1、2019 年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 0 ，Bx|x 0 ，则（ ）AAB BABR CBA DA B2 （5 分）已知 a 为实数，若复数（a+i） （12i ）为纯虚数，则 a（ ）A2 B C D23 （5 分）已知双曲线 的一条渐近线过点（b，4） ，则 C 的离心率为（ ）A B C D34 （5 分） ， 为平面向量，已知 （2，4） ， 2 （0，8） ，则 ， 夹角的余弦值等于（ ）A B C D5 （5 分）若 si
2、nsin 0，则下列不等式中一定成立的（ ）Asin2 sin2 Bsin2 sin2Ccos2cos2 Dcos2 cos26 （5 分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的九章算术注中首创“割圆术” ，所谓“割圆术” ，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心 O，圆 O 的半径为 2，现随机向圆 O 内段放 a 粒豆子，其中有 b 粒豆子落在正十二边形内（a，bN *，ba） ，则圆固率的近似值为（ ）A B C D7 （5 分）在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 E，F 分别是棱 AB，BC 的中点，则直线 CE
3、与 D1F 所成角的大小为（ ）A B C D8 （5 分）如图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 T若鱼缸水深为 h 时，水流出所用时间为 t，则函数 hf（t）的图象大致是（ ）A BC D9 （5 分）函数 最大值是（ ）A2 B C D10 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该几何体的表面积为（ ）A B7 C D811 （5 分）已知 F 为抛物线 C：y 26x 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AF |3| BF|，则 |AB|
4、（ ）A6 B8 C10 D1212 （5 分）已知函数 f（x ）e |x|ax 2，对任意 x10，x 20，都有（x 2x 1） （f （x 2）f（x 1） ）0 ，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）已知函数 f（x ）x 3+alog3x，若 f（2）6，则 14 （5 分）已知以点（1.2）为圆心的圆 C 与直线 x+2y0 相切，则圆 C 的方程为 15 （5 分）已知关于 x，y 的不等式组 ，表示的平面区域内存在点P（x 0，y 0） ，满足 x02y 02，则 m 的取值范围是 16 （5
5、 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2，c3，C2B，则ABC 的面积为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知a n是等差数列，且 lga10，lga 41（1）求数列a n的通项公式（2）若 a1，a k，a 6 是等比数列 bn的前 3 项，求 k 的值及数列 an+bn的前 n 项和18 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，ABC 是等边三角形，BADBCD90，点 P 是AC 的中点
6、，连接 BP，DP（1）证明：平面 ACD平面 BDP；（2）若 BD ，cosBPD ，求三棱锥 ABCD 的体积19 （12 分）某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了 100 位客户的数据，并将这 100 个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表；学时数 5，10 ） 10， 15） 15， 20） 20， 25） 25， 30） 30， 35） 35， 40）男性 18 12 9 9 6 4 2女性 2 4 8 2 7 13 4（1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位） ；（2）从这 100 位客
7、户中，对购买该课程学时数在 20 以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 2 人，求这 2 人购买的学时数都不低于 15 的概率（3）将购买该课程达到 25 学时及以上者视为“十分爱好该课程者” ，25 学时以下者视，为“非十分爱好该课程者” 请根据已知条件完成以下 22 列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？非十分爱好该课程者 十分爱好该课程者 合计男性女性合计 100附： ，na+b+c+dP（K 2k 0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635
