1、第 1 页（共 30 页）2019 年辽宁省葫芦岛市建昌县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （3 分）下列各数中，比3 小的数是（ ）A2 B0 C1 D42 （3 分）如图是由 6 个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）A B C D3 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D4 （3 分）下列事件中，必然事件是（ ）A八边形的外角和等于 360Ba 2 一定是正数C明天是晴天D垂线最短5 （3 分）下列计算中，正确的是（ ）A （
2、2x 2） 36x 6 Bx 3yxyx 2C （x+y） 2x 2+y2 Dx 2x3x 66 （3 分）下表是今年 3 月 12 日植树节我县 6 个乡镇最高气温近似值（）的统计结果：乡镇 建昌镇 老大杖子 和尚房子 汤神庙 八家子 药王庙第 2 页（共 30 页）最高气温 6 8 8 6 9 8则这几个乡镇该日最高气温近似值的众数和中位数分别是（ ）A6，8 B8，7 C8，8 D8，67 （3 分）如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，BCD 30，OA 3，则扇形 BOD 的面积是（ ）A B2 C D8 （3 分）一次函数 y（k 1）x +2 的图象如图所示，则 k 的取值范围是
3、（ ）Ak0 Bk0 Ck1 Dk 19 （3 分）如图是边长为 1 的正方形网格，A、B、C 、D 均为格点，则四边形的面积为（ ）A7 B10 C D810 （3 分）如图，边长分别为 2 和 4 的两个等边三角形，开始它们在左边重叠，大ABC固定不动，然后把小ABC 自左向右平移，直至移到点 B到 C 重合时停止，设小三角形移动的距离为 x，两个三角形的重合部分的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象是（ ）第 3 页（共 30 页）A BC D二、填空题（本题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分， ）11 （3 分）分解因式：2a 3b8ab 12 （3 分）葫芦岛市 201
4、9 年毕业生约 23000 名，数 23000 用科学记数法表示为 13 （3 分）如图，ABCD， 50，则 的度数是 14 （3 分）关于 x 的一元二次方程 2x2+xk0 的一个根是 x1，则 k 的值是 15 （3 分）有四张背面完全相同的卡片，正面分别写有“自狼山” “龙潭大峡谷” “江西湖”“清泉寺”四个景区的名称，将它们背面朝上，随机抽出一张，抽出“辽西湖”的概率是 16 （3 分）如图，直线 yx+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与反比例函数y （x 0）交于点 C，点 D（1，a）在直线 yx+2 上，连接 OD，OC，若COD135，则 k 的值为 第 4
5、 页（共 30 页）17 （3 分）如图，在矩形 OABC 中，点 A 和点 C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B（9，6） 点D（5，0） ，P 从 A 点出发，沿 ABC 运动，在运动过程中，点 P 坐标为 时，ODP 是等腰三角形18 （3 分）如图，等边三角形 ABC 的边长为 1，顶点 B 与原点 O 重合，点 C 在 x 轴的正半轴上，过点 B 作 BA1AC 于点 A1，过点作 A1B1OA，交 OC 于点 B1；过点 B1 作B1A2AC 于点 A2，过点 A2 作 A2B2OA，交 OC 于点 B2；，按着这个规律进行下去，点 An 的坐标是 三、解答题（第 19 题 10
6、 分，第 20 题 12 分，共 22 分）19 （10 分）先化简，再求值：（ ） ，其中 x2019 0+（ ）1 + tan3020 （12 分）为了适应课程改革的需要，丰富学生业余文化生活，我县某初中决定开展课第 5 页（共 30 页）后服务活动学校就“你最想开展哪种课后服务项目”问题进行了随机问卷调查，调查分为四个类别：A 舞蹈；B绘画与书法；C 球类；D不想参加学校根据调查结果整理并绘制成下面不完整的扇形统计图和条形统计图：请结合图中所给信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示 C 类别的扇形圆心角度数为 （2）补全条形统计图；（3）该校共有 600
