1、2019 年湖北省武汉市高考数学模拟试卷（理科） （5 月份）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A1， 2，3，4 ，Bx|（x +1） （x3）0，则 AB（ ）A1 ，2 B2 ，4 C1 ，2，4 D2 （5 分）已知 F1（3，0） ，F 2（3，0） ，若点 P（x ，y ）满足|PF 1| PF2|6，则 P 点的轨迹为（ ）A椭圆 B双曲线C双曲线的一支 D一条射线3 （5 分）在复平面内，给出以下说法：实轴上的点表示的数均为实数；虚轴上的点表示的数均为纯虚数；共扼复数的实部相等
2、，虚部互为相反数其中说法正确的个数为（ ）A0 B1 C2 D34 （5 分）已知 a0.2 4，b0.3 2，c0.4 3，则（ ）Abac Bacb Ccab Dabc5 （5 分）已知 m，n 是两条不同直线， ， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A若 ，则 B若 m，n，则 mnC若 m ， n，则 m n D若 m，m ，则 6 （5 分）某变量 X 的总体密度曲线为 y sin （0x2） ，变量 T 的总体密度曲线为 y |cos |（0x2 ） ，在同一直角坐标系中作两曲线如图所示，图中两阴影区域分别记作、，在矩形 OABC 区域内任取点 P，点 P 落在区域 I 或区
3、域的概率为（ ）A B C D7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输人 n 的值为 4，则输出 S 的值为（ ）A34 B98 C258 D6428 （5 分）某班星期二上午有五节课，下午有三节课，安排的课程有语文，数学，英语，物理，化学，生物，体育，其中数学是上午或下午连续的两节课，其余课程各一节，现将体育课安排在下午的第三节，则不同的安排方案有（ ）A120 B480 C600 D7209 （5 分）函数 f（x ）A sin（x） ，其部分图象如图所示，则 f（x）的表达式是（ ）A BC D10 （5 分）已知（2 ） n（n2，n N） ，展开式中 x 的系数为 f（n） ，则+
4、 + + 等于（ ）A B C D11 （5 分）已知点 P（x ，y ）是约束条件 ，表示的平面区域内任意一点，如果点 P（x，y）落在不等式 xy+a0 所表示的平面区域的概率不小于 ，则实数 a的取值范围为（ ）A （，1 B （，1 C1 ，+） D 1，+）12 （5 分）设函数 f（x ） ，则 y2f（f （x ） ）f （x）的取值范围为（ ）A （，0 B0 ， C ，+） D （， 0 ，+）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 （l，2） ， （2，1） ， （1，n） ，若（2 3 ） ，则n 14 （5 分）已知抛物线
5、C：y 24 x 的焦点是双曲线 E：x 2y 2a 2 右焦点，则双曲线 E的标准方程为 15 （5 分）等差数列a n中，首项 a11，末项 an31，若公差 d 为正整数，则项数 n 的不同取值有 种16 （5 分）已知点 P 为半径等于 2 的球 O 球面上一点，过 OP 的中点 E 作垂直于 OP 的平面截球 O 的截面圆为圆 E，圆 E 的内接ABC 中，ABC90，点 B 在 AC 上的射影为 D，则三棱锥 PABD 体积的最大值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 一 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题考生根
6、据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）如图，在ABC 中，BC 4，AC 5，AB 6，D 在边 AB 上，CD 为ABC的角平分线（1）求 CD 的长；（2）求ACD 的面积18 （12 分）如图 l，直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABAD，AB2AD 2DC6 ；如图 2，将图 l 中DAC 沿 AC 折起，使得点 D 在面 ABC 上的正投影 G 在ABC 内部，点 E 为 AB 的中点，连接 DB，DE，三棱锥 D 一 ABC 的体积为 12 对于图 2 的几何体：（l）求证：DEAC；（2）求 DB 与面 DAC 所成角的余弦值19 （12 分）如图，O 为坐标
7、原点，椭圆 C： + 1（ab0）的焦距等于其长半轴长，M ， N 为椭圆 C 的上、下顶点，且| MN|2（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 P（0，l）作直线 l 交椭圆 C 于异于 M，N 的 A，B 两点，直线 AM，BN 交于点 T求证：点 T 的纵坐标为定值 320 （12 分）某市房管局为了了解该市市民 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间购买二手房情况，首先随机抽样其中 200 名购房者，并对其购房面积 m（单位：平方米，60m130）进行了一次调查统计，制成了如图 1 所示的频率分布直方图，接着调查了该市 2018 年 1 月至 2019 年 l 月期间当月在售
