1、第 1 页（共 21 页）人教版九年级下学期27.1 图形的相似同步练习卷一选择题（共 8 小题）1将一个四边形放在 2 倍的放大镜下，则下列说法不正确的是（ ）A四边形的边长扩大为原来的 2 倍B四边形的各角扩大为原来的 2 倍C四边形的周长扩大为原来的 2 倍D四边形的面积扩大为原来的 4 倍2有一块多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为 300cm2，其中一条边的长度为5cm经测量，这条边的实际长度为 20m，则这块草坪的实际面积是（ ）A1200m 2 B2400m 2 C3600m 2 D4800m 23点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB 两段，如果 AP 是 PB 和
2、AB 的比例中项，那么下列式子成立的是（ ）A B C D 4已知 l1l 2l 3，直线 AB 和 CD 分别交 l1、l 2、l 3 于点 A、E、B 和点 C、F、D 若AE 2，BE4，则 的值为（ ）A B C D5如图，l 1l 2，AF：FB 3：5，BC ：CD3：2，则 AE：EC（ ）A5：2 B4：3 C2：1 D3：26如图，点 O 为正五边形 ABCDE 外接圆的圆心，五边形 ABCDE 的对角线分别相交于点P，Q， R，M，N 若顶角等于 36的等腰三角形叫做黄金三角形，那么图中共有（ 第 2 页（共 21 页）个黄金三角形A5 B10 C15 D207如图，在正方
3、形 ABCD 中，AB2，点 E 是 DC 中点，AF 平分EAB，FHAD 交 AE于点 G，则 GH 的长为（ ）A B C D8在欧几里得的几何原本中给出一个找线段的黄金分割点的方法如图所示，以线段AB 为边作正方形 ABCD，取 AD 的中点 E，连结 BE，延长 DA 至 F，使得 EFBE，以AF 为边作正方形 AFGH，则点 H 即是线段 AB 的黄金分割点若记正方形 AFGH 的面积为 S1，矩形 BCIH 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是（ ）AS 1S 2 BS 1S 2 CS 1S 2 D不能确定二填空题（共 8 小题）9如图，已知直线 l1、l 2、l
4、3、l 4、l 5、l 6 是一组等距离平行线，过直线 l1 上一点 O 作两条射线，分别交 l3、l 6 于点 A、C、B 、D ，若 CD6，则 AB 的长为 第 3 页（共 21 页）10若 （k0） ，则 ykx+k2 一定经过第 象限11如图，在ABC 中，点 D 为边 BC 上一点，且 ，点 E 为 AD 的中点，延长 BE交 AC 于点 F，则 12如果 0，那么 的值是 13如图，在ABC 中，ABAC ，A36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，则下列结论中 BCBD AD ；S ABD ：S BCD AD ：DC；BC 2CDAC ；若 AB2，则 BC 1，其中正确的
5、结论的个数是 个14如图，ABC 中，D 在 AC 上，且 AD：DC1：n，E 为 BD 的中点，AE 的延长线交BC 于 F，那么 的值为 （用 n 表示） 15如图所示，ABCDEF，AC 与 BD 相交于点 E，若 CE4，CF3，AEBC，则第 4 页（共 21 页）的值是 16实数 a，n，m，b 满足 anm b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N ，M，B ，若 AM2BM AB，BN 2AN AB，则称 m 为 a，b 的“大黄金数” ，n 为a，b 的“小黄金数” ，当 ba4 时，m n 三解答题（共 4 小题）17已知 a、b、c 是ABC 的三边，且满足 ，且 a+
6、b+c12，请你探索ABC 的形状18我们知道：若 ，且 b+d0，那么 （1）若 b+d0，那么 a、c 满足什么关系？（2）若 ，求 t2t 2 的值19如图 1，我们已经学过：点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 ，那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线” ，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线 l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1，S 2，如果 ，那么称直线 l 为该图形的黄金分割线如图 2，在ABC 中，A36，ABAC ，C 的平分线交 AB 于点 D（1）证明点 D 是