7、名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中想参加 B 类活动的人数（4）若甲、乙两名同学，各自从三个课后服务项目中随机选一个参加，请用列表或画树状图的方法求同时选中 A 类活动的概率四、解答题（第 21 题 12 分，第 22 题 12 分，共 24 分）21 （12 分）我市某校为了丰富“课后服务”活动项目，装修了一批舞蹈教室和天文教室，供同学们开展课后活动，并且用 18 万元装修舞蹈教室的个数与用 24 万元装修天文数室的个数相等已知装修 1 个天文教室比装修 1 个舞蹈教室多花 1.5 万元（1）求装修 1 个舞蹈教室和装修 1 个天文教室各需多少万元？（2）该校预计装修这样的舞蹈教室和天
8、文教室共 10 个，投入资金不超过 50 万元，求至多可以装修天文教室多少个？22 （12 分）已知：如图，九年一班在进行方向角模拟测量时，A 同学发现 B 同学在他的北偏东 75方向，C 同学在他的正南方向，这时，D 同学与 BC 在一条直线上，老师觉得他们的站位很有典型性，就组织同学又测出 A、B 距离为 80 米，B、D 两同学恰好在C 同学的东北方向且 ADBD求 C、D 两名同学与 A 同学的距离分别是多少米（结果保留根号） 第 6 页（共 30 页）五、解答题（满分 12 分）23 （12 分）某超市销售一种商品，成本价为 20 元/千克，经市场调查，每天销售量 y（千克）与销售单
9、价 x（元千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于 30 元，且不高于 80 元（1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）如果该超市销售这种商品每天获得 3900 元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？（3）设每天的总利润为 w 元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？六、解答题（满分 12 分）24 （12 分）已知：如图，ABC 中，ACB 90，以 AC 为直径作O ，D 为O 上一点，BDBC，DO 的延长线交 BC 的延长线于点 E（1）求证：BD 是O 的切线；（2）若 DE8，EC4，求 AB 的长七、解答题（满分 12 分）第 7
10、 页（共 30 页）25 （12 分）已知：点 A、B 在MON 的边 OM 上，作 ACOM ，BDOM，分别交 ON于 C、D 两点（1）若MON45如图 1，请直接与出线段 AB 和 CD 的数量关系 将 AOC 绕点 O 逆时针旋转到如图 2 的位置，连接 AB、CD，猜想线段 AB 和 CD 的数量关系，并证明你的猜想（2）若MON（090） ，如图 3，请直接写出线段 OC、OD、AB 之间的数量关系 （用含 的式子表示）八、解答题（满分 14 分）26 （14 分）如图，二次函数 y +bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0） 、与 y 轴交于点C（0，4） ，过点 A 的直线
11、y x+1 与抛物线的另一个交点为 B，D 是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式并直接写出顶点 D 的坐标；（2）如图 1，点 P 是线段 AB 上方抛物线上一动点，求点 P 运动到什么位置时，ABP的面积最大，最大面积是多少？（3）如图 2，设直线 AB 与 y 轴交于点 E点 M 是直线 AB 上的一个动点（不与点A、B 重合） ，当MEC 与AOE 相似时，请直接写出点 M 的坐标第 8 页（共 30 页）2019 年辽宁省葫芦岛市建昌县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
12、）1 （3 分）下列各数中，比3 小的数是（ ）A2 B0 C1 D4【分析】根据 0 大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答【解答】解：4320，比3 小的数是4，故选：D【点评】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记 0 大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小2 （3 分）如图是由 6 个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）A B C D【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中【解答】解：从上面看易得第一层有 3 个正方形，第二层左边有一个正方形故选：B【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视
13、图3 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B第 9 页（共 30 页）C D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合4 （3 分）下列事件中，必然事件是（ ）A八边
