1、2019 年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）设全集 UR，集合 A x|0x2，B 3，1，1，3，则集合（ UA）B（ ）A 3，1 B3，1，3 C1 ，3 D 1，12 （5 分）若复数 ，则在复平面内 z 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 k 值为（ ）A4 B5 C7 D94 （5 分）下列直线中，与曲线 C： 没有公共点的是（ ）A2x+y0 B2x+y40 C2xy0 D2x y
2、405 （5 分）设 a，b，m 均为正数，则 “ba”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6 （5 分）如图，阴影表示的平面区域 W 是由曲线 xy 0，x 2+y22 所围成的若点P（x，y ）在 W 内（含边界） ，则 z4x+3y 的最大值和最小值分别为（ ）A ，7 B ， C7， D7，77 （5 分）团体购买公园门票，票价如表：购票人数 150 51100 100 以上门票价格 13 元/人 11 元/人 9 元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门
3、票费为 1290 元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为 990 元，那么这两个部门的人数之差为（ ）A20 B30 C35 D408 （5 分）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线x4+y22 围成的平面区域的直径为（ ）A B3 C D4二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）在等比数列a n中，a 21，a 58，则数列a n的前 n 项和 Sn 10 （5 分）设 F1，F 2 为双曲线 的两个焦点，若双曲线 C的两个顶点恰好将线段 F1F2 三等分，则双曲线 C 的离心率为 11 （5
4、 分）函数 f（x ）sin2x+cos2x 的最小正周期 T ；如果对于任意的 xR 都有 f（x ）a，那么实数 a 的取值范围是 12 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为 13 （5 分）能说明“若 sincos ，则 +k360+90，其中 kZ”为假命题的一组， 的值是 14 （5 分）如图所示，玩具计数算盘的三档上各有 7 个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数 2，右侧的每个算珠表示数 1（允许一侧无珠） ，记上、中、下三档的数字和分别为 a，b，c例如，图中上档的数字和 a9若 a，b，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有 种三、解答题：
5、本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （13 分）在ABC 中，已知 a2+c2b 2mac ，其中 mR（）判断 m 能否等于 3，并说明理由；（）若 m1， ， c4，求 sinA16 （14 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，梯形 z 与平行四边形 Dxyz 所在平面互相垂直，AF DE，DEAD，ADBE ， ， （）求证：BF平面 CDE；（）求二面角 BEF D 的余弦值；（）判断线段 BE 上是否存在点 Q，使得平面 CDQ平面 BEF？若存在，求出 的值，若不存在，说明理由17 （13 分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年
6、的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各 10 名学生的阅读量（单位：本） ，统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 a 表示（）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中 a 的所有可能取值；（）将甲、乙两组中阅读量超过 15 本的学生称为“阅读达人” 设 a3，现从所有“阅读达人”里任取 3 人，求其中乙组的人数 X 的分布列和数学期望（）记甲组阅读量的方差为 s02在甲组中增加一名学生 A 得到新的甲组，若 A 的阅读量为 10，则记新甲组阅读量的方差为 s12；若 A 的阅读量为 20，则记新甲组阅读量的
