1、2019 年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A0，1， 2，3，4，5，6 ，Bx|x 2n，nA，则 AB（ ）A0 ，2，4 B2 ，4，6C0，2，4，6 D0 ，2， 4，6，8，10，122 （5 分）若复数 为纯虚数（i 为虚数单位） ，则实数 a 的值为（ ）A1 B C0 D13 （5 分）命题 p：“x （，0） ，3 x4 x”的否定 p 为（ ）Ax（ ，0） ，3 x4 xBx（，0） ，3 x4 xCD4 （5 分）已知 ，则 a，b，c 的大
2、小关系为（ ）Aabc Bbac Ccab Dac b5 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，以 F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4） ，则此双曲线的方程为（ ）A BC D6 （5 分）已知四面体 ABCD 的四个面都为直角三角形，且 AB平面BCD，AB BDCD 2，若该四面体的四个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ）A3 B2 C D127 （5 分）已知函数 ，xR，给出下列四个命题：第 2 页（共 22 页）函数 f（x）的最小正周期为 2；函数 f（x）的最大值为 1；函数
3、f（x）在 上单调递增；将函数 f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到的函数解析式为 g（x）sin2x其中正确命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D48 （5 分）设函数 ，若 f（x）的最大值不超过 1，则实数 a的取值范围为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲社区有驾驶员 96 人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社
4、区驾驶员的总人数 N 为 10 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为 11 （5 分）若实数 x，y 满足条件 则 z2x +2y 的最小值为 第 3 页（共 22 页）12 （5 分）在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 2+2sin3，若直线与圆交于 M，N 两点，则线段 MN 的长度为 13 （5 分）已知首项与公比相等的等比数列a n中
5、，若 m，nN *，满足 ，则的最小值为 14 （5 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，ABC90，DCA2BAC，若 x+y （x，yR） ，则 xy 的值为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （13 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足（）求角 A 的值；（）若 a3，b2 ，求 sin（2B+A）的值16 （13 分）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队 3 人）进入了
6、决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得 10 分，答错得 0 分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中 3 人答对的概率分别为 ， ， ，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用 表示乙队的总得分（）求 的分布列和数学期望；（）求甲、乙两队总得分之和等于 30 分且甲队获胜的概率17 （13 分）如图，四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的底面为菱形，AA 1底面ABCD， BAD120，AB 2，E，F 分别为 CD，AA 1 的中点（）求证：DF平面 B1AE；（）若直线 AD1 与平面 B1AE 所成角的正弦值为 ，求 AA1 的长；第 4 页（共 22 页）（）在（）的条件下，求二面角
7、 B1AED 1 的正弦值18 （13 分）已知数列a n满足 a12， ，设 bn（）求 b1，b 2，b 3 的值；（）证明数列b n是等差数到；（）设 ，求数列c n的前 n 项和 Tn（n N*） 19 （14 分）已知椭圆 过点 P（2，1） （）求椭圆 C 的方程，并求其离心率；（）过点 P 作 x 轴的垂线 l，设点 A 为第四象限内一点且在椭圆 C 上（点 A 不在直线l 上） ，点 A 关于 l 的对称点为 A'，直线 A'P 与 C 交于另一点 B设 O 为原点，判断直线AB 与直线 OP 的位置关系，并说明理由20 （14 分）已知函数 f（x ）x 33
8、ax+e，g（x）1lnx，其中 e 为自然对数的底数（）若曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线与直线 l：x +2y0 垂直，求实数 a的值；（）求函数 f（x ）的单调区间；（）用 maxm，n表示 m，n 中的较大者，记函数 h（x ）maxf（x） ，g（x）（x0） 若函数 h（x ）在（0，+）内恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围第 5 页（共 22 页）2019 年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A0，1， 2，3，4，5，6 ，Bx|x 2n，nA，则 A
