1、2018 年上海市黄浦区格致中学高考数学三模试卷一、填空题1 （5 分）已知集合 Ax|x1|3，B x|xa，若 AB，则实数 a 的取值范围是 2 （5 分）已知直线 11：x+2y+10 与 l2：2x+by40 平行，则 11 与 l2 的距离为 3 （5 分）已知点（3，9）在函数 f（x ）1+a x 的图象上，yf （x ）的反函数为yf 1 （x ） ，则 f1 （11） 4 （5 分）已知 x，y 满足 ，则 zx 2y 的最小值等于 5 （5 分）一圆
2、柱的主视图与左视图都是长为 4，高为 3 的矩形，则此圆柱的表面积为 6 （5 分）已知（a+bi） 23+4i （a，bR ，i 是虚数单位） ，则 a2+b2 7 （5 分）在（x 2 ） n 的二项式中，有且只有第五项的二项式系数最大，则 +（1） n 8 （5 分）某工厂生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为 0.01 与 0.03，每道工序生产废品相互独立，那么经过两道工序后得到的零件是合格品的概率等于 （精确到 001）9 （5 分）已知
3、PA 垂直于ABC 所在平面 ，D 为 BC 的中点，又 PB，PD，PC 与平面所成的角分别为 60，45，30，若 BC6，则 PA 10 （5 分）已知集合 A，B 都含有 12 个元素，AB 含有 4 个元素，集合 C 含有 3 个元素，且满足 CAB，CA ，CB，则满足条件的集合 C 共有 个11 （5 分）设函数 f（x ） x，则不等式 f（1x 2）+f （5x 7）0 的解集为 12 （5 分）在边长为 8 的正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，N 是 DA 边上的一点，且|DN|3
4、| NA|，若对于常数 m，在正方形 ABCD 的边上恰有 6 个不同的点 P 满足：第 2 页（共 20 页） m，则实数 m 的取值范围是 二、选择题13 （3 分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程 ，当 （0 ， ） ）为常数，t 为参数，方程表示的曲线为 C1：当 为参数，t（t0）为常数时，方程表示的曲线为 C2下列关于 C1， C2 叙述正确的是（ ）AC 1 与 C2 没有公共点BC 1 与 C2 有且只有一个公共点CC 1 与 C2 有且只有两个公共点DC 1 与 C2 至少有三个公共点14 （3 分）明代数学家程大位（15331606
5、 年）所著算法统宗中有这样一个问题：“旷野之地有个桩，桩上系着一腔羊，团团踏破三亩二试问羊绳几丈长”意思是“一条绳索系着一只羊，羊踏坏一块面积为 3.2 亩的圆形庄稼，试求绳的长度（即圆形半径 ”（明代度量制：1 步5 尺，1 亩240 平方步，1 丈10 尺，圆周率取 3） （ ）A6 丈 B8 丈 C12 丈 D16 丈15 （3 分）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（ ）Aarccos Barcsin Carccos Darcsin16 （3 分）已知函数 f（x ）|x+1|+|x| |x2| ，则函数 g（x）f（f （x ） ）+1 的零
6、点有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D多于 3 个三、解答题17如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别是 BD，B 1C 上的点（1）若 E，F 分别是 BD，B 1C 上的中点，求证：BCEF；（2）若 BEB 1F B1C，求直线 EF 与 CD 所成角的大小第 3 页（共 20 页）18已知数 f（x ）2cos x（ cosx+ sinx）1，x R（1）求函数 f（x ）的最大值及取得最大值时 x 的取值集合；（2）设点 Pn（x n，y n） （n 1，2，3）都在函数 yf（x）的图象上，且满足x1 ，x n+1x n （nN *） ，求：y
7、1+y2+y2018 的值19已知某种气垫船的最大航速是 48 海里/小时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比若船速为 30 海里/小时，则船每小时的燃料费用为 600 元，其余费用（不论船速为多少）都是每小时 864 元甲乙两地相距 100 海里，船从甲地匀速航行到乙地（1）试把船从甲地到乙地所需的总费用 y 表示为船速 x（海里/小时）的函数，并指出函数的定义域；（2）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？最少费用为多少元？20双曲线 C： 1 的左右焦点分别 F1，F 2，左右顶点分别 A，B，点 P 是 C 上的动点（1）若点 P 在第一象限，且|PF 1|2
