2019年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）含答案解析

资源描述

1、2019 年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共 8 小题，每小題 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1 （5 分）复数 z 的共轭复数是（）A B C1+i D1i2 （5 分）已知集合 A2 ，3，1 ，集合 B3，m 2，若 BA，则实数 m 的取值集合为（）A1 B C1 ，1 D 3 （5 分）设命题 p：x （0，+），lnxx1，则p 为（）Ax（0，+），lnxx1 B x0（0 ，+ ），lnx 0x 01Cx（0，+），lnxx1 Dx 0（0，+），lnx 0x 014 （5 分）执行如图所示的程序框图，如

2、果输入的 a1，输出的 S15，那么判断框内的条件可以为（）Ak6 Bk6 Ck6 Dk 75 （5 分）下列函数中，同时满足：图象关于 y 轴对称；x 1，x 2（0，+）（x 1x 2）， 0 的是（）Af（x）x 1 Bf（ x）log 2|x| Cf（x ）cosx Df（x）2 x+16 （5 分）已知和是两个不同平面， l ，l 1，l 2 是与 l 不同的两条直线，且l1，l 2，l 1l 2，那么下列命题正确的是（）Al 与 l1，l 2 都不相交Bl 与 l1，l 2 都相交Cl 恰与 l1， l2 中的一条相交Dl 至少与 l1，l 2 中的一条相交7 （5 分

3、）已知 F1，F 2 为椭圆 M： 1 和双曲线 N： y 21 的公共焦点，P为它们的一个公共点，且 PF1F 1F2，那么椭圆 M 和双曲线 N 的离心率之积为（）A B1 C D8 （5 分）在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若ABC 是格点三角形，其中 A（0，0），B（4，0），且面积为 8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（）A6 B8 C10 D12二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9 （5 分）已知平面向量（1，3），（2，m ），且，那么 m 10 （5 分）从 4 名男

4、生、2 名女生中选派 3 人参加社区服务，如果要求恰有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为 11 （5 分）直线 ykx+1 与圆（为参数）相交于 M，N 两点，若|MN|2，则 k 12 （5 分）若ABC 的面积为 2 ，且 A ，则 13 （5 分）已知函数 f（x ）cos （2x +）（ 0）函数 f（x）的最小正周期为；若函数 f（x）在区间上有且只有三个零点，则的值是 14 （5 分）已知数列a n对任意的 nN*，都有 anN*，且an+1 ，当 a18 时， a2019 若存在 mN*，当 nm 且 an 为奇数时，a n 恒为常数 p，则 p 三、解答题共

5、6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15 （13 分）已知函数 f（x ）cos （2x ）2sin 2x+a（aR），且 f（）0（）求 a 的值；（）若 f（x）在区间 0，m 上是单调函数，求 m 的最大值16 （13 分）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在 15 个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示（）若某大学毕业生从这 15 座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于 850

6、0 元的城市的概率；（）现有 2 名大学毕业生在这 15 座城市中各随机选择一座城市就业，且 2 人的选择相互独立记 X 为选中月平均收入薪资高于 8500 元的城市的人数，求 X 的分布列和数学期望 E（X ）；（）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为 s12，月平均期望薪资对应数据的方差为 s22，判断 s12 与 s22 的大小（只需写出结论）17 （14 分）如图，四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，底面 ABCD 为直角梯形，AB CD，AB BC，平面 ABCD平面 ABB1A1，BAA 160，AB AA12BC2CD2（）求证：BCAA 1；（）求二面角 DAA 1B

7、的余弦值；（）在线段 DB1 上是否存在点 M，使得 CM平面 DAA1？若存在，求的值；若不存在，请说明理由18 （13 分）已知函数 f（x ）（x2）e x ax3 ax2（）当 a0 时，求函数 f（ x）的单调区间；（）当 ae 时，求证：x 1 是函数 f（x）的极小值点19 （14 分）已知抛物线 C： y22px 过点 M（2，2），A ，B 是抛物线 C 上不同两点，且AB OM（其中 O 是坐标原点），直线 AO 与 BM 交于点 P，线段 AB 的中点为 Q（）求抛物线 C 的准线方程；（）求证：直线 PQ 与 x 轴平行20 （13 分）设 nN*且 n2，集合

