1、2018 年上海市复旦附中高考数学三模试卷一.填空题1 （3 分）已知集合 Mx |ylgx，Nx|y ，则 MN 2 （3 分）若复数 z 满足（34i）z|4+3i |，则 z 的虚部为 3 （3 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a6，c4，sin ，则 b 4 （3 分）如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图若一个月以 30 天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于 150个的天数为
2、5 （3 分）现有 5 个女生和 3 个男生随机站成一排，则排头和排尾均为女生的概率是 （结果用分数表示）6 （3 分）在极坐标系中，圆 2sin 的圆心到极轴距离为 7 （3 分）无穷等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a12，且 S2015+2S20163S 2017，则无穷等比数列a n的各项和为 8 （3 分）如图，正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB4，AA 16若 E，F 分别是棱BB1，CC 1 上的点，则三棱锥 AA 1EF 的体积是 第 2 页
3、（共 24 页）9 （3 分）设直线 2x+3y+10 和圆 x2+y22x 30 相交于点 A、B，则弦 AB 的垂直平分线方程是 10 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，双曲线 1（a0，b0）的两条渐近线分别与抛物线交于 A、B 两点（A，B 异于坐标原点） 若直线 AB 恰好过点 F，则双曲线的渐近线方程是 11 （3 分）在边长为 6 的等边ABC 中，点 M 满足 ，则 等于 12 （3 分）已知函数 f（x ）2 x（x R） ，且 f（x）g（x）+
4、h（x） ，其中 g（x）为奇函数，h（x）为偶函数若不等式 2ag（x）+h（2x ）0 对任意 x1，2 恒成立，则实数 a的取值范围是 13 （3 分）已知圆 O：x 2+y21，O 为坐标原点，若正方形 ABCD 的一边 AB 为圆 O 的一条弦，则线段 OC 长度的最大值是 14 （3 分）如图，在正三棱锥 PABC 中，D 为线段 BC 的中点，E 在线段 PD 上，PEPD， AEl 为定长，则该棱锥的体积的最大值为 二.选择题15 （3 分）在等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a2+a4
5、+a15 的值为常数，则下列为常数的第 3 页（共 24 页）是（ ）AS 7 BS 8 CS 13 DS 1516 （3 分）矩阵的一种运算 ，该运算的几何意义为平面上的点（x，y ）在矩阵 作用下变换成点（ax +by，cx+dy） ，若曲线 x2+4xy+2y21，在矩阵 的作用下变换成曲线 x22y 21，则 a+b 的值为（ ）A2 B2 C2 D417 （3 分）函数 yf （x ）是 R 上的增函数，则 a+b0 是 f （a）+f （b）f （a）+f （b）的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分C充要 D不充分不必要18 （3 分）有一容积
6、为 a3cm3 的正方体容器 ABCDA 1B1C1D1，在棱 AB、BB 1 和面对角线BC1 的中点各有一小孔 E、F 、G，若此容器可以任意放置，则其可装水的最大容积是（ ）A a3cm3 B a3cm3 C a3cm3 D a3cm3三.解答题19已知三角形的三个内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，设向量（c a，b a） ， （a+b，c） ，且 （1）求角 B 的大小；（2）求 sin A+sin C 的取值范围20如图，空间直角坐标系中，四棱锥 POABC 的底面是边长为 的正方形，且底面在xOy 平面内，点 B 在 y 轴正半轴上，PB平面 OABC，侧