8、 10.82820 （12 分）已知椭圆 的一个焦点为 F（1，0） ，点在 C 上（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 l：y x+m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，问 y 轴上是否存在点 M，使得ABM 是以 M 为直角顶点的等腰直角三角形？若在在，求点 M 的坐标：若不存在，说明理由21 （12 分）已知函数 f（x ）e x1 +a，g（x ）lnx，其中 a2（1）讨论函数 yf（x）与 yg（x）的图象的交点个数；（2）若函数 yf（x）与 yg（x）的图象无交点，设直线 yt 与的数 yf（x）和yg（x）的图象分别交于点 P，Q 证明：|PQ|a+1（二）选考题：共 10
9、 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2 的极坐标方程为（a R） （1）写出曲线 C1 的普通方程和直线 C2 的直角坐标方程；（2）若直线 C2 与曲线 C1 有两个不同交点，求 a 的取值范围选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|x +a|2 x1|（1）当 a1 时，求不等式 f（x ）0 的解集；（2）若 a0，不等式 f（x ）1 对
10、xR 都成立，求 a 的取值范围2019 年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 0 ，Bx|x 0 ，则（ ）AAB BABR CBA DA B【分析】先由二次不等式，得到集合 A，再借助数轴，得到集合 A，B 的关系，以及集合 A，B 的交集和并集【解答】解：由 x22x 0，得：0x 2，则集合 A x|0x 2，A、ABA ，故本选项错误B、ABB ，故本选项错误C、AB，故本选项错误D、AB，故本选项正确故选：D【点评
11、】本题考查二次不等式的解法，以及集合的交并集和集合之间的包含关系2 （5 分）已知 a 为实数，若复数（a+i） （12i ）为纯虚数，则 a（ ）A2 B C D2【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可【解答】解：（a+i） （12i）a+2+（12a）i，复数是纯虚数，a+20 且 12a0，得 a2 且 a ，即 a2，故选：A【点评】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键3 （5 分）已知双曲线 的一条渐近线过点（b，4） ，则 C 的离心率为（ ）A B C D3【分析】求得双曲线的渐近线方程，由题意可得 b2，
12、再由离心率公式，计算可得所求值【解答】解：双曲线 的渐近线方程为 ybx，由题意可得 4b 2，可得 b2，则双曲线的离心率为 e 故选：C【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题4 （5 分） ， 为平面向量，已知 （2，4） ， 2 （0，8） ，则 ， 夹角的余弦值等于（ ）A B C D【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得 ， 夹角的余弦值【解答】解：己知 （2，4） ， 2 （0，8） ， （ 2 ）（1，2） ， 286设 ， 夹角，又 | | |cos2 cos10cos，10cos 6
13、，cos ，故选：B【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题5 （5 分）若 sinsin 0，则下列不等式中一定成立的（ ）Asin2 sin2 Bsin2 sin2Ccos2cos2 Dcos2 cos2【分析】利用二倍角公式，结合不等式的性质进行判断即可【解答】解：cos212sin 2，cos2 12sin 2，sin sin0，sin 2sin 20，2sin 22sin 2，则 12sin 212sin 2，即 cos2cos2 ，故选：D【点评】本题主要考查不等式大小的半径，结合二倍角公式进行化简是解决本题的关键6 （5 分）刘徽是我因魏
14、晋时期的数学家，在其撰写的九章算术注中首创“割圆术” ，所谓“割圆术” ，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心 O，圆 O 的半径为 2，现随机向圆 O 内段放 a 粒豆子，其中有 b 粒豆子落在正十二边形内（a，bN *，ba） ，则圆固率的近似值为（ ）A B C D【分析】由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得： ，所以 ，即 ，得解【解答】解：由几何概型中的面积型可得： ，所以 ，即 ，故选：C【点评】本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题7 （5 分）在正方体 ABCDA 1B1C
15、1D1 中，点 E，F 分别是棱 AB，BC 的中点，则直线 CE与 D1F 所成角的大小为（ ）A B C D【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 国，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 CE 与 D1F 所成角的大小【解答】解：以 D 为原点， DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 国，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA 1B1C1D1 中棱长为 2，则 C（0，2，0） ，E（2，1， 0） ，D 1（0，0，2） ，F（1，2，0） ，（2，1，0） ， （1，2，2） ，设直线 CE 与 D1F 所成角的大小为 ，则