8、Sn（x 1，x 2，x n）|x1|1，| xi+1| 2|xi|（i1，2，n1）（）写出集合 S2 中的所有元素；（）设（a 1，a 2，a n），（b 1，b 2，b n） Sn，证明“ ai bi”的充要条件是“aib i（i1，2，3，n） ”；（）设集合 Tn xi|（x 1，x 2，x n）S n，求 Tn 所有正数之和2019 年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题，每小題 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1 （5 分）复数 z 的共轭复数是（）A B C1+i D1i【分析】先利用两个复数

9、的除法法则化简复数，再依据共轭复数的定义求出复数的共轭复数【解答】解：复数 i，复数的共轭复数是 + i，故选：A【点评】本题考查两个复数代数形式的混合运算法则以及共轭复数的概念2 （5 分）已知集合 A2 ，3，1 ，集合 B3，m 2，若 BA，则实数 m 的取值集合为（）A1 B C1 ，1 D 【分析】若 BA，则 m21，即可求解满足条件的 m【解答】解：A2，3， 1，B3，m 2，若 BA，则 m21m1 或 m1实数 m 的取值集合为1，1故选：C【点评】本题主要考查了集合的包含关系的简单应用，属于基础试题3 （5 分）设命题 p：x （0，+），lnxx1，则p 为（

10、）Ax（0，+），lnxx1 B x0（0 ，+ ），lnx 0x 01Cx（0，+），lnxx1 Dx 0（0，+），lnx 0x 01【分析】全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：由全称命题的否定是特称命题可知命题 p：x（0，+），lnxx1，则p 是：p：x 0（0，+），lnx 0x 01故选：D【点评】本题考查含有一个量词的命题的否定是基本知识的考查4 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 a1，输出的 S15，那么判断框内的条件可以为（）Ak6 Bk6 Ck6 Dk 7【分析】根据程序框图进行模拟计算，确定 k 终止的条件即可【解答】解：若 a

11、1，第一次条件成立，S1，a1，k2，第二次条件成立，S143，a1，k3，第三次条件成立，S3+96，a1，k4，第四次条件成立，S61610，a1，k5，第五次条件不成立，S10+2515，a1，k6，此时 k6 不满足条件输出 S15，即 k5 不成立，k 6 不成立，则条件 k6，故选：A【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键5 （5 分）下列函数中，同时满足：图象关于 y 轴对称；x 1，x 2（0，+）（x 1x 2）， 0 的是（）Af（x）x 1 Bf（ x）log 2|x| Cf（x ）cosx Df（x）2 x+1【分析】根据题意，分析

12、可得要求函数是偶函数，且在（0，+）上是增函数；据此分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合可得答案【解答】解：根据题意，若 f（x ）的图象关于 y 轴对称，则函数 f（x）是偶函数，若；x 1，x 2（0，+）（ x1x 2）， 0，则 f（x）在（0，+）上是增函数；据此分析选项：对于 A，f（x）x 1 ，为奇函数，不符合题意；对于 B，f（x）log 2|x|，为偶函数，则在（0，+）上，f（x）log 2x，为增函数，符合题意；对于 C，f（x ）cosx，为偶函数，但在区间（0，+）上不是增函数，不符合题意；对于 D，f（x）2 x+1，为非奇非偶函数，不符合题意；故选：B【点评

13、】本题考查函数的奇偶性与单调性综合应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义以及判断方法6 （5 分）已知和是两个不同平面， l ，l 1，l 2 是与 l 不同的两条直线，且l1，l 2，l 1l 2，那么下列命题正确的是（）Al 与 l1，l 2 都不相交Bl 与 l1，l 2 都相交Cl 恰与 l1， l2 中的一条相交Dl 至少与 l1，l 2 中的一条相交【分析】由线面平行的性质易得三线互相平行【解答】解：l 1l 2，l 1，又 l1，l，l 1l，同理 l2l，故选：A【点评】此题考查了线面平行的性质，难度不大7 （5 分）已知 F1，F 2 为椭圆 M： 1 和双曲线 N