7、棱 OP 与底面所成角为 45；（1）若 N（x， y，0）是顶点在原点，且过 A、C 两点的抛物线上的动点，试给出 x 与y 满足的关系式；（2）若 M 是棱 OP 上的一个定点，它到平面 OABC 的距离为 a（0a2） ，写出M、N 两点之间的距离 d（x） ，并求 d（x）的最小值；（3）是否存在一个实数 a（0a2） ，使得当 d（x）取得最小值时，异面直线 MN 与OB 互相垂直？请说明理由；第 4 页（共 24 页）21已知 kR，a0 且 a1，b0 且 b1，函数 f（x）a x+kbx；（1）设 a1，ab1，若 f（ x）是奇函数，求 k 的值；（2）设 a1b0，k0，
8、判断函数 f（x）在 R 上的单调性并加以证明；（3）设 a2，b ，k0，函数 f（x）的图象是否关于某垂直于 x 轴的直线对称？如果是，求出该对称轴，如果不是，请说明理由；22已知 A、B 为椭圆 和双曲线 的公共顶点，P、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于 A、B 的动点，且 + （ + ） （R ，| |1） 设AP、 BP、AQ、BQ 的斜率分别为 k1、k 2、k 3、k 4（1）求证：点 P，Q，O 三点共线；（2）求 k1+k2+k3+k4 的值；（3）设 F1、F 2 分别为双曲线和椭圆的右焦点，若 QF1PF 2，求 k12+k22+k32+k42 的值23已知 Sn 是数列a
9、 n的前 n 项和，对任意 nN*，都有（ 1m）S nma n+4n（m0） ；（1）若 m4，求证：数列 是等差数列，并求此时数列a n的通项公式；（2）若 m4，求证：数列a n+ 4n是等比数列，并求此时数列 an的通项公式；（3）设 bn （nN *） ，若|b n|2，求实数 m 的取值范围；第 5 页（共 24 页）2018 年上海市复旦附中高考数学三模试卷参考答案与试题解析一.填空题1 （3 分）已知集合 Mx |ylgx，Nx|y ，则 MN x|0x1 【分析】求出 M 与 N 中 x 的范围分别确定出两集合，求出两集合的交集即可【解答】解：由 M 中 ylgx，得到 x0
10、，即 M x|x0，由 N 中 y ，得到 1x 20，解得：1x1，即 Nx| 1x1，则 MN x|0x 1，故答案为：x|0x 1【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （3 分）若复数 z 满足（34i）z|4+3i |，则 z 的虚部为 【分析】首先求出|4+3i|，代入后直接利用复数的除法运算求解【解答】解：|4+3i| 由（34i）z|4+3i|，得（3 4i ）z5，即 z z 的虚部为 故答案为： 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3 （3 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边
11、分别为 a、b、c，若 a6，c4，sin ，则 b 6 【分析】由已知利用二倍角公式可求 cosB 的值，进而根据余弦定理即可计算得解【解答】解：sin ， a6，c 4，cosB12sin 2 12（ ） 2 ，由余弦定理 b2a 2+c22accosB，可得：b 6第 6 页（共 24 页）故答案为：6【点评】本题主要考查了二倍角公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题4 （3 分）如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图若一个月以 30 天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于 150个的天数为 9 【分析】根据频率分布直方图，求出
12、对应的频率与频数即可【解答】解：根据频率分布直方图，得：日销售量不少于 150 个的频率为（0.004+0.002）500.3，则估计这家面包店一个月内日销售量不少于 150 个的天数为：300.39故答案为：9【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率 的应用问题，是基础题目5 （3 分）现有 5 个女生和 3 个男生随机站成一排，则排头和排尾均为女生的概率是 （结果用分数表示）【分析】基本事件总数 n ，排头和排尾均为女生包含的基本事件个数 m ，由此能求出排头和排尾均为女生的概率【解答】解：现有 5 个女生和 3 个男生随机站成一排，基本事件总数 n ，排头和
