） （x2） 故答案为：y（x +2） （x 2） 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键14 （4 分）如果分式 有意义，那么 x 的取值范围是 x3 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为 0，列出算式，计算得到答案【解答】解：由题意得，
27、x+30，即 x3，故答案为：x3【点评】本题考查的是分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零15 （4 分）若正多边形的一个内角等于 150，则这个正多边形的边数是 12 【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数【解答】解：正多边形的一个内角等于 150，它的外角是：18015030，它的边数是：3603012故答案为：12【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数16 （4 分）为有效开展“阳光体育”活动，某校
28、计划购买篮球和足球共 50 个，购买资金不超过 3000 元若每个篮球 80 元，每个足球 50 元，则篮球最多可购买 16 个【分析】设购买篮球 x 个，则购买足球（50x）个，根据总价单价购买数量结合购买资金不超过 3000 元，即可得出关于 x 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可第 18 页（共 33 页）【解答】解：设购买篮球 x 个，则购买足球（50x）个，根据题意得：80x+50（50x）3000，解得：x x 为整数，x 最大值为 16故答案为：16【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键17 （4 分）如图，已知点
29、P 是AOB 角平分线上的一点，AOB60，PD OA，M 是OP 的中点，DM 4cm ，如果点 C 是 OB 上一个动点，则 PC 的最小值为 4 cm【分析】根据角平分线的定义可得AOP AOB30，再根据直角三角形的性质求得 PD OP4，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到答案【解答】解：P 是AOB 角平分线上的一点，AOB 60，AOP AOB 30，PDOA ，M 是 OP 的中点，DM4cm，OP2DM 8，PD OP4，点 C 是 OB 上一个动点，PC 的最小值为 P 到 OB 距离，PC 的最小值PD4，故答案为：4【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的
30、性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键第 19 页（共 33 页）18 （4 分）如图，已知ABC 中，C90，ACBC ，将ABC 绕点 A 逆时针反向旋转 60到ABC的位置，连接 CB，则 CB 的长为 1+ 【分析】连接 BB，BC交 AB于 D，如图，利用等腰直角三角形的性质得AB AC2 ，再根据旋转的性质得AC BACB90，ACACBCBC，ABAB2，BAB60，则可判断 BC垂直平分AB，ABB为等边三角形，所以 CD1，BD ，然后计算 CD+BD 即可【解答】解：连接 BB，BC交 AB于 D，如图，ABC 中，C90，A
31、CBC ，AB AC 2，ABC 绕点 A 逆时针反向旋转 60到ABC的位置，ACBACB90，ACACBCBC，ABAB2，BAB60，BC垂直平分 AB，ABB 为等边三角形，CD AB1，BD AB ，CBCD+ BD1+ 故答案为 1+ 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等腰直角三角形的性质三、简答题（本大题共 9 个小题，共 78 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）第 20 页（共 33 页）19 （6 分）先化简，再求值：（ x+2） ，其中 x5【分析】首先将括号里面通分，再
32、将分子与分母分解因式进而化简得出答案【解答】解：原式 x2，当 x5 时，原式523【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键20 （6 分）解不等式组 ，并将它的解集在数轴上表示出来【分析】首先解每个不等式，然后把每个解集在数轴上表示出来，确定不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集【解答】解：解不等式 1，得：x ，解不等式 5x+23x ，得：x 1，将不等式的解集表示在数轴上如下：所以不等式组的解集为1x 【点评】本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画） ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不