9、B（ ）A0 ，2，4 B2 ，4，6C0，2，4，6 D0 ，2， 4，6，8，10，12【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 A0， 1，2，3，4，5，6 ，B x|x2n，nA0，2，4，6，8，10，12，AB0，2，4，6故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2 （5 分）若复数 为纯虚数（i 为虚数单位） ，则实数 a 的值为（ ）A1 B C0 D1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求解【解答】解： 为纯虚数， ，即 a1故选
10、：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）命题 p：“x （，0） ，3 x4 x”的否定 p 为（ ）Ax（ ，0） ，3 x4 xBx（，0） ，3 x4 xCD【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断【解答】解：命题是全称命题，则p： ，第 6 页（共 22 页）故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键比较基础4 （5 分）已知 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bbac Ccab Dac b【分析】利用对数函数、指数函数的单
11、调性直接求解【解答】解： ，0a（ ） （ ） 01，blog 23log 49clog 47 log441，a，b，c 的大小关系为 acb故选：D【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，以 F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4） ，则此双曲线的方程为（ ）A BC D【分析】根据题意，点（3，4）到原点的距离等于半焦距，可得 a2+b225由点（3，4）在双曲线的渐近线上，得到 ，两式联解得出 a3 且
12、b4，即可得到所求双曲线的方程【解答】解：点（3，4）在以|F 1F2|为直径的圆上，c5，可得 a2+b225又点（3，4）在双曲线的渐近线 y x 上，第 7 页（共 22 页） ，联解，得 a3 且 b4，可得双曲线的方程 1故选：C【点评】本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的方程，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质，主要是渐近线方程的运用，属于中档题6 （5 分）已知四面体 ABCD 的四个面都为直角三角形，且 AB平面BCD，AB BDCD 2，若该四面体的四个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ）A3 B2 C D12【分析】将四个面都为直角三角形的四面
13、体放到长方体中，根据 ABBDCD2，求解长方体对角线，可得球 O 的半径，从而求解球 O 的表面积【解答】解：由题意，四面体有四个面都为直角三角形，四面体放到长方体中，AB平面 BCD，ABBD CD 2，可得长方体的对角线为 球 O 的半径 R 球 O 的表面积 S4R 212故选：D【点评】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查分割补形法，是中档题7 （5 分）已知函数 ，xR，给出下列四个命题：函数 f（x）的最小正周期为 2；第 8 页（共 22 页）函数 f（x）的最大值为 1；函数 f（x）在 上单调递增；将函数 f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到的函数解析式为 g（
14、x）sin2x其中正确命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】 sin（2x ） ，所以其周期，最值，单调性，平移情况皆可判断【解答】解：依题意，sin（2x ） ，所以 f（x）的最小正周期 T ，错误；最大值为 1，正确；由 +2k2x 得，f（x）的单调递增区间为 ， ，故错误；将函数 f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到的函数解析式为g（x）sin2（x + ） sin2x ，故 正确故选：B【点评】本题考查了正弦型函数的最小正周期、最值、单调性、图象的平移等知识，考查字母运算能力，和三角公式的掌握和运用属于中档题8 （5 分）设函数 ，若 f（x）的最大值不超
15、过 1，则实数 a的取值范围为（ ）A B C D【分析】讨论 xa+1 时，x a+1 时，由指数函数、绝对值函数的单调性，可得最大值，第 9 页（共 22 页）解不等式即可得到所求范围【解答】解：当 xa+1 时，f （x）（ ） |xa| 在（，a）递增，a，a+1）递减，可得 xa 处取得最大值，且为 1；当 xa+1 时，f（x）a|x+1|，当 a+11，即 a2 时，f（x ）递减，可得a|a+2|1，解得 a ；当 a+11，即 a2 时，f（x ）在 x1 处取得最大值，且为a1，则 a综上可得 a 的范围是 ， +） 故选：A【点评】本题考查分段函数的最值的求法