13、排尾均为女生包含的基本事件个数 m ，第 7 页（共 24 页）排头和排尾均为女生的概率 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6 （3 分）在极坐标系中，圆 2sin 的圆心到极轴距离为 1 【分析】由已知中圆的极坐标方程为 2sin ，我们分别取 0， ，并由此可以确定出圆的一条直径两端点的坐标，进而代入中点坐标公式，即可得到答案【解答】解：圆的极坐标方程为 2sin 则它表示过极坐标原点， （2， ）点的，以 2 为直径的圆故圆心落在 （1， ）点在极坐标系中，圆 2sin 的圆心到极轴距离为：1故答案
14、为：1【点评】本题考查的知识点是简单曲线的极坐标方程，其中根据已知圆的极坐标方程确定圆直径及直径两端点的坐标是解答本题的关键7 （3 分）无穷等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a12，且 S2015+2S20163S 2017，则无穷等比数列a n的各项和为 【分析】先分类讨论，当 q1 时不成立，则 q1，根据 S2015+2S20163S 2017，解得q ，再根据等比数列的求和公式和极限的思想即可求出【解答】解：设公比为 q，a 12，且 S2015+2S20163S 2017，当 q1 时，20152+220162322017，q1， + ，1q 2015+2q
15、201733q 2017，即 3q22q10解得 q ，或 q1（舍去）第 8 页（共 24 页）无穷等比数列a n的各项和 Sn 1（ ） n，当 n+时， 1（ ） n ，故无穷等比数列a n的各项和为 ，故答案为：【点评】本题考查了等比数列的求和公式和，极限思想，属于中档题8 （3 分）如图，正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB4，AA 16若 E，F 分别是棱BB1，CC 1 上的点，则三棱锥 AA 1EF 的体积是 8 【分析】用三棱柱的体积减去三棱锥 A1EFC 1B1 和三棱锥 ABCFE 的体积【解答】解：取 BC 中点 D，连结 AD，则 ADBC ，平面
16、ABC平面 BCC1B1，平面 ABC平面 BCC1B1BC，AD平面 ABC，AD平面 BCC1B1ABC 是等边三角形，AB4，AD2 AA 1平面 BCC1B1，E，F 是 BB1，CC 1 的中点，V ABCFE 8 ， 2V ABCFE 2 8 故答案为：8第 9 页（共 24 页）【点评】本题考查了棱柱的结构特征，棱锥的体积计算，属于基础题9 （3 分）设直线 2x+3y+10 和圆 x2+y22x 30 相交于点 A、B，则弦 AB 的垂直平分线方程是 3x 2y30 【分析】联立直线与圆的解析式得到交点 A 和 B 的坐标，然后利用中点坐标公式求出中点坐标，根据两直线垂直斜率乘
17、积等于1，由直线 AB 的斜率得到中垂线的斜率，即可得到中垂线的解析式【解答】解：联立得： 解得：13x 214x260，同理解得13y2+18y7 0因为点 A 和点 B 的中点 M 的坐标为（x ，y ） ，利用根与系数的关系可得：M（ ， ） ；又因为直线 AB：2x +3y+10 的斜率为 ，根据两直线垂直斜率乘积等于1 可知垂直平分线的斜率为 ；所以弦 AB 的垂直平分线方程为 y+ （x ） ，化简得 3x2y30故答案为 3x2y 30【点评】考查学生掌握两直线垂直时的斜率乘积为1，会求线段中点的坐标，根据条件能写出直线的一般方程，以及掌握直线与圆的方程的综合应用10 （3 分）
18、在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，双曲线 1（a0，b0）的两条渐近线分别与抛物线交于 A、B 两点（A，B 异于坐标原第 10 页（共 24 页）点） 若直线 AB 恰好过点 F，则双曲线的渐近线方程是 y2x 【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程可得 A，B，再由 A，B，F 共线，可得 ，即有 b2a，进而得到双曲线的渐近线方程【解答】解：抛物线 y22px（p0）的焦点为 F（ ，0） ，双曲线 1（a0，b0）的渐近线方程为 y x，代入抛物线的方程，可得 A（ ， ） ，B（ ， ） ，由 A，B，F 三点共线，可得：