14、： y 21 的公共焦点，P为它们的一个公共点，且 PF1F 1F2，那么椭圆 M 和双曲线 N 的离心率之积为（）A B1 C D【分析】利用 m22n 2+1，（不妨设 m0，n0）求得 m，n 即可【解答】解：F 1，F 2 为椭圆 M： 1 和双曲线 N： y 21 的公共焦点，m 22n 2+1，P 为它们的一个公共点，且 PF1F 1F2，（不妨设 m0，n0）解得：m2，n1， c2m 22n 2+12，椭圆 M 和双曲线 N 的离心率之积为故选：B【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题8 （5 分）在平面直角坐标系中，如果一个多边形

15、的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若ABC 是格点三角形，其中 A（0，0），B（4，0），且面积为 8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（）A6 B8 C10 D12【分析】根据条件设三角形的高为 h，结合三角形的面积得到高 h4，即顶点 C 在直线y4 上，结合 C 的整点坐标，利用数形结合进行排除即可【解答】解：设三角形的高为 h，则三角形的面积 S 4h8，即 h4，即 C 点的纵坐标为 4，若 C（4，4）或（0，4）时，则三角形边边界上的格点个数为 12 个，若 C（2，4），则三角形边边界上的格点个数为 8 个，若 C（1，4）或（3，4

16、），则三角形边边界上的格点个数为 6 个，则不可能的为 10 个，故选：C【点评】本题主要考查合情推理的应用，结合条件求出三角形的高即顶点 A 的位置，利用数形结合以及特殊值法是解决本题的关键二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9 （5 分）已知平面向量（1，3），（2，m ），且，那么 m 6 【分析】根据两个向量平行的坐标表示可得【解答】解：，1m （3）（2）0，解得 m6故答案为：6【点评】本题考查了平面向量共线的坐标表示属基础题10 （5 分）从 4 名男生、2 名女生中选派 3 人参加社区服务，如果要求恰有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为 12

17、【分析】根据分步计数原理即可求出【解答】解：从 4 名男生、2 名女生中选派 3 人参加社区服务，如果要求恰有 1 名女生，则有 C21C4212 种，故答案为：12【点评】本题考查排列组合的实际应用，属于基础题11 （5 分）直线 ykx+1 与圆（为参数）相交于 M，N 两点，若|MN|2，则 k 【分析】首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果【解答】解：圆（为参数）转换为直角坐标方程为：x 2+（y3） 24，则：点（0，3）到直线的距离 d ，所以：，解得：k ，故答案为：【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标

19、期为；若函数 f（x）在区间上有且只有三个零点，则的值是【分析】根据周期公式 T ，可得答案；根据 x ，求解内层函数的范围，结合余弦函数的图象可得的值【解答】解：函数 f（x ） cos（2x+）（ 0）函数 f（x）的最小正周期 T ；由 x ，可得 2x+ ， +，根据函数 f（x）在区间上有且只有三个零点，可得解得：；故答案为：，【点评】本题考查了余弦函数的性质的应用，属于基础题14 （5 分）已知数列a n对任意的 nN*，都有 anN*，且an+1 ，当 a18 时， a2019 2 若存在 mN*，当 nm 且 an 为奇数时，a n 恒为常数 p，则 p 1

20、【分析】本题第一题主要考查数列的奇偶问题，通过枚举法可发现数列a n从第二项起是以 3 为最小正周期的周期数列，即可得到 a2019 的值；第二题主要考查对题意的理解an 为奇数的只有奇数 1，从而 p1【解答】解：由题意，可知：a18，a53a 4+131+1 4，数列a n：8，4，2，1，4，2，1，即数列a n从第二项起是以 3 为最小正周期的周期数列（20191）36722a 20192由可知， an 为奇数的只有奇数 1，p1【点评】本题第一题主要考查周期数列的判定，第二题主要针对题意的理解本题属基础题三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

21、15 （13 分）已知函数 f（x ）cos （2x ）2sin 2x+a（aR），且 f（）0（）求 a 的值；（）若 f（x）在区间 0，m 上是单调函数，求 m 的最大值【分析】（）直接利用三角函数关系式的变换和函数的值求出函数的关系式（）利用函数的关系式和函数的单调性的应用求出 m 的最大值【解答】解：（）函数 f（ x）cos （2x ）2sin 2x+a，，，且 f（）0解得：a1所以：f（x）（）由于：f（x ）在区间0，m 上是单调函数，故：当函数为单调递增时，（kZ），解得：（kZ），所以：m ，当函数为单调递减时，（kZ ），解得：，综上所述：m

