1、2019 年上海市金山区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1 （4 分）已知集合 A1， 3，5，6，7 ，B2，4，5，6，8，则 AB 2 （4 分）抛物线 y24x 的准线方程是 3 （4 分）计算： 4 （4 分）不等式|3x 2|1 的解集为 5 （4 分）若复数 z（3+4 i） （1i ） （i 为虚数单位） ，则|z| &n
2、bsp; 6 （4 分）已知函数 f（x ）1+log 2x，则 f1 （5） 7 （5 分）从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 8 （5 分）在（x 3 ） 10 二项展开式中，常数项的值是 （结果用数值表示）9 （5 分）无穷等比数列a n各项和 S 的值为 2，公比 q 0，则首项 a1 的取值范围是 10 （5 分）在 120的二面角内放置一个半径为 6 的小球，它与二面角的两个半平面相切于 A、B 两点，则这两个点在球面上的距
3、离是 11 （5 分）设函数 f（x ）lg （1+|x |） ，则使得 f（2x）f（3x2）成立的 x 的取值范围是 12 （5 分）已知平面向量 、 满足条件： 0，| |cos ，| |sin ， （0， ） ，若向量 （， R） 且（21） 2cos2+（21） 2sin2 ，则| |的最小值为 二、选择题(本大题共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分) 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13 （5 分）已知方程 + 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则
4、m 的取值范围是（ ）Am2 或 m1 Bm2C1m2 Dm 2 或2m1第 2 页（共 17 页）14 （5 分）给定空间中的直线 l 及平面 ，条件“直线 l 与平面 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 垂直” 的（ ）条件A充要 B充分非必要C必要非充分 D既非充分又非必要15 （5 分）欧拉公式 eixcosx+isin x（i 为虚数单位，x R，e 为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥” ，根据欧拉公式可知，e 2018i 表示
5、的复数在复平面中位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限16 （5 分）已知函数 f（x ） ，则方程 f（x+ 2）a（a R）的实数根个数不可能（ ）A5 个 B6 个 C7 个 D8 个三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17 （14 分）如图，三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，M 是 BC 的中点，若底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，且 PB 与底面 ABC 所成的角为 求：（1）三棱锥 PABC 的体积；（2）异面直线 PM 与 AC 所成角的大小（结果用反三角
6、函数值表示） 18 （14 分）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点P（3 ， ）（1）求行列式 的值；（2）若函数 f（x ）cos （x+ ）cos +sin（x+ ）sin（xR） ，求函数 f（ 2x）+2f2（x）的最大值，并指出取得最大值时 x 的值第 3 页（共 17 页）19 （14 分）设函数 f（x ）2 x1 的反函数为 f1 （x） ， g（x）log 4（3x +1） （1）若 f1 （x ）g（x） ，求 x 的取值范围 D；（2）在（1）的条件下，设 H（x）g（x） f1 （x ） ，当 xD 时，函数 H（x）的图象与直线 ya 有
7、公共点，求实数 a 的取值范围20 （16 分）已知椭圆 C 以坐标原点为中心，焦点在 y 轴上，焦距为 2，且经过点（1，0） （1）求椭圆 C 的方程；（2）设点 A（a，0） ，点 P 为曲线 C 上任一点，求点 A 到点 P 距离的最大值 d（a） ；（3）在（2）的条件下，当 0a1 时，设QOA 的面积为 S1（O 是坐标原点，Q 是曲线 C 上横坐标为 a 的点） ，以 d（a）为边长的正方形的面积为 S2若正数 m 满足S1mS 2，问 m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由21 （18 分）在等差数列a n中，a 1+a3+a515，a 61l（1）