19、，即有 b2a，则双曲线的渐近线方程为 y2x故答案为：y2x 【点评】本题考查抛物线的焦点坐标，双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用和求法，考查运算能力，属于中档题11 （3 分）在边长为 6 的等边ABC 中，点 M 满足 ，则 等于 24 【分析】由 ，可得 ，代入到 ，可求【解答】解： ， 则 24故答案为：24【点评】本试题考查了向量的数量积的基本运算考查了基本知识的综合运用能力12 （3 分）已知函数 f（x ）2 x（x R） ，且 f（x）g（x）+h（x） ，其中 g（x）为奇函数，h（x）为偶函数若不等式 2ag（x）+h（2x ）0 对任意 x1，2 恒成立，则实数
20、 a第 11 页（共 24 页）的取值范围是 a 【分析】先根据函数奇偶性定义，解出奇函数 f（x ）和偶函数 g（x）的表达式，将这个表达式不等式 af（x ）+g（2x）0，通过变形可得a ） ，通过换元，讨论出右边在 x（0， 1的最大值，可以得出实数 a 的取值范围【解答】解：h（x）为定义在 R 上的偶函数，g（x）为定义在 R 上的奇函数g（x）g（x ） ，h（x ）h（x）又由 h（x）+g（x ）2 x，h（x）+g（x ）h（x ） g（x）2 x ，h（x） ，g（x）不等式 2ag（x）+h（2x ）0 在1，2上恒成立，化简为 a0，x1 ，21x22
21、x2 x 0令 t2 x 2 x，整理得：a t （ ） ，则由 可知 y （t+ ）在 单调递增当 t 时，因此，实数 a 的取值范围是 a故答案为 a【点评】本题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键13 （3 分）已知圆 O：x 2+y21，O 为坐标原点，若正方形 ABCD 的一边 AB 为圆 O 的一条弦，则线段 OC 长度的最大值是 +1 第 12 页（共 24 页）【分析】设正方形边长为 a，OBA ，从而在OBC 中，计算 OC 的长，利用三角函数，可求 OC 的最大
22、值【解答】解：如图，设正方形边长为 a，OBA ，则 cos ，0， ） 在OBC 中，a 2+12acos（ +）OC 2，OC 2（2cos）2+1+22cossin4cos 2+1+2sin22cos2+2sin2+32 sin（2+ ）+3，0， ） ，2+ ， ） ，2+ 时，OC 2 的最大值为 2 +3线段 OC 长度的最大值是 +1故答案为： +1【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数的化简，解题的关键是构建 OC关于 的三角函数，属于中档题14 （3 分）如图，在正三棱锥 PABC 中，D 为线段 BC 的中点，E 在线段 PD 上，PEPD， AEl 为定长，则该
23、棱锥的体积的最大值为 第 13 页（共 24 页）【分析】设正三棱锥 PABC 的底面边长为 a，则该三棱锥的高为 h ，求出底面积，代入三棱锥体积公式，然后利用基本不等式求最值【解答】解：如图，设正三棱锥 PABC 的底面边长为 a，则该三棱锥的高为 h ，该棱锥的体积 V 该棱锥的体积的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查棱锥体积最值的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，属难题二.选择题15 （3 分）在等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a2+a4+a15 的值为常数，则下列为常数的是（ ）AS 7 BS 8 CS 13 DS
24、15第 14 页（共 24 页）【分析】利用等差数列的通项公式及其性质即可得出【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，a 2+a4+a153a 1+18d3a 7 为常数，S 13 13a 7 为常数故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16 （3 分）矩阵的一种运算 ，该运算的几何意义为平面上的点（x，y ）在矩阵 作用下变换成点（ax +by，cx+dy） ，若曲线 x2+4xy+2y21，在矩阵 的作用下变换成曲线 x22y 21，则 a+b 的值为（ ）A2 B2 C2 D4【分析】设（x，y ）是曲线 x2+4xy+2