16、 cos 0， 直线 CE 与 D1F 所成角的大小为 故选：D【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题8 （5 分）如图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 T若鱼缸水深为 h 时，水流出所用时间为 t，则函数 hf（t）的图象大致是（ ）A BC D【分析】根据时间和 h 的对应关系分别进行排除即可【解答】解：函数 hf（t）是关于 t 的减函数，故排除 C，D，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超
17、过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为 B，故选：B【点评】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键9 （5 分）函数 最大值是（ ）A2 B C D【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式化简 f（x ）即可得出结论【解答】解：sin（x + ）sin （ +x ）cos（x ） ，f（x）sin（x + ）+cos（x ）sinxcos +cosxsin +cosxcos +sinxsin （sin +cos ）sinx+（sin +cos）cosx，sin +cos sin（ + ） sin f（x） sinx+ cosx sin（x + ） f（
18、x）的最大值为 故选：C【点评】本题考查了三角恒等变换，三角函数的最值，属于中档题10 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该几何体的表面积为（ ）A B7 C D8【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可【解答】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个 的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为 2，可得：该几何体的表面积为： +212+227故选：B【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力11 （5 分）已知 F 为抛物线 C：y 26x 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两
19、点，且|AF |3| BF|，则 |AB|（ ）A6 B8 C10 D12【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出 A，B 的中点横坐标，即可求出线段 AB 的长度 【解答】解：抛物线 y26x 的焦点坐标为（ ，0） ，准线方程为 x设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则|AF| 3|BF|， x 1+ 3（x 2+ ） ，x 13x 2+3|y 1|3|y 2|，x 19x 2，x 1 ，x 2 ，|AB|（ x1+ ）+ （x 2+ ）8故选：B【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关
20、键12 （5 分）已知函数 f（x ）e |x|ax 2，对任意 x10，x 20，都有（x 2x 1） （f （x 2）f（x 1） ）0 ，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C D【分析】由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数 a 的取值范围即可【解答】解：由题意可知函数 f（x ）是（，0）上的单调递减函数，且当 x0 时， ，据此可得：2axe x+10，即 恒成立，令 g（x）xe x（x0） ，则 g（x）e x（x+1） ，据此可得函数 g（x）在区间（，1）上单调递减，在区间（1，0）上单调递增，函数 g（x）的最小值为，则 ，据此可得：实数
21、 a 的取值范围是 故选：A【点评】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中等题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）已知函数 f（x ）x 3+alog3x，若 f（2）6，则 【分析】根据题意，由 f（2）的值分析可得 f（2）8+a log326，变形可得alog322，则有则 （ ） 3+alog3 alog 32，代入计算可得答案【解答】解：函数 f（x ）x 3+alog3x，若 f（2）6，则 f（2）8+a log326，变形可得 alog322，则 （ ） 3+alog3 alog 32
