1、一个面积为 1 的扇形，所对弧长也为 1，则该扇形的圆心角是 弧度 2 （3 分）计算 sin40sin100sin50sin10 3 （3 分）函数 ysinx，的反函数记为 g（x） ，则 4 （3 分）在ABC 中，若，b1，A60，则 B 5 （3 分）已知等比数列an中，a24，a68，则 a10 6 （3 分）已知等差数列an，若 a1+a5+a94，则 sin（a2+a8） 7 （3 分）已知数列an（nN*）中，a11，an+1，则 an 8 （3 分） 把函数的图象向右平移 （0） 个单位， 使得点 成为图象的一个对称中心，则 的最小值是 9 （3 分）函数 f（x）（xR）
2、的最小值为 10 （3 分）正整数列an满足 a1a，且对于 nN*有 an+1，若 a6 1，则 a 的所有可能取值为 11 （3 分）定义在 R 上的奇函数 yf（x）满足 f（tanx）sin（2x）对任意成 立，则 f（x）值域为 12 （3 分）T1是一个边长为 1 的正三角形，T2是将该正三角形沿三边中点连线等分成四份 后去掉中间一份的正三角形后所形成的图形， 依此类推 Tn+1是对 Tn中所含有的所有正三 角形都去掉中间一份（如图） ，记 Sn为 Tn的面积，QnS1+S2+Sn，则 Qn 二二.选择题选择题 13 （3 分）在ABC 中， “sinA”是“A”的（ ）条件 A充
3、分非必要 B必要非充分 第 2 页（共 16 页） C充要 D既非充分又非必要 14 （3 分）以下哪个不是可能的取值（ ） A2 B1 C D7 15 （3 分）若等差数列an首项为 2，公差为 2，其前 n 项和记为 Sn，则数列前 n 项 和为（ ） A B C D 16 （3 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （其中 A、 均为正的常数）的最小正周期 为，当时，函数 f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（ ） Af（1）f（1）f（0） Bf（0）f（1）f（1） Cf（1）f（0）f（1） Df（1）f（0）f（1） 三三.解答题解答题 17已知 cos（+），tan，且 、
4、 （1）求 cos2sin2+sincos 的值； （2）求 2+ 的值 18已知函数 （1）求 yf（x）的单调减区间； （2）当 x时，求 f（x）的最大值和最小值 19ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 b+c1，且（a+c） （ac）b （bc） （1）求角 A 的大小； （2）求三角形面积 SABC的最大值 20设数列an的前 n 项和为 Sn，且（Sn1）2anSn（nN*） ，设 bn（1）n+1（n+1） 2anan+1（nN*） ，数列bn的前 n 项和 Tn （1）求 S1、S2、S3的值； （2）利用“归纳猜想证明”求出 Sn的通项公式； （3）
5、求数列Tn的通项公式 21已知数列an和bn满足 a11，b10，4an+13anbn+4，4bn+13bnan4 第 3 页（共 16 页） （1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列； （2）求an和bn的通项公式； （3）令，求数列cn的前 n 项和 Sn的通项公式，并求数列的 最大值、最小值，并指出分别是第几项 第 4 页（共 16 页） 2019-2020 学年上海市复旦附中高一（下）期中数学试卷学年上海市复旦附中高一（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 （3 分）一个面积为 1 的扇形，所对弧长也为 1，则该扇形的圆心角是 弧度
6、 【分析】利用扇形面积公式即可算出结果 【解答】解：扇形面积公式为 S， 1，r2， 扇形的圆心角|， 故答案为： 【点评】本题主要考查了扇形面积公式，以及弧长公式，是基础题 2 （3 分）计算 sin40sin100sin50sin10 【分析】直接利用三角函数的诱导公式的应用求出结果 【解答】解：算sin40sin100sin50sin10 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的诱导公式的应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 3 （3 分）函数 ysinx，的反函数记为 g（x） ，则 【分析】令函数 ysinx，解得 x，