14、形的外角和等于 360Ba 2 一定是正数C明天是晴天D垂线最短【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断【解答】解：A、八边形的外角和等于 360时必然事件，符合题意；B、a 2 一定是正数是随机事件，不符合题意；C、明天是晴天是随机事件，不符合题意；D、垂线最短是随机事件，不符合题意；故选：A【点评】本题考查了必然事件的概念解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件5 （3 分）下列计算中，正确的是（ ）A （2x 2） 3
15、6x 6 Bx 3yxyx 2第 10 页（共 30 页）C （x+y） 2x 2+y2 Dx 2x3x 6【分析】各项计算得到结果，即可作出判断【解答】解：A、原式8x 6，不符合题意；B、原式x 2，符合题意；C、原式x 2+2xy+y2，不符合题意；D、原式x 5，不符合题意，故选：B【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键6 （3 分）下表是今年 3 月 12 日植树节我县 6 个乡镇最高气温近似值（）的统计结果：乡镇 建昌镇 老大杖子 和尚房子 汤神庙 八家子 药王庙最高气温 6 8 8 6 9 8则这几个乡镇该日最高气温近似值的众数和中位数分别是（ ）A6，
16、8 B8，7 C8，8 D8，6【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个【解答】解：将图表中的数据按从小到大排列：6，6，8，8，8，9，其中数据 8 出现了三次，出现的次数最多，为众数；8 和 8 处在中间位置，8 为中位数所以这组数据的众数是 8，中位数是 8故选：C【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力一些学生往往对这些概念掌握不清楚而误选其它选项注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所
17、求如果是偶数个则找中间两位数的平均数7 （3 分）如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，BCD 30，OA 3，则扇形 BOD 的面积是（ ）第 11 页（共 30 页）A B2 C D【分析】根据圆周角定理求出BOD，根据扇形面积公式计算即可【解答】解：由圆周角定理得，BOD2BCD60 ，则扇形 BOD 的面积 ，故选：D【点评】本题考查的是扇形面积计算、圆周角定理，掌握扇形面积公式：S 是解题的关键8 （3 分）一次函数 y（k 1）x +2 的图象如图所示，则 k 的取值范围是（ ）Ak0 Bk0 Ck1 Dk 1【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到 k10，然后解不等式即可【解答
18、】解：一次函数图象经过第一、三象限，k10，k1故选：C【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：由于 ykx +b 与 y 轴交于（0，b） ，当 b0 时， （0，b）在 y 轴的正半轴上，直线与 y 轴交于正半轴；当 b0 时， （0，b）在 y 轴的负半轴，直线与 y 轴交于负半轴k 0，b0 时， ykx +b 的图象在一、二、三象限；k0，b0 时，y kx+b 的图象在一、三、四象限；k0，b0 时，ykx+b的图象在一、二、四象限；k0，b0 时，ykx+b 的图象在二、三、四象限9 （3 分）如图是边长为 1 的正方形网格，A、B、C 、D 均为格点，则四边形的面积为（ ）
19、第 12 页（共 30 页）A7 B10 C D8【分析】利用分割法即可解决问题【解答】解：S 四边形 ABCD34 212 1321257，故选：A【点评】本题考查了四边形的面积和网格问题，利用图形得出各边长度是解题关键10 （3 分）如图，边长分别为 2 和 4 的两个等边三角形，开始它们在左边重叠，大ABC固定不动，然后把小ABC 自左向右平移，直至移到点 B到 C 重合时停止，设小三角形移动的距离为 x，两个三角形的重合部分的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象是（ ）A BC D【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状【解答】解：x2 时，两