22、 ；故答案为： 【点评】本题考查函数值的计算，关键是求出函数的解析式，属于基础题14 （5 分）已知以点（1.2）为圆心的圆 C 与直线 x+2y0 相切，则圆 C 的方程为 （x1） 2+（y2） 25 【分析】根据题意，设圆 C 的半径为 r，由直线与圆的位置关系可得 r ，结合圆的标准方程分析可得答案【解答】解：根据题意，设圆 C 的半径为 r，以点（1.2）为圆心的圆 C 与直线 x+2y0 相切，则有 r ，则圆 C 的方程为（x 1） 2+（ y2） 25；故答案为：（x1） 2+（y 2） 25【点评】本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题15 （5
23、分）已知关于 x，y 的不等式组 ，表示的平面区域内存在点P（x 0，y 0） ，满足 x02y 02，则 m 的取值范围是 （ 【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点 P（x 0，y 0）满足x02y 02，则平面区域内必存在一个 C 点在直线 x2y2 的下方，A 在直线是上方，由图象可得 m 的取值范围【解答】解：作出 x，y 的不等式组 对应的平面如图：交点 C 的坐标为（m，2） ，直线 x2y2 的斜率为 ，斜截式方程为 y x1，要使平面区域内存在点 P（x 0，y 0）满足 x02y 02，则点 C（m，2）必在直线 x2y2 的下方，即2 m1，解得 m2
24、，并且 A 在直线的上方；A（m，12m） ，可得 12m 1，解得 m ，故 m 的取值范围是：（ ， 故答案为：（， 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强16 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2，c3，C2B，则ABC 的面积为 【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求 cosB 的值，根据同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值，利用二倍角公式可求 sinC，cosC 的值，根据两角和的正弦函数公式可求 sinA 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解【解答】解：b2，c3，C 2B，由正弦
25、定理 ，可得： ，可得： ，可得：cosB ，可得：sinB ，可得：sinC sin2 B2sin BcosB ，cosCcos2B2cos 2B1 ，sinAsin（B+C ）sinBcosC +cosBsinC ，S bcsinA 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分1
26、7 （12 分）已知a n是等差数列，且 lga10，lga 41（1）求数列a n的通项公式（2）若 a1，a k，a 6 是等比数列 bn的前 3 项，求 k 的值及数列 an+bn的前 n 项和【分析】 （1）直接利用已知条件求出数列的通项公式（2）利用等比数列求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【解答】解：（1）数列a n是等差数列，设公差为 d，且 lga10，lga 41则： ，解得：d3所以：a n1+3（n1）3n2（2）若 a1，a k，a 6 是等比数列 bn的前 3 项，则： ，整理得：a k3 k2，解得：k2；所以：等比数列b n的公比为 q4则 ，故：
27、， ， 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型18 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，ABC 是等边三角形，BADBCD90，点 P 是AC 的中点，连接 BP，DP（1）证明：平面 ACD平面 BDP；（2）若 BD ，cosBPD ，求三棱锥 ABCD 的体积【分析】 （1）证明 PDAC，PBAC，得出 AC平面 PBD，从而证明平面 ACD平面 BDP；（2）利用直角三角形以及余弦定理求出 AB 的值，计算BPD 的面积和 AC 的值，即可求得三棱锥 ABCD 的体积【解答】解：（1）证明：如图所示
28、，因为ABC 是等边三角形，BADBCD90，所以 RtABDRtBCD，可得 ADCD ，又因为点 P 是 AC 的中点，则 PDAC，PBAC ，又 PDPBP，PD平面 PBD，PB 平面 PBD，所以平面 ACD平面 BDP；（2）设 ABa，在 RtABD 中，BD ，则 AD ；在等边ABC 中，BP AB a，在等腰ACD 中，DP ；在BPD 中，由 cosBPD ，得 sinBPD ；由余弦定理得 BD2BP 2+DP22BPcosBPD，即 6 a2+6 a22 a （ ） ，解得 a2；所以BPD 的面积为 S BPDPsinBPD ，所以三棱锥 ABCD 的体积为 V
29、ACSBPD 2 【点评】本题考查了平面与平面垂直的判定问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，以及三棱锥体积的计算问题，是中档题19 （12 分）某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了 100 位客户的数据，并将这 100 个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表；学时数 5，10 ） 10， 15） 15， 20） 20， 25） 25， 30） 30， 35） 35， 40）男性 18 12 9 9 6 4 2女性 2 4 8 2 7 13 4（1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位） ；（2）从