25、y21 的点，在矩阵 的作用下的点为（x，y） ，得出关于 a，b 的方程组，从而解决问题【解答】解：设（x，y ）是曲线 x2+4xy+2y21 的点，在矩阵 的作用下的点为（x，y） ，即 ，又 x 22y 21，（x+ay） 2 2（bx +y） 21 ， （12b 2）x 2+（2a4b） xy+（a 22）y 21故 ，解得：a2，b0，a+b2故选：B【点评】本题主要考查几种特殊的矩阵变换、曲线与方程等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是利用待定系数法求解 a，b；属于基础题17 （3 分）函数 yf （x ）是 R 上的增函数，则 a+b0 是 f （a）+f （b）f （a
26、）+f （b）的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分C充要 D不充分不必要【分析】题考查的知识点是充要条件的定义及函数的单调性，由 a+b0 可知，第 15 页（共 24 页）ab，ba，又 yf（x）在 R 上为增函数，故 f（a）f（b） ，f （b）f（a） ，反过来，由增函数的概念也可推出，a+b（a）+（b） ；根据充要条件的定义，我们易得到结论【解答】解：a+b0ab，ba，又yf（x）在 R 上为增函数，f（a）f（b） ，f（b）f （a） ，则 f （a）+f （b）f （a）+f （b）反之，若 f （a）+f （b）f （a）+f （b
27、）yf（x）在 R 上为增函数，a+b（a）+ （b） 即 a+b0故 a+b0 是 f （a）+ f （b） f （a）+f （b）的充要条件故选：C【点评】判断充要条件的方法是：若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件；若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件；若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题
28、 q 的关系18 （3 分）有一容积为 a3cm3 的正方体容器 ABCDA 1B1C1D1，在棱 AB、BB 1 和面对角线BC1 的中点各有一小孔 E、F 、G，若此容器可以任意放置，则其可装水的最大容积是（ ）A a3cm3 B a3cm3 C a3cm3 D a3cm3【分析】根据正方体的几何特征，选取过 E，B 1，G 三点的平面去截正方体，根据棱锥的体积公式，易求出切下的小三棱锥的体积，进而求出剩下的即容器可装水的容积，则答案可求【解答】解：如图，以 E，B 1，G 三点组成的平面去截正方体，截去一个三棱锥，其底面为EBB 1，面积 S a ，高为 ha，第 16 页（
29、共 24 页）截去一个三棱锥体积为 V Sh ，当 E，B 1，G 三点在同一水平面时，F 点在水平面之上，E，F，G 三点都不漏水其可装水最大容积 cm3故选：C【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积，其中根据正方体的几何特征确定出选取过E，B 1，G 三点的平面去截正方体时，该容器可装水的容积最大是解答本题的关键，是中档题三.解答题19已知三角形的三个内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，设向量（c a，b a） ， （a+b，c） ，且 （1）求角 B 的大小；（2）求 sin A+sin C 的取值范围【分析】 （1）利用两向量平行的性质以及两向量的左边可求得 a，b 和 c
30、的关系式，代入余弦定理中求得 cosB 的值，进而求得 B（2）根据（1）中 B，可知 A+C ，进而可把 sinC 转化成 sin（ A） ，展开后，利用两角和公式化简，利用 A 的范围来确定 sinA+sinC 的范围【解答】解：（1）向量 （ca，ba） ， （a+b，c） ，且 c（ca）（a+b） （ba） ，c 2acb 2a 2，cosB ，B （2）A+ B+C，A+ C ，第 17 页（共 24 页）sinA+sinC sinA+sin（ A）sinA+ cosA+ sinA sin（A+ ） ，0A ， A+ ， sin（A+ ）1， sinA+sin C 【点评】本题主要
31、考查了余弦定理的应用，两角和公式的化简求值考查了学生分析问题的能力和基本运算的能力20如图，空间直角坐标系中，四棱锥 POABC 的底面是边长为 的正方形，且底面在xOy 平面内，点 B 在 y 轴正半轴上，PB平面 OABC，侧棱 OP 与底面所成角为 45；（1）若 N（x， y，0）是顶点在原点，且过 A、C 两点的抛物线上的动点，试给出 x 与y 满足的关系式；（2）若 M 是棱 OP 上的一个定点，它到平面 OABC 的距离为 a（0a2） ，写出M、N 两点之间的距离 d（x） ，并求 d（x）的最小值；（3）是否存在一个实数 a（0a2） ，使得当 d（x）取得最小值时，异面直线