8、二手房均价 y（单位：万元/平方米） ，制成了如图 2 所示的散点图（图中月份代码 113 分别对应 2018 年 1 月至 2019 年 1 月）（l）试估计该市市民的平均购房面积 ；（2）从该市 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间所有购买二手房的市民中任取 3 人，用频率估计概率，记这 3 人购房面积不低于 100 平方米的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望；（3）根据散点图选择 和 两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为 0.9369+0.0285 和 0.9554+0.0306lnx，并得到一些统计量的值，如表所示：0.9369+0.0285 0.95
9、54+0.03061 lnx（y i ） 20.000591 0.000164（y i ） 20.006050请利用相关指数矿判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测 2019年 6 月份的二手房购房均价（精确到 0.001） 参考数据：ln20.69，ln31.10，ln72.83，ln192.94， 1.41， 1.73， 4.12，4.36参考公式：R 21 21 （12 分） （1）求证：x0 时，cosx1 x2 恒成立；（2）当 a1 时，x 0，+ ） ，证明不等式 xeax+xcosx+1（1+sinx） 2 恒成立（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23
10、 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4 一 4：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为8sin +6cos（1）求 C2 的直角坐标方程；（2）已知 P（1，3） ，C 1 与 C2 的交点为 A，B，求|PA |PB|的值选修 4 一 5：不等式选讲23设函数 f（x ）|2x +a|+|x1|3（1）当 a4 时，求不等式，f（x ）6 的解集；（2）若关于 x 的不等式 f（x）2 恒成立，求实数 a 的取值范围2019 年湖
11、北省武汉市高考数学模拟试卷（理科） （5 月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A1， 2，3，4 ，Bx|（x +1） （x3）0，则 AB（ ）A1 ，2 B2 ，4 C1 ，2，4 D【分析】先求出集合 A 和 B，由此能求出 AB【解答】解：集合 A1， 2，3，4 ，B x|（x+1） （ x3）0x|1x3，AB1，2故选：A【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）已知 F1（3，0） ，F 2（3
12、，0） ，若点 P（x ，y ）满足|PF 1| PF2|6，则 P 点的轨迹为（ ）A椭圆 B双曲线C双曲线的一支 D一条射线【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，判断选项即可【解答】解：F 1（3，0） ，F 2（3，0） ，动点 P 满足| PF1| PF2|6，因为|F 1F2|6，则点 P 的轨迹是一条射线故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线定义的应用，是基础题3 （5 分）在复平面内，给出以下说法：实轴上的点表示的数均为实数；虚轴上的点表示的数均为纯虚数；共扼复数的实部相等，虚部互为相反数其中说法正确的个数为（ ）A0 B1 C2 D3【分析】由复平面的概念和实轴、虚
13、轴，以及共轭复数的概念，即可判断【解答】解：在复平面内，由于 x 轴为实轴，实轴上的点表示的数均为实数，故正确；y 轴为虚轴，除原点外，虚轴上的点表示的数均为纯虚数，故不正确；，共扼复数的实部相等，虚部互为相反数，故 正确故选：C【点评】本题考查复平面的概念，以及实轴、虚轴上的点表示的数，共轭复数的概念，考查判断能力，属于基础题4 （5 分）已知 a0.2 4，b0.3 2，c0.4 3，则（ ）Abac Bacb Ccab Dabc【分析】利用幂的意义，求出各个式子的具体值，可得结论【解答】解：a0.2 40.04 20.0016，b0.3 20.09，c0.4 30.064，bca，故选：
14、B【点评】本题主要考查幂的意义，求出各个式子的具体值，可得结论，属于基础题5 （5 分）已知 m，n 是两条不同直线， ， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A若 ，则 B若 m，n，则 mnC若 m ， n，则 m n D若 m，m ，则 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：若 ，则 与 相交或平行，故 A 错误；若 m，n，则由直线与平面垂直的性质得 mn，故 B 正确；若 m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 C 错误；若 m，m，则 与 相交或平行，故 D 错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养6 （