7、从而得出结论 【解答】解：函数 ysinx，的反函数记为 g（x） ， 令函数 ysinx，解得 x， 故 g（）， 故答案为： 【点评】本题主要考查函数与反函数的关系，属于基础题 第 5 页（共 16 页） 4 （3 分）在ABC 中，若，b1，A60，则 B 【分析】利用正弦定理即可算出结果 【解答】解：根据正弦定理，得， sinB，又B（0，） ，ba B， 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理得应用，是基础题 5 （3 分）已知等比数列an中，a24，a68，则 a10 16 【分析】由已知结合等比数列的性质即可直接求解 【解答】解：因为等比数列an中，a24，a68， q42，
8、 则 a108216 故答案为：16 【点评】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题 6 （3 分）已知等差数列an，若 a1+a5+a94，则 sin（a2+a8） 【分析】a1+a5+a94，利用等差数列的性质可得：3a54，a5，可得 sin（a2+a8） sin（2a5） 【解答】解：a1+a5+a94， 3a54，a5， 则 sin（a2+a8）sin（2a5）sinsin 故答案为： 【点评】本题考查了等差数列的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 7 （3 分）已知数列an（nN*）中，a11，an+1，则 an 第 6 页（共 16 页） 【
9、分析】由 an+1，取倒数，可得是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 即可得出结论 【解答】解：an+1， 2， 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 2n1， an 故答案为： 【点评】本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的通项，属于基础性试题 8 （3 分） 把函数的图象向右平移 （0） 个单位， 使得点 成为图象的一个对称中心，则 的最小值是 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性， 得出结论 【解答】解：把函数 的图象向右平移 （0）个单位， 可得 y3sin（x+）1 的图象， 使得点成为图象的一个对称中心， 则 3sin（+）0，
10、+k，kZ 故当 k1 时，得到 的最小正值为 ， 故答案为： 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称 性，属于基础题 9 （3 分）函数 f（x）（xR）的最小值为 【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换和关系式的恒等变换的应用和函数的最值 第 7 页（共 16 页） 的应用求出结果 【解答】解：函数 f（x）（xR） ， sinx+cosx， 当 x时， （sin2x）min1 所以 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 10 （3 分
11、）正整数列an满足 a1a，且对于 nN*有 an+1，若 a6 1，则 a 的所有可能取值为 4、5 或 32 【分析】因为数列an的各项都为正整数，由 a61 一直倒推至 a1即可解题 【解答】解：a61，a52，a44， a38 或 1， 当 a38 时，a216，a132 或 5， 当 a31 时，a22，a14， 综上所述，a 的所有可能取值为 4、5 或 32， 故答案为：4、5 或 32 【点评】本题主要考查了数列的递推式，考查了考生对数列的分析与应用能力，是中档 题 11 （3 分）定义在 R 上的奇函数 yf（x）满足 f（tanx）sin（2x）对任意成 立，则 f（x）值
12、域为 1，1 【分析】根据题意，分析可得 f（tanx）sin（2x）2sinxcosx ，进而可得 f（x）在 x0 时的解析式，据此可得当 x0 时，有 0f（x）1， 结合奇函数的性质可得 f（0）0，且当 x0 时，1f（x）0，综合可得答案 第 8 页（共 16 页） 【解答】解：根据题意，f（tanx）sin（2x）2sinxcosx， 若，则 tanx0， 则当 x0 时，f（x）， 又由 x+2， （当且仅当 x1 时等号成立） ，即 0f（x）1， 又由 f（x）为定义在 R 上的奇函数，则 f（0）0，且当 x0 时，1f（x）0， 综合可得：1f（x）1，即 f（x）的值
13、域为1，1； 故答案为：1，1 【点评】本题考查函数解析式的计算，涉及函数值域的求法，属于基础题 12 （3 分）T1是一个边长为 1 的正三角形，T2是将该正三角形沿三边中点连线等分成四份 后去掉中间一份的正三角形后所形成的图形， 依此类推 Tn+1是对 Tn中所含有的所有正三 角形都去掉中间一份（如图） ，记 Sn为 Tn的面积，QnS1+S2+Sn，则 Qn 【分析】观察图形得到三角形个数的规律，边长的规律，从而得到三角形的面积 Sn，发 现数列Sn是公比为，首项为的等比数列，再利用等比数列的前 n 项和 公式即可算出结果 【解答】解：对于 T1：三角形个数为 301，边长为 1， 对于