7、AB 边上的黄金分割点；（2）证明直线 CD 是ABC 的黄金分割线第 5 页（共 21 页）20数学课上，张老师出示了问题 1：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，BC1，对角线交点记作 O，点 E 是边 BC 延长线上一点连接 OE 交 CD 边于 F，设 CEx，CFy，求y 关于 x 的函数解析式及其定义域（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线过点 O 作 OMBC ，垂足为 M 求解你认为这个想法可行吗？请写出问题 1 的答案及相应的推导过程；（2）如果将问题 1 中的条件“四边形 ABCD 是正方形，BC1”改为“四边形 ABCD是平行四边形，BC3，CD 2， ”其余条件不
8、变（如图 2） ，请直接写出条件改变后的函数解析式；（3）如果将问题 1 中的条件“四边形 ABCD 是正方形，BC1”进一步改为：“四边形 ABCD 是梯形，ADBC，BCa，CDb，AD c（其中 a，b，c 为常量） ”其余条件不变（如图 3） ，请你写出条件再次改变后 y 关于 x 的函数解析式以及相应的推导过程第 6 页（共 21 页）参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题）1将一个四边形放在 2 倍的放大镜下，则下列说法不正确的是（ ）A四边形的边长扩大为原来的 2 倍B四边形的各角扩大为原来的 2 倍C四边形的周长扩大为原来的 2 倍D四边形的面积扩大为原来的 4 倍【分析】两
9、个图形相似的条件是：对应比边的比相等，对应角相等【解答】解：放大前后的多边形按照比例放大与缩小，因此它们是相似多边形，放大后的倍数就是相似比，选项：A，C，D 正确，故选：B【点评】本题考查相似多边形的判定，对应边的比相等，对应角相等两个条件应该同时成立2有一块多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为 300cm2，其中一条边的长度为5cm经测量，这条边的实际长度为 20m，则这块草坪的实际面积是（ ）A1200m 2 B2400m 2 C3600m 2 D4800m 2【分析】据面积比是比例尺的平方比，即可求得实际面积【解答】解：由题意可知，设草坪的实际面积为 x，又图纸与实际的比例为 0.
10、05：201：400，所以有（1：400） 2300：xx48000000cm 24800m 2所以草坪的实际面积为 2700m2故选：D【点评】本题考查比例线段，比例尺等知识，注意面积比是比例尺的平方比理论与实际相结合，即抓住理论与实际的比例，则可求解；3点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB 两段，如果 AP 是 PB 和 AB 的比例中项，那么下列式子成立的是（ ）第 7 页（共 21 页）A B C D 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（ ）叫做黄金比【解答】解：点 P 把线段 AB 分割成 AP
11、和 PB 两段，AP 是 PB 和 AB 的比例中项，根据线段黄金分割的定义得： 故选：D【点评】考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键4已知 l1l 2l 3，直线 AB 和 CD 分别交 l1、l 2、l 3 于点 A、E、B 和点 C、F、D 若AE 2，BE4，则 的值为（ ）A B C D【分析】由 l1l 2l 3，推出 即可解决问题；【解答】解：l 1l 2l 3， ，故选：B【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型5如图，l 1l 2，AF：FB 3：5，BC ：CD3：2，则 AE：EC
12、（ ）A5：2 B4：3 C2：1 D3：2第 8 页（共 21 页）【分析】依据平行线分线段成比例定理，即可得到AG3x ，BD5x ，CD BD2x，再根据平行线分线段成比例定理，即可得出 AE 与EC 的比值【解答】解：l 1l 2， ，设 AG3x，BD5x ，BC：CD3：2，CD BD2x，AGCD， 故选：D【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例6如图，点 O 为正五边形 ABCDE 外接圆的圆心，五边形 ABCDE 的对角线分别