30、这 100 位客户中，对购买该课程学时数在 20 以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 2 人，求这 2 人购买的学时数都不低于 15 的概率（3）将购买该课程达到 25 学时及以上者视为“十分爱好该课程者” ，25 学时以下者视，为“非十分爱好该课程者” 请根据已知条件完成以下 22 列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？非十分爱好该课程者 十分爱好该课程者 合计男性女性合计 100附： ，na+b+c+dP（K 2k 0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.0
31、24 6.635 10.828【分析】 （1）根据平均数的公式进行计算即可（2）利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可（3）完成 22 列联表，计算 K2 的值，利用独立性检验的性质进行判断即可【解答】解：（1）由题意知，在 100 位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值为 （7.518+12.512+17.59+22.5 9+27.56+32.54+37.52）16.92；所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为 16.92（ 2）设“所抽取的 2 人购买的学时数都不低于 15 为事件 A，依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为5，10） ， l0
32、，15） ，15 ，20）的女性客户中抽取 1 人（设为 a） ，2 人（设为 A，B）4 人， （设为 c1，c 2，c 3，c 4） ，从 7 人中随机抽取 2 人所包含的基木事件为：aA，aB，ac 1，ac 2，ac 3，ac 4，AB，Ac 1，Ac 2，Ac 3，Ac 4，Bc 1，Bc 2，Bc 3，Bc 4，c 1c2，c1c3，c 1c4，c 2c3，c 2c4，c 3c4，共 21 种，其中事件 A 所包含的基本事件为：c 1c2，c 1c3，c 1c4，c 2c3，c 2c4，c 3c4，共 6 个，则事件 A 发生的概率 P （3）依题意得 22 列联表如下 非十分爱好
33、该课程者 十分爱好该课程者 合计男性 48 12 60女性 16 24 40合计 64 36 100则 16.66710.828故有 99.9%6 的把握认为“十分爱好该课程者 ”与性別有关【点评】本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键考查学生的计算能力20 （12 分）已知椭圆 的一个焦点为 F（1，0） ，点在 C 上（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 l：y x+m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，问 y 轴上是否存在点 M，使得ABM 是以 M 为直角顶点的等腰直角三角形？若在在，求点 M 的坐标：若不存在，说明理由【分析】 （1）先求出
34、 c 的值，再根据 + 1，又 a2b 2+c2b 2+1，即可得到椭圆的方程，（2）假设 y 轴上存在点 M（0，t） ，ABM 是以 M 为直角顶点的等腰直角三角形，设A（x 1， y1） ，B（x 2，y 2） ，线段 AB 的中点为 N（x 0，y 0） ，根据韦达定理求出点 N 的坐标，再根据 AMBM ，MNl ，即可求出 m 的值，可得点 M 的坐标【解答】解：（1）由题意可得 c1，点 在 C 上， + 1，又 a2b 2+c2b 2+1，解得 a24，b 23，椭圆 C 的方程为 + 1，（2）假设 y 轴上存在点 M（0，t） ，ABM 是以 M 为直角顶点的等腰直角三角形
35、，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，线段 AB 的中点为 N（x 0，y 0） ，由 ，消去 y 可得 7x2+8mx+4m2120，64m 228（4m 212）16（213m 2）0，解得 m27，x 1+x2 ，x 1x2 ，x 0 ，y 0x 0+m ，N（ ， ） ，依题意有 AMBM ，MNl，由 MNl，可得 11，可得 t ，由 AMBM 可得 1，y 1x 1+m，y 2x 2+m，代入上式化简可得 2x1x2+2（m t） （x 1+x2）+ （m t） 20，则 （ ） 2+（ ） 20，解得 m ，当 m 时，点 M（0， ）满足题意，当 m 时，点