15、5 分）某变量 X 的总体密度曲线为 y sin （0x2） ，变量 T 的总体密度曲线为 y |cos |（0x2 ） ，在同一直角坐标系中作两曲线如图所示，图中两阴影区域分别记作、，在矩形 OABC 区域内任取点 P，点 P 落在区域 I 或区域的概率为（ ）A B C D【分析】利用定积分分别求出区域、的面积，再求出矩形面积，由测度比是面积比得答案【解答】解：区域的面积 S1 ；区域的面积 S2 区域 I 或区域的面积和为 矩形 OABC 区域的面积 S 点 P 落在区域 I 或区域的概率为 P 故选：B【点评】本题考查定积分与几何概型概率的求法，考查计算能力，是中档题7 （5 分）执行
16、如图所示的程序框图，若输人 n 的值为 4，则输出 S 的值为（ ）A34 B98 C258 D642【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：若 n4，i1， S122，i 4，是，i2，S2+2 222+810，i 4，是，i3，S10+3 2334，i4，是，i4，S34+4 2498，i4，是i5，S98+5 25258，i4，否，输出 S258，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键8 （5 分）某班星期二上午有五节课，下午有三节课，安排的课程有语文，数学，英语，物理，化学，生物，体育，其中数学是上午或下午连续的两节课，其余课程各一节，
17、现将体育课安排在下午的第三节，则不同的安排方案有（ ）A120 B480 C600 D720【分析】根据元素优先法先排数学，其余学科全排列即可【解答】解：若数学安排下午，只能安排，6，7 节，其余 5 节课全排列有 A 120，若数学安排上午，可以是 12，23，34，45，共 4 种，其余 5 节课全排列有4A 4120480，共有 120+480600 种，故选：C【点评】本题主要考查排列的简单计数问题，根据元素优先法先满足数学是解决本题的关键9 （5 分）函数 f（x ）A sin（x） ，其部分图象如图所示，则 f（x）的表达式是（ ）A BC D【分析】由三角函数图象的性质及三角函数
18、图象的作法得： ，即 ，由“五点作图法 ”得：2 ，所以 ，又 f（0）1，所以 A ，即可得解【解答】解：由图可知，x（ ） 时，函数图象为 y 轴左边第一个最低点，即 ，所以 T，所以 ，由“五点作图法”得：2 ，所以 ，又 f（0）1，所以 A ，即 f（x） sin（2x ） ，故选：B【点评】本题考查了三角函数图象的性质及三角函数图象的作法，属中档题10 （5 分）已知（2 ） n（n2，n N） ，展开式中 x 的系数为 f（n） ，则+ + + 等于（ ）A B C D【分析】利用二项式展开式的通项公式求得 f（n）的解析式，再化简要求的式子，用裂项法求和得出结果【解答】解：（2
19、 ） n（n2，n N） ，展开式中 x 的系数为 f（n） 2n2 ，则+ + + + + + 2+ +2+ + + 2+ + +2+4（ + + ）2+4（ ） ，故选：B【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，用裂项法进行求和，属于中档题11 （5 分）已知点 P（x ，y ）是约束条件 ，表示的平面区域内任意一点，如果点 P（x，y）落在不等式 xy+a0 所表示的平面区域的概率不小于 ，则实数 a的取值范围为（ ）A （，1 B （，1 C1 ，+） D 1，+）【分析】画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内三角
20、形部分的面积，利用特殊值法，转化代入几何概型计算公式，即可得到结果【解答】解：满足约束条件 ，区域为ABO 内部（含边界） ，与不等式 xy+a0 的公共部分如图中多边形部分所示根据方程可得：A（0，2） ，B（2，0） ，C （6，6） ，|OA|2，|OB |2，C 到 AB 的距离为： 5 SACB 10，当 a1 时，D （ ， ） ，E（3，4） ，SADE ，此时 点 P（x ，y）落在不等式 xy+a0 所表示的平面区域的概率不小于 ，可得 a1故选：C【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N（A ） ，
21、再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据概率公式求解12 （5 分）设函数 f（x ） ，则 y2f（f （x ） ）f （x）的取值范围为（ ）A （，0 B0 ， C ，+） D （， 0 ，+）【分析】作出 yf（x）的图象，可得 f（x ）的最小值为 ，设 tf （x） ，t ，即有y2f（t）t，讨论 t 的范围，结合额图象和单调性可得所求范围【解答】解：作出 yf（x）的图象，可得 f（x ）的最小值为 ，设 tf（x） ，t ，即有 y2f（t）t，当 t1 时，y 2 t0；当 t1 时，y 22 t t 在 ，1递减，可得 y0， 综上可得函数 y 的范围是0 ， 故