16、，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数和绝对值函数的单调性，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲社区有驾驶员 96 人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数 N 为 808 【分析】利用分层抽样列出方程，由此能求出这四个社区驾驶员的总人数 N【解答】解：对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人
17、数为 N，其中甲社区有驾驶员 96 人在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12，21，25，43，则 ，这四个社区驾驶员的总人数 N808故答案为：808【点评】本题考查四个社区驾驶员的总人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用10 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为 4 第 10 页（共 22 页）【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：a72，S50 是，S 36，i2，S50 是，S36+ 36+1248，i3，S50 是，S48+ 48+654，i4，S50 否，输出 i4，故答案为：4【点评】本题主要考查程
18、序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键11 （5 分）若实数 x，y 满足条件 则 z2x +2y 的最小值为 6 【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出实数 x，y 满足条件 对于的平面区域如图：第 11 页（共 22 页）由 z2x+2y，则 yx + z，平移直线 yx + z，由图象可知当直线 yx + z，经过点 A 时，直线 yx + z 的截距最小，此时 z 最小，无最大值由 ，解得 A（3，0） ，此时 zmin23+2 06，故答案为：6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键12
19、 （5 分）在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 2+2sin3，若直线与圆交于 M，N 两点，则线段 MN 的长度为 2 【分析】根据参数的几何意义可得，【解答】解：直线 l 的参数方程的标准形式为 （t 为参数） ，圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2+2y30，将直线 l 的参数方程的标准形式代入圆 C 的直角坐标方程得： t2+4 t+60，设 M，N 对应的参数为 t1，t 2，则 t1+t24 ，t 1t260，第 12 页（共 22 页）|MN | |t1t 2|
20、2 故答案为：2 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题13 （5 分）已知首项与公比相等的等比数列a n中，若 m，nN *，满足 ，则的最小值为 1 【分析】结合等比数列的通项公式可得 m+2n8，然后由 （ ） （m+2n） ，展开后利用基本不等式即可求解【解答】解： ，q mq2nq 8，m+2 n8，m0，n0，则 （ ） （m+2n） ，当且仅当 且 m+2n8 即 m4，n2 时取等号，故答案为：1【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题14 （5 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，ABC90，DCA2BAC，若 x+y
21、（x，yR） ，则 xy 的值为 1 【分析】过 D 作 DMBC，则 RtABCRtDMC ，利用相似比表示出 x，y 即可得出结论【解答】解：过 D 作 BC 的垂线，交 BC 延长线于 M，设BAC，则ACD2，ACB90 ，第 13 页（共 22 页）DCM1802（90）90 RtABCRtDMC， ， x +y ，x k，y k+1，xy1故答案为：1【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （13 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足（）求角 A 的值；（）
22、若 a3，b2 ，求 sin（2B+A）的值【分析】 （）由正弦定理化简已知可得 b2+c2a 2bc，由余弦定理 cosA 的值，结合范围 0A，可求 A 的值（）由正弦定理可求 sinB，利用同角三角函数基本关系式可求 cosB 的值，根据二倍角公式可求 sin2B，cos2B 的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解【解答】 （本小题满分 13 分）解：（） ，由正弦定理得， （2 分）化简得，b 2+c2a 2bc （3 分）第 14 页（共 22 页）由余弦定理得， （5 分）又 0A， （6 分）（）由（）知， ，又 a3， ，sinB （8 分）又 ba，cosB （9 分）sin