22、的最大值为【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型16 （13 分）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在 15 个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示（）若某大学毕业生从这 15 座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于 8500 元的城市的概率；（）现有 2 名大学毕业生在这 15 座城市中各随机选择一座城市就业，且 2 人的选择相

23、互独立记 X 为选中月平均收入薪资高于 8500 元的城市的人数，求 X 的分布列和数学期望 E（X ）；（）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为 s12，月平均期望薪资对应数据的方差为 s22，判断 s12 与 s22 的大小（只需写出结论）【分析】（）求出 15 座城市中月收薪资高于 8500 元的有 6 个，由此能求出该生选中月平均收入薪资高于 8500 元的城市的概率（）推导出 XB（2，），由此能求出 X 的分布列和 E（X）（）【解答】解：（）设该生该月平均收入薪资高于 8500 元的城市为事件 A，15 座城市中月收薪资高于 8500 元的有 6 个，该生选中月平均

24、收入薪资高于 8500 元的城市的概率 P（A）（）由（）知选中平均薪资高于 8500 元的城市的概率为，低于 8500 元的概率为，XB（2，），P（X0）（） 2 ，P（X1），P（X2），X 的分布列为：P 0 1 2X E（X）2 （）【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17 （14 分）如图，四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，底面 ABCD 为直角梯形，AB CD，AB BC，平面 ABCD平面 ABB1A1，BAA 160，AB AA12BC2CD2（）求证：BCAA 1；（）求二面

25、角 DAA 1B 的余弦值；（）在线段 DB1 上是否存在点 M，使得 CM平面 DAA1？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【分析】（）由 ABBC，平面 ABCD平面 ABB1A1，交线为 AB，得 BC平面ABB1A1，由此能证明 BCAA 1解：（）以 B 为原点，在平面 ABB1A1 中，过 B 作 BB1 的垂线为 x 轴，BB 1 为 y 轴，BC 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 DAA 1B 的余弦值（）设 M（a，b，c），， 0，1则，求出（，，），平面 DAA1 的法向量（ 2，0，），利用向量法能求出在线段 DB1 上存在

26、点 M，使得 CM平面 DAA1，且【解答】证明：（）四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，底面 ABCD 为直角梯形，ABCD，AB BC，平面 ABCD平面 ABB1A1，交线为 AB，BC平面 ABB1A1，AA 1平面 ABB1A1，BCAA 1解：（）BC平面 ABB1A1，BAA 160，ABAA 12BC2CD2以 B 为原点，在平面 ABB1A1 中，过 B 作 BB1 的垂线为 x 轴，BB 1 为 y 轴，BC 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（，1，0），B（0，0，0），A 1（，1，0），D（，，1），（0，2，0），（，1，0），（

27、，，1），设平面 AA1D 的法向量（ x，y，z），则，取 x2，得（2，0，），平面 AA1B 的法向量（0，0，1），设二面角 DAA 1B 的平面角为，则 cos 二面角 DAA 1B 的余弦值为（）假设在线段 DB1 上存在点 M，使得 CM平面 DAA1，B 1（0，2，0），C（0，0，1），设 M（a，b，c），， 0，1则，（a ，b+ ，c1）（），解得 M（，1），（，，），CM平面 DAA1，平面 DAA1 的法向量（2，0，）， 0，解得，在线段 DB1 上存在点 M，使得 CM平面 DAA1，且【点评】本

28、题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与示法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题18 （13 分）已知函数 f（x ）（x2）e x ax3 ax2（）当 a0 时，求函数 f（ x）的单调区间；（）当 ae 时，求证：x 1 是函数 f（x）的极小值点【分析】（）代入 a 的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调区间即可；（）求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（）a0 时，f（x ）（x2）e x，f（x）（x1）e x，令 f（x）0 ，解得：x1，令 f

29、（x）0 ，解得：x1，故 f（x）在（，1）递减，在（1，+）递增；（）f（x）（ x1）（e xax），x1 时，x10，令 h（x）e xax ，则 h（x ）e xa0，故 h（x）在（1，+）递增，故 h（x）h（1）e a 0，故 x1 时，h（x ）0，h（x ）在（1，+）递增，x1 时，x10，h（x ） exa0，h（x）h（1）e a0，故 x1 时，h（x ）0，h（x ）在（，1）递减，故 x1 是函数 f（x）的极小值点【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题19 （14 分）已知抛物线 C： y22px