33、等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“” ， “”要用实心圆点表示；“” ， “”要用空心圆点表示21 （6 分）如图，已知 E、F 分别是ABCD 的边 BC、AD 上的点，且 BEDF 求证：四边形 AECF 是平行四边形第 21 页（共 33 页）【分析】根据平行四边形性质得出 ADBC，且 ADBC，推出 AFEC，AFEC，根据平行四边形的判定推出即可【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，且 ADBC，AFEC，BEDF ，AFEC，四边形 AECF 是平行四边形【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平
34、行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形22 （8 分）北京到济南的距离约为 500km，一辆高铁和一辆特快列车都从北京去济南，高铁比特快列车晚出发 3 小时，最后两车同时到达济南，已知高铁的速度是特快列车速度的 2.5 倍求高铁和特快列车的速度各是多少？（列方程解答）【分析】设特快列车的速度为 x 千米/ 时，则高铁的速度为 2.5x 千米/时，根据时间路程速度结合高铁比特快列车少用 3 小时，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论【解答】解：设特快列车的速度为 x 千米/ 时，则高铁的速度为 2.5x 千米/时，根据题意得： 3，解得：x100，经检验，x100
35、是原分式方程的解，2.5x2.5100250答：特快列车的速度为 100 千米/时，高铁的速度为 250 千米/ 时【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键23 （8 分）如图，平面直角坐标系中，已知点 A（0， ） ，ABO60若对于平面内一点 C，当ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形时，称点 C 时线段 AB 的“等长点” （1）请判断点 C1（1，2 ） ，点 C2（0，2 ）是否是线段 AB 的“等长点” ，并说明理由；（2）若点 D（m，n）是线段 AB 的“等长点” ，且DAB60，求 m 和 n 的值第 22 页（共 33 页）【分析】 （1
36、）先求出 AB 的长与 B 点坐标，再根据线段 AB 的“等长点”的定义判断即可；（2）分两种情况讨论，利用对称性和垂直的性质即可求出 m，n【解答】解：（1）点 A（0， ） ，ABO60，OA ，AB 2，OB 1，B（1，0） 点 C1（1，2 ） ，AC 1 2，AC 1AB，C 1 是线段 AB 的“等长点” ，点 C2（0，2 ） ，AC 2 ，BC 2 ，AC 2AB，BC 2AB ，C 2 不是线段 AB 的“等长点” ；（2）如图，在 RtAOB 中，AB2，OB 1，sinOAB ，OAB30分两种情况：当点 D 在 y 轴左侧时，DAB60，DAO DABBAO30，点
37、D（m，n）是线段 AB 的“等长点” ，第 23 页（共 33 页）ADAB，D（1，0） ，m1，n0；当点 D 在 y 轴右侧时，DAB60，DAO BAO+ DAB90，n ，点 D（m，n）是线段 AB 的“等长点” ，ADAB2，m2综上所述，m1，n0 或 m2，n 【点评】本题考查了新定义，锐角三角函数，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形性质解（1）的关键是理解新定义，解（2）的关键是画出图形，是一道中等难度的中考常考题24 （10 分）为贯彻党的“绿水青山就是金山银山”的理念，我市计划购买甲、乙两种树苗共 7000 株用于城市绿化，甲种树苗每株 24 元，一种树苗
38、每株 30 元相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为 85%、90% （1）若购买这两种树苗共用去 180000 元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）若要使这批树苗的总成活率不低于 88%，则甲种树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用【分析】 （1）列方程求解即可；（2）根据题意，甲乙两种树苗的存货量大于等于树苗总量的 88%列出不等式；（3）用 x 表示购买树苗的总费用，根据一次函数增减性讨论最小值【解答】解：（1）设购买甲种树苗 x 株，则购买乙种树苗（7000x）株，由题意得24x+30（7000x ）180000第 24
39、 页（共 33 页）解得 x5000，则 7000x 2000答：甲、乙两种树苗各购买 5000、2000 株（2）根据题意得85%x+90%（7000x）700088%解得 x2800则甲种树苗至多购买 2800 株（3）设购买树苗的费用为 W根据题意得：W24x +30（7000 x）6x+210000k60W 随 x 的增大而减小当 x28 时，W 最小 62800+210000193200【点评】本题为一次函数实际应用问题，综合考察一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的增减性25 （10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB2cm，BC 4 cm点 P 从点 D 出发向点 A 运动，