23、2B2sinBcosB ，（10 分）cos2B12sin 2B ，（11 分）sin（2B+A ）sin（2B+ ）sin2Bcos +cos2Bsin （13 分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题16 （13 分）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队 3 人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得 10 分，答错得 0 分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中 3 人答对的概率分别
24、为 ， ， ，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用 表示乙队的总得分（）求 的分布列和数学期望；（）求甲、乙两队总得分之和等于 30 分且甲队获胜的概率【分析】 （）由题意知， 的可能取值为 0，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 E；（）由 A 表示“甲队得分等于 30 乙队得分等于 0”，B 表示“甲队得分等于 20 乙队得分等于 10”，可知 A、B 互斥利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于 30 分且甲队获胜的概率第 15 页（共 22 页）【解答】解：由题意知， 的可能取值为 0，10，20，30，由于乙队中 3 人答对的概率分别为
25、， ， ，P（0）（1 ）（1 ）（1 ） ，P（10） （1 ）（1 ）+（1 ） （1 ）+（1 ）（1 ） ，P（20） （1 ）+（1 ） + （1 ） ，P（30） ， 的分布列为： 0 10 20 30PE0 +10 +20 +30 （）由 A 表示“甲队得分等于 30 乙队得分等于 0”，B 表示“甲队得分等于 20 乙队得分等于 10”，可知 A、B 互斥又 P（A） ，P（B） ，则甲、乙两队总得分之和等于 30 分且甲队获胜的概率为P（A+B）P （A ）+ P（B ） 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意
26、排列组合知识的合理运用，确定随机变量，及其概率17 （13 分）如图，四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的底面为菱形，AA 1底面ABCD， BAD120，AB 2，E，F 分别为 CD，AA 1 的中点（）求证：DF平面 B1AE；（）若直线 AD1 与平面 B1AE 所成角的正弦值为 ，求 AA1 的长；（）在（）的条件下，求二面角 B1AED 1 的正弦值第 16 页（共 22 页）【分析】 （I）取 AB1 的中点 G，连接 FG，GE，证明四边形 FGED 是平行四边形可得DFEG，故而 DF平面 B1AE；（II）建立空间坐标系，求出平面 B1AE 的法向量 ，设 AA1t ，令
27、|cos ， |求出 t；（III）求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小【解答】证明：（）取 AB1 的中点 G，连接 FG，GE， ，FGA 1B1， ，DE A 1B1，FGDE ，FGDEGEDF 是平行四边形DFEG 又 DF平面 B1AE，EG平面 B1AE，DF平面 B1AE 解：（）在菱形 ABCD 中，BAD120，ADC60ACD 是等边三角形AECDAEAB又 AA1平面 ABCD，AA 1AB，AA 1AE 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设 AA1t（t0） ，则 ，第 17 页（共 22 页） ， ，设平面 B1AE 的法向量 （x
28、，y，z） ，则 ，即不妨取 z2，得 （t，0 ，2） 设直线 AD1 与平面 B1AE 所成的角为 ，则 sin |cos ， | 解得 t2，即 AA1 的长为 2（）设平面 D1AE 的法向量 （x，y，z） ， ， ，即 ，不妨取 z1，得 （2，0，1） 设二面角 B1AE D 1 的平面角为 ，则|cos| |cos | ，即二面角 B1AED 1 的正弦值为 【点评】本题考查了线面平行的判定，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题18 （13 分）已知数列a n满足 a12， ，设 bn第 18 页（共 22 页）（）求 b1，b 2，b 3 的值；（）证明数列b n是等差数到
29、；（）设 ，求数列c n的前 n 项和 Tn（n N*） 【分析】 （）将 n1 代入得 a29将 n2 代入得 a320，由此能求出 b1，b 2，b 3的值（）将（n+2）a n（n+1 ）a n+12（n 2+3n+2） ，两边同时除以（n+1） （n+2） ，得由此能证明数列b n是以 1 为首项，2 为公差的等差数列（）由 bn1+2（n1）2n1得 设，利用错位相减法求出 Pn6+（2n3）2n+1，由此能求出 Tn【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）将 n1 代入得 3a12a 212，又 a12，a 29将 n2 代入得 4a23a 324，a 320从而 b11，b 2
