1、新定义和阅读理解型问题一、单选题1已知三角形的三边长分别为 a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元 50年）给出求其面积的海伦公式 S=，其中 p= ；我国南宋时期数学家秦九韶（约 1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式 S= ，若一个三角形的三边长分别为 2，3，4，则其面积是（ ）A B C D2在每个小正方形的边长为 1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点从一个格点移动到与之相距 的另一个格点的运动称为一次跳
2、马变换例如，在 44的正方形网格5图形中（如图 1） ，从点 A经过一次跳马变换可以到达点 B， C， D， E等处现有 2020的正方形网格图形（如图 2） ，则从该正方形的顶点 M经过跳马变换到达与其相对的顶点 N，最少需要跳马变换的次数是（ ）A13 B14 C15 D163已知点 A在函数 （ x0）的图象上，点 B在直线 y2=kx+1+k（ k为常数，且1yk0）上若 A， B两点关于原点对称，则称点 A， B为函数 y1， y2图象上的一对“友好点”
3、请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ）A有 1对或 2对 B只有 1对 C只有 2对 D有2对或 3对4对于实数 a， b，定义符号 mina， b，其意义为：当 a b时，min a， b=b；当 a b时，min a， b=a例如：min=2，1=1，若关于 x的函数 y=min2x1， x+3，则该函数的最大值为（ ）A B1 C &nbs
4、p; D2343535根据如图所示的程序计算函数 y的值，若输入的 x值是 4或 7时，输出的 y值相等，则b等于（ ）A9 B7 C9 D76已知: 表示不超过 的最大整数，例: ，令关于 的函数( 是正整数)，例： =1，则下列结论错误的是（ ）A BC D 或 17设 a， b是实数，定义的一种运算如下： ，则下列结论：22abab若 ，则 a=0或 b=0；0 ；cc不存在实数 a， b，满足 ；25a
5、b设 a， b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当 a=b时， 最大其中正确的是（ ）A B C D8在ABC 中，若 O为 BC边的中点，则必有：AB 2+AC2=2AO2+2BO2成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG中，已知 DE=4，EF=3，点 P在以 DE为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2的最小值为（ ）A B C34 D109我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为
6、勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ）A20 B24 C D10阅读理解： ， ， ， 是实数，我们把符号 称为 阶行列式，并且规定：，例如： .二元一次方程组 的解可以利用 阶行列式表示为： ；其中 ， .问题：对于用上面的方法解二元一次方程组 时，下面说法错误的是（ ）A B C &n
7、bsp; D方程组的解为11已知二次函数 y=x 2+x+6及一次函数 y=x+m，将该二次函数在 x轴上方的图象沿 x轴翻折到 x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示） ，请你在图中画出这个新图象，当直线 y=x+m 与新图象有 4个交点时，m 的取值范围是（ ）A m3 B m2 C2m3 D6m212如图，一段抛物线 y=x 2+4（2x2）为 C1，与 x轴交于 A0，A 1两点，顶点为D1；将 C1绕点 A1旋转 180得到 C2，顶点为 D2；C 1与 C2组成一个新的图象，垂
8、直于 y轴的直线 l与新图象交于点 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，与线段 D1D2交于点 P3（x 3，y 3） ，设x1，x 2，x 3均为正数，t=x 1+x2+x3，则 t的取值范围是（ ）A6t8 B6t8 C10t12 D10t1213如图，抛物线 与 x轴交于点 A、B，把抛物线在 x轴及其下方的部分记作 ，将 向左平移得到 ， 与 x轴交于点 B、D，若直线 与 、 共有 3个不同的交点，则 m的取值范围是 A B
9、; C D14定义一种对正整数 n的“F”运算：当 n为奇数时，F（n）=3n+1；当 n为偶数时，F（n）= （其中 k是使 F（n）为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如，取 n=24，则：若 n=13，则第 2018次“F”运算的结果是（ ）A1 B4 C2018 D4 201815在求 1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 6倍，于是她设：S=1+6+62+63+64+65+
10、66+67+68+69然后在式的两边都乘以 6，得：6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610得 6SS=6 101，即 5S=6101，所以 S= ，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a” （a0 且 a1） ，能否求出 1+a+a2+a3+a4+a2014的值？你的答案是（ ）A B C Da 20141二、填空题16对于实数 a，b，定义运算“”：ab= ，例如 43，因为43所以 43= =5若 x，y 满足方程组 ，则 xy=_.17观察下列运算过程