20、个三角形重叠面积为小三角形的面积，y 2 ，当 2 x4 时，重叠三角形的边长为 4x，高为 （4x） ，y （4x） （4x ） x22 x+4 ，第 13 页（共 30 页）当 x4 时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为 0，故选：C【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，此类题目的图象往往是几个函数的组合体，解题的关键是求出函数关系式二、填空题（本题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分， ）11 （3 分）分解因式：2a 3b8ab 2ab（a+2） （a2） 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式2ab（a 24）2ab（a+2） （a2） ，
21、故答案为：2ab（a+2） （a2） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键12 （3 分）葫芦岛市 2019 年毕业生约 23000 名，数 23000 用科学记数法表示为 2.310 4 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：数 23000 用科学记数法表示为 2.3104故答案为：2.410 4【点评】此题考查科学记数法的表示方法科
22、学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值13 （3 分）如图，ABCD， 50，则 的度数是 130 【分析】直接利用平行线的性质得出1 的度数进而得出答案【解答】解：ABCD， 50，150，则 的度数是：18050 130故答案为：130第 14 页（共 30 页）【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出内错角相等是解题关键14 （3 分）关于 x 的一元二次方程 2x2+xk0 的一个根是 x1，则 k 的值是 1 【分析】把 x1 代入方程 2x2+xk0 得 21k0，然后解关于 k 的方程即可【解答
23、】解：把 x1 代入方程 2x2+xk0 得 21k 0，解得 k1故答案为 1【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解15 （3 分）有四张背面完全相同的卡片，正面分别写有“自狼山” “龙潭大峡谷” “江西湖”“清泉寺”四个景区的名称，将它们背面朝上，随机抽出一张，抽出“辽西湖”的概率是 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数二者的比值就是其发生的概率的大小【解答】解：有四张背面完全相同的卡片，正面分别写有“自狼山” “龙潭大峡谷” “江西湖” “清泉寺”四个景区的名称，将它们背面朝上，随机抽出一
24、张，抽出“辽西湖”的概率是： 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 16 （3 分）如图，直线 yx+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与反比例函数y （x 0）交于点 C，点 D（1，a）在直线 yx+2 上，连接 OD，OC，若COD135，则 k 的值为 8 第 15 页（共 30 页）【分析】作 CHx 轴于 H，如图，先利用一次函数解析式确定 B（0，2） 、A（2，0） ，D（1，3） ，则 BD ，再证明OAB 为等腰直角三角形得到
25、OABABO45，接着证明BODACO，则利用相似比得到 AC2 ，于是利用ACH 为等腰直角三角形求出 CHAH AC2，从而得到 C（4，2） ，然后根据反比例函数图象上点的坐标确定 k 的值【解答】解：作 CHx 轴于 H，如图，当 x0 时，yx +22，则 B（0，2） ；当 y0 时，x+20，解得 x 2，则 A（2，0） ，当 x1 时，yx +23，则 D（1，3） ，BD ，OAOB 2，OAB 为等腰直角三角形，OABABO45，OBD OAC 135， CBH45，COD135，BOD ACO ，BOD ACO ， ，即 ，解得 AC2 ，ACH 为等腰直角三角形，CH
26、AH AC2，C（4，2） ，第 16 页（共 30 页）把 C（4，2）代入 y 得 k4（2）8故选：D【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y （k 为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y ）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk也考查了相似三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质17 （3 分）如图，在矩形 OABC 中，点 A 和点 C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B（9，6） 点D（5，0） ，P 从 A 点出发，沿 ABC 运动，在运动过程中，点 P 坐标为 （9，3）或（ ，6） 时，ODP 是等腰三角形【分析】由矩形的性质可得 ABOC