14、 T2：三角形个数为 313，边长为（）1， 对于 T3：三角形个数为 329，边长为（）2， 对于 T4：三角形个数为 3327，边长为（）3， 对于 Tn：三角形个数为 3n 1，边长为（ ）n 1， S1 1 ， S2 3 ， 第 9 页（共 16 页） ，S427 ， 数列Sn是公比为，首项为的等比数列， Qn1（）n， 故答案为：1（）n 【点评】本题主要考查了合情推理中的归纳推理，以及等比数列的性质，是中档题 二二.选择题选择题 13 （3 分）在ABC 中， “sinA”是“A”的（ ）条件 A充分非必要 B必要非充分 C充要 D既非充分又非必要 【分析】在ABC 中， “sin
15、A”A，即可判断出关系 【解答】解：在ABC 中， “sinA”AA，反之不成立 “sinA”是“A”的充分非必要条件 故选：A 【点评】本题考查了三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题 14 （3 分）以下哪个不是可能的取值（ ） A2 B1 C D7 【分析】通过 q 的取值，判断表达式的极限，推出选项即可 【解答】解：当1q1 时，2，所以 A 正确； 当 q1 时，1，所以 B 正确； 第 10 页（共 16 页） 当|q|1 时，所以 C 正确； 当 q1 不存在极限 故选：D 【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，是中档题 15 （3 分
16、）若等差数列an首项为 2，公差为 2，其前 n 项和记为 Sn，则数列前 n 项 和为（ ） A B C D 【分析】先由题设条件求出 Sn与，再利用裂项相消法求数列前 n 项和 【解答】解：由题意知：Sn2n+n（n+1） ， 数列前 n 项和为1 故选：B 【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及裂项相消法在数列求和中的应用，属 于基础题 16 （3 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （其中 A、 均为正的常数）的最小正周期 为，当时，函数 f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（ ） Af（1）f（1）f（0） Bf（0）f（1）f（1） Cf（1）f（0）f（1） Df
17、（1）f（0）f（1） 【分析】首先利用函数的最小正周期为和时，函数 f（x）取得最小值，求出函 数的关系式，进一步利用函数的单调性的应用求出结果 【解答】解：已知函数 f（x）Asin（x+） （其中 A、 均为正的常数）的最小正 周期为， 4 当时，函数 f（x）取得最小值，故 4+2k，kZ， 整理得 2k， 第 11 页（共 16 页） 当 k1 时， 则：f（x）Asin（4x+） 所以 f（0）Asin0， f（1）Asin（）Asin（3，48）Asin0.34 f（1）Asin（4+）sin（4.52）0 所以 f（1）f（1）f（0） 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：三
18、角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用， 函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 三三.解答题解答题 17已知 cos（+），tan，且 、 （1）求 cos2sin2+sincos 的值； （2）求 2+ 的值 【分析】 （1）利用角的变换的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果 （2）利用角的恒等变换的应用求出结果 【解答】解： （1）已知 cos（+），tan，且 、 所以 0+， 故，tan（+）， 由于，解得 tan 所以 cos2sin2+sincos （2）tan（2+）tan（+）+ 所以 2+ 第 12 页（共 16 页） 【点评
19、】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，角的恒等变换的应用，主 要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 18已知函数 （1）求 yf（x）的单调减区间； （2）当 x时，求 f（x）的最大值和最小值 【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积 （1）利用复合函数的单调性求解函数的单调减区间； （2）由 x 的范围求得相位的范围，进一步求解函数的最值 【解答】解： （1）由，解得 kxk，kZ yf（x）的单调减区间为（kZ） ； （2）当 x时，2x， 则当 2x时，f（x）取得最小值， 当 2x时，f（x）取得最大值 1+ f（x）的最大值为，最小值为 1 【点评】