40、运动到点 A 即停止；同时，点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，运动到点 C 即停止，点P、Q 的速度都是 1cm/s，连接 PQ、AQ、CP 设点 P、Q 运动的时间为 ts（1）当 t 为何值时，四边形 ABQP 是矩形；（2）当 t 为何值时，四边形 AQCP 是菱形【分析】 （1）当四边形 ABQP 是矩形时，BQAP，据此求得 t 的值；（2）当四边形 AQCP 是菱形时，AQAC，列方程求得运动的时间 t；【解答】解：（1）由已知可得，BQDP t ，APCQ4t在矩形 ABCD 中，B90，ADBC，当 BQAP 时，四边形 ABQP 为矩形，t4t，得 t2故当 t2s 时，
41、四边形 ABQP 为矩形第 25 页（共 33 页）（2）由（1）可知，四边形 AQCP 为平行四边形当 AQCQ 时，四边形 AQCP 为菱形即 时，四边形 AQCP 为菱形，解得 t1.5，故当 t1.5s 时，四边形 AQCP 为菱形【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质解决此题注意结合方程的思想解题26 （12 分）问题的提出：如果点 P 是锐角ABC 内一动点，如何确定一个位置，使点 P到ABC 的三顶点的距离之和 PA+PB+PC 的值为最小？（1）问题的转化：把APC 绕点 A 逆时针旋转 60得到APC，连接 PP，这样就把确定 PA+PB+PC 的最小值的问题转化成确定 B
42、P+PP+PC 的最小值的问题了，请你利用图 1 证明：PA+PB+PC BP +PP+ PC；（2）问题的解决：当点 P 到锐角ABC 的三顶点的距离之和 PA+PB+PC 的值为最小时，求APB 和APC 的度数；（3）问题的延伸：如图 2 是有一个锐角为 30的直角三角形，如果斜边为 2，点 P 是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点 P 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值【分析】 （1）问题的转化：根据旋转的性质证明APP'是等边三角形，则 PP'PA，可得结论；（2）问题的解决：运用类比的思想，把APC 绕点 A 逆时针旋转 60 度得到APC，连接 PP，由
43、“问题的转化”可知：当 B、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC 的值为最小，确定当： APBAPC120时，满足三点共线；（3）问题的延伸：如图 3，作辅助线，构建直角ABC' ，利用勾股定理求 AC'的长，即是点 P 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值【解答】解：问题的转化：第 26 页（共 33 页）如图 1，由旋转得：PAP' 60，PAP'A，APP '是等边三角形，PP'PA，PCP'C ，PA+PB+PCBP+PP+PC问题的解决：满足：APB APC120 时，PA +PB+PC 的值为最小；理
44、由是：如图 2，把APC 绕点 A 逆时针旋转 60 度得到APC，连接 PP，由“问题的转化”可知：当 B、P、P'、C '在同一直线上时，PA+PB+PC 的值为最小，APB 120，APP '60，APB +APP'180，B、P、P'在同一直线上，由旋转得：AP'C'APC120，AP' P60，AP' C'+AP'P180，P、P' 、C' 在同一直线上，B、P、P'、C'在同一直线上，此时 PA+PB+PC 的值为最小，第 27 页（共 33 页）故答案为：APB
45、APC 120；问题的延伸：如图 3，Rt ACB 中，AB2，ABC30，AC1，BC ，把BPC 绕点 B 逆时针旋转 60 度得到BPC，连接 PP，当 A、P、P'、C'在同一直线上时， PA+PB+PC 的值为最小，由旋转得：BPBP '，PBP'60，PC P 'C'，BCBC'，BPP 是等边三角形，PP'PB，ABCAPB+ CBP APB+ C 'BP'30，ABC'90，由勾股定理得：AC' ，PA+PB+PCPA+PP'+ P'C'AC' ，则点
46、 P 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为 【点评】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题27 （12 分）如图，已知菱形 ABCD 边长为 4，BD4，点 E 从点 A 出发沿着 AD、DC 方向运动，同时点 F 从点 D 出发以相同的速度沿着 DC、 CB 的方向运动（1）如图 1，当点 E 在 AD 上时，连接 BE、BF，试探究 BE 与 BF 的数量关系，并证明你的结论；第 28 页（共 33 页）（2）在（1）的前提下，求 EF 的最小值和此时BEF 的面积；（3）当点 E 运动到 DC 边上时，如图 2，连接 BE、DF，交点为点 M，连接 AM，则AMD 大小是否变化？请说明理由【分析】 （1）先证明ABD 和BDC