11、：S=1+3+3 2+33+32017+32018 ，3 得 3S=3+32+33+32018+32019 ，得 2S=320191，S= 运用上面计算方法计算：1+5+5 2+53+52018=_18对于任意实数 a、b，定义：ab=a 2+ab+b2若方程（x2）5=0 的两根记为 m、n，则 m2+n2= 19规定： ，如： ，若 ，则 _.20对于实数 a，b，定义运算“”如下：ab=a 2ab，例如，53=5 253=10若（x+1）（x2）=6，则 x的值为_21我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中，给出了著名的秦
12、九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S= 现已知ABC 的三边长分别为 1，2， ，则ABC 的面积为_22对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图 1） ，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高如图 2，菱形 ABCD的边长为 1，边 AB水平放置如果该菱形的高是宽的 ，那么它的宽的值是_23对于任意实数 a、b，定义一种运算：ab=aba+b2例如，25=252+52=ll请根据上述的定义解决问题：若不等式 3x2，则不等式的
13、正整数解是_24如图，把平面内一条数轴 x绕原点 O逆时针旋转角 （090）得到另一条数轴 y，x 轴和 y轴构成一个平面斜坐标系规定：过点 P作 y轴的平行线，交 x轴于点A，过点 P作 x轴的平行线，交 y轴于点 B，若点 A在 x轴上对应的实数为 a，点 B在 y轴上对应的实数为 b，则称有序实数对（a，b）为点 P的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知 =60，点 M的斜坐标为（3，2） ，点 N与点 M关于 y轴对称，则点 N的斜坐标为_25如图 1，作BPC 平分线的反向延长线 PA，现要分别以APB，APC，BPC 为内角作正多边形，且边长均为 1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后
14、成为一个图案例如，若以BPC 为内角，可作出一个边长为 1的正方形，此时BPC=90，而 =45是 360（多边形外角和）的 ，这样就恰好可作出两个边长均为 1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图 2所示图 2中的图案外轮廓周长是_；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_26若 为实数，则 表示不大于 的最大整数，例如 ， ， 等. 是大于 的最小整数，对任意的实数 都满足不等式 . ，利用这个不等式，求出满足 的所有解，其所有解为_27 九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直
15、角三角形，勾（短直角边）长为 5步，股（长直角边）长为 12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是_步28在每个小正方形的边长为 1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点以顶点都是格点的正方形 ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H 都是格点，且四边形 EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图例如，在如图 1所示的格点弦图中，正方形 ABCD的边长为 ，此时正方形 EFGH的而积为 5问：当格点弦图中的正方形 ABCD的边长为 时，正方形 EFGH的面积的所有可能值是_（不包括 5） 29刘徽是中国古代卓越的数学家之一，
16、他在九章算术中提出了“割圆术” ，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆 O的半径为 1，若用圆 O的外切正六边形的面积来近似估计圆 O的面积，则 S=_ （结果保留根号）30定义新运算：ab=a 2+b，例如 32=3 2+2=11，已知 4x=20，则 x=_31设双曲线 与直线 交于 ， 两点（点 在第三象限） ，将双曲线在第一象限的一支沿射线 的方向平移，使其经过点 ，将双曲线在第三象限的一支沿射线 的方向平移，使其经过点 ，平移后的两条曲线相交于点 ， 两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸” ， 为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径
17、为 6时， 的值为_.32如图，若ABC 内一点 P满足PAC=PCB=PBA，则称点 P为ABC 的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮已知ABC 中，CA=CB，ACB=120，P 为ABC 的布罗卡尔点，若 PA=，则 PB+PC=_三、解答题33综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展
18、空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论实践操作如图 1，将矩形纸片 ABCD沿对角线 AC翻折，使点 B落在矩形 ABCD所在平面内，BC 和AD相交于点 E，连接 BD解决问题(1)在图 1中，BD 和 AC的位置关系为 ；将AEC 剪下后展开，得到的图形是 ；(2)若图 1中的矩形变为平行四边形时(ABBC)，如图 2所示，结论和结论是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；(3)小红沿对角线折叠一张矩形