7、方差为 s22，试比较 s02，s 12，s 22 的大小 （结论不要求证明）18 （13 分）设函数 f（x ）me xx 2+3，其中 mR（）当 f（x）为偶函数时，求函数 h（x）xf（x）的极值；（）若函数 f（x ）在区间2，4上有两个零点，求 m 的取值范围19 （14 分）已知椭圆 W： 的长轴长为 4，左、右顶点分别为 A，B，经过点P（n， 0）的直线与椭圆 W 相交于不同的两点 C，D （不与点 A，B 重合） （）当 n0，且直线 CDx 轴时，求四边形 ACBD 的面积；（）设 n1，直线 CB 与直线 x4 相交于点 M，求证：A，D，M 三点共线20 （13 分）
8、如图，设 A 是由 nn（n2）个实数组成的 n 行 n 列的数表，其中aij（i，j1，2，n）表示位于第 i 行第 j 列的实数，且 aij1，1 a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann定义 psta s1at1+as2at2+asnatn（s，t1，2，n）为第 s 行与第 t 行的积若对于任意 s，t（s t） ，都有 pst 0，则称数表 A 为完美数表（）当 n2 时，试写出一个符合条件的完美数表；（）证明：不存在 10 行 10 列的完美数表；（）设 A 为 n 行 n 列的完美数表，且对于任意的 i1，2，l 和 j1，2，k，都有 aij1，证明
9、：kln2019 年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）设全集 UR，集合 A x|0x2，B 3，1，1，3，则集合（ UA）B（ ）A 3，1 B3，1，3 C1 ，3 D 1，1【分析】根据题意，由补集的定义求出集合 UA，进而由交集的定义分析可得答案【解答】解：根据题意，全集 UR，集合 A x|0x2，则 UAx|x0 或 x2又由 B 3， 1，1，3，则集合（ UA）B3，1，3；故选：B【点评】本题考查集合的混合运算，关键是掌握集合交、并、
10、补集的定义，属于基础题2 （5 分）若复数 ，则在复平面内 z 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： ，在复平面内 z 对应的点的坐标为（ ） ，位于第四象限故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 k 值为（ ）A4 B5 C7 D9【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：当 k1 时，S 3，k3，S2 成立，S ，k5，S2 成立，S ，k7，S2 成立，S ，k9，S2 不成立，输出，k9，故选：
11、D【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算是解决本题的关键4 （5 分）下列直线中，与曲线 C： 没有公共点的是（ ）A2x+y0 B2x+y40 C2xy0 D2x y40【分析】通过 C 的参数方程，得到 C 的普通方程 2xy40，再根据直线与直线的位置关系，可得【解答】解：曲线 C 参数方程为： ，2 得，2xy40，故曲线 C 为斜率为 2 的直线，选项中斜率为 2 的直线为 C，D 而 D 与曲线 C 重合，有无数个公共点，排除故选：C【点评】本题考查了直线的参数方程，直线与直线的位置关系，为基础题5 （5 分）设 a，b，m 均为正数，则 “ba”是“ ”的（ ）A
12、充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：a，b，m 均为正数，由 得 b（a+m）a（b+m ） ，即 ab+bmab+am，即 bmam，m 是正数，ba，成立，即“ba”是“ ”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式关系是解决本题的关键6 （5 分）如图，阴影表示的平面区域 W 是由曲线 xy 0，x 2+y22 所围成的若点P（x，y ）在 W 内（含边界） ，则 z4x+3y 的最大值和最小值分别为（ ）A ，7 B ， C7， D7，7【分
13、析】利用已知条件平移直线 04x+3y，判断最优解，求解目标函数的最值即可【解答】解：由题意可知直线平移直线 04x+3y，当直线经过 A 上取得最小值，平移到与 x2+y22 相切于 B 时，取得最大值，B（1，1） ，最小值为：7；由 可得：25x 28zx+z 2180，64z 24（z 28）250，解得 z5，z （舍去） ，所以则 z4x+3y 的最大值和最小值分别为：5 ；7故选：A【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力7 （5 分）团体购买公园门票，票价如表：购票人数 150 51100 100 以上门票价格 13 元/人 11 元/人 9 元/人现某单位