8、|PF 2|，求点 P 的坐标；（2）点 P 与 A，B 不重合，直线 PA，PB 分别交 y 轴于 M，N 两点，求证：|MN|2 ；（3）若点 P 在左支上，是否存在实数 t，使得 P 到直线 xt 的距离与| PF1|之比为定值？若存在，求出 t 的值，若不存在，说明理由21对于给定的正整数 k，若无穷数列a n对于任意的 nk（nN *）都满足：第 4 页（共 20 页）ank +ank+1 +an1 +an+1+an+k1 +an+k2ka n，则称数列a n是 H（k）数列（1）若 antn 2+sn（t，sR ，t0） ，判断a n是否为 H（2）数列，说明理由；（2）已知 an
9、log 2（2 n+an） （ a0） ，数列是a n是 H（1）数列，求 a 的值；（3）若数列a n既是 H（2）又是数列 H（3）数列，求证：数列a n是等差数列第 5 页（共 20 页）2018 年上海市黄浦区格致中学高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题1 （5 分）已知集合 Ax|x1|3，B x|xa，若 AB，则实数 a 的取值范围是 （，2 【分析】可解出 Ax| 2x4，根据 AB即可得出 a2，即得出 a 的范围【解答】解：Ax| 2x 4；AB ；a2；实数 a 的取值范围是（，2故答案为：（，2【点评】考查绝对值不等式的解法，描述法的定义，交集和空集的定义2 （
10、5 分）已知直线 11：x+2y+10 与 l2：2x+by40 平行，则 11 与 l2 的距离为 【分析】利用两平行线间距离公式直接求解【解答】解：直线 11：x+2y +10 与 l2：2x+by40 平行，直线 12：x+2y 201 1 与 l2 的距离 d 故答案为： 【点评】本题考查两平行线间的距离，考查两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3 （5 分）已知点（3，9）在函数 f（x ）1+a x 的图象上，yf （x ）的反函数为yf 1 （x ） ，则 f1 （11） log 210 【分析】先由点（3，9）在 f（x ）的图象上，得 a2，
11、再令 f（x）11 解得 xlog 2 10 即得【解答】解：因为点（3，9）在函数 f（x ）1+a x 的图象上，所以 91+a 3，a2，f（ x）1+2 x，第 6 页（共 20 页）令 f（x）1+2 x11，解得 xlog 2 10，故答案为 log2 10【点评】本题考查了反函数，属基础题4 （5 分）已知 x，y 满足 ，则 zx 2y 的最小值等于 6 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由 x，y 满足 作出可行域如图，联立 ，解得 A（ ， ） ，化目标函数 zx2y 为
12、 y ，由图可知，当直线 y 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为6故答案为：6【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题5 （5 分）一圆柱的主视图与左视图都是长为 4，高为 3 的矩形，则此圆柱的表面积为 20 【分析】由圆柱的主视图和左视图知该圆柱的底面直径为 4，高为 3，由此求出圆柱的表面积【解答】解：由圆柱的主视图和左视图知，该圆柱的底面直径为 4，高为 3，所以圆柱的表面积为两个底面圆面积加侧面展开图形面积，第 7 页（共 20 页）即 S2r 2+2rl22 2+22320故答案为：20【点评】本题考查了圆柱的表面积计算问题，也考查了
13、圆柱的结构特征应用问题，是基础题6 （5 分）已知（a+bi） 23+4i （a，bR ，i 是虚数单位） ，则 a2+b2 5 【分析】根据复数相等，建立方程关系求出 a，b 的值即可【解答】解：由（a+bi） 2 3+4i，得 a2+2abib 23+4i，则 ，得 或 ，则 a2+b25，故答案为：5【点评】本题主要考查复数的计算，根据复数相等的定义建立方程组关系是解决本题的关键7 （5 分）在（x 2 ） n 的二项式中，有且只有第五项的二项式系数最大，则 +（1） n 【分析】由已知求得 n，再由 + +（1） n 求解【解答】解：（x 2 ） n 的二项式