19、纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 ；拓展应用(4)在图 2中，若B=30，AB=4 ，当ABD 恰好为直角三角形时，BC 的长度为 34如图，在 RtABC 中，以下是小亮探究 与 之间关系的方法：sinA= ，sinB= ，c= ，c= ， = ，根据你掌握的三角函数知识在图的锐角ABC 中，探究 、 、 之间的关系，并写出探究过程35如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD的对称中心为坐标原点 O，ADy 轴于点E（点 A在点 D的左侧） ，经过 E、D 两点的函数 y= x2+mx+1（x0
20、）的图象记为 G1，函数 y= x2mx1（x0）的图象记为 G2，其中 m是常数，图象 G1、G 2合起来得到的图象记为 G设矩形 ABCD的周长为 L（1）当点 A的横坐标为1 时，求 m的值；（2）求 L与 m之间的函数关系式；（3）当 G2与矩形 ABCD恰好有两个公共点时，求 L的值；（4）设 G在4x2 上最高点的纵坐标为 y0，当 y 09 时，直接写出 L的取值范围36我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形” （1）在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ；在凸四边形 ABCD中，AB=AD 且 CBCD，则该四边形
21、 “十字形” （填“是”或“不是” ）（2）如图 1，A，B，C，D 是半径为 1的O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与 BD交于点 E，ADBCDB=ABDCBD，当 6AC 2+BD27 时，求 OE的取值范围；（3）如图 2，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0，c0）与 x轴交于 A，C 两点（点 A在点 C的左侧） ，B 是抛物线与 y轴的交点，点D的坐标为（0，ac） ，记“十字形”ABCD 的面积为 S，记AOB，COD，AOD，BOC的面积分别为 S1，S 2，S 3，S 4求同时满足下列三个条件的
22、抛物线的解析式； = ； = ；“十字形”ABCD 的周长为 12 37若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形已知 是比例三角形， ， ，请直接写出所有满足条件的 AC的长；如图 1，在四边形 ABCD中， ，对角线 BD平分 ， 求证：是比例三角形如图 2，在 的条件下，当 时，求 的值38定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等） ，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线” 理解：（1）如图 1，已知 RtABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使
23、四边形 ABCD是以 AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出 3个即可） ；（2）如图 2，在四边形 ABCD中，ABC=80，ADC=140，对角线 BD平分ABC求证：BD 是四边形 ABCD的“相似对角线” ；（3）如图 3，已知 FH是四边形 EFCH的“相似对角线” ，EFH=HFG=30，连接 EG，若EFG 的面积为 2 ，求 FH的长39对于三个数 a， b， c，用 Ma， b， c表示这三个数的中位数，用 maxa， b， c表示这三个数中最大数，例如： M2，1，0=1， max2，1，0=0， max2，1， a=解决问题：（1）填空： Msin45，cos6
24、0，tan60=_，如果 max3，53 x，2 x6=3，则 x的取值范围为_；（2）如果 2M2， x+2， x+4=max2， x+2， x+4，求 x的值；（3）如果 M9， x2，3 x2= max9， x2，3 x2，求 x的值40阅读短文，解决问题如果一个三角形和一个菱形满足条件：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图 1，菱形 AEFD为ABC 的“亲密菱形”.如图 2，在ABC 中，以点 A为圆心，以任意长为半径作弧，交 AB、AC 于点 M、N，再分别以 M、N 为圆心，以大于 MN的长
25、为半径作弧，两弧交于点 P，作射线 AP，交 BC于点 F，过点 F作 FD/AC，FE/AB.(1)求证：四边形 AEFD是ABC 的“亲密菱形” ；(2)当 AB=6，AC=12，BAC=45时，求菱形 AEFD的面积.41小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验(1)已知抛物线 经过点(-1,0),则 = ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 &n
26、bsp; .抽象感悟我们定义：对于抛物线 ,以 轴上的点 为中心，作该抛物线关于点 对称的抛物线 ,则我们又称抛物线 为抛物线 的“衍生抛物线” ，点 为“衍生中心”.(2)已知抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ，若这两条抛物线有交点，求 的取值范围.问题解决(3) 已知抛物线若抛物线 的衍生抛物线为 ,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 的值及衍生中心的坐标；若抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ,其顶