14、要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为 1290 元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为 990 元，那么这两个部门的人数之差为（ ）A20 B30 C35 D40【分析】根据 990 不能被 13 整除，得两个部门人数之和：a+b51，然后结合门票价格和人数之间的关系，建立方程组进行求解即可【解答】解：990 不能被 13 整除，两个部门人数之和：a+b51，（1）若 51a+b100，则 11 （a+b）990 得：a+ b90，由共需支付门票费为 1290 元可知，11a+13b
15、1290 解得：b 150，a60 ，不符合题意（2）若 a+b100，则 9 （a+b）990，得 a+b110 由共需支付门票费为 1290 元可知，1a50，51b100，得 11a+13b1290 ，解得：a 70 人，b40 人故两个部门的人数之差为 704030 人，故选：B【点评】本题主要考查函数的应用问题，结合门票价格和人数之间的关系，建立方程是解决本题的关键考查学生分析问题的能力8 （5 分）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线x4+y22 围成的平面区域的直径为（ ）A B3 C D4【分析】利用曲线的对称性，设出点的坐标，通过距离公式以及二次
16、函数的性质求解最值即可【解答】解：曲线 x4+y22 围成的平面区域，关于 x，y 轴对称，设曲线上的点P（x， y） ，可得|OP| 所以曲线 x4+y22 围成的平面区域的直径为：3故选：B【点评】本题考查曲线与方程的应用，新定义的应用考查转化思想以及计算能力二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）在等比数列a n中，a 21，a 58，则数列a n的前 n 项和 Sn 【分析】根据等比数列的通项公式，求出首项和公比，结合等比数列的前 n 项和公式进行计算即可【解答】解：a 21，a 58a 5a 2q3，即 q3 8，即 q2，首项 a1 ，则数列a n
17、的前 n 项和 Sn 2 n1 ，故答案为：2 n1 【点评】本题主要考查等比数列前 n 项和的计算，结合通项公式求出首项和公比是解决本题的关键10 （5 分）设 F1，F 2 为双曲线 的两个焦点，若双曲线 C的两个顶点恰好将线段 F1F2 三等分，则双曲线 C 的离心率为 3 【分析】由题意可得 2a 2c，结合离心率公式，可得所求值【解答】解：双曲线 C 的两个顶点恰好将线段 F1F2 三等分，可得 2a 2c，则 c3a，即 e 3故答案为：3【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查运算能力，属于基础题11 （5 分）函数 f（x ）sin2x+cos2x 的最小正
18、周期 T ；如果对于任意的 xR 都有f（x）a，那么实数 a 的取值范围是 【分析】利用辅助角公式，结合周期公式进行求解，不等式 f（x）a 等价为 af（x）max，进行求解即可【解答】解：f（x ）sin2x +cos2x sin（2x+ ） ，即函数的周期 T ，若对于任意的 xR 都有 f（x）a，则 af（x） max，即当 sin（2x+ ）1 时，f（x）取得最大值，最大值为 ，即 f（x） max ，则 a ，故答案为：，a 【点评】本题主要考查三角函数的性质的应用，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键12 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为 【分析】
19、画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积【解答】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，长方体的棱长为：2，1，2，四棱锥的体积为： 122 故答案为： 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键13 （5 分）能说明“若 sincos ，则 +k360+90，其中 kZ”为假命题的一组， 的值是 110，20 【分析】若 sincos，则 k360+90 （k Z） ，而命题中只给出了k360+90（k Z）的情况，故可从另一种情况中找反例【解答】解：若 sincos，则 k360+90 （kZ） ，命题中 k 360+90， （kZ） ，要否定命题
20、，只须从 k 360+90+（kZ）中找一个反例即可，如 110，20 ， （答案不唯一，再如 120，30等，只要满足 k360+90+（kZ ）且 k 360+90（k Z）即可作为反例故填：110，20【点评】本题考查了三角函数的值及三角函数的性质、诱导公式等知识，属于基础题14 （5 分）如图所示，玩具计数算盘的三档上各有 7 个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数 2，右侧的每个算珠表示数 1（允许一侧无珠） ，记上、中、下三档的数字和分别为 a，b，c例如，图中上档的数字和 a9若 a，b，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有 32 种【分析】a，b，c 的取值范