30、过点 M（2，2），A ，B 是抛物线 C 上不同两点，且AB OM（其中 O 是坐标原点），直线 AO 与 BM 交于点 P，线段 AB 的中点为 Q（）求抛物线 C 的准线方程；（）求证：直线 PQ 与 x 轴平行【分析】（）把点代入即可求出 p 的值，可得抛物线 C 的准线方程，（）由题意可设直线 AB 的方程为 yx +m，设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），根据韦达定理定理可得 y1+y22，即可求出点 Q 的纵坐标，在再分别求出直线 OA，BM 的方程，求出点 P 的纵坐标，即可证明【解答】解：（）抛物线 C：y 22px 过点 M（2，2），44p，即

31、 p1，抛物线 C 的准线方程 x ，证明（）M（2，2），ABOM ，k ABk OM1，设直线 AB 的方程为 yx +m，设 A（x 1，y 1），B（x 2， y2），由，消 x 可得 y22y +2m0，48m0，即 m 且 m0，y 1+y22，y 1y22m，线段 AB 的中点为 Q，y Q （y 1+y2）1，直线 OA 的方程为 y x x，直线 BM 的方程为 y2 （x 2）（x2）（x 2），，由解得 y 1，y p1直线 PQ 的方程为 y1，故直线 PQ 与 x 轴平行【点评】本题考查了抛物线的方程，直线和抛物线的位置关系，韦达定理，直线方程，考查了

32、运算求解能力，属于中档题20 （13 分）设 nN*且 n2，集合 Sn（x 1，x 2，x n）|x1|1，| xi+1| 2|xi|（i1，2，n1）（）写出集合 S2 中的所有元素；（）设（a 1，a 2，a n），（b 1，b 2，b n） Sn，证明“ ai bi”的充要条件是“aib i（i1，2，3，n） ”；（）设集合 Tn xi|（x 1，x 2，x n）S n，求 Tn 所有正数之和【分析】（1）根据题意，直接列出即可（2）利用以 ai不为零这个特性，结合反证法可以证明（3）根据计数原理，T n 为正时，最后一项的系数必为正数，再看前 n1 项的情况，数出个数相加即可

33、【解答】解：（1）依题意，|x 1|1，|x 2|2|x 12，x 11，x 22，|集合 S2 中的所有元素为：（1，2），（1，2），（1，2），（1，2）共四个元素（2）证明：充分性，当 aib i 时，显然 ai bi 成立必要性，依题意，，其中 pi1，1，所以 ai ，其中 pi1，1，下面证明的符号与最后一项的符号相同且不为 0当 pn1 时， +2n1 2 n1 2 n1 10，即当pn1 时， 0，当 pn1 时， 2 n1 2 n1 2 n1 10，即当pn1 时， 0ai bi 成立时，假设 aib i，且他们有 k 项不相同（k1，kN），则 ai b

34、i 为这 k 项的二倍的和或差，将这 k 项按绝对值从小到大排列起来，分别记作 p1c1，p 2c2，p kck，p i1，1 ，则 ai bip 1c1+p2c2+pkck，设绝对值最大项 ck ，若 pk 1， ai bip 1c1+p2c2+pkck +2m0，若 pk 1， ai bip 1c1+p2c2+pkck 2 m0，这与 ai bi 矛盾，故假设错误，即当 ai bi 时，有aib i（i1，2，3，n），充分性成立综上“ ai bi”的充要条件是“a ib i（i1，2，3 ，n）（3）T n xi|（x 1，x 2，x n）S n，故 Tn 可以记作：T n，p i1，1 ，由（2）知，要使 Tn 取正值，需要最后一项系数 pn1，而前 n1 项的系数可以任意选取，则前 n1 项的系数取1 的有 2 n1 项，前 n1 项的系数取 1 的也有 2 n1 项，且它们相加为0故 Tn 所有正数之和为 2n1 个 2n 相加，故 Tn 所有正数之和为 2n1 2n2 2n1 【点评】本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题

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