8、求数列a n的通项公式；（2）对任意 mN*，将数列 an中落入区间（2 m+1，2 2m+1）内的项的个数记为b m，记数列b m的前 m 项和 Sm，求使得 Sm2018 的最小整数 m；（3）若 nN*，使不等式 an+ （2n+1） a n+1+ 成立，求实数 的取值范围第 4 页（共 17 页）2019 年上海市金山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1 （4 分）已知集合 A1， 3，5，6，7 ，B2，4，5，6，8，则 AB 5
9、，6 【分析】直接利用交集运算得答案【解答】解：AB5 ，6故答案为：5，6【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题2 （4 分）抛物线 y24x 的准线方程是 x 1 【分析】先根据抛物线的标准方程形式求出 p，再根据开口方向，写出其准线方程【解答】解：2p4，p2，开口向右，准线方程是 x1故答案为 x1【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误3 （4 分）计算： 【分析】对 分子分母同除以 n 即可得出 ，然后求 n 趋于无穷大的极限即可【解答】解： 故答案为： 【点评】考查数列极限的求法
10、4 （4 分）不等式|3x 2|1 的解集为 x| x1 【分析】将 3x2 看成整体，利用绝对值不等式将原不等式转化成整式不等式，最后利第 5 页（共 17 页）用不等式基本性质求解即可【解答】解：|3x 2|113x2113x3， x1不等式|3x2|1 的解集为 x| x1故答案为：x| x 1【点评】本小题主要考查函数不等式、绝对值不等式、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于基础题5 （4 分）若复数 z（3+4 i） （1i ） （i 为虚数单位） ，则|z| 5 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解【解答】解
11、：z（3+4 i） （1i ）7+ i，|z| 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题6 （4 分）已知函数 f（x ）1+log 2x，则 f1 （5） 16 【分析】根据题意令 f（x ）5，求出 x 的值即可【解答】解：根据题意，令 f（x ）1+log 2x5，得 log2x4，则 x2 416，f 1 （5）16故答案为：16【点评】本题考查了反函数的性质与应用问题，是基础题7 （5 分）从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 【分析】根据题意，首先用列举法列举从
12、 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典第 6 页（共 17 页）概型的公式，计算可得答案【解答】解：从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，有（1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （2，3） ， （2，4） ， （3，4） ，共 6 种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2） ， （2，4） ；则其概率为 ；故答案为： 【点评】本题考查古典概型的计算，解本题时，用列举法，注意按一定的顺序，做到不重不漏8 （5 分）在（x 3 ） 10 二项展开式中，常数项的值是 210 （结果
13、用数值表示）【分析】利用二项展开式的通项公式求出（x 3 ） 10 展开式的通项，令 x 的指数为0 求出 r，将 r 的值代入通项求出展开式的常数项【解答】解：展开式的通项为 Tr+1（1） rC10rx305r ，令 305r0 得 r6，所以展开式中的常数项为 C106210，故答案为：210【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题9 （5 分）无穷等比数列a n各项和 S 的值为 2，公比 q 0，则首项 a1 的取值范围是 （2，4） 【分析】由无穷等比数列a n的各项和为 4 得，2，|q| 1 且 q0，从而可得 a1 的范围【解答】解：由题意可得， ，
14、1q0a12（1q）2a 14故答案为：（2，4）【点评】本题主要考查了等比数列的前 n 项和，而无穷等比数列的各项和是指当，|q|1 且 q0 时前 n 项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前 n 项和的极限存在则可得|q| 1 且 q0，这也是考生常会漏掉的知识点第 7 页（共 17 页）10 （5 分）在 120的二面角内放置一个半径为 6 的小球，它与二面角的两个半平面相切于 A、B 两点，则这两个点在球面上的距离是 2 【分析】由题意及二面角的面与球相切的性质可以求得AOB60，又半径已知，由弧长公式求出两切点在球面上的最短距离【解答】解：由球的性质知，OA
