1、三角形问题一、单选题1如图，在ABC 中，AB=20cm，AC=12cm，点 P 从 点 B 出发以每秒 3cm 速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 同时出发以每秒 2cm 速度向点 C 运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当APQ 是以 PQ 为底的等腰三角形时，运动的时间是 ( )秒A2.5 B3 C3.5 D42已知等边ABC 中，在射线 BA 上有一点 D，连接 CD，并以 CD 为边向上作等边CDE，连接 BE 和 AE.试判断下列结论： AE=BD ； AE 与
2、 AB 所夹锐夹角为 60；当 D 在线段AB 或 BA 延长线上时，总有 BDE-AED=2 BDC；BCD=90时，CE 2+AD2=AC2+DE2 .正确的序号有（ ）A B C D3如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=120，D，E 是 BC 上的两点，且DAE=30，将AEC 绕点 A 顺时针旋转 120后，得到 AFB，连接 DF.下列结论中正确的个数有（ ）FBD=60；ABEDCA；AE 平分CAD；AFD 是等腰直角三角形.A1 个 B2 个 &
3、nbsp; C3 个 D4 个4如图，在等边三角形 ABC 中，在 AC 边上取两点 M、N ，使MBN30若AM m，MN x，CNn，则以 x，m，n 为边长的三角形的形状为（ ）A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D随 x，m，n 的值而定5如图，在等腰直角ABC 中，C=90，点 O 是 AB 的中点，且 AB= ，将一块直角6三角板的直角顶点放在点 O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与 AC、BC 相交，交点分别为 D、E，则 CD+CE=（ ）A &nbs
4、p; B C2 D3 6 56 如图，在ABC 中，ABC45，CDAB 于 D，BE 平分ABC，且 BEAC 于 E，与CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH、BE 与相交于点 G，以下结论中正确的结论有（ ）（1 ） ABC 是等腰三角形；（2）BFAC；（3 ）BH：BD：BC1： ： ；（4 ）2 3GE2+CE2BG 2A1 个 B2 个 C3 个 D4 个7如图，AOB=30，OC 为 AOB 内部一条射线，点 P 为射线
5、 OC 上一点，OP=4，点 M、N分别为 OA、OB 边上动点，则MNP 周长的最小值为( )来源:Zxxk.ComA2 B4 C D23 438如图， ， ， ，点 D、E 为 BC 边上的两点，且=，连接 EF、BF 则下列结论： ； ； ，其中正确的有( )个A1 B2 C3 D49如图，四边形 ABCD 中，A、B、C 、D 的角平分线恰相交于一点 P，记APD、APB、BP
6、C 、DPC 的面积分别为 S1、S 2、S 3、S 4，则有（ ）A B C D1+3=2+4 1+2=3+4 1+4=2+3 1=310如图，已知 AD 为ABC 的高线，AD=BC，以 AB 为底边作等腰 RtABE，连接ED，EC，延长 CE 交 AD 于 F 点，下列结论：ADEBCE；CE DE；BD=AF；S BDE=SACE，其中正确的有（ ）来源: 学科网 ZXXKA B C D
7、11如图，等边三角形 ABC 边长是定值，点 O 是它的外心，过点 O 任意作一条直线分别交AB， BC 于点 D，E将BDE 沿直线 DE 折叠，得到 BDE，若 BD，BE 分别交 AC 于点F， G，连接 OF，OG ，则下列判断错误的是 （ ）AADFCGEBBFG 的周长是一个定值C四边形 FOEC 的面积是一个定值D四边形 OGB'F 的面积是一个定值12如图，点 D 是等腰直角 ABC 腰 BC 上的中点，点 B 、B 关于 AD 对称，且 BB 交 AD 于 F，交 AC 于 E，连接 FC 、 AB，下列说法： BAD=30； BFC=135；
8、 AF=2B C；正确的个数是（）A1 B2 C3 D413如图，点 E 在DBC 的边 DB 上，点 A 在DBC 内部，DAE=BAC=90 ，AD=AE，AB=AC给出下列结论：BD=CE；ABD+ECB=45；BDCE；BE 2=2（AD 2+AB2）CD 2其中正确的是（ ）A B C D14如图，在ABC 中，P 是 BC 上的点，作 PQAC 交 AB 于点 Q，分别作PRAB，PSAC ，垂足分别是 R，S，若
9、 PR=PS，则下面三个结论：AS=AR；AQ=PQ；PQR CPS；ACAQ=2SC，其中正确的是（ ）A B C D15如图，ABAC ，BDAC 于 D，CEAB 于 E，BD、CE 交于 O，连结 AO，则图中共有全等三角形的对数为（ ）A2 对 B3 对 C4 对 D5 对二、填空题16如图所示，已知：点 A(0，0)，B（ ，0） ，C（0 ，1）在ABC 内依次作等边三角形，3使一边 在 x 轴上，另