21、围都是从 714，可以根据公差 d 的情况进行讨论【解答】解：根据题意，a，b，c 的取值范围都是从 714 共 8 个数字，故公差 d 范围是3 到 3，当公差 d0 时，有 8 种，当公差 d 1 时，b 不取 7 和 14，有 2 12 种，当公差 d 2 时，b 不取 7，8，13，14，有 2 8 种，当公差 d 3 时，b 只能取 10 或 11，有 2 4 种，综上共有 8+12+8+432 种，故填：32【点评】本题考查排列、组合的应用，要表示的有 3 项，做题时容易找不到切入点，本题应考虑等差中项的选取方法，属于中档题三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要
22、的文字说明、证明过程或演算步骤15 （13 分）在ABC 中，已知 a2+c2b 2mac ，其中 mR（）判断 m 能否等于 3，并说明理由；（）若 m1， ， c4，求 sinA【分析】 （）当 m3 时，由题可知 a2+c2b 23ac，由余弦定理b2a 2+c22ac cosB，化简求得 cosB，即可判断出结论（II）由（） ，得 ，可得 B由 ，c4，a 2+c2b 2ac，解得a，再利用正弦定理即可得出【解答】解：（）当 m3 时，由题可知 a2+c2b 23 ac，由余弦定理 b2a 2+c22ac cosB， （3 分）得 （4 分）这与 cosB1，1矛盾，所以 m 不可能
23、等于 3 （6 分）（）由（） ，得 ，所以 （7 分）因为 ，c4，a 2+c2b 2ac ，所以 a2+16284a，解得 a6（舍）或 a2（9 分）在ABC 中，由正弦定理 ，（11 分）得 （13 分）【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16 （14 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，梯形 z 与平行四边形 Dxyz 所在平面互相垂直，AF DE，DEAD，ADBE ， ， （）求证：BF平面 CDE；（）求二面角 BEF D 的余弦值；（）判断线段 BE 上是否存在点 Q，使得平面 CDQ平面 BEF？若存在，求出 的值，若不存在，说明
24、理由【分析】 （）根据面面平行的性质定理先证明平面 ABF平面 CDE 即可证明 BF平面 CDE；（）建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法求二面角 BEFD 的余弦值；（）根据面面垂直与向量之间的关系转化为向量进行求解【解答】解：（）由底面 ABCD 为平行四边形，知 ABCD，又因为 AB平面 CDE，CD 平面 CDE，所以 AB平面 CDE（2 分）同理 AF平面 CDE，又因为 ABAFA，所以平面 ABF平面 CDE（3 分）又因为 BF平面 ABF，所以 BF平面 CDE（4 分）（）连接 BD，因为平面 ADEF平面 ABCD，平面 ADEF平面 ABCDAD ，D
25、EAD，所以 DE平面 ABCD则 DEDB又因为 DEAD，AD BE，DEBEE，所以 AD平面 BDE，则 ADBD故 DA，DB ，DE 两两垂直，所以以 DA，DB，DE 所在的直线分别为 x 轴、y 轴和 z 轴，如图建立空间直角坐标系，（6 分）则 D（0，0，0） ，A（1，0， 0） ，B（0，1，0） ，C（1，1，0） ，E（0，0，2） ，F（1，0，1） ，所以 ， ， （0，1，0）为平面 DEF 的一个法向量设平面 BEF 的一个法向量为 （x，y，z） ，由 0， 0，得令 z1，得 （1，2，1） （8 分）所以 cos ， 如图可得二面角 BEF D 为锐角
26、，所以二面角 BEF D 的余弦值为 （10 分）（）结论：线段 BE 上存在点 Q，使得平面 CDQ平面 BEF（11 分）证明如下：设 ，所以 设平面 CDQ 的法向量为 （a，b，c ） ，又因为 ，所以 ， 0，即 （12 分）若平面 CDQ平面 BEF，则 0，即 a+2b+c0，（13 分）解得 所以线段 BE 上存在点 Q，使得平面 CDQ平面 BEF，且此时 （14 分）【点评】本题主要考查空间直线和平面，平面和平面位置关系的判定，利用相应定理或者建立空间坐标系，利用向量法是解决本题的关键17 （13 分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”