14、中，有且只有第五项的二项式系数最大，则 n8 + + （1） n 故答案为： 【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别，是基础题8 （5 分）某工厂生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为 0.01 与 0.03，每道工序生产废品相互独立，那么经过两道工序后得到的零件是合格品的概率等于 0.960 （精确到 001）【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出经过两道工序后得到的零件是合格品的概率第 8 页（共 20 页）【解答】解：某工厂生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为 0.01 与
15、 0.03，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件是合格品的概率等于：p（10.01） （10.03）0.960故答案为：0.960【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9 （5 分）已知 PA 垂直于ABC 所在平面 ，D 为 BC 的中点，又 PB，PD，PC 与平面所成的角分别为 60，45，30，若 BC6，则 PA 【分析】画出图形，设出高 PA 并转化底面三角形的边长，利用余弦定理求解即可【解答】解：由题意可得几何体的图形如图：设 PAh，由题意 PA 垂直于ABC 所在的平面 ，可得P
16、BA60 、PDA 45、PCA 30，则 AB h，AD h，AC h，在底面三角形 ABC 中，由余弦定理可得（ ） 23 2+h223hcosADB ， （ h） 23 2+h223hcos ADC，可得（3+ ）h 29+9+2h 2，解得 h 故答案为：【点评】本题考查空间几何体的距离的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力第 9 页（共 20 页）10 （5 分）已知集合 A，B 都含有 12 个元素，AB 含有 4 个元素，集合 C 含有 3 个元素，且满足 CAB，CA ，CB，则满足条件的集合 C 共有 1028 个【分析】按照 C 中含有 AB 中元素个
17、数分 4 类计算可得【解答】解：依题意设 Aa 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，x 1，x 2，x 3，x 4，B b1， b2，b 3，b 4，b 5，b 6，b 7，b 8，x 1，x 2，x 3，x 4，当 C（AB ）时，集合 C 共有 4 个；当 C 中含有 AB 中 2 个元素时，集合 C 共有 96 个；当 C 中含有 AB 中 1 个元素时，集合 C 共有 480 个；当 C 中不含 AB 中元素时，集合 C 共有 + 448 个故满足题意得 C 共有 1028 个故答案为：1028 个【点评】本题考查了交，并，补集的混合运算，属中档题11 （5 分
18、）设函数 f（x ） x，则不等式 f（1x 2）+f （5x 7）0 的解集为 （2，3） 【分析】容易得出 f（x ）为 R 上的奇函数，并得出 f（x ）2 x 2 xx ，从而看出f（x）为 R 上的减函数，这样即可由原不等式得到不等式 1x 275x，解出 x 的范围即可【解答】解：f（x ）的定义域为 R；f（x）为奇函数；又 f（x）2 x2 xx ，且 y2 x ，y2 x 和 yx 都是减函数；f（x）在 R 上是减函数；由 f（1x 2） +f（5x 7） 0 得，f （1x 2）f（75x） ；1x 275x ；解得 2x3；原不等式的解集为（2，3） 第 10 页（共
19、20 页）故答案为：（2，3） 【点评】考查奇函数的定义及判断，减函数的定义，指数函数和一次函数的单调性，一元二次不等式的解法12 （5 分）在边长为 8 的正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，N 是 DA 边上的一点，且|DN|3| NA|，若对于常数 m，在正方形 ABCD 的边上恰有 6 个不同的点 P 满足： m，则实数 m 的取值范围是 （1，8） 【分析】建立坐标系，逐段分析 的取值范围及对应的解得答案【解答】解：以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系如图：如图，则 N（0，2） ，M（8，4）（1）若 P 在 AB 上，设