27、点为 ；关于点的衍生抛物线为 ，其顶点为 ；关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ；( 为正整数).求 的长(用含 的式子表示).42结果如此巧合！下面是小颖对一道题目的解答.题目：如图， 的内切圆与斜边 相切于点 ， ， ，求 的面积.解：设 的内切圆分别与 、 相切于点 、 ， 的长为 .根据切线长定理，得 ， ， .根据勾股定理，得 .整理，得 .所以.小颖发现 恰好就是 ，即 的面积等于 与 的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索.已知： 的内切圆与 相切于点 ， ， .可以一般化吗？（1）若 ，求证： 的面积等于 .倒过来思考呢？（2）若 ，求证 .改变一下条件（3）若 ，用 、
28、 表示 的面积.43我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底” 。（1）概念理解:如图 1,在 中, , . ,试判断 是否是“等高底”三角形，请说明理由.（2）问题探究:如图 2, 是“等高底”三角形, 是“等底” ，作 关于 所在直线的对称图形得到 ,连结 交直线 于点 .若点 是 的重心,求 的值.（3）应用拓展:如图 3,已知 , 与 之间的距离为 2.“等高底” 的“等底” 在直线 上,点在直线 上,有一边的长是 的 倍.将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ,所在直线交 于点 .求 的值.44阅读下面材
29、料：小明遇到这样一个问题：如图 1，ABC 中，ACB=90，点 D在 AB上，且BAC=2DCB，求证：AC=AD小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法 1：如图 2，作 AE平分CAB，与 CD相交于点 E方法 2：如图 3，作DCF=DCB，与 AB相交于点 F（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明 AC=AD用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图 4，ABC 中，点 D在 AB上，点 E在 BC上，且BDE=2ABC，点 F在 BD上，且AFE=BAC，延长 DC、FE，相交于点 G，且DGF=BDE在图中找出与DEF 相等的角，并加以证明；
30、若 AB=kDF，猜想线段 DE与 DB的数量关系，并证明你的猜想45再读教材:宽与长的比是 (约为 0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为 2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)第一步,在矩形纸片一端.利用图的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步，如图.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB 折到图中所示的 AD处，第四步,展平纸片,按照所得的点 D折出 DE,使 DEND,则图中就会出现黄金矩形，问题解决: &n
31、bsp; （1）图中 AB=_(保留根号); （2）如图,判断四边形 BADQ 的形状,并说明理由; （3）请写出图中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由. （4）结合图.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.46阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点 P、Q 的坐标分别是 P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2） ，则 P、Q 这两点间的距离为|PQ|= 如 P（1，2） ，Q（3，4） ，则|PQ|= =2 对于某种几何图形给出如下定义：符合一定
32、条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线解决问题：如图，已知在平面直角坐标系 xOy中，直线 y=kx+ 交 y轴于点 A，点 A关于 x轴的对称点为点 B，过点 B作直线 l平行于 x轴（1）到点 A的距离等于线段 AB长度的点的轨迹是 ；（2）若动点 C（x，y）满足到直线 l的距离等于线段 CA的长度，求动点 C轨迹的函数表达式；问题拓展：（3）若（2）中的动点 C的轨迹与直线 y=kx+ 交于 E、F 两点，分别过 E、F 作直线 l的垂线，垂足分别是 M、N，求证：EF 是AMN 外接圆
33、的切线； 为定值47 （操作发现）在计算器上输入一个正数，不断地按“ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近 1或都等于 1（提出问题）输入一个实数，不断地进行“乘以常数 k，再加上常数 b”的运算，有什么规律？（分析问题）我们可用框图表示这种运算过程（如图 a） 也可用图象描述：如图 1，在 x轴上表示出 x1，先在直线 y=kx+b上确定点（ x1， y1） ，再在直线 y=x上确定纵坐标为 y1的点（ x2， y1） ，然后再 x轴上确定对应的数 x2，以此类推（解决问题）研究输入实数 x1时，随着运算次数 n的不断增加，运算结果 x，怎样变化（1）若 k=2， b=4，得到什么结论？可以
34、输入特殊的数如 3，4，5 进行观察研究；（2）若 k1，又得到什么结论？请说明理由；（3）若 ， b=2，已在 x轴上表示出 x1（如图 2所示） ，请在 x轴上表示x2， x3， x4，并写出研究结论；若输入实数 x1时，运算结果 xn互不相等，且越来越接近常数 m，直接写出 k的取值范围及 m的值（用含 k， b的代数式表示）48请阅读下列材料，并完成相应的任务：在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消去著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的数学的发现一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形 ABC的 AC和 BC两边上分别取一点 X和 Y，使得 AX=BY=