32、 MN 与OB 互相垂直？请说明理由；【分析】 （1）根据题意，求得 A 点坐标，代入抛物线方程，即可求得 x 与 y 的关系式；（2）设 M 和 N 点坐标，根据两点之间的距离公式，利用二次函数的性质，即可求得d（x）最小值；（3）由（2）可知：当 a（ 0.5，2） ，当 d（x ）取得最小值时，求得 x2 ，由异面直线 MN 与 OB 垂直时，y My N，代入即可求得 a 的值【解答】解：（1）由四棱锥 POABC 的底面是边长为 的正方形，则 A（1，1，0） ，第 18 页（共 24 页）x 与 y 满足的关系式：y x 2；（2）设 M（0，a，a） ，N（x，x 2，0） ，则
33、 d（x ） ，当 a（0，0.5，d（x ） min a，当 a（0.5，2） ，d（x ） min ；（3）当 a（0，0.5，异面直线 MN 与 OB 成 45角，不符；a（0.5，2） ，当 d（x ）取得最小值时，x 2 ，y ，当异面直线 MN 与 OB 垂直时， yMy N，即 a，无解【点评】本题考查抛物线的方程，异面直线所成的角，点两点之间的距离公式及二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题21已知 kR，a0 且 a1，b0 且 b1，函数 f（x）a x+kbx；（1）设 a1，ab1，若 f（ x）是奇函数，求 k 的值；（2）设 a1b0，k0，判断函数 f（x）在
34、R 上的单调性并加以证明；（3）设 a2，b ，k0，函数 f（x）的图象是否关于某垂直于 x 轴的直线对称？如果是，求出该对称轴，如果不是，请说明理由；【分析】 （1）根据已知条件，将 b 代入函数表达式，得 f（x）a x+kax ，再利用奇函数定义，用比较系数的方法，求出 k 的值，（2）因为 a1，0b1，根据指数函数单调性的定理，可得函数 ya x 是增函数，yb x 减函数，再根据函数单调性的运算法则，得出函数 f（x）a x+kbxR 上的是增函数，最后用函数单调性的定义加以证明；（3）根据函数 f（x ）2 x+k2x 的图象是轴对称图形且对称轴是直线 xm，则函数f（x+m）
35、是偶函数，即得到即对任意实数 x，f （mx ） f（m+x） ，代入表达式，采用比较系数法，可得 2mk2 m 0，最终求出【解答】解：（1）由已知，b ，于是 f（x ）a x+kax ，则 f（x）a x +kax，若 f（x）是奇函数，则 f（x）f （x） ，即 ax +kax （a x+kax ） ，第 19 页（共 24 页）所以（k+1） （a x+ax ）0 对任意实数 x 恒成立，所以 k1（2）因为 a1，0b1，所以函数 ya x 是增函数，yb x 减函数，由 k0 知，ya x+kbx 是增函数，所以函数 f（x ）在 R 是增函数证明如下：设 x1、x 2R 且
36、x1x 2，则 f（x 2）f（x 1） +k k （ ）+k（ ） ，因为 a1，0b1，x 1x 2，k 0，所以 0，k（ ）0，所以 f（x 2） f（x 1）0，所以函数 f（x）在 R 是增函数（3）f（x） 2x+k2x ，若函数 f（x）的图象是轴对称图形，且对称轴是直线 xm ，则函数 f（x+m ）是偶函数，即对任意实数 x，f（mx ）f （m+x ） ，2mx +k2（mx） 2 m+x+k2（m+ x） ，化简得（2 x2 x ） （2 mk2 m ）0，因为上式对任意 xR 成立，所以 2mk2 m 0，m log2klog 4k，所以，函数 f（x ）的图象是轴对
37、称图形，其对称轴是直线 xlog 4k【点评】本题是一道函数综合题，着重考查了函数的单调性与奇偶性和函数图象的对称性，解题时要注意有关定义和结论的正确理解与准确应用属于难题22已知 A、B 为椭圆 和双曲线 的公共顶点，P、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于 A、B 的动点，且 + （ + ） （R ，| |1） 设AP、 BP、AQ、BQ 的斜率分别为 k1、k 2、k 3、k 4（1）求证：点 P，Q，O 三点共线；（2）求 k1+k2+k3+k4 的值；第 20 页（共 24 页）（3）设 F1、F 2 分别为双曲线和椭圆的右焦点，若 QF1PF 2，求 k12+k22+k32+k42 的值