27、，BCOA ，可得 AD4，分三种情况讨论，由等腰三角形的判定和性质可求解【解答】解：四边形 ABCO 是矩形ABOC，BCOA，BCOA ，点 B（9，6） 点 D（5，0 ） ，AB6，OA BC9，OD 5，AD4若 ODDP 5 ，AP 3第 17 页（共 30 页）点 P（9，3）若 POPD ，即点 P 在 OD 的中垂线上，且在 BC 上，点 P（ ，6）若 ODOP 5 ，则点 P（0，5） ，不合题意故答案为：（9，3）或（ ，6）【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键18 （3 分）如图，等边三角形 ABC 的边长为 1，
28、顶点 B 与原点 O 重合，点 C 在 x 轴的正半轴上，过点 B 作 BA1AC 于点 A1，过点作 A1B1OA，交 OC 于点 B1；过点 B1 作B1A2AC 于点 A2，过点 A2 作 A2B2OA，交 OC 于点 B2；，按着这个规律进行下去，点 An 的坐标是 （ ， ） 【分析】根据ABC 是等边三角形，得到ABACBC1，ABC AACB 60，解直角三角形得到 A（ ， ） ，C（1，0） ，根据等腰三角形的性质得到 AA1A 1C，根据中点坐标公式得到 A1（ ，） ，推出A 1B1C 是等边三角形，得到 A2 是 A1C 的中点，求得 A2（ ， ） ，推出An（ ，
29、） ，即可得到结论【解答】解：ABC 是等边三角形，ABACBC1，ABC AACB 60，A（ ， ） ，C（1，0） ，第 18 页（共 30 页）BA 1AC，AA 1A 1C，A 1（ ， ） ，A 1B1OA ，A 1B1CABC60，A 1B1C 是等边三角形，A 2 是 A1C 的中点，A 2（ ， ） ，同理 A3（ ， ） ，A n（ ， ） ，故答案为：（ ， ） 【点评】本题考查了点的坐标，等边三角形的性质，关键是能根据求出的数据得出规律，题目比较好，但是有一定的难度三、解答题（第 19 题 10 分，第 20 题 12 分，共 22 分）19 （10 分）先化简，再求值
30、：（ ） ，其中 x2019 0+（ ）1 + tan30【分析】先将除法转化为乘法，再利用分配律进行计算，最后将 x 的值化简，代入即可【解答】解：原式 ，当 x2019 0+ + tan3013+ 1 时，第 19 页（共 30 页）原式 2【点评】本题主要考查分式的化简求值、实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识的综合，解决此题的关键是先根据分式的运算性质，将其化简，再将未知数的代入求值20 （12 分）为了适应课程改革的需要，丰富学生业余文化生活，我县某初中决定开展课后服务活动学校就“你最想开展哪种课后服务项目”问题进行了随机问卷调查，调查分为四个类别：A 舞
31、蹈；B绘画与书法；C 球类；D不想参加学校根据调查结果整理并绘制成下面不完整的扇形统计图和条形统计图：请结合图中所给信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了 50 名学生；在扇形统计图中，表示 C 类别的扇形圆心角度数为 108 （2）补全条形统计图；（3）该校共有 600 名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中想参加 B 类活动的人数（4）若甲、乙两名同学，各自从三个课后服务项目中随机选一个参加，请用列表或画树状图的方法求同时选中 A 类活动的概率【分析】 （1）用 A 类别的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用 360乘以 C类别所占的百分比得到 C 类别的扇形圆心角度数；（2）计
32、算出 D 类别人数，然后补全条形统计图；（3）用 600 乘以基本中 B 类人数所占的百分比；（4）画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，找出同时选中 A 类活动的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）510% 50，第 20 页（共 30 页）所以这次统计共抽查了 50 名学生；C 类别的扇形圆心角度数360 108；故答案为 50；108；（2）D 类人数为 50510 1520（人）补全条形统计图为：（3）600 120，所以估计全校学生中想参加 B 类活动的人数为 120 人；（4）画树状图为：共有 9 种等可能的结果数，其中同时选中 A 类活动的结果数为 1，所以同时选中