20、 P（x ，0） ，0x8 （x，2） ， （8x，4） x 28x +8，x0， 8，8 8，当 m8 时有一解，当 8m 8 时有两解；（2）若 P 在 AD 上，设 P（0，y） ，0y8， （0，2y） ， （8，4y） （2y） （4y ）y 26y+80y8，1 24当 m1 或 8m24 时有唯一解；当1m8 时有两解第 11 页（共 20 页）（3）若 P 在 DC 上，设 P（x，8） ，0x 8 （x，6） ， （8x，4） ， x 28x +24，0x8，8 24，当 m8 时有一解，当 8 m24 时有两解（4）若 P 在 BC 上，设 P（8，y） ，0y8， （8，
21、2y） ， （0，4y） ， （2y）（4y）y 26y+80y8，1 24，当 m1 或 8m24 时有一解，当1m8 时有两解综上，在正方形 ABCD 的四条边上有且只有 6 个不同的点 P，使得 m 成立，那么 m 的取值范围是（1，8 ）故答案为（1，8）【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，分类讨论思想，属难题二、选择题13 （3 分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程 ，当 （0 ， ） ）为常数，t 为参数，方程表示的曲线为 C1：当 为参数，t（t0）为常数时，方程表示的曲线为 C2下列关于 C1， C2 叙述正确的是（ ）AC 1 与 C2 没有公共点BC
22、 1 与 C2 有且只有一个公共点CC 1 与 C2 有且只有两个公共点DC 1 与 C2 至少有三个公共点【分析】直接利用直线和圆的位置关系的应用，首先判断曲线对应的轨迹，进一步求出交点的个数，求出结果【解答】解：曲线的参数方程 ，当 （0 ， ） ）为常数，t 为参数，方程表示的曲线为 C1：该曲线为经过定点（2，1）的直线当 为参数，t（t0）为常数时，方程表示的曲线为 C2该曲线为以（2，1）为圆心 t 为半径的圆第 12 页（共 20 页）故直线与圆必有两个交点故选：C【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，轨迹方程的确定，主要考查学生的运算能力和转化
23、能力，属于基础题14 （3 分）明代数学家程大位（15331606 年）所著算法统宗中有这样一个问题：“旷野之地有个桩，桩上系着一腔羊，团团踏破三亩二试问羊绳几丈长”意思是“一条绳索系着一只羊，羊踏坏一块面积为 3.2 亩的圆形庄稼，试求绳的长度（即圆形半径 ”（明代度量制：1 步5 尺，1 亩240 平方步，1 丈10 尺，圆周率取 3） （ ）A6 丈 B8 丈 C12 丈 D16 丈【分析】设绳的长度（即圆形半径为 R，写出圆的面积公式，通过单位换算即可求得答案【解答】解：设绳的长度（即圆形半径为 R，由题意可得：3.2 亩 平方丈R 23R 2，可得：R 264，解得：R8
24、 丈故选：B【点评】本题考查圆的面积公式及其应用，是基础的计算题15 （3 分）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（ ）Aarccos Barcsin Carccos Darcsin【分析】设 RtABC 中，C ，则 A 与 B 互余且 A 为最小内角根据等比数列的性质得 sin2BsinA，求的 sinA，进而求的 A【解答】解：设 RtABC 中，C ，则 A 与 B 互余且 A 为最小内角又由已知得 sin2BsinA，即 cos2AsinA，1sin 2AsinA，解得 sinA 或 sinA （舍） 故选：B【点评】本题主要考查了等比数列的性质和同角三
25、角函数基本关系的应用属基础题16 （3 分）已知函数 f（x ）|x+1|+|x| |x2| ，则函数 g（x）f（f （x ） ）+1 的零点有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D多于 3 个第 13 页（共 20 页）【分析】由分段函数的解析式求法得：f（x ）|x+1|+|x| |x2| ，由函数的零点与函数图象的交点的相互转化得：函数 g（x）f（f（x） ）+1 的零点的个数为函数 f（x）的图象与直线 t2、t 0 的交点个数之和，作图观察即可得解【解答】解：f（x）|x +1|+|x|x2| ，令 tf（x） ，解方程 f（t）1，得：t2 或 t0，函数 g（x）
26、f（f（x ） ）+1 的零点的个数为函数 f（x）的图象与直线 t2、t0 的交点个数之和，由图知：函数 f（x ）的图象与直线 t2、t 0 的交点个数之和为 3 个，函数 g（x）f（f（x ） ）+1 的零点的个数为 3 个，故选：C【点评】本题考查了分段函数的解析式及函数的零点与函数图象的交点个数问题的相互转化，属中档题三、解答题17如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别是 BD，B 1C 上的点（1）若 E，F 分别是 BD，B 1C 上的中点，求证：BCEF；第 14 页（共 20 页）（2）若 BEB 1F B1C，求直线 EF 与 CD 所成角的大小【分析