15、，OB 分别垂直于二面角的两个面，又 120的二面角内，故AOB60半径为 10cm 的球切两半平面于 A，B 两点两切点在球面上的最短距离是 6 2故答案为：2【点评】本题考查球面距离及相关计算，解题的关键是根据二面角与球的位置关系得出过两切点的两个半径的夹角以及球面上两点距离的公式，考查空间想像能力，是中档题11 （5 分）设函数 f（x ）lg （1+|x |） ，则使得 f（2x）f（3x2）成立的 x 的取值范围是 （ ）（2，+） 【分析】函数 f（x ）lg（1+|x |） ，可得 f（x）f（x） ，且函数 f（x ）在0，+ ）上单调递增由 f（2x）f （3x2
16、） ，可得|2x|3x2|，解出即可得出【解答】解：函数 f（x ）lg（1+|x |） ，f（x）f（x ） ，且函数 f（x）在0，+）上单调递增f（2x）f（3x 2） ，|2 x|3x2|，（2x） 2（3x 2） 2，化为：（x2） （5x 2）0，解得：x2，或 x 使得 f（2x） f（3x 2）成立的 x 的取值范围是 （2，+） 故答案为： （2，+） 【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第 8 页（共 17 页）12 （5 分）已知平面向量 、 满足条件： 0，| |cos ，| |sin ， （0， ） ，若向量 （，
17、 R） 且（21） 2cos2+（21） 2sin2 ，则| |的最小值为 【分析】由题意可设 （cos，0） ， （0，sin ） ， （x ，y） ，且设 ，由 求出 C 点的轨迹方程，结合圆的性质可求【解答】解：由题意可设 （cos，0） ， （0，sin） ， （x ，y） ，且设 （cos， sin） ， ，（0， ） ，（21） 2cos2+（21） 2sin2 ，则 ，即 ，C 在以 D（ ）为圆心，以 为半径的圆上，（0， ） ，| |mn|OD| ，故答案为： 【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理及向量的坐标表示，平面向量的加法减法的几何意义，平
18、面向量的数乘及几何意义及圆的方程的应用，属于综合试题二、选择题(本大题共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分) 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13 （5 分）已知方程 + 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是（ ）Am2 或 m1 Bm2C1m2 Dm 2 或2m1【分析】先根据椭圆的焦点在 x 轴上 m22+m ，同时根据 2+m0，两个范围取交集即可得出答案【解答】解：椭圆的焦点在 x 轴上m 22+m，即 m22m0第 9 页（共 17 页）解得 m2 或 m1又2+m0m2m 的取值范围：m2 或2m1故选
19、：D【点评】本题主要考查椭圆的标准方程的问题即对于椭圆标准方程 ，当焦点在 x 轴上时，ab；当焦点在 y 轴上时，ab14 （5 分）给定空间中的直线 l 及平面 ，条件“直线 l 与平面 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 垂直” 的（ ）条件A充要 B充分非必要C必要非充分 D既非充分又非必要【分析】由垂直的定义，我们易得“直线 l 与平面 垂直 ”“直线 l 与平面 内无数条直线都垂直”为真命题，反之， “直线 l 与平面 内无数条直线都垂直 ”“直线 l 与平面 垂直”却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论【解答】解：直线与平面 内的无数条平行直线垂直，但该
20、直线未必与平面 垂直；即“直线 l 与平面 内无数条直线都垂直”“直线 l 与平面 垂直”为假命题；但直线 l 与平面 垂直时，l 与平面 内的每一条直线都垂直，即“直线 l 与平面 垂直”“直线 l 与平面 内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线 l 与平面 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 垂直”的必要非充分条件故选：C【点评】判断充要条件的方法是：若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件；若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件；若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；若
21、 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系15 （5 分）欧拉公式 eixcosx+isin x（i 为虚数单位，x R，e 为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的第 10 页（共 17 页）关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥” ，根据欧拉公式可知，e 2018i 表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分