27、活动活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各 10 名学生的阅读量（单位：本） ，统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 a 表示（）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中 a 的所有可能取值；（）将甲、乙两组中阅读量超过 15 本的学生称为“阅读达人” 设 a3，现从所有“阅读达人”里任取 3 人，求其中乙组的人数 X 的分布列和数学期望（）记甲组阅读量的方差为 s02在甲组中增加一名学生 A 得到新的甲组，若 A 的阅读量为 10，则记新甲组阅读量的方差为 s12；若 A 的阅读量为 20，则记新甲组阅读量的方差为 s22，试比较 s02，
28、s 12，s 22 的大小 （结论不要求证明）【分析】 （）由茎叶图分别求出甲组 10 名学生阅读量的平均值和乙组 10 名学生阅读量的平均值，由此能求出图中 a 的取值（）由图可知，甲组“阅读达人”有 2 人，乙组“阅读达人”有 3 人随机变量 X 的所有可能取值为：1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X 的分布列和数学期望（） 【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）甲组 10 名学生阅读量的平均值为 ，乙组 10 名学生阅读量的平均值为 （2 分）由题意，得 ，即 a2（3 分）故图中 a 的取值为 0 或 1（4 分）（）由图可知，甲组“阅读达人”有 2 人，乙组“阅
29、读达人”有 3 人由题意，随机变量 X 的所有可能取值为：1，2，3（5 分）且 ， ， （8 分）所以随机变量 X 的分布列为：X 1 2 3P（9 分）所以 （10 分）（） （13 分）【点评】本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18 （13 分）设函数 f（x ）me xx 2+3，其中 mR（）当 f（x）为偶函数时，求函数 h（x）xf（x）的极值；（）若函数 f（x ）在区间2，4上有两个零点，求 m 的取值范围【分析】 （）先求出 m 的值，再求函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；（）由已知可得
30、，命题等价于“直线 ym 与曲线 ，x 2，4有且只有两个公共点” 对 g（x）求导，得到函数的单调区间，分类讨论即可得解【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）由函数 f（x ）是偶函数，得 f（x）f （x） ，即 mex （x ） 2+3me xx 2+3 对于任意实数 x 都成立，所以 m0（ 2 分）此时 h（x）xf （x ）x 3+3x，则 h（x）3x 2+3由 h（x ）0，解得 x1（3 分）当 x 变化时，h（x ）与 h（x）的变化情况如下表所示：x （，1）1 （1，1）1 （1，+）h（ x） 0 + 0 h（x） 极小值 极大值 所以 h（x）在（，1） ， （
31、1，+）上单调递减，在（1，1）上单调递增（5 分）所以 h（x）有极小值 h（1）2，h（x）有极大值 h（1）2（6分）（）由 f（x） mexx 2+30，得 所以“f（x）在区间 2，4上有两个零点”等价于“直线 ym 与曲线 ，x 2， 4有且只有两个公共点” （8 分）对函数 g（x）求导，得 （9 分）由 g（x ）0，解得 x11，x 23（10 分）当 x 变化时，g（x ）与 g（x）的变化情况如下表所示：x （2，1）1 （1，3）3 （3，4）g（ x） 0 + 0 g（x） 极小值 极大值 所以 g（x）在（2，1） ， （3，4）上单调递减，在（1，3）上单调递增（
32、11 分）又因为 g（2）e 2，g（1）2e， ， ，所以当 或 时，直线 ym 与曲线 ，x 2，4有且只有两个公共点即当 或 时，函数 f（x ）在区间 2，4上有两个零点（13 分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查换元思想、分类讨论思想，解题时仔细谨慎，属于中档题19 （14 分）已知椭圆 W： 的长轴长为 4，左、右顶点分别为 A，B，经过点P（n， 0）的直线与椭圆 W 相交于不同的两点 C，D （不与点 A，B 重合） （）当 n0，且直线 CDx 轴时，求四边形 ACBD 的面积；（）设 n1，直线 CB 与直线 x4 相交于点 M，求证：A，D，
33、M 三点共线【分析】 （1）当 n0，及直线 CDx 轴时，易得 C（0，1） ，D（0，1） 且A（2，0） ，B（2，0） 所以| AB|4，|CD| 2，显然此时四边形 ACBD 为菱形，可得面积（2）分斜率是否存在讨论，当直线 CD 的斜率 k 不存在时，求出 A，M，C，D 坐标，用向量法易证 A，D，M 三点共线当直线 CD 的斜率 k 存在时，设 CD 的方程为yk（x1） （ k0） ，C（x 1，y 1） ，D （x 2，y 2） ，联立方程 消去 y，得（4k 2+1）x 2 8k2x+4k240将 kAM，k AD 表示为含有 k 的算式，可以证 kAM，k AD 相等故