33、A 类活动的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件B 的概率也考查了统计图四、解答题（第 21 题 12 分，第 22 题 12 分，共 24 分）21 （12 分）我市某校为了丰富“课后服务”活动项目，装修了一批舞蹈教室和天文教室，供同学们开展课后活动，并且用 18 万元装修舞蹈教室的个数与用 24 万元装修天文数室的个数相等已知装修 1 个天文教室比装修 1 个舞蹈教室多花 1.5 万元（1）求装修 1 个舞蹈教室和装修 1 个天文教室各需多少万元？（2）
34、该校预计装修这样的舞蹈教室和天文教室共 10 个，投入资金不超过 50 万元，求至多可以装修天文教室多少个？【分析】 （1）设装修 1 个舞蹈教室需 x 万元，根据题意列出分式方程解答即可；第 21 页（共 30 页）（2）根据题意列出不等式进而解答即可【解答】解：（1）设装修 1 个舞蹈教室需 x 万元，根据题意，得： ，解得：x4.5，经检验 x4.5 是原方程的解，x+1.56，答：装修 1 个舞蹈教室和装修 1 个天文教室各需 4.5 万元和 6 万元；（2）设可以装修天文教室 m 个，根据题意，得：4.5（10m）+6m50，解得：m3 ，因为 m 是正整数，所以 m 的最大整数值为
35、 3，答：最多可以装修天文教室 3 个【点评】本题考查了分式方程解实际问题的运用，一次不等式的运用，解答时得出等式方程是关键22 （12 分）已知：如图，九年一班在进行方向角模拟测量时，A 同学发现 B 同学在他的北偏东 75方向，C 同学在他的正南方向，这时，D 同学与 BC 在一条直线上，老师觉得他们的站位很有典型性，就组织同学又测出 A、B 距离为 80 米，B、D 两同学恰好在C 同学的东北方向且 ADBD求 C、D 两名同学与 A 同学的距离分别是多少米（结果保留根号） 【分析】作 AEBC，利用直角三角形的三角函数解得即可【解答】解：作 AEBC 交 BC 于点 E，则AEBAEC
36、90，第 22 页（共 30 页）由已知，得NAB75，C45，B30，BDAD ，BADB30，ADE60，AB80，AE AB40， ，答：C、D 两名同学与 A 同学的距离分别是 40 米和 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想五、解答题（满分 12 分）23 （12 分）某超市销售一种商品，成本价为 20 元/千克，经市场调查，每天销售量 y（千克）与销售单价 x（元千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于 30 元，且不高于 80 元（1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）如果该超市销售
37、这种商品每天获得 3900 元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？（3）设每天的总利润为 w 元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？【分析】 （1）将点（30，150） 、 （80，100）代入一次函数表达式，即可求解；第 23 页（共 30 页）（2）由题意得：（x20） （x+180）3900，即可求解；（3）由题意得：w（x 20） （x+180）（x100） 2+6400，即可求解【解答】解：（1）将点（30，150） 、 （80，100）代入一次函数表达式得：，解得： ，故函数的表达式为：yx +180；（2）由题意得：（x20） （x+180）390
38、0，解得：x50 或 150（舍去 150） ，故：该商品的销售单价为 50 元；（3）由题意得：w（x 20） （x+180）（x100） 2+6400，10，故当 x100 时，W 随 x 的增大而增大，而 30x80，当 x80 时，W 由最大值，此时，w6400，故销售单价定为 80 元时，该超市每天的利润最大，最大利润 6400 元【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值） ，也就是说二次函数的最值不一定在 x 时
39、取得六、解答题（满分 12 分）24 （12 分）已知：如图，ABC 中，ACB 90，以 AC 为直径作O ，D 为O 上一点，BDBC，DO 的延长线交 BC 的延长线于点 E（1）求证：BD 是O 的切线；（2）若 DE8，EC4，求 AB 的长【分析】 （1）连接 OB，只要证明 ODBD ，利用全等三角形的性质即可证明；第 24 页（共 30 页）（2）设O 的半径为 r在 RtOCE 中，根据 OE2EC 2+OC2，可得（8r）2r 2+42，推出 r3，由 tanE ，可得 BDBC6，再利用勾股定理即可解决问题【解答】 （1）证明：连接 OBCBBD，BOBO ，OC OD，