38、【分析】 （1）由 + （ + ） （R ，|1） 得到 ，由此能证明点P，Q，O 三点共线（2）设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2， y2） ，求出 k1+k2 ， ，由 ，能出 k1+k2+k3+k4 的值（3）由 ，推导出 ，再由 PF1QF 2，得到（k 1+k2）24， （k 3+k4） 24，由此能求出 k12+k22+k32+k42 的值【解答】证明：（1）A、B 为椭圆 和双曲线 的公共顶点，P、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于 A、B 的动点，且 + （ + ）（R，| |1） ，点 P，Q，O 三点共线解：（2）设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，则 ，同
39、理，得： ， ，x 1x 2，y 1y 2， ，k 1+k2+k3+k4 （ ）0第 21 页（共 24 页）（3） ， ， ， 2，又 1， ，又PF 1QF 2，| OF1|OF 2|， 2 ， ，（k 1+k2） 2 4 4 4，同理（k 3+k4） 24，k1k2 ，且 1，x 12a 2 y12，k 1k2 同理 k3k4 ，k 12+k22+k32+k42（k 1+k2） 2+（k 3+k4） 22（k 1k2+k3k4）4+408【点评】本题考查圆锥曲线的综合，着重考查整体代换与方程思想，培养学生综合分析问题，解决问题的能力，属于难题23已知 Sn 是数列a n的前 n 项和，对
40、任意 nN*，都有（ 1m）S nma n+4n（m0） ；（1）若 m4，求证：数列 是等差数列，并求此时数列a n的通项公式；第 22 页（共 24 页）（2）若 m4，求证：数列a n+ 4n是等比数列，并求此时数列 an的通项公式；（3）设 bn （nN *） ，若|b n|2，求实数 m 的取值范围；【分析】 （1）运用数列的递推式，求得首项，a n4a n1 +34n1 ，可得 +3，结合等差数列的定义和通项公式可得所求；（2）运用数列的递推式，可得首项，a nma n1 +34n1 ，可得当 m4 时，an+ 4nm （a n1 + 4n1 ） ，运用等比数列的定义和通项公式可得
41、所求；（3）结合（1） （2）结论，讨论 m4，m 4，0m1，m1，1m4，运用条件|bn|2，结合指数函数的单调性，即可得到所求范围【解答】解：（1）证明：3S n4a n+4n，n1 时，3S 14a 1+43a 1，可得 a14；n2 时，3S n1 4a n1 +4n1 ，且3S n4a n+4n，相减可得 3an4a n4a n1 34 n1 ，即有 an4a n1 +34n1 ，可得 +3，数列 是首项为 4，公差为 3 的等差数列；则 4+3（n1）3n+1，即 an（3n+1）4 n1 ；（2） （1m）S nma n+4n（m 0） ，n1 时， （1m）S 1ma 1+4
42、（1m ）a 1，可得 a14，第 23 页（共 24 页）n2 时， （1m）S n1 ma n1 +4n1 ，且（1m）S nma n+4n，相减可得（1m）a nma n+man1 +34n1 ，即 anma n1 +34n1 ，可得当 m4 时，a n+ 4nm （a n1 + 4n1 ） ，数列a n+ 4n是首项为 ，公比为 m 的等比数列，即有 an+ 4n mn1 ，可得 an mn1 4n；（3）b n （nN *） ，若|b n|2，显然 m4 时，b n ，不满足条件；则 m4，可得 bn （ ） n ，可得2+ （ ） n2+ ，显然 m4， （ ） n 递增，不满足条件；则 0m4，m1 时，2101 显然成立；当 0m1 时，n1 时， （ ） n 的最大值为 ，2+ ，即为 2m5m 1 恒成立；当 1m 时， （ ） n 的最大值为 0，2+ 0，满足条件；当 m4 时，2+ 0， （ ） n 的最大值为 0，不满足条件综上可得 m 的取值范围是（ 0， 【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、构造法，考查了第 24 页（共 24 页）推理能力与计算能力，属于难题