22、析】e 2018icos2018+isin2018 ，由 2018642+（2018642） ，2018642，利用诱导公式、三角函数求值及其复数的几何意义即可得出【解答】解：e 2018icos2018+isin2018 ，2018642+ （2018642 ） ，2018642 ，cos2018cos（2018642 ）0sin2018sin （2018642 ）0，e 2018i 表示的复数在复平面中位于第一象限故选：A【点评】本题考查了欧拉公式、诱导公式、三角函数求值及其复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16 （5 分）已知函数 f（x ） ，则方程 f（x+ 2）a
23、（a R）的实数根个数不可能（ ）A5 个 B6 个 C7 个 D8 个【分析】以 f（x ）1 的特殊情形为突破口，解出 x1 或 3 或 或4，将 x+ 2 是为整体，利用换元的思想方法进一步讨论【解答】解：如图所示：函数 f（x） ，即 f（x） 因为当 f（x） 1 时，求得 x4，或 ，或 1，或 3则当 a1 时，由方程 f（x+ 2）a（a R） ，可得 x+ 24，或 ，或 1，第 11 页（共 17 页）或 3又因为 x+ 20，或 x+ 24，所以，当 x+ 24 时，只有一个 x2 与之对应，其它 3 种情况都有 2 个 x 值与之对应故此时，原方
24、程 f（x + 2）a 的实数根有 7 个根当 1 a2 时，yf（x ）与 ya 有 4 个交点，故原方程有 8 个根当 a 2 时， yf（x ）与 ya 有 3 个交点，故原方程有 6 个根综上：不可能有 5 个根，故选：A【点评】本题重点考查了分段函数、函数的零点等知识，属于难题三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17 （14 分）如图，三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，M 是 BC 的中点，若底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，且 PB 与底面 ABC 所成的角为 求：（1）三棱锥 PABC 的体积；（2
25、）异面直线 PM 与 AC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 【分析】 （1）欲求三棱锥 PABC 的体积，只需求出底面积和高即可，因为底面 ABC第 12 页（共 17 页）是边长为 2 的正三角形，所以底面积可用 来计算，其中 a 是正三角形的边长，又因为 PA底面 ABC，所以三棱锥的高就是 PA 长，再代入三棱锥的体积公式即可（2）欲求异面直线所成角，只需平移两条异面直线中的一条，是它们成为相交直线即可，由 M 为 BC 中点，可借助三角形的中位线平行于第三边的性质，做出ABC 的中位线，就可平移 BC，把异面直线所成角转化为平面角，再放入PMN 中，求出角即可【解答】解：（1）
26、因为 PA底面 ABC，PB 与底面 ABC 所成的角为所以 因为 AB2，所以（2）连接 PM，取 AB 的中点，记为 N，连接 MN，则 MNAC所以PMN 为异面直线 PM 与 AC 所成的角计算可得： ，MN1，异面直线 PM 与 AC 所成的角为【点评】本题主要考查了在几何体中求异面直线角的能力解题关键再与找平行线，本题主要通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧18 （14 分）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点P（3 ， ）（1）求行列式 的值；第 13 页（共 17 页）（2）若函数 f（x ）co
27、s （x+ ）cos +sin（x+ ）sin（xR） ，求函数 f（ 2x）+2f2（x）的最大值，并指出取得最大值时 x 的值【分析】 （1）根据三角函数的定义，结合行列式的运算法则，即可求解；（2）化简 f（x ） ，函数 y f（ 2x ）+2f 2（x）结合三角函数性质即可求解最大值【解答】解：角 的终边经过点 P（3， ）可得：sin ，cos ，tan （1）行列式 sin costan ；（2）函数 f（x ）cos （x +）cos +sin（x+ ）sincosx那么函数 y f（ 2x）+2f 2（x ） cos（ ）+2cos 2xcos2x + sin2x+12sin
28、（2 x+ ）+1 ，当 2x+ 时，即 xk ，函数 y 取得最大值为 3【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键19 （14 分）设函数 f（x ）2 x1 的反函数为 f1 （x） ， g（x）log 4（3x +1） （1）若 f1 （x ）g（x） ，求 x 的取值范围 D；（2）在（1）的条件下，设 H（x）g（x） f1 （x ） ，当 xD 时，函数 H（x）的图象与直线 ya 有公共点，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）先根据反函数的概念求出：f 1 （x ）log 2（x+1）再由 log2（x+1）log 4（3x+1）