20、本题考查 yAsin（x+）型函数的性质，考查两角和与差的三角函数，是中 档题 19ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 b+c1，且（a+c） （ac）b （bc） （1）求角 A 的大小； （2）求三角形面积 SABC的最大值 【分析】 （1）根据余弦定理求出 cosA 和 A 的值； （2）利用基本不等式求出 bc 的最大值，再求三角形面积 SABC的最大值 【解答】解： （1）ABC 中，由（a+c） （ac）b（bc） ， 第 13 页（共 16 页） 得 a2c2b2bc，b2+c2a2bc， 所以 cosA； 又 A（0，） ， 所以 A； （2）由 b+
21、c1，A，所以 bc， 当且仅当 ab时取等号， 所以三角形面积 SABC的最大值为： SmaxbcsinAsin 【点评】本题主要考查了余弦定理和基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力， 是基础题 20设数列an的前 n 项和为 Sn，且（Sn1）2anSn（nN*） ，设 bn（1）n+1（n+1） 2anan+1（nN*） ，数列bn的前 n 项和 Tn （1）求 S1、S2、S3的值； （2）利用“归纳猜想证明”求出 Sn的通项公式； （3）求数列Tn的通项公式 【分析】 （1）分别令 n1，2，3 计算 an，再计算 Sn； （2）根据（1）的结果猜想，再利用数学归纳法证明； （
22、3）讨论 n 的奇偶性，再根据裂项法求和 【解答】解： （1）当 n1 时， （a11）2a12，解得：a1， 当 n2 时， （+a21）2a2（+a2） ，解得：a2， 当 n3 时， （+a31）2a3（+a3） ，解得：a3 S1a1，S2a1+a2，S3a1+a2+a3 （2）猜想：（nN ） ； 证明：当 n1 时，猜想显然成立， 假设 nk 时猜想成立，即， 由（Sn1）2anSn（nN*）可得： （Sn+11）2an+1Sn+1， 第 14 页（共 16 页） 即（Sn+an+11）2an+1（Sn+an+1） ， （an+1）2an+1（+an+1） ， an+1， Sn+1
23、Sn+an+1+ 当 nk+1 时，猜想成立， 所以：（nN ） （3）由（Sn1）2anSn可得 an， bn（1）n+1（n+1）2anan+1（1）n+1（） ， 若 n 为奇数（n3） ， b1+b3+b5+bn（1+）（1） ， b2+b4+b6+bn1 （+） （） （ ） ， Tn（+）（+） 若 n 为偶数， b1+b3+b5+bn1（1+）（1） ， b2+b4+b6+bn（+）（） ， Tn（+）（） 综上， 【点评】本题考查了数学归纳法，裂项法求和，属于中档题 21已知数列an和bn满足 a11，b10，4an+13anbn+4，4bn+13bnan4 （1）证明：an+
24、bn是等比数列，anbn是等差数列； （2）求an和bn的通项公式； （3）令，求数列cn的前 n 项和 Sn的通项公式，并求数列的 第 15 页（共 16 页） 最大值、最小值，并指出分别是第几项 【分析】 （1）由 4an+13anbn+4，4bn+13bnan4，两式相加推证an+bn是等 比数列，两式相减推证anbn是等差数列； （2）由（1）先求出 an+bn（）n 1，a nbn1+2（n1）2n1，再利用两式相加、 相减求出通项公式即可； （3）由（2）先求出 cn+（1）n 1（n ） ，再求其前 n 项和 Sn的通项公式，进 而求的最值 【解答】解： （1）证明：a11，b1
25、0，a1+b1a1b11又4an+13anbn+4， 4bn+13bnan4，由+可得：4（an+1+bn+1）2（an+bn） ，即， 数列an+bn是首项为 1，公比为的等比数列；由可得：4（an+1bn+1）4 （anbn）+8，即（an+1bn+1）（anbn）2，数列anbn是首项为 1，公差为 2 的等差数列 （2）解：由（1）知：an+bn（）n 1，a nbn1+2（n1）2n1，由+ 整理得：；由整理得：，故， ； （3）解：由（2）得 cn，即 cn+（1）n 1（n ） 当 n 为偶数时，Sn+（1）（2）+（3）（4）+ +（n1）（n）1； 当 n 为奇数时，Sn+（1）（2）+（3）（4）+ +（n2）（n1）+n+1， 第 16 页（共 16 页） 即 Sn1（）n 易知：的最大值为1，为第一项；最小值为4，为第二项 【点评】本题主要考查等差、等比数列的定义，通项公式的求法、前 n 项和的求法及数 列中的项的最值问题，属于中档题