22、选：B【点评】本题考查分段函数的图象和性质，考查换元法和分类讨论思想，化简运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 （l，2） ， （2，1） ， （1，n） ，若（2 3 ） ，则n 4 【分析】可求出 ，根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 n【解答】解： ； ； ；n4故答案为：4【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积、减法和数乘的坐标运算14 （5 分）已知抛物线 C：y 24 x 的焦点是双曲线 E：x 2y 2a 2 右焦点，则双曲线 E的标准方程为 x 2y 21 【分析】由题意可得，双曲线的一个焦
23、点为（ ，0） ，再根据离心率为，求得 a 的值，从而可得 b2 的值，从而得到双曲线 E 的标准方程【解答】解：抛物线 C：y 24 x，此抛物线的焦点 F（ ，0）故双曲线的一个焦点为（ ，0） 故对于双曲线，c2， 可得：a1故要求的双曲线 E 的标准方程：x 2y 21故答案为：x 2y 21【点评】本题主要考查抛物线、双曲线的定义、性质和标准方程，属于中档题15 （5 分）等差数列a n中，首项 a11，末项 an31，若公差 d 为正整数，则项数 n 的不同取值有 7 种【分析】根据题意，由等差数列的通项公式可得 ana 1（n1）d30，变形可得d ，结合 d 为正整数，分析可得
24、答案【解答】解：等差数列a n中，首项 a11，末项 an31 且公差 d 为整数，则 ana 1（n1）d30，变形可得 d ，又由 n3，则 n3 时，d2，当 n4 时，d10，当 n6 时，d6，当 n7 时，d5，当 n11 时，d3，当 n16 时，d2，当 n31 时，d1；则项数 n 的不同取值有 7 种；故答案为：7【点评】本题考查等差数列的定义以及通项公式，属于基础题16 （5 分）已知点 P 为半径等于 2 的球 O 球面上一点，过 OP 的中点 E 作垂直于 OP 的平面截球 O 的截面圆为圆 E，圆 E 的内接ABC 中，ABC90，点 B 在 AC 上的射影为 D，
25、则三棱锥 PABD 体积的最大值为 【分析】由题意画出图形，求出三棱锥的高，利用导数求出底面三角形 ABD 的最大值，则三棱锥 PABD 体积的最大值可求【解答】解：如图，点 P 为半径等于 2 的球 O 球面上一点，过 OP 的中点 E 作垂直于 OP 的平面截球 O 的截面圆为圆 E，圆 E 的内接ABC 中，ABC90，点 B 在 AC 上的射影为 D，由题意，PEOE 1，AECE ，PA PBPC2，ABC 90，过 B 作 BDAC 于 D，设 ADx ，则 CD2 x ，再设 BDy，由BDCADB，可得 ，y ，则 ，令 f（x）x 4+2 ，则 ，由 f（x）0 ，可得 x
26、，当 x 时，f（x） max ，ABD 面积的最大值为 ，则三棱锥 PABD 体积的最大值是 故答案为： 【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 一 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）如图，在ABC 中，BC 4，AC 5，AB 6，D 在边 AB 上，CD 为ABC的角平分线（1）求 CD 的长；（2）求ACD 的面积【分析】 （1）在ABC 中，
27、由余弦定理可求 cosACB 的值，利用同角三角函数基本关系式可求 sinACB 的值，由角平分线的性质及二倍角的余弦函数公式可求 sinACD，根据三角形的面积公式即可求得 CD 的值（2）由（1）利用三角形的面积公式可求 SACD 的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）在ABC 中，BC4，AC 5，AB6，由余弦定理可得：cosACB ，sinACB ，CD 为ABC 的角平分线，ACDBCD，12sin 2ACDcosACB ，sinACD ，S ABC S ACD +SBCD ，即： +，解得 CD 6 分（2）由（1）可得：S ACD 12分【点评】本题主要考查了余弦定理
28、，同角三角函数基本关系式，角平分线的性质及二倍角的余弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18 （12 分）如图 l，直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABAD，AB2AD 2DC6 ；如图 2，将图 l 中DAC 沿 AC 折起，使得点 D 在面 ABC 上的正投影 G 在ABC 内部，点 E 为 AB 的中点，连接 DB，DE，三棱锥 D 一 ABC 的体积为 12 对于图 2 的几何体：（l）求证：DEAC；（2）求 DB 与面 DAC 所成角的余弦值【分析】 （1）在图 1 中作 AB 的中点 E，在图 1、图 2 中，取 AC 的中点