34、 A，D，M 三点共线【解答】 （本小题满分 14 分）解：（）由题意，得 a24m 4，解得 m1 （2 分）所以椭圆 W 方程为 （3 分）当 n0，及直线 CDx 轴时，易得 C（0，1） ，D（0，1） 且 A（2，0） ，B（2，0） 所以|AB|4，| CD|2，显然此时四边形 ACBD 为菱形，所以四边形 ACBD 的面积为 （5 分）（）当直线 CD 的斜率 k 不存在时，由题意，得 CD 的方程为 x1，代入椭圆 W 的方程，得 ， ，易得 CB 的方程为 则 ， ， ，所以 ，即 A，D，M 三点共线（ 7 分）当直线 CD 的斜率 k 存在时，设 CD 的方程为 yk （
35、x1） （k 0） ，C （x 1，y 1） ，D（x 2，y 2） ，联立方程 消去 y，得（4k 2+1）x 28k 2x+4k240（9 分）由题意，得0 恒成立，故 ， （10 分）直线 CB 的方程为 令 x4，得 （11 分）又因为 A（2，0） ，D（x 2，y 2） ，则直线 AD，AM 的斜率分别为 ， ，（12 分）所以 上式中的分子 3y2（x 12）y 1（x 2+2）3k （x 21） （x 12）k（x 11） （x 2+2）2kx 1x25k（x 1+x2）+8k 0，所以 kADk AM0所以 A，D，M 三点共线（14 分）【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主
36、要考查椭圆方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理，同时考查向量的共线的坐标运算，证明时需对直线 CD 斜率是否存在讨论，属于中档题20 （13 分）如图，设 A 是由 nn（n2）个实数组成的 n 行 n 列的数表，其中aij（i，j1，2，n）表示位于第 i 行第 j 列的实数，且 aij1，1 a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann定义 psta s1at1+as2at2+asnatn（s，t1，2，n）为第 s 行与第 t 行的积若对于任意 s，t（s t） ，都有 pst 0，则称数表 A 为完美数表（）当 n2 时，试写出一个符合条件的完美数表；（）
37、证明：不存在 10 行 10 列的完美数表；（）设 A 为 n 行 n 列的完美数表，且对于任意的 i1，2，l 和 j1，2，k，都有 aij1，证明：kln【分析】本题第（）题可根据题目的意思先写出一个完美数表，然后用 P12 是否等于0 来验证；第（）题可先假设这样的 10 行 10 列的完美数表是存在的，然后根据完美数表的特点进行适当变换，观察完美数表中 1 与1 的个数再与题干中的验证公式去验证，最终得到矛盾的结论，命题得证；第（）题先设出每行中 1 的个数，然后根据题干中结论的任意性来证明结论成立【解答】 （）解：由题意，可写出如下的完美数表：1 11 1此时，p 12a 11a2
38、1+a12a221（1）+110，此完美数表符合条件（）证明：假设存在 10 行 10 列的完美数表 A根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即+1 均变为1，而1 均变为+1） ，得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表完美数表 A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 在这个新数表中，设前三行中的数均为 1 的有 x 列，前三行中“第 1，2 行中的数为 1，且第 3 行中的数为1”的有 y 列，前三行
39、中“第 1，3 行中的数为 1，且第 2 行中的数为1”的有 z 列，前三行中“第 1 行中的数为 1，且第 2，3 行中的数为1”的有 w列（如上表所示） ，则 x+y+z+w10由 p120，得 x+yz +w； 由 p130，得 x+zy+w； 由 p230，得 x+wy +z解方程组 ， ，得 这与 x，y，z，wN 矛盾，所以不存在 10 行 10 列的完美数表（）证明：记第 1 列前 l 行中的数的和 a11+a21+al1X 1，第 2 列前 l 行中的数的和a12+a22+al2X 2，第 n 列前 l 行中的数的和 a1n+a2n+alnX n，对于任意的 i1，2， l 和 j1，2，k ，都有 aij1， 又对于任意 s，t（st） ，都有 pst0， 又 ，lnl 2k，即 kln【点评】本题第（）题主要考查对题意的阅读理解能力；第（）题主要考查联系矩阵的特点对完美数表的规律的认识；第（）题主要考查对完美数表元素 1 的个数特点证明本题是一道较难的偏难题