27、】 （1）以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD 1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 a，分别求出 的坐标，由数量积为 0 证明BCEF；（2）当 BEB 1F B1C 时，分别求出 D，C ，E，F 的坐标，得到 的坐标，由数量积求夹角公式即可求得直线 EF 与 CD 所成角的大小【解答】 （1）证明：以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC， DD1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为 a，当 E，F 分别是 BD，B 1C 上的中点时，B（a，a，0） ，C（0，a，0） ，E （ ， ，0） ，F（ ） ， ， ， ，即 BC
28、EF ；（2）解：当 BEB 1F B1C 时，D（0，0，0） ，C（0，a，0） ，E（ ） ，F（ ） ， cos 第 15 页（共 20 页）直线 EF 与 CD 所成角的大小为 arccos 【点评】本题考查利用空间向量求解空间角，由已知正确求出所用点的坐标是关键，是中档题18已知数 f（x ）2cos x（ cosx+ sinx）1，x R（1）求函数 f（x ）的最大值及取得最大值时 x 的取值集合；（2）设点 Pn（x n，y n） （n 1，2，3）都在函数 yf（x）的图象上，且满足x1 ，x n+1x n （nN *） ，求：y 1+y2+y2018 的值【分析】 （1）
29、首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最大值（2）利用（1）的函数的关系式，进一步利用函数的周期性求出函数的值【解答】解：（1）函数 f（x）2cos x（cos x+ sinx）1， 1， ，2sin（2x+ ） 当 （kZ） ，即：|x k （kZ）时，函数的最大值为 2（2）点 Pn（x n，y n） （n1， 2，3）都在函数 yf（x ）的图象上，则： ，第 16 页（共 20 页）当 x1 ，解得： ，由于：x n+1x n （nN *） ，所以： ，则： ，同理解得：y 31，y 42，y51，y 61，所以函数的周期为 3，则：20183
30、6723+2，y1+y2+y2018y 1+y2211【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的周期性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型19已知某种气垫船的最大航速是 48 海里/小时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比若船速为 30 海里/小时，则船每小时的燃料费用为 600 元，其余费用（不论船速为多少）都是每小时 864 元甲乙两地相距 100 海里，船从甲地匀速航行到乙地（1）试把船从甲地到乙地所需的总费用 y 表示为船速 x（海里/小时）的函数，并指出函数的定义域；（2）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需的
31、总费用最少？最少费用为多少元？【分析】 （1）由题意建立函数关系，写出自变量的取值范围即可；（2）利用基本不等式进行求解，得出最小值以及对应船速 x 的值【解答】解：（1）由题意知船速为 x（海里/ 小时） ，每小时使用的燃料费用 Eax 2，已知船速为 30 海里/时，每小时的燃料费用为 600 元，则：600a30 2；得 a ，从甲地到乙地的总费用为：第 17 页（共 20 页）y x2 +864 + ，其中 0x48；（2）y + ， （0x48） ；y + 2 224004800，当且仅当 ，即 x36，即当船速为 36 海里每小时，总费用最少，最少总费用为 4800 元【点评】本题
32、主要考查了函数解析式的求解以及函数的应用问题，也考查了利用基本不等式求最小值的问题，是中档题20双曲线 C： 1 的左右焦点分别 F1，F 2，左右顶点分别 A，B，点 P 是 C 上的动点（1）若点 P 在第一象限，且|PF 1|2|PF 2|，求点 P 的坐标；（2）点 P 与 A，B 不重合，直线 PA，PB 分别交 y 轴于 M，N 两点，求证：|MN|2 ；（3）若点 P 在左支上，是否存在实数 t，使得 P 到直线 xt 的距离与| PF1|之比为定值？若存在，求出 t 的值，若不存在，说明理由【分析】 （1）根据双曲线的定义，以及|PF 1|2|PF 2|，求出|PF 2|4，设
