1、2019 年天津市河北区中考数学一模试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3 分）计算（5）3 的结果等于（ ）A8 B2 C2 D82（3 分）sin45的值等于（ ）A B C D13（3 分）下列表示天气的图形中，是中心对称图形的是（ ）A BC D4（3 分）据国家统计局全国农村贫困监测调查，按现行国家农村贫困标准测算，2018 年末，全国农村贫困人口 1660 万人，比上年末减少 13860000 人将 13860000 用科学记数法表示为（ ）A0.138610 8 B1.38610 7 C13.
2、8610 6 D138610 45（3 分）如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）A B C D6（3 分）估计 2 的值在（ ）A4 和 5 之间 B5 和 6 之间 C6 和 7 之间 D7 和 8 之间7（3 分）计算 +1 的结果为（ ）A B C D8（3 分）若关于 x，y 的方程组 的解是 ，则 mn 的值为（ ）A2 B1 C1 D29（3 分）已知在反比例函数 y 上有两个点 A（x A， yA），B（x B，y B），若xA0x B，则下列结论正确的是（ ）Ay A+yB0 By A+yB0 Cy Ay B Dy Ay B10（3 分）某同学记录了
3、一个秋千离地面的高度 h（m ）与摆动时间 t（s）之间的关系，如图所示，则这个秋千摆动第一个来回所需的时间为（ ）A0.7s B1.4s C2.8s D5.4s11（3 分）如图，已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点，正方形 EFGH 的顶点 G、H 都在边 AD 上，若 AB2，BC 5，则 tanAFE 的值（ ）A等于B等于C等于D不确定，随点 E 位置的变化而变化12（3 分）如图，一段抛物线 yx 2+9（3x 3）为 C1，与 x 轴交于 A0，A 1 两点，顶点为 D1；将 C1 绕点 A1 旋转 180得到 C2，顶点为 D2；C 1 与 C2 组成一个
4、新的图象垂直于 y 轴的直线 l 与新图象交于点 P1（x 1，y 1），P2（x 2，y 2），与线段 D1D2 交于点 P3（x 3，y 3），且 x1，x 2，x 3 均为正数，设 tx 1+x2+x3，则 t 的最大值是（ ）A15 B18 C21 D24二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.13（3 分）计算 a4（a 3） 2 的结果等于 14（3 分）分解因式：abac 15（3 分）在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“山”的概率是 16（3 分）已知正多边形的一个外角等于 40，那么这个正多边形的边数为 17（3 分）若 m 为任意
5、实数，则关于 x 的一元二次方程（ x3）（x 2） m2 m+1实数根的个数为 18（3 分）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A、B、O、P 均在格点上（I）OB 的长等于 ；（II）点 M 在射线 OA 上，点 N 在射线 OB 上，当PMN 的周长最小时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出PMN，并简要说明点 M，N 的位置是如何找到的（不要求证明） 三、解答题：本大题共 7 小题，共 66 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.19（8 分）本小题 8 分解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答（I）解不等式 ，得 ；（II）解不等式，得 ；（III）把
6、不等式和的解集在数轴上表示出来：（IV）原不等式组的解集为 20（8 分）某学校组织全校 1500 名学生进行经典诗词诵背活动，为了解本次系列活动的效果，学校团委在活动开展一个月之后，随机抽取部分学生调查了“一周诗词诵背数量”，并根据调查结果绘制成如下的统计图 1 和图 2请根据相关信息，解答下列问题：（I）图 2 中的 m 值为 ；（II）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（III）估计此时该校学生一周诗词诵背 6 首（含 6 首）以上的人数21（10 分）已知ABC 内接于O，D 是 上一点，ODBC，垂足为 H，连接AD、CD，AD 与 BC 交于点 P（I）如图 1，求证：ACD
7、 APB ；（II）如图 2，若 AB 过圆心，ABC30，O 的半径长为 3，求 AP 的长22（10 分）如图，某同学要测量海河某处的宽度 AB，该同学使用无人机在 C 处测得A，B 两点的俯角分别为 45和 30，若无人机此时离地面的高度 CH 为 1000 米，且点 A，B ，H 在同一水平直线上，求这处海河的宽度 AB（结果取整数）参考数据：1.414， 1.73223（10 分）某货运公司有大小两种货车，3 辆大货车与 4 辆小货车一次可以运货 29 吨，2 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运货 31 吨（I）请问 1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运货多少吨；（II）目前有
8、 46.4 吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共 10 辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车一次运货花费 500 元，每辆小货车一次运货花费 300 元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？24（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 第一象限中有正方形 OABC，A（4，0），点P（m， 0）是 x 轴上一动点（ 0m 4），将ABP 沿直线 BP 翻折后，点 A 落在点 E处，在 OC 上有一点 M（0， t），使得将OMP 沿直线 MP 翻折后，点 O 落在直线 PE上的点 F 处，直线 PE 交 OC 于点 N，连接 BN（I）求证：BP PM；（II）求 t 与 m 的函数关
9、系式，并求出 t 的最大值；（III）当 ABPCBN 时，直接写出 m 的值25（10 分）如图，抛物线 yx 2+bx+c 与 y 轴交于点 A（ 0，2），对称轴为直线 x2，平行于 x 轴的直线与抛物线交于 B、C 两点，点 B 在对称轴左侧，BC6（I）求此抛物线的解析式；（II）已知在 x 轴上存在一点 D，使得ABD 的周长最小，求点 D 的坐标；（III）若过点 C 的直线 l 将ABC 的面积分成 2：3 两部分，试求直线 l 的解析式2019 年天津市河北区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选