10、一个顶点在 BC 边上，作出的等边三角形分别是第 1 个AA 1B1，第 2个B 1A2B2，第 3 个B 2A3B3，则第 个等边三角形的边长等于_ 17如图，MON=30，点 B1 在边 OM 上，且 OB1=2，过点 B1 作 B1A1OM 交 ON 于点A1，以 A1B1 为边在 A1B1 右侧作等边三角形 A1B1C1；过点 C1 作 OM 的垂线分别交 OM、ON于点 B2、A 2，以 A2B2 为边在 A2B2 的右侧作等边三角形 A2B2C2；过点 C2 作 OM 的垂线分别交 OM、ON 于点 B3、A 3，以 A3B3 为边在 A3B3 的右侧作等边三角形 A3B3C3，；
11、按此规律进行下去，则A nBn+1Cn 的面积为_ （用含正整数 n 的代数式表示）来源:学科网 ZXXK18如图，已知等边ABC 的边长是 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作等边三角形，得到第一个等边AB 1C1；再以等边AB 1C1 的 B1C1 边上的高 AB2 为边作等边三角形，得到第二个等边AB 2C2；再以等边 AB 2C2 的 B2C2 边上的高 AB3 为边作等边三角形，得到第三个等边 AB3C3；，记B 1CB2 的面积为 S1，B 2C1B3 的面积为 S2，B 3C2B4 的面积为 S3，如此下去，则 Sn=_19如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，
12、C 是 OB 的中点，D 是 AB上一点，四边形 OEDC 是菱形，则 OAE 的面积为_20如图，等腰ABC 中，CA=CB=4，ACB=120，点 D 在线段 AB 上运动（不与 A、B 重合），将CAD 与CBD 分别沿直线 CA、CB 翻折得到CAP 与CBQ，给出下列结论：CD=CP=CQ；PCQ 的大小不变；PCQ 面积的最小值为 ；当点 D 在 AB 的中点时， PDQ 是等边三角形，其中所有正确结论的序号是 21如图 1，ABC 中，沿BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B 1A1C 的平分线 A1B
13、2 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B nAnC 的平分线 AnBn+1 折叠，点 Bn 与点 C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称BAC 是ABC 的 好角.（1 ）如图 2，在ABC 中，B>C ，若经过两次折叠，BAC 是ABC 的好角，则B 与C 的等量关系是_；（2 ）如果一个三角形的最小角是 20，则此三角形的最大角为_时，该三角形的三个角均是此三角形的好角。22如图，ABC 的周长为 26，点 D，E 都在边 BC 上，ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 Q， ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 P，若 BC10 ，则 PQ 的长_23如图，在等边A
14、BC 中，AB6 ，A N2 ，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，则 BM+MN 的最小 值是_24如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点 A，B，C 的距离分别为3， 4 ，5 ，则ABC 的面积为_25在 中， ， 平分 ， 平分 ， 相交于点 ，且 ，则 _=4,=2三、解答题26将一副三角尺按图 1 摆放，等腰直角三角尺的直角边 DF 恰好垂直平分 AB，与 AC 相交于点 G， =23（1）求 GC 的长；（2）如图 2，将DEF 绕点 D 顺时针旋转，使直角边 DF 经过点 C，另一直角边 DE 与 AC 相交于点 H，分别过 H、C
15、 作 AB 的垂线，垂足分别为 M、N，通过观察，猜想 MD 与 ND 的数量关系，并验证你的猜想（3）在（2）的条件下，将DEF 沿 DB 方向平移得到DEF，当 DE恰好经过（1）中的点 G 时，请直接写出 DD的长度27 （ 1）如图 1，已知 EK 垂直平分 BC，垂足为 D，AB 与 EK 相交于点 F，连接 CF求证：AFE=CFD（2 ）如图 2，在 RtGMN 中， M=90 ，P 为 MN 的中点用直尺和圆规在 GN 边上求作点 Q，使得GQM= PQN （保留作图痕迹，不要求写作法）；在的条件下，如果G=60，那么 Q 是 GN 的中点吗？为什么？28在等腰ABC 中，B=
16、90，AM 是ABC 的角平分线，过点 M 作 MNAC 于点N，EMF=135将EMF 绕点 M 旋转，使EMF 的 两边交直线 AB 于点 E，交直线 AC 于点 F，请解答下列问题：（1）当EMF 绕点 M 旋转到 如图的位置时，求证：BE+CF=BM ；（2）当EMF 绕点 M 旋转到如图，图 的位置时，请分别写出线段 BE，CF，BM 之间的数量关系，不需要证明；来源:学科网（3）在（1）和（2）的条件下，tanBEM= ，AN= +1，则 BM= ，CF= 3来源:Z。xx。k.Com29如图，在 RtBCD 中