29、 F，连结DF、CE、EF，则 DAC，EAC 均为等腰直角三角形，推导出 AC面 DEF，由此能证明 DEAC（2）推导出 DGAG，DG GC，EG 垂直平分 AC，E， F，G 共线，以 G 为原点，过G 为 z 轴，GM、GE、GD 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 DB 与面 DAC 所成角的余弦值【解答】证明：（1）在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABCD，AB2AD 2DC 6，在图 1 中作 AB 的中点 E，在图 1、图 2 中，取 AC 的中点 F，连结 DF、CE、EF ，则DAC，EAC 均为等腰直角三角形，ACDF，ACEF ，
30、又 DFEF F，AC面 DEF，又 DE面 DEF，DEAC解：（2）DG面 ABC， DGAG ，DGGC，DADC，GAGC，G 在 AC 的中垂线上，EG 垂直平分 AC，又 F 为 AC 中点，E，F ，G 共线，AB2AD 2DC 6 ， ABC 是等腰直角三角形， 18， 12 ，解得 DG2 ，在等腰直角DAC 和等腰直角EAC 中，EFDF 3，在 Rt DGF 中，GF 1，以 G 为原点，过 G 为 z 轴，GM、GE 、GD 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（3，1，0） ，B（3，5，0） ，C （3，1，0） ，D（0，0，2 ） ，则 （
31、3，5，2 ） ， （3，1，2 ） ， （3，1，2 ） ，设面 DAC 的法向量 （x，y，z） ，则 ，令 z1，则 （0，2 ，1） ，cos ，DB 与面 DAC 所成角的余弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）如图，O 为坐标原点，椭圆 C： + 1（ab0）的焦距等于其长半轴长，M ， N 为椭圆 C 的上、下顶点，且| MN|2（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 P（0，l）作直线 l 交椭圆 C 于异于 M，N 的 A，B 两点，直线 AM，BN 交于点
32、 T求证：点 T 的纵坐标为定值 3【分析】 （1）建立方程求出 ab，c 的值即可；（2）通过联立方程组，建立 AM、BN 的方程，再次联立 AM、BN 的方程求出交点 T 的纵坐标【解答】解：（1）由题意可知： ，又 a2b 2+c2，有 ，故椭圆 C 的方程为： （2）由题意知直线 l 的斜率存在，设其方程为 ykx+1 ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （x 10，x 20） ，得（4k 2+3）x 2+8kx80，且有 x1+x2kx 1x2， ，故 故点 T 的纵坐标为 3【点评】本题主要考查椭圆的性质与方程，直线与圆的位置关系，属于中档题目20 （12 分）某市
33、房管局为了了解该市市民 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间购买二手房情况，首先随机抽样其中 200 名购房者，并对其购房面积 m（单位：平方米，60m130）进行了一次调查统计，制成了如图 1 所示的频率分布直方图，接着调查了该市 2018 年 1 月至 2019 年 l 月期间当月在售二手房均价 y（单位：万元/平方米） ，制成了如图 2 所示的散点图（图中月份代码 113 分别对应 2018 年 1 月至 2019 年 1 月）（l）试估计该市市民的平均购房面积 ；（2）从该市 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间所有购买二手房的市民中任取 3 人，用频率估计概率
34、，记这 3 人购房面积不低于 100 平方米的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望；（3）根据散点图选择 和 两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为 0.9369+0.0285 和 0.9554+0.0306lnx，并得到一些统计量的值，如表所示：0.9369+0.0285 0.9554+0.03061 lnx（y i ） 20.000591 0.000164（y i ） 20.006050请利用相关指数矿判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测 2019年 6 月份的二手房购房均价（精确到 0.001） 参考数据：ln20.69，ln31.10，ln72.83
35、，ln192.94， 1.41， 1.73， 4.12，4.36参考公式：R 21 【分析】 （1）由频率分布直方图能估计该市市民的平均购房面积 （2）每一位市民购房面积不低于 100 平方米的概率为0.20+0.15+0.050.4，XB （ 3，0.4） ，由此能求出 X 的分布列与数学期望（3）设模型 0.9369+0.0285 和 0.9554+0.0306lnx 的相关指数分别为 ，求出 ，从而模型 0.9554+0.0306lnx 的拟合效果更好，由此能求出结果【解答】解：（1）650.05+750.1+85 0.2+950.25+1050.2+1150.15+1250.0596（