13、相交于点P，Q， R，M，N 若顶角等于 36的等腰三角形叫做黄金三角形，那么图中共有（ ）个黄金三角形A5 B10 C15 D20【分析】根据正五边形的性质和黄金三角形的定义进行分析【解答】解：根据题意，得图中的黄金三角形有EMR、ARQ 、BQP、CNP、DMN、DER、EAQ 、ABP、 BCN、CDM、DAB、EBC、ECA 、ACD 、BDE，ABR，BQC，CDP，DEN，EAQ，共 20 个第 9 页（共 21 页）故选：D【点评】此题考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义注意：此图中所有顶角是锐角的等腰三角形都是黄金三角形7如图，在正方形 ABCD 中，AB2，点 E 是 DC
14、 中点，AF 平分EAB，FHAD 交 AE于点 G，则 GH 的长为（ ）A B C D【分析】在 RtADE 中，根据勾股定理可求 AE，设 AGx，可得GFx， HG2x，根据相似三角形的性质列出方程求出 x，进一步得到 GH 的长即可求解【解答】解：在正方形 ABCD 中，AB2，点 E 是 DC 中点，DE1，在 Rt ADE 中，AE ，AF 平分EAB，GAFBAF，FHAD ，ABHF CD，AB HF，GFABAF，AGGF ，设 AGx，则 GFx ，GH 2x，则 ，即 ，解得 x ，GH2x2 故选：B第 10 页（共 21 页）【点评】考查了勾股定理，相似三角形的性质
15、，角平分线的性质，条件多而复杂，注意知识的综合运用与转化8在欧几里得的几何原本中给出一个找线段的黄金分割点的方法如图所示，以线段AB 为边作正方形 ABCD，取 AD 的中点 E，连结 BE，延长 DA 至 F，使得 EFBE，以AF 为边作正方形 AFGH，则点 H 即是线段 AB 的黄金分割点若记正方形 AFGH 的面积为 S1，矩形 BCIH 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是（ ）AS 1S 2 BS 1S 2 CS 1S 2 D不能确定【分析】设正方形 ABCD 的边长为 2a，根据勾股定理求出 BE，求出 EF，求出 AF，再根据面积公式求出 S1、S 2 即可【解答
16、】解：四边形 ABCD 是正方形，EAB 90，设正方形 ABCD 的边长为 2a，E 为 AD 的中点，AEa，在 Rt EAB 中，由勾股定理得：BE a，EFBE，EF a，AFEFAE aa（ 1）a，即 AFAH （ 1）aS 1AFAH（ 1）a（ 1）a6a 22 a2，S2S 正方形 ABCDS 长方形 ADIH2a2a2a（ 1）a6a 22 a2，即 S1S 2，故选：C【点评】本题考查了勾股定理和正方形的性质，能熟记正方形的性质是解此题的关键，第 11 页（共 21 页）注意：正方形的每个角都是 90，正方形的四边都相等二填空题（共 8 小题）9如图，已知直线 l1、l
17、2、l 3、l 4、l 5、l 6 是一组等距离平行线，过直线 l1 上一点 O 作两条射线，分别交 l3、l 6 于点 A、C、B 、D ，若 CD6，则 AB 的长为 2.4 【分析】由直线 l1、l 2、l 6 是一组等距的平行线，得到OABOCD ，推出比例式求得结果【解答】解：l 3l 6，ABCD，OABOCD， ，CD6，AB2.4故答案为：2.4【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，熟记定理是解题的关键10若 （k0） ，则 ykx+k2 一定经过第 三 象限【分析】利用比例的等比性质正确求得 k 的值，然后根据直线解析式中的 k 的值正确判断直线经过的
18、象限【解答】解：根据比例的等比性质，得 k ，当 a+b+c0 时，k2，直线解析式是 y2x ，图象经过一、三象限当 a+b+c0 时，a+ bc，第 12 页（共 21 页）k 1，直线解析式是 yx 3，图象经过二、三、四象限综上所述，直线一定经过第三象限，故答案为：三【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，利用 k0，y 随 x 的增大而增大，函数从左到右上升；k0，y 随 x 的增大而减小，函数从左到右下降，是解答此题的关键11如图，在ABC 中，点 D 为边 BC 上一点，且 ，点 E 为 AD 的中点，延长 BE交 AC 于点 F，则 4 【分析】作 EHAC 交 BC
19、于 H，根据三角形中位线得到 DHHC，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可【解答】解：作 EHAC 交 BC 于 H，点 E 为 AD 的中点，DHHC， ， 4，EHAC， 4，故答案为：4第 13 页（共 21 页）【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键12如果 0，那么 的值是 5 【分析】设 k，根据比例的性质得出 x2k ， y3k ，z4k，再代入要求的式子进行计算即可【解答】解：设 k，则 x2k，y3 k，z4k， 5故答案为：5【点评】此题考查了比例的基本性质，解决此类问题要求不拘泥于形式，能够根据不同的条件来得出不同的