17、， CBD=90，BC=BD，点 A 在 CB 的延长线上，且 BA=BC，点 E在直线 BD 上移动，过点 E 作射线 EFEA ，交 CD 所在直线于点 F（1 ）当点 E 在线段 BD 上移动时，如图（1）所示，求证： AE=EF；（2 ）当点 E 在直线 BD 上移动时，如图（2） 、图（3）所示，线段 AE 与 EF 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明30如图，ABC 中，AB=BC，BD AC 于点 D，FAC= ABC，且FAC 在 AC 下方点12P，Q 分别是射线 BD，射线 AF 上的动点，且点 P 不与点 B 重合，点 Q 不与点 A 重合，连接 CQ，过点
18、 P 作 PECQ 于点 E，连接 DE（1 ）若ABC=60，BP=AQ 如图 1，当点 P 在线段 BD 上运动时，请直接写出线段 DE 和线段 AQ 的数量关系和位置关系；如图 2，当点 P 运动到线段 BD 的延长线上时，试判断中的结论是否成立，并说明理由；（2 ）若ABC=260，请直接写出当线段 BP 和线段 AQ 满足什么数量关系时，能使（1）中的结论仍然成立（用含 的三角函数表示） 31在 ABC 中，AB=BC，点 O 是 AC 的中点，点 P 是 AC 上的一个动点（点 P 不与点A，O，C 重合） 过点 A，点 C 作直线 BP 的垂线，垂足分别为点 E 和点 F，连接
19、OE，OF（1 ）如图 1，请直接写出线段 OE 与 OF 的数量关系；（2 ）如图 2，当ABC=90时，请判断线段 OE 与 OF 之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3 ）若|CF AE|=2，EF=2 ，当 POF 为等腰三角形时，请直接写出线段 OP 的长332如图，在 ABC 中，AB=7.5，AC=9 ，S ABC= 动点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以每秒8145 个单位长度的速度向 B 点匀速运动，动点 Q 从 C 点同时 出发，以相同的速度沿 CA 方向向 A 点匀速运动，当点 P 运动到 B 点时，P、Q 两点同时停止运动，以 PQ 为边作正PQM（P、Q 、M
20、按逆时针排序） ，以 QC 为边在 AC 上方作正QCN，设点 P 运动时间为 t秒（1 ）求 cosA 的值；（2 ）当PQM 与QCN 的面积满足 SPQM= SQCN 时，求 t 的值；95（3 ）当 t 为何值时， PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在QCN 的边上33阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，ABC 中，ACB=90 ，点 D 在 AB 上，且BAC=2DCB，求证：AC=AD 小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法 1：如图 2，作 AE 平分 CAB，与 CD 相交于点 E方法 2：如图 3，作DCF= DCB ，与 AB 相交于点
21、F（1 ）根据阅读材料，任选一种方法，证明 AC=AD用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2 ）如图 4，ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上，且BDE=2ABC ，点 F 在 BD 上，且AFE=BAC，延长 DC、FE，相交于点 G，且DGF=BDE在图中找出与DEF 相等的角，并加以证明；若 AB=kDF，猜想线段 DE 与 DB 的数量关系，并证明你的猜想34已知：ABC 和ADE 均为等边三角形，连接 BE，CD，点 F，G，H 分别为DE，BE，CD 中点（1 ）当ADE 绕点 A 旋转时，如图 1，则FGH 的形状为 &n
22、bsp;，说明理由；（2 ）在ADE 旋转的过程中，当 B，D ，E 三点共线时，如图 2，若 AB=3，AD=2 ，求线段FH 的长；（3 ）在ADE 旋转的过程中，若 AB=a，AD= b（ab0） ，则FGH 的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由35如图，OAB 是边长为 2+ 的等边三角形，其中 O 是坐标原点，顶点 B 在 y 轴正方向3上，将OAB 折叠，使点 A 落在边 OB 上，记为 A，折痕为 EF（1）当 AEx 轴时，求点 A和 E 的坐标；（2）当 AEx 轴，且抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A 和 E 时，求抛物线与