40、OCBOCD（SSS） ，OCBODB，ACB90，ODB 90 ，ODBD ，又OD 是O 的半径，BD 是 O 的切线（2）解：设O 的半径为 r在 Rt OCE 中， OE 2EC 2+OC2，（8r） 2r 2+42，r3，AC6，ODB OCE 90，tanE ， ，BD6，BC6，在 Rt ABC 中，AB 【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，第 25 页（共 30 页）解题的关键是学会添加常用辅助线七、解答题（满分 12 分）25 （12 分）已知：点 A、B 在MON 的边 OM 上，作 ACOM ，BDOM，分别交 ON于 C、D 两
41、点（1）若MON45如图 1，请直接与出线段 AB 和 CD 的数量关系 CD AB 将 AOC 绕点 O 逆时针旋转到如图 2 的位置，连接 AB、CD，猜想线段 AB 和 CD 的数量关系，并证明你的猜想（2）若MON（090） ，如图 3，请直接写出线段 OC、OD、AB 之间的数量关系 ODOC （用含 的式子表示）【分析】 （1）利用等腰直角三角形的性质即可解决问题如图 2 中，结论： CD AB证明AOBCOD，可得结论（2）如图 3 中，作 CEBD 于 E证明四边形 ABEC 是矩形，解直角三角形即可解决问题【解答】解：（1）如图 1 中，ACOM ，BDOM，OACOBD90
42、，第 26 页（共 30 页）MON45，AOC，BOD 都是等腰直角三角形，OD OBOC OAMCDODOC （OB OA） AB故答案为 CD AB如图 2 中，结论： CD ABAOCBOD45，AOBCOD， ，AOBCOD， ，CD AB（2）如图 3 中，作 CEBD 于 EAOAC，OBBD ，CABABECEB90，四边形 ABEC 是矩形，第 27 页（共 30 页）ABCE，OBCE，ECDMON，CD ，ODOC ，故答案为：ODOC ，【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻
43、找相似三角形解决问题，属于中考压轴题八、解答题（满分 14 分）26 （14 分）如图，二次函数 y +bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0） 、与 y 轴交于点C（0，4） ，过点 A 的直线 y x+1 与抛物线的另一个交点为 B，D 是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式并直接写出顶点 D 的坐标；（2）如图 1，点 P 是线段 AB 上方抛物线上一动点，求点 P 运动到什么位置时，ABP的面积最大，最大面积是多少？（3）如图 2，设直线 AB 与 y 轴交于点 E点 M 是直线 AB 上的一个动点（不与点A、B 重合） ，当MEC 与AOE 相似时，请直接写出点 M 的坐标【分析】 （
44、1）利用待定系数法确定函数解析式；将二次函数解析式转化为顶点式，可以得到顶点 D 的坐标；（2）设与直线 y x+1 平行且相切的直线为 PQ：y x+b，则点 P 为切点时所求三角形面积最大；（3）分两种情况讨论：当 CMx 轴时，MEC 与AOE 相似，当 CMAB 时，MEC 与AOE 相似，第 28 页（共 30 页）【解答】解：（1）二次函数 y +bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0） 、与 y 轴交于点 C（0，4） ， ，解得 ，抛物线的解析式为：y ，顶点 D 的坐标为（ 1， ） （2）设与直线 y x+1 平行且相切的直线为 PQ：y x+b，Q 为 PQ 与 x 轴交
45、点，H 为 PQ 与 y 轴交点，过点 A 作 AGPQ 于点 G，则当点 P 为切点时，ABP 的面积最大， x+b，化简得：x 2x+2b80，14（2b8）0，bx 2x+2 80x 1x 2 ，点 P 坐标为（ ， ） PQ 解析式为：y x+ ，Q（ ，0） ，又 b ，AQ ，OQ ，tanGQA ，sinGQA ，GA ，第 29 页（共 30 页）由 解得 x12，x 23，B（3， ） ，AB ，S ABP ABGA 点 P 运动到（ ， ）时，ABP 的面积最大，最大面积是 （3）由 y x+1 得 E（0，1）A（2，0） 、C（0，4） ， ，当 CMx 轴时，MEC 与AOE 相似，由 OC4，OE 1，可得 CE3，CM6，即点 M 横坐标为 6，代入 y x+1 得 y3，M（6，4） ；当 CMAB 时，MEC 与AOE 相似，由 ，CE3 可得CM ，EM ，由面积法可得 M x ，M（ ， ） 当MEC 与AOE 相似时，点 M 的坐标为（6，4）或（ ， ） 第 30 页（共 30 页）【点评】本题属于二次函数的综合题，既考查了待定系数法求解析式，也考查了动点