36、2）每一位市民购房面积不低于 100 平方米的概率为 0.20+0.15+0.050.4，XB（3，0.4） ，P（Xk） ， （k 0，1，2，3） ，P（X0）0.6 30.216，P（X1） 0.432，P（X2） 0.288，P（X3）0.4 30.064，X 的分布列为：X 0 1 2 3P 0.216 0.432 0.288 0.064E（X）30.41.2（3）设模型 0.9369+0.0285 和 0.9554+0.0306lnx 的相关指数分别为 ，则 1 ， ， ，模型 0.9554+0.0306lnx 的拟合效果更好，2019 年 6 月份对应的 x18， 0.9554+
37、0.0306ln180.9554+0.0306（ln 2+2ln3）1.044 万元/平方米【点评】本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21 （12 分） （1）求证：x0 时，cosx1 x2 恒成立；（2）当 a1 时，x 0，+ ） ，证明不等式 xeax+xcosx+1（1+sinx） 2 恒成立【分析】 （1）令 f（x ）cosx 1+ x2，x0，+） ，f（0）0利用导数研究其单调性即可证明（2）由（1）可得：cosx1 x2，xsin x，在 x0，+ ）上恒成立又当 a1 时，x
38、0，+） ，xe axxe x因此当 a1 时，x 0，+ ） ，证明不等式xeax+xcosx+1 （1+sin x） 2 恒成立xe x+x（1 x2）+1（1+x） 2，x0 ，+ ） ，ex（ x2+x+1）0，x 0，+ ） ，令 g（x ）e x（ x2+x+1） ，x0，+） ，g（0）0利用导数研究其单调性即可证明【解答】证明：（1）令 f（x）cos x1+ x2，x0，+） ，f（0）0f（x）sinx +x，令 u（x）xsinx，x 0，+） ，u（0）0则 u（x）1cos x0，函数 u（x）在 x0，+）上单调递增，u（x ）u（ 0）0函数 f（x）在 x0，+
39、）上单调递增，f（x ）f（ 0）0因此 x0 时，cos x1 x2 恒成立（2）由（1）可得：cosx1 x2，xsin x，在 x0，+ ）上恒成立又当 a1 时，x 0，+ ） ，xe axxe x当 a1 时，x 0，+ ） ，证明不等式 xeax+xcosx+1（1+sinx） 2 恒成立xex+x（1 x2）+1（1+x） 2，x0 ，+） ，ex（ x2+x+1）0，x 0，+ ） ，令 g（x）e x（ x2+x+1） ，x0，+ ） ，g（0）0g（x）e xx 1，x 0， +） 令 h（x）e xx 1，x 0， +） ，h（0）0h（x）e x10，只有当 x0 时取
40、等号，g（x）0，在 x0，+）上恒成立g（x）0 在 x0，+）上恒成立当 a1 时，x 0，+ ） ，证明不等式 xeax+xcosx+1（1+sinx） 2 恒成立【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4 一 4：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方
41、程为8sin +6cos（1）求 C2 的直角坐标方程；（2）已知 P（1，3） ，C 1 与 C2 的交点为 A，B，求|PA |PB|的值【分析】 （1）把已知方程两边同时乘以 ，结合 2x 2+y2，x cos，ysin 即可得到曲线 C 的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，化为关于 t 的一元二次方程，利用根与系数的关系求解【解答】解：（1）由 8sin +6cos，得 28 sin+6cos，x 2+y26x8y0，即（x3） 2+（y4） 225；（2）把 代入（x3） 2+（y4） 225，得 t 1t220则|PA| |PB|t 1t2|20【点
42、评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程中参数 t 几何意义的应用，是中档题选修 4 一 5：不等式选讲23设函数 f（x ）|2x +a|+|x1|3（1）当 a4 时，求不等式，f（x ）6 的解集；（2）若关于 x 的不等式 f（x）2 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）由绝对值不等式解法，讨论 x1，x2，2x1，去掉绝对值，解不等式，求并集即可；（2）由绝对值不等式的性质求得 f（x ）的最小值，再由恒成立思想，解不等式可得 a的范围【解答】解：（1）当 a4 时，f（x ）6 即为|2x+4|+|x 1|9，当 x1 时，2x+4+x19，解得 1x2；当 x2 时，2x 4+1 x9，解得4x2；当2x1 时，2x +4+1x9，解得2x1，综上可得4x2，即有 f（x）6 的解集为 4，2；（2）由 f（x） |2x+a|+|x1|3，|x + |+|x+ |+|x1|30+|（x+ ）（x1）| 3|1+ |3， （当且仅当 x 时取得等号） ，关于 x 的不等式 f（x）2 恒成立，可得 2|1+ |3，即为|1+ |5，解得 a8 或 a12，可得 a 的范围是（，128 ，+） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题