20、求解方法在平时要多加练习，熟能生巧，解题会很方便13如图，在ABC 中，ABAC ，A36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，则下列结论中 BCBD AD ；S ABD ：S BCD AD ：DC；BC 2CDAC ；若 AB2，则 BC 1，其中正确的结论的个数是 4 个【分析】在ABC，AB AC ，A36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，可推出BCD，ABD 为等腰三角形，可得 ADBD BC ，正确；由三角形的面积公式得出正确；利用三角形相似的判定与性质得出正确，即可得出结果【解答】解：由 ABAC， A36，得ABCC 72，又 BD 平分ABC 交 AC 于点 D，第 1
21、4 页（共 21 页）ABDCBD ABC36A，ADBD ，BDCABD+A72C ，BCBD，BCBDAD，正确；ABD 与BCD 在 AC 边上的高相等，故ABD 与BCD 的面积比等于对应底边的比，正确；由的条件可证 BCD ACB，则 BC：ACCD：BC，BC 2CDAC，正确；设 BCx，则 ACAB2，CDACAD2x，由 BC2CDAC，得 x2（2x）2，解得 x 1（舍去负值） ，BC 1，正确正确的有 4 个，故答案为：4【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质明确图形中的三个等腰三角形的特点与关系是解决问题的关键14如图，ABC 中，D 在 AC
22、 上，且 AD：DC1：n，E 为 BD 的中点，AE 的延长线交BC 于 F，那么 的值为 （用 n 表示） 【分析】作 DG 平行于 AF 交 BC 于 G由平行线分线段成比例定理、比例的性质求得第 15 页（共 21 页） ；然后根据三角形中位线的定义知 BFFG，所以由等量代换证得结论【解答】证明：AD：DC 1：n，AD：AC1：（n+1） 作 DG 平行于 AF 交 BC 于 G，则 ，根据比例的性质知， ，又 E 是 BD 的中点，EF 是BGD 的中位线，BFFG 故答案为： 【点评】本题考查了平行线分线段成比例列比例式时，一定要找准对应线段，以防错解15如图所示，ABCDEF
23、，AC 与 BD 相交于点 E，若 CE4，CF3，AEBC，则的值是 【分析】先利用 ABEF 得到 ，则可求出解得 AE12，然后利用 ABCD，根据平行线分线段成比例定理可求出 的值【解答】解：ABEF ， ，第 16 页（共 21 页）CE4，CF3，AEBC， ，解得 AE12，ABCD， 故答案为 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例16实数 a，n，m，b 满足 anm b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N ，M，B ，若 AM2BM AB，BN 2AN AB
24、，则称 m 为 a，b 的“大黄金数” ，n 为a，b 的“小黄金数” ，当 ba4 时，m n 4 8 【分析】设 AMx ，根据 AM2BMAB 列一元二次方程，求出 x，得出AMBN2 2，从而求出 MN 的长，即 mn 的长【解答】解：由题意得：ABba4设 AMx，则 BM4xx24（4x）x22 ，x 12+2 ，x 222 （舍）则 AMBN2 2MNmnAM+ BN42AM42（2 2）44 8故答案为：4 8【点评】本题考查了数轴上两点的距离和黄金分割的定义及一元二次方程，做好此题的关键是能正确表示数轴上两点的距离：若 A 表示 xA、B 表示 xB，则 AB|x Bx A|
25、；同时会用配方法解一元二次方程，理解线段的和、差关系三解答题（共 4 小题）17已知 a、b、c 是ABC 的三边，且满足 ，且 a+b+c12，请你探索ABC 的形状【分析】令第一个等式等于 k，表示出 a，b，c，代入第二个等式求出 k 的值，即可作第 17 页（共 21 页）出判断【解答】解：设 k，可得 a3k4，b2k 3，c4k8，代入 a+b+c12 得：9k1512，解得：k3，a5，b3，c4，则ABC 为直角三角形【点评】此题考查了比例的性质，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键18我们知道：若 ，且 b+d0，那么 （1）若 b+d0，那么 a、c 满足