23、 x 轴的交点的16坐标；（3）当点 A在 OB 上运动，但不与点 O、B 重合时，能否使AEF 成为直角三角形？若能，请求出此时点 A的坐标；若不能，请你说明理由三角形问题一、单选题1如图，在ABC 中，AB=20cm，AC=12cm，点 P 从点 B 出发以每秒 3cm 速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 同时出发以每秒 2cm 速度向点 C 运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当APQ 是以 PQ 为底的等腰三角形时，运动的时间是 ( )秒A2.5 B3 C3.5 D
24、4【答案】D【关键点拨】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题2已知等边ABC 中，在射线 BA 上有一点 D，连接 CD，并以 CD 为边向上作等边CDE，连接 BE 和 AE.试判断下列结论： AE=BD ； AE 与 AB 所夹锐夹角为 60；当 D 在线段AB 或 BA 延长线上时，总有 BDE-AED=2 BDC；BCD=90时，CE 2+AD2=AC2+DE2 .正确的序号有（ ）A B C D【答案】C【解析】BCA= DCE=
25、60，BCA+ ACD= DCE+ACD，BCD=ACE，又AC=BC，CE=CD，BCDACE，AE=BD，CBA=CAE=60，AEC=BDC，正确，BAE=120，EAD=60，正确，BCD=90， BCA=60，ACD=ADC=30，AC=AD，CE=DE，CE 2+AD2=AC2+DE2，正确，当 D 点在 BA 延长线上时， BDE-BDC=60，AEC=BDC ，BDC+AED=AEC+AED=CED=60，BDE-BDC=BDC+AEDBDE-AED=2 BDC ，故正确的结论有，故选 C.【关键点拨】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握3如
26、图，在ABC 中，AB=AC，BAC=120，D，E 是 BC 上的两点，且DAE=30，将AEC 绕点 A 顺时针旋转 120后，得到 AFB，连接 DF.下列结论中正确的个数有（ ）FBD=60；ABEDCA；AE 平分CAD；AFD 是等腰直角三角形.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】BBADEAC 120 DAE90，ABC BAD 90，ADC 90，DAC 60，EAC 30，即DAE EAC，错误；将AEC 绕点 A 顺时针旋转 120后，得到AFB，AFAE ， EACBAF，
27、BAC 120，DAE30，BADEAC 90 ，DABBAF90，【关键点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但是有一定的难度4如图，在等边三角形 ABC 中，在 AC 边上取两点 M、N，使MBN30若AM m，MN x，CNn，则以 x，m，n 为边长的三角形的形状为（ ）A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D随 x，m，n 的值而定【答案】C【解析】将ABM 绕点 B 顺时针旋转 60得到CBH连接 HN
28、【关键点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型5如图，在等腰直角ABC 中，C=90，点 O 是 AB 的中点，且 AB= ，将一块直角6三角板的直角顶点放在点 O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与 AC、BC 相交，交点分别为 D、E，则 CD+CE=（ ）A B C2 D3 6 5【答案】A【解析】6 如图，在ABC 中，ABC45，CDAB 于 D，BE 平分ABC，且 BEAC 于 E
29、，与CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH、BE 与相交于点 G，以下结论中正确的结论有（ ）（1 ） ABC 是等腰三角形；（2）BFAC；（3 ）BH：BD：BC1： ： ；（4 ）2 3GE2+CE2BG 2A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】C【解析】（1）BE 平分ABC ，ABE CBE，CDAB ，ABE +A 90，CBE+ACB 90，ABCA，ABBC，ABC 是等腰三角形；故（1）正确； ，BDFCDA（AAS ） ，BFAC；故 （2）正确； （3）在BC
30、D 中，CDB90，DBC45，DCB45，BDCD，BC BD2由点 H 是 BC 的中点，DHBH CH BC，12BD BH，2BH：BD ：BC BH ： BH：2BH 1： ：22 2故（3）错误；（4）由（2）知：BFAC，BF 平分DBC，ABE CBE，又BEAC，AEB CEB，在ABE 与CBE 中，【关键点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行线的性质，勾股定理,熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键7如图，AOB=30，OC 为 AOB 内部一条射线，点 P