35、XY （如图）解决这个问题的操作步骤如下：第一步，在 CA上作出一点 D，使得 CD=CB，连接 BD第二步，在 CB上取一点 Y'，作Y'ZCA，交 BD于点 Z'，并在 AB上取一点 A'，使 Z'A'=Y'Z'第三步，过点 A作AZA'Z'，交 BD于点 Z第四步，过点 Z作 ZYAC，交 BC于点 Y，再过点 Y作 YXZA，交 AC于点 X则有 AX=BY=XY下面是该结论的部分证明：证明：AZA'Z'，BA'Z'=BAZ，又A'BZ'=ABZBA'
36、Z'BAZ 同理可得 Z'A'=Y'Z'，ZA=YZ在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消去著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的数学的发现一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形 ABC的 AC和 BC两边上分别取一点 X和 Y，使得 AX=BY=XY （如图）解决这个问题的操作步骤如下：第一步，在 CA上作出一点 D，使得 CD=CB，连接 BD第二步，在 CB上取一点 Y'，作Y'ZCA，交 BD于点 Z'，并在 AB上取一点 A'，使 Z'A'=Y'
37、Z'第三步，过点 A作AZA'Z'，交 BD于点 Z第四步，过点 Z作 ZYAC，交 BC于点 Y，再过点 Y作 YXZA，交 AC于点 X则有 AX=BY=XY下面是该结论的部分证明：证明：AZA'Z'，BA'Z'=BAZ，又A'BZ'=ABZBA'Z'BAZ 同理可得 Z'A'=Y'Z'，ZA=YZ任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形 AXYZ的形状，并加以证明；（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成 AX=BY=XY的证
38、明过程；（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形 BA'Z'Y'放大得到四边形 BAZY，从而确定了点 Z，Y 的位置，这里运用了下面一种图形的变化是 A平移 B旋转 C轴对称 D位似49阅读理解：如图，图形 l外一点 P与图形 l上各点连接的所有线段中，若线段 PA1最短，则线段 PA1的长度称为点
39、P到图形 l的距离例如：图中，线段 P1A的长度是点 P1到线段 AB的距离；线段 P2H的长度是点 P2到线段AB的距离解决问题：如图，平面直角坐标系 xOy中，点 A、 B的坐标分别为（8，4） ， （12，7） ，点 P从原点 O出发，以每秒 1个单位长度的速度向 x轴正方向运动了 t秒（1）当 t=4时，求点 P到线段 AB的距离；（2） t为何值时，点 P到线段 AB的距离为 5？（3） t满足什么条件时，点 P到线段 AB的距离不超过 6？（直接写出此小题的结果）50对于平面直角坐标系 中的图形 ， ，给出如下定义： 为图形 上任意一点， 为图形 上任意一点，如果 ， 两点间的距离
40、有最小值，那么称这个最小值为图形 ， 间的“闭距离” ，记作 （ ， ） 已知点 （ ，6） ， （ ， ） ， （6， ） （1）求 （点 ， ） ；（2）记函数 （ ， ）的图象为图形 ，若 （ ， ） ，直接写出 的取值范围；（3） 的圆心为 （ t，0） ，半径为 1若 （ ， ） ，直接写出 t的取值范围新定义和阅读理解型问题一、单选题1已知三角形的三边长分别为 a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元 50年）给出求其面积的海伦公式 S=，其中 p= ；我国南宋时期数学家秦九韶（约 1202-1261）曾提出利用三角形的三边求
41、其面积的秦九韶公式 S= ，若一个三角形的三边长分别为 2，3，4，则其面积是（ ）A B C D【答案】B【解析】S= ，若一个三角形的三边长分别为 2，3，4，则其面积是：S= =【关键点拨】解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积2在每个小正方形的边长为 1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点从一个格点移动到与之相距 的另一个格点的运动称为一次跳马变换例如，在 44的正方形网格5图形中（如图 1） ，从点 A经过一次跳马变换可以到达点 B， C， D， E等处现有 2020的正方形
42、网格图形（如图 2） ，则从该正方形的顶点 M经过跳马变换到达与其相对的顶点 N，最少需要跳马变换的次数是（ ）A13 B14 C15 D16【答案】B【解析】如图 1，连接 AC， CF，则 AF= ，两次变换相当于向右移动 3格，向上移动323格，又 MN= ， = （不是整数） ，按 A C F的方向连续变换20010次后，相当于向右移动了 1023=15格，向上移动了 1023=15格，此时 M位于如图所示的 55的正方形网格的点 G处，再按如图所示的方式
43、变换 4次即可到达点 N处，从该正方形的顶点 M经过跳马变换到达与其相对的顶点 N，最少需要跳马变换的次数是 14次，故选 B【关键点拨】本题主要考查了几何变换的类型以及勾股定理的运用，解题时注意：在平移变换下，对应线段平行且相等，两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等解决问题的关键是找出变换的规律3已知点 A在函数 （ x0）的图象上，点 B在直线 y2=kx+1+k（ k为常数，且1yk0）上若 A， B两点关于原点对称，则称点 A， B为函数 y1， y2图象上的一对“友好点”请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ）A有 1对或 2对 &nb