36、M（0， ）满足题意【点评】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）e x1 +a，g（x ）lnx，其中 a2（1）讨论函数 yf（x）与 yg（x）的图象的交点个数；（2）若函数 yf（x）与 yg（x）的图象无交点，设直线 yt 与的数 yf（x）和yg（x）的图象分别交于点 P，Q 证明：|PQ|a+1【分析】 （1）原问题等价于求解方程 ex1 +alnx 根的个数，据此构造函数，分类讨论即可确定交点的个数；（2）由（1）可知，当函数 yf （x）与 yg（x）的图象无交点时，a1，据此构造函数证
37、明题中的不等式即可【解答】解：（1）函数 yf （x）与 yg（x）的图象交点个数即方程 ex1 +alnx 根的个数，设 F（x ）e x1 +alnx，x 0则 在（0，+）上单调递增，且 F（1）0当 x（0，1）时， F（x）F （1）0，则 F（x）在（0，1）上单调递减；当 x（1，+）时，F （x）F（1）0，则 F（x）在（1，+）上单调递增所以，当 x1 时，F （x ） minF（1）l+a当 a+10，即 a1 时，函数 F（x）无零点，即函数 yf（x）与 yg（x）的图象无交点；当 a1 时，函数 F（x ）有一个零点，即函数 yf（x）与 yg（x）的图象有一个交点
38、；当2a1 时， 又 F（1）1+a0F（3）e 2+aln3e 22ln 3e 240，所以 F（x）e x1 +alnx 在（e a，1）和（1，3）上分别有一个零点所以，当2a1 时，F（x）有两个零点，即函数 yf（x）与 yg（x）的图象有两个交点综上所述：当 a1 时，函数 yf （x）与 yg（x）的图象的交点个数为 0；当 a1 时，函数 yf（x）与 yg（x）的图象的交点个数为 1；当2a1 时，函数 yf （x）与 yg（x）的图象的交点个数为 2（2）由（1）可知，当函数 yf （x）与 yg（x）的图象无交点时，a1设 P（m，t） ，Q（n，t） ，由 得 m1+
39、In（t a） ，由 lnt 得 ne t，|PQ|nm| |e tln（ta）1| 设 h（t）e tln（ta）1，先证明不等式 et1+t，再证明 tIn（t a）a+1 ，t （ a，+） 设 p（t）e t1t则 p（ t）e t1当 t（0，+）时，p （t）e t10，p（t）e t1 t 在（0，+）上单调递增，当 t（，0）时，p （t）e t10，p（t ）e t1 t 在（，0）上单调递减，所以 p（t）p（0）0，即 e1+t设 q（t）tln（ta）a1则 当 t（a，a+1）时，q （t）0，q（t ）单调递减：当 t（a+1，+）时，q （ t）0，q（t ）单调
40、递增所以 q（t）q（a+1）0，即 t1n（ta）a+1所以 h（t）e tln（ta）11+tln （ta）1tln（t a）a+1因为 ta+1 时， tln（ta）a+1 中等号成立，t0 时， etl+t 中等号成立，而 ta+10，所以等号不能同时成立所以 h（t）e tln（ta）1a+1所以 IPQla+1【点评】本题主要考查导数研究函数零点的个数，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在直角坐标系 xO
41、y 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2 的极坐标方程为（a R） （1）写出曲线 C1 的普通方程和直线 C2 的直角坐标方程；（2）若直线 C2 与曲线 C1 有两个不同交点，求 a 的取值范围【分析】 （1）利用平方关系消去参数 t 可得 C1 的普通方程，利用 xcos，y sin可得 C2 的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得【解答】解：（1）曲线 C1 的普通方程为 y1x 2（1x1） ，把 xcos ，ysin 代入 （cos asin ） ，得直线 C2 的直角坐标方程为 yax ，即 axy+ 0，
42、（2）由直线 C2：ax y+ 0，知 C2 恒过点 M（0， ） ，由 y1x 2（1x 1） ，当 时，得 x1，所以曲线 C1 过点 P（1，0 ） ，Q（1，0） ，则直线 MP 的斜率为 k1 ，直线 MQ 的斜率 k2 ，因为直线 C2 的斜率为 a，且直线 C2 与曲线 C1 有两个不同的交点，所以 k2ak 1，即 ，所以 a 的取值范围为 ， 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|x +a|2 x1|（1）当 a1 时，求不等式 f（x ）0 的解集；（2）若 a0，不等式 f（x ）1 对 xR 都成
43、立，求 a 的取值范围【分析】 （1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得 1f（x ） max，由绝对值不等式的性质可得 f（x）的最大值，解不等式可得所求范围【解答】解：（1）函数 f（x）|x+1|2 x1|，f（x）0 即为 |x+1|2x1|，可得（x+1+2x 1） （x+1 2x+1）0，即 3x（x2）0，解得 0x 2，则原不等式的解集为（0，2） ；（2）若 a0，不等式 f（x ）1 对 xR 都成立，即有 1f（x） max，由 f（x）|x+a|2x1| x+a|x |x |x +ax + |0| a+ |，可得 f（x）的最大值为 |a+ |a+ ， （a0） ，则 a+ 1，解得 0a 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题