29、 ，利用对数函数的单调性转化为关于 x 的一元不等式组，解之即可（2）先化简得到： 再利用当 x0，1时， 单调递增，从而求得实数 a 的取值范围【解答】解：（1）f 1 （x ）log 2（x+1） ，（3 分）由 log2（x+1）log 4（3x +1） ， （6 分）第 14 页（共 17 页）解得 0x1，D 0，1 （8 分）（2） ，（10 分） ，（12 分）当 x0，1时， 单调递增，H（x）单调递增， （14 分） 因此当 时满足条件 （16 分）【点评】本小题主要考查反函数、函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想属于基础题20 （
30、16 分）已知椭圆 C 以坐标原点为中心，焦点在 y 轴上，焦距为 2，且经过点（1，0） （1）求椭圆 C 的方程；（2）设点 A（a，0） ，点 P 为曲线 C 上任一点，求点 A 到点 P 距离的最大值 d（a） ；（3）在（2）的条件下，当 0a1 时，设QOA 的面积为 S1（O 是坐标原点，Q 是曲线 C 上横坐标为 a 的点） ，以 d（a）为边长的正方形的面积为 S2若正数 m 满足S1mS 2，问 m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由【分析】 （1）根据已知求出 a，b，c 值，可得椭圆 C 的方程；（2）设 P（x， y） ，则 y222x 2再
31、利用两点间的距离公式可得 |PA|2（xa）2+y2（xa） 2+22x 2（x +a） 2+2a2+2，令 f（x ）（x+a）2+2a2+2，x 1，1，通过讨论顶点的横坐标 a 与1， 1 的大小关系，利用二次函数的单调性即可；（3）由题意分别表示出 S1 及 S2，由正数 m 满足 S1mS 2，通过分离参数得到 m，令 f（a） ，通过换元 ta 2+1，则 t（1，2） ，a 2t1得到 f（t） ，利用二次函数的单调性即可得出答案【解答】解：（1）由题意得：2c2，b1，故 a2b 2+c22，椭圆 C 的方程为： 第 15 页（共 17 页）（2）设 P（x， y） ，则 y2
32、22x 2|PA| 2（ xa） 2+y2（x a） 2+22x 2（x +a） 2+2a2+2，令 f（x）（ x+a） 2+2a2+2，x 1，1 ，所以，当a1，即 a1 时，f（x ）在 1，1上是减函数， f（x） maxf（1）（a+1） 2；当1a1，即1a1 时，f（x ）在 1，a上是增函数，在 a，1上是减函数，则f（x） maxf（a ）2a 2+2；当a1，即 a1 时，f（ x）在 1，1上是增函数， f（x） maxf（1）（a1） 2所以，d（a） （3）当 0a1 时，P（a， ） ，于是 S1 a ，S 22a 2+2，若正数 m 满足条件，则 a m （2a
33、 2+2） ，即 m ，m2 令 f（a） ，设 ta 2+1，则 t（1，2） ，则 a2t1于是 f（a） （ + 1） （ ） 2+ ，当 时，即 t （1，2）时，f（a） max ，即 m2 ，m 所以，m 存在最小值【点评】熟练掌握“点差法” 、两点间的距离公式、二次函数的单调性、换元法、分类讨论的思想方法是解题的关键21 （18 分）在等差数列a n中，a 1+a3+a515，a 61l（1）求数列a n的通项公式；（2）对任意 mN*，将数列 an中落入区间（2 m+1，2 2m+1）内的项的个数记为b m，第 16 页（共 17 页）记数列b m的前 m 项和 Sm，求使得
34、Sm2018 的最小整数 m；（3）若 nN*，使不等式 an+ （2n+1） a n+1+ 成立，求实数 的取值范围【分析】 （1）设数列a n的公差为 d，由等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列a n的通项公式（2）推导出 ，从而 bm2 2m2 m，mN *，进而Sm（2 2+24+26+22m）（2+2 2+23+2m） 令2018，能求出最小整数 m（3） （2n+1） ，从而 ，记 An ，B n1+ ，n N*，由 An+1A n，能求出实数 的范围【解答】解：（1）设数列a n的公差为 d，由 ，解得 ，数列a n的通项公式为 an2n1，n N*（2）对任意 mN*，若 2m+12n12 2m+1，则 ，b m2 2m2 m，mN *，Sm（2 2+24+26+22m）（2+2 2+23+2m） 令 2018，解得 m 5.3，第 17 页（共 17 页）所求的最小整数 m 为 6（3） （2n+1） ，记 An ，B n1+ ，n N*，由 An+1A n ，知 A1A 2，且从第二项起，A n递增，即 A1A 2，A 3A 4A n，B n1+ 递减，实数 的范围为A 1，B 1，即 【点评】本题考查数列的通项公式、最小整数、实数的取值范围的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题