33、 P（x，y ） ，x2，y0，可得（x 3） 2+y216， ， 1，解得即可，（2）不妨设点 P 在第一象限，坐标为（x 0，y 0） ，分别求出直线 PA，PB 的方程，求出点 M，N 的坐标，即可得到|MN| 2 2 ，问题得以证明，（3）设点（x 0，y 0） ，由 1，可得 y02 （x 024） ，则（ ） 2 ，即可求出当 t 时，到直线 xt 的距离与| PF1|之比为定值【解答】解：（1）双曲线 C： 1 中 a24，b 25，则 c2a 2+b29第 18 页（共 20 页）由题意可得 F1（3，0） ，F 2（3，0） ，设 P（x ，y） ，x2，y0|PF 1| 2
34、|PF2|，|PF 1|PF 2|2a4，|PF 2| 4，（x3） 2+y216， 1，由解得 x4，y ，故 P（4， ） ，证明（2）不妨设点 P 在第一象限，坐标为（x 0，y 0） ，A（2，0） ，B（2，0）则直线 PA 的方程为 y （x +2） ，直线 PB 的方程为 y （x 2） ，分别令 x0，y M ，y N ，|MN | + ， 1，y 0 ，|MN | 2 2 ，（3）设点（x 0，y 0） ， 1，y 02 （x 024）（ ） 2 ，当 t 时，到直线 xt 的距离与| PF1|之比为定值，定值为 第 19 页（共 20 页）【点评】本题考查了双曲线的简单性质
35、，直线方程，不等式的证明，考查了运算转化能力，属于中档题21对于给定的正整数 k，若无穷数列a n对于任意的 nk（nN *）都满足：ank +ank +1+an1 +an+1+an+k1 +an+k2ka n，则称数列a n是 H（k）数列（1）若 antn 2+sn（t，sR ，t0） ，判断a n是否为 H（2）数列，说明理由；（2）已知 anlog 2（2 n+an） （ a0） ，数列是a n是 H（1）数列，求 a 的值；（3）若数列a n既是 H（2）又是数列 H（3）数列，求证：数列a n是等差数列【分析】 （1）由题意可知根据等差数列的性质，an3 +an2 +an1 +an
36、+1+an+2+an+3（a n3 +an+3）+（a n2 +an+2）+（a n1 +an+1）23an，根据“H（k）数列”的定义，可得数列 an是“P（3）数列” ；（2）数列a n是 H（1）数列，可得 an1 +an+12a n，可得 an+1a na na n1 ，即数列a n为等差数列，由对数的运算性质可得 a 的值；（3）由已知条件结合（1）中的结论，可得到a n从第 3 项起为等差数列，再通过判断a2 与 a3 的关系和 a1 与 a2 的关系，可知a n为等差数列【解答】解：（1）a ntn 2+sn（t ，sR ，t0） ，若a n为 H（2）数列，即有 an2 +an
37、1 +an+1+an+2 4an，即为 t（n2） 2+s（n2）+t（n1） 2+s（n1）+t （n+1） 2+s（n+1 ）+t（n+2）2+s（n+2）t（4n 2+10） +4sn4tn 2+4sn，即为 10t0，即 t0，与 t0 矛盾，则a n不为 H（ 2）数列；（2）数列a n是 H（1）数列，可得 an1 +an+12a n，可得 an+1a na na n1 ，即数列 an为等差数列，而 anlog 2（2 n+an） （a0） ，可设 ankn +t，即有 2n+an2 kn+t，解得 a2 ，kt1，则 a2；（3）证明：当 n4 时，因为数列a n是 H（3）数列
38、，则an3 +an2 +an1 +an+1+an+2+an+36a n，第 20 页（共 20 页）因为数列a n是“H（2）数列” ，所以 an2 +an1 +an+1+an+24a n，则 an1 +an+an+2+an+34a n+1，+ ，得 2an4a n1 +4an+16a n，即 2ana n1 +an+1， （n4） ，因此 n4 从第 3 项起为等差数列，设公差为 d，注意到 a2+a3+a5+a64a 4，所以 a24a 4a 3a 5a 64（a 3+d）a 3（a 3+2d）（a 3+3d）a 3d，因为 a1+a2+a4+a54a 3，所以 a14a 3a 2a 4a 54（a 2+d）a 2（a 2+2d）（a 2+3d）a 2d，也即前 3 项满足等差数列的通项公式，所以a n为等差数列【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题