44、sp; B只有 1对 C只有 2对 D有2对或 3对【答案】A【解析】设 A（ a， ） ，由题意知，点 A关于原点的对称点 B（ a， ） ， ）在直线1 1y2=kx+1+k上，则 = ak+1+k，整理，得： ka2（ k+1） a+1=0 ，即（ a1） （ ka1）=0， a1=0 或 ka1=0，则 a=1或 ka1=0，若 k=0，则 a=1，此时方程只有 1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有 1对；若 k0，则 a= ，此时方程有 2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有 2对
45、，1k综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为 1对或 2对，故选 A【关键点拨】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键4对于实数 a， b，定义符号 mina， b，其意义为：当 a b时，min a， b=b；当 a b时，min a， b=a例如：min=2，1=1，若关于 x的函数 y=min2x1， x+3，则该函数的最大值为（ ）A B1 C &nbs
46、p; D234353【答案】D【解析】当 2x1 x+3时， x ，当 x 时， y=min2x1， x+3= x+3，当432x1 x+3时， x ，当 x 时， y=min2x1， x+3=2x1，综上所述，y=min2x1， x+3的最大值是当 x= 所对应的 y的值，如图所示，当 x= 时，4343y= +3= ，故选 D435【关键点拨】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题5根据如图所示的程序计算函数 y的值，若输入的 x值是 4或 7时，输出的 y值相等，则b等于（ ）A9 &nb
47、sp;B7 C9 D7【答案】C【解析】当 x=7时，y=6-7=-1，当 x=4时，y=24+b=-1，解得：b=-9，故选 C【关键点拨】本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法6已知: 表示不超过 的最大整数，例: ，令关于 的函数( 是正整数)，例： =1，则下列结论错误的是（ ）A BC D 或 1【答案】C【解析】A. = =0-0=0，故 A选项正确，不符合题意；B. = = = ， = ，所以 ，故 B选项正确，不符合题意；C. =
48、， = ，当 k=3时， = =0， = =1，此时 ，故 C选项错误，符合题意；D.设 n为正整数，当 k=4n时， = =n-n=0，当 k=4n+1时， = =n-n=0，当 k=4n+2时， = =n-n=0，当 k=4n+3时， = =n+1-n=1，所以 或 1，故 D选项正确，不符合题意，故选 C.【关键点拨】本题考查了新定义运算，明确运算的法则，运用分类讨论思想是解题的关键.7设 a， b是实数，定义的一种运算如下： ，则下列结论：22abab若 ，则 a=0或 b=0；0 ；cc不存在实数 a， b，满足 ；25ab设 a， b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当 a=b时
49、， 最大其中正确的是（ ）A B C D【答案】C【解析】由分析可得：对于若 ，则 a=0或 b=0正确；2240abab对于 而 故正24cccc4acbac确；对于 ，由 ，可得由25ab2225abb化简： 解出存在实数 a， b，满足 ；22450ab20 ab对于 a， b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当 a=b时， 最大正确故选 C8在ABC 中，若 O为 BC边的中点，则必有：AB 2+AC2=2AO2+2BO2成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG中，已知 DE=4，
50、EF=3，点 P在以 DE为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2的最小值为（ ）A B C34 D10【答案】D【解析】设点 M为 DE的中点，点 N为 FG的中点，连接 MN交半圆于点 P，此时 PN取最小值DE=4，四边形 DEFG为矩形，GF=DE，MN=EF，MP=FN= DE=2，NP=MN-MP=EF-MP=1，PF 2+PG2=2PN2+2FN2=212+222=10故选 D【关键点拨】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出 PN的最小值是解题
51、的关键9我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ）A20 B24 C D【答案】B【解析】设小正方形的边长为 x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据题意得 ：2（ax+x 2+bx）=（a+x） （b+x）,化简得 ：ax+x 2+bx-ab=0，又 a = 3 ， b = 4 ，x 27x=12;该矩形的面积为=（a+x） （b+x）=（3+x） （4+x）=x 27x+12=24.故答案为：B.【关键点拨】 本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键.10阅读理解： ， ， ， 是实数，我们把符号 称为 阶行列式，并且规定：，例如： .二元一次方程组 的解可以利用 阶行列式表示为： ；其中 ， .问题：对于用上面的方法解二元一次方程组 时，下面说法错误的是