30、3，b 35 （3 分）证明：（）由已知，将（n+2）a n（n+1）a n+12（n 2+3n+2） ，两边同时除以（n+1） （n+2 ） ，得 （4 分） ，即 bn+1b n2 （5 分）数列b n是以 1 为首项，2 为公差的等差数列 （6 分）解：（）由（）可得 bn1+2（n1）2n1 ， （7 分）设 ，两式相减得， （9 分）2+2 （2n1）2 n+1（10 分）第 19 页（共 22 页）6（2n3）2 n+1，化简得 Pn6+（2n3）2 n+1（11 分）设 Sn1+3+5+（2n1） n 2（12 分）T n6+（2n3）2 n+1+n2（13 分）【点评】本题考查
31、数列的前 3 项的求法，考查等差数列的证明，考查数列的前 n 项和的求法，考查等差数列、错位相减法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （14 分）已知椭圆 过点 P（2，1） （）求椭圆 C 的方程，并求其离心率；（）过点 P 作 x 轴的垂线 l，设点 A 为第四象限内一点且在椭圆 C 上（点 A 不在直线l 上） ，点 A 关于 l 的对称点为 A'，直线 A'P 与 C 交于另一点 B设 O 为原点，判断直线AB 与直线 OP 的位置关系，并说明理由【分析】 （）将点 P 代入椭圆方程，求出 a，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（）设直线 PA：y 1k （
32、x2） ，PB：y1k （x2） ，设点 A 的坐标为（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，分别求出 x1x 2，y 1y 2，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系【解答】解：（）由椭圆方程椭圆 过点 P（2，1） ，可得 a28所以 c2a 22826，所以椭圆 C 的方程为 + 1，离心率 e ，（）直线 AB 与直线 OP 平行证明如下：设直线 PA：y1k （x2） ，PB：y1k （x2） ，设点 A 的坐标为（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，由 得（4k 2+1）x 2+8k（12k ）x+16k 216k40，2x 1 ，第 20 页（
33、共 22 页）x 1同理 x2 ，所以 x1x 2 ，由 y1kx 12k+1 ，y 2kx 1+2k+1有 y1y 2k（ x1+x2）4k ，因为 A 在第四象限，所以 k0，且 A 不在直线 OP 上k AB ，又 kOP ，故 kABk OP，所以直线 AB 与直线 OP 平行【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题20 （14 分）已知函数 f（x ）x 33ax+e，g（x）1lnx，其中 e 为自然对数的底数（）若曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线与直线 l：x +2y0 垂直，求实数 a的值；（）求函数 f
34、（x ）的单调区间；（）用 maxm，n表示 m，n 中的较大者，记函数 h（x ）maxf（x） ，g（x）（x0） 若函数 h（x ）在（0，+）内恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围【分析】 （I）先对函数求导，结合导数的几何意义可求（II）由题意可得，f '（x ）3x 23a，结合 a 的范围判断 f'（x）的正负，即可求解，（III）结合导数及函数的零点的判定定理，分类讨论进行求解【解答】解：（I）f'（x）3x 23a曲线 yf（x）在点（1，f（ 1） ）处的切线与直线 l：x+2y0 垂直，f（1）33a2， ；第 21 页（共 22 页）（II）
35、由题意可得，f '（x ）3x 23a（1）当 a0 时，f'（x ）0，函数（，+）在（，+）内单调递增 （6 分）（2）当 a0 时，令 ，解得 或 由 ，解得 或 ，由 ，解得 ， （8 分）函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 （9 分）（III） （ 1）当 x（0，e ）时， g（x ）0，由题意可得，h（x）g（x）0，不满足题意，（2）当 xe 时，g（e ）0 ，f（e）e 33ae+e，若 f（ e）0 即 a ，则 e 是 h（x）的一个零点；若 f（ e）0 即 a ，则 e 不是 h（x）的一个零点；（3）当 x（e，+）时，g（x）0，此时只
36、需要考虑函数 f（x）在（e，+）上零点的情况，f（x）3 x23a3e 23a，当 ae 2 时，f（x ）0，f（x）在（0，+）上单调递增，又 f（e）e 33ae+e，（i）当 a ，f（e）0，f （x）在（e，+）上单调递增，（ii） 时，f（e ）0，又 f（2e）8e 36ae+e8e 36e 3+e0，f（x）在（e，+）上恰有一个零点，当 a e2，令 f（x ）0 可得 x ，由 f（x）0 可得 ex ，由 f（x）0 可得 x ，f（x）在（e， ）上单调递减， （ ）上单调递增，f（e）e 33ae+e e 33e 3+e0，f（2，a）8a 26a 2+e2a 2+e0，此时函数 h（x）在（0，+）内恰有一个零点，综上，实数 a 的取值范围是 第 22 页（共 22 页）【点评】本题主要考查了函数的导数与单调性，极值之间关系的应用，还考查了逻辑思维能力，试题较难