26、什么关系？（2）若 ，求 t2t 2 的值【分析】 （1）根据比例的性质即可得到结果；（2）根据比例的性质求得 t 的值，把 t 的值代入代数式即可得到结论【解答】解：（1） ，b+d0，a+c0；（2） 当 a+b+c0 时， 2，t 2t22 2220，当 a+b+c0 时，b+c a，a+ cb，a+ bc ， 1，t 2t20【点评】本题考查了比例的性质，熟记比例的性质是解题的关键19如图 1，我们已经学过：点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 ，那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线” ，类似地给出“黄
27、金分割线”的定义：直线 l 将一个面积为第 18 页（共 21 页）S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1，S 2，如果 ，那么称直线 l 为该图形的黄金分割线如图 2，在ABC 中，A36，ABAC ，C 的平分线交 AB 于点 D（1）证明点 D 是 AB 边上的黄金分割点；（2）证明直线 CD 是ABC 的黄金分割线【分析】 （1）易证BCDBAC，则有 ，再由 BCCD AD 可得 ，由此可得 D 是 AB 边上的黄金分割点；（2）设ABC 的边 AB 上的高为 h，则 SADC ADh，S DBC DBh，S ABC ABh，即可得到 ， 由（1）得 ，即可知 ，由此可得
28、CD 是ABC 的黄金分割线【解答】解：（1）点 D 是边 AB 上的黄金分割点，理由如下：A36，AB AC，BACB 72CD 平分ACB，ACD DCB36，BDCB72，ACDA36，BCDCADABCD，BB ，BCDBAC， D 是 AB 边上的黄金分割点；第 19 页（共 21 页）（2）直线 CD 是ABC 的黄金分割线，理由如下：设ABC 的边 AB 上的高为 h，则SADC ADh，S DBC DBh，S ABC ABh， ， D 是 AB 的黄金分割点， ， CD 是ABC 的黄金分割线【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的面积公式
29、，需要注意的是：当比例顺序不确定时，应分情况讨论，避免出现漏解的现象20数学课上，张老师出示了问题 1：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，BC1，对角线交点记作 O，点 E 是边 BC 延长线上一点连接 OE 交 CD 边于 F，设 CEx，CFy，求y 关于 x 的函数解析式及其定义域（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线过点 O 作 OMBC ，垂足为 M 求解你认为这个想法可行吗？请写出问题 1 的答案及相应的推导过程；（2）如果将问题 1 中的条件“四边形 ABCD 是正方形，BC1”改为“四边形 ABCD是平行四边形，BC3，CD 2， ”其余条件不变（如图 2） ，请直接写
30、出条件改变后的函数解析式；（3）如果将问题 1 中的条件“四边形 ABCD 是正方形，BC1”进一步改为：“四边形 ABCD 是梯形，ADBC，BCa，CDb，AD c（其中 a，b，c 为常量） ”其余条件不变（如图 3） ，请你写出条件再次改变后 y 关于 x 的函数解析式以及相应的推导过程第 20 页（共 21 页）【分析】 （1）由四边形 ABCD 是正方形，可得 OBOD，又由 OMBC，易证得OMDC，由平行线分线段成比例定理即可求得 y 关于 x 的函数解析式；（2）作 OM CD 交 BC 于点 M，利用（1）中的方法，即可求得 y 关于 x 的函数解析式；（3）首先作 ONCD 交 BC 于点 N，由平行线分线段成比例定理即可求得 y 关于 x 的函数解析式【解答】解：（1）如图：四边形 ABCD 是正方形，OBOD OM BC，OMBDCB90，OM DCOM DC ，CM BC OM DC， ，即 ，解得 定义域为 x0（2） （x0） （3）如右图：ADBC， ， 过点 O 作 ONCD，交 BC 于点 N，第 21 页（共 21 页） ， ONCD ， ， ， ONCD ， ，即 y 关于 x 的函数解析式为 （x 0） 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理此题的图形变化比较多，难度较大，解题的关键是注意识图，准确应用数形结合思想解题