31、 为射线 OC 上一点，OP=4，点 M、N分别为 OA、OB 边上动点，则MNP 周长的最小值为( )A2 B4 C D23 43【答案】B【解析】【关键点拨】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称-最短路线问题的应用，正确作出辅助线，确定 M、 N 的位置，证明 OP 1P2 是等边三角形是解题关键8如图， ， ， ，点 D、E 为 BC 边上的两点，且=，连接 EF、BF 则下列结论： ； ； ，其中正确的有( )个A1 B2
32、 C3 D4【答案】DAED AEF,AF=AD, ,FAB=CAD,AB=AC， ，正确；BAC=DAF=90，BAC-BAD=DAF-BAD，即CAD= BAF 在ACD 与ABF 中，ACDABF（SAS） ，CD=BF，由 知AEDAEF，DE=EF在BEF 中，BE+BFEF，BE+DCDE，正确；由知ACDABF，C=ABF=45，ABE=45，EBF=ABE+ ABF=90 正确故答案为 D【关键点拨】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广
33、，解题时要注意仔细分析，有一定难度9如图，四边形 ABCD 中，A、B、C 、D 的角平分线恰相交于一点 P，记APD、APB、BPC 、DPC 的面积分别为 S1、S 2、S 3、S 4，则有（ ）A B C D1+3=2+4 1+4=2+3 1=3【答案】A【关键点拨】本题考查了角平分线性质定理,作高线和理解角平分线性质定理是解题关键.10如图，已知 AD 为ABC 的高线，AD=BC，以 AB 为底边作等腰 RtABE，连接ED，EC，延长 CE 交 AD 于 F 点，下列结论：ADEBCE；
34、CE DE；BD=AF；S BDE=SACE，其中正确的有（ ）A B C D【答案】CBDE=ADB+ADE ，AFE=ADC+ECD，BDE=AFEBED+BEF= AEF+BEF=90 ，BED=AEF 在AEF 和BED 中， ，AEF BED（AAS） ，BD =AF；故正确；AD=BC，BD= AF，CD=DF学科43OA= ,43设 D(x, ) ,-33x+4E(x,- x+2),33延长 DE 交 OA 于点 F，EF=- x+2,OF=x,来源:学科网33在 Rt OEF
35、 中利用勾股定理得： ,x2+(- 33+2)2=22解得 ：x 1=0(舍） ，x 2= ；3EF=1,SAOE= OAEF=2 .12 3故答案为： .【关键点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数 y=kx+b， （k0，且k，b 为常数）的图象是一条直线它与 x 轴的交点坐标是（- ，0） ；与 y 轴的交点坐标是（0，b） 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y=kx+b也考查了菱形的性质.20如图，等腰ABC 中，CA=CB=4，ACB=120，点 D 在线段 AB 上运动（不与 A、B 重合），将CAD 与CBD 分别沿直线 CA、CB 翻折得到CAP 与CBQ，
36、给出下列结论：CD=CP=CQ；PCQ 的大小不变；PCQ 面积的最小值为 ；当点 D 在 AB 的中点时， PDQ 是等边三角形，其中所有正确结论的序号是 【答案】如图，过点 Q 作 QEPC 交 PC 延长线于 E，PCQ=120，QCE=60 ，在 RtQCE 中，tanQCE= ，QE=CQtanQCE=CQtan60= CQ，CP=CD=CQ，S 3PCQ= CPQE= CP CQ= ，CD 最短时，S PCQ 最小，即：CDAB 时，CD 最短，过点12 3 322C 作 CFAB，此时 CF 就是最短的 CD，AC=BC=4
37、，ACB=120，ABC=30，CF= BC=2，即： CD 最短为 2，S PCQ 最小 = = = ，错误；12 322 32脳 2223将CAD 与CBD 分别沿直线 CA、CB 翻折得到CAP 与CBQ，AD=AP，DAC=PAC ， DAC=30，APD=60，APD 是等边三角形，PD=AD，ADP=60 ，同理： BDQ 是等边三角形，DQ=BD，BDQ=60 ，PDQ=60，当点 D 在 AB 的中点，AD=BD，PD=DQ， DPQ 是等边三角形， 正确，故答案为：21如图 1，ABC 中，沿BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B 1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B nAnC 的平分线 AnBn+1 折叠，点 Bn 与点 C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称BAC 是ABC 的好角 .（1 ）如图 2，在ABC 中，B>C ，若经过两次折叠，BAC 是ABC 的好角，则B 与C 的等量关系是_；（2 ）如果一个三角形的最小角是 20，则此三角形的最大角为_时，该三角形的三个角均是此三角形的好角。