10、项中，只有一项是符合题目要求的.1（3 分）计算（5）3 的结果等于（ ）A8 B2 C2 D8【分析】将减法转化为加法，再根据加法法则计算可得【解答】解：（5）3（5）+（3）8，故选：A【点评】本题主要考查有理数的减法，解题的关键是掌握有理数的减法法则2（3 分）sin45的值等于（ ）A B C D1【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可【解答】解：sin45 故选：B【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可3（3 分）下列表示天气的图形中，是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项
11、错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误故选：C【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后两部分重合4（3 分）据国家统计局全国农村贫困监测调查，按现行国家农村贫困标准测算，2018 年末，全国农村贫困人口 1660 万人，比上年末减少 13860000 人将 13860000 用科学记数法表示为（ ）A0.138610 8 B1.38610 7 C13.8610 6 D138610 4【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，
12、要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是非负数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 13 860 000 用科学记数法表示为：1.38610 7故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值5（3 分）如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）A B C D【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中【解答】解：从上面看易得：有 3 列小正方形第 1
13、 列有 2 个正方形，第 2 列有 1 个正方形，第 3 列有 1 个正方形故选：A【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题时不但要具有丰富的数学知识，而且还应有一定的生活经验6（3 分）估计 2 的值在（ ）A4 和 5 之间 B5 和 6 之间 C6 和 7 之间 D7 和 8 之间【分析】根据 的取值范围进行估计解答【解答】解：2.6 2.7，5 6，故选：B【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出 的取值范围是解题关键7（3 分）计算 +1 的结果为（ ）A B C D【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式 ，故选：B【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟
14、练运用分式的运算法则，本题属于基础题型8（3 分）若关于 x，y 的方程组 的解是 ，则 mn 的值为（ ）A2 B1 C1 D2【分析】根据二元一次方程组的解的定义，把未知数的值代入方程组求出 m、n 的值，根据有理数的乘法法则进行计算即可【解答】解：把 代入方程组 中，可得： ，解得：m1，n2，所以 mn2，故选：A【点评】本题考查的是二元一次方程组的解的定义和有理数的乘方，掌握能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解是解题的关键，注意有理数的乘法法则的正确运用9（3 分）已知在反比例函数 y 上有两个点 A（x A， yA），B（x B，y B），若xA0x B，则
15、下列结论正确的是（ ）Ay A+yB0 By A+yB0 Cy Ay B Dy Ay B【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答【解答】解：反比例函数 y 中的 k10，反比例函数 y 的图象经过第二、四象限x A0x B，点 A（x A，y A）在第二象限，则 yA0，点 B（x B，y B）在第四象限，则 yB0，y Ay B，故选：D【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象与系数的关系10（3 分）某同学记录了一个秋千离地面的高度 h（m ）与摆动时间 t（s）之间的关系，如图所示，则这个秋千摆动第一个来回所需的时间为（ ）A0.7s B1.4s C
16、2.8s D5.4s【分析】结合荡秋千的经验，秋千先从一端的最高点下落到最低点，再荡到另一端的最高点，再返回到最低点，最后回到开始的一端，符合这一过程的即是 02.8s，由此即可得出结论【解答】解：观察函数图象，可知：秋千摆动第一个来回需 2.8s故选：C【点评】本题考查函数图象和函数概念，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答11（3 分）如图，已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点，正方形 EFGH 的顶点 G、H 都在边 AD 上，若 AB2，BC 5，则 tanAFE 的值（ ）A等于B等于C等于D不确定，随点 E 位置的变化而变化【分析】由AEHACD，
17、找到 EH 和 AH 关系，从而得到 FG 和 AG 关系，根据tanAFEtanFAG 求解【解答】解：EHCD，AEHACD 设 EH2x，则 AH5x ，HGGF 2 xtanAFEtanFAG 故选：B【点评】本题主要考查了正方形、矩形的性质、解直角三角形，解题的关键是转化角进行求解12（3 分）如图，一段抛物线 yx 2+9（3x 3）为 C1，与 x 轴交于 A0，A 1 两点，顶点为 D1；将 C1 绕点 A1 旋转 180得到 C2，顶点为 D2；C 1 与 C2 组成一个新的图象垂直于 y 轴的直线 l 与新图象交于点 P1（x 1，y 1），P2（x 2，y 2），与线段
18、D1D2 交于点 P3（x 3，y 3），且 x1，x 2，x 3 均为正数，设 tx 1+x2+x3，则 t 的最大值是（ ）A15 B18 C21 D24【分析】先求出旋转后函数的顶点和对称轴，再由垂直于 y 轴的直线 l 与新图象相交，所以交点的横坐标关于对称抽对称，得到 x1+x212，再结合 0x 36 即可求 t 的最大值【解答】解：由已知可得：A 1（3，0），D 1（0，9），将 C1 绕点 A1 旋转 180后，得到： D2（6，9），新函数的对称轴为 x6，垂直于 y 轴的直线 l 与新图象交于点 P1（x 1，y 1），P2（x 2，y 2），P 1（x 1，y 1），P
19、2（x 2，y 2）两点关于对称轴 x6 对称，x 1+x212，垂直于 y 轴的直线 l 与线段 D1D2 交于点 P3（x 3，y 3），0x 36，tx 1+x2+x312+ x3，当 x36 时，t 有最大值 18故选：B【点评】本题考查二次函数图象的旋转解题中找到旋转后的对称轴和顶点坐标是解题的关键，能够根据点的对称性将三个变量的关系转化为一个变量是解题的突破点二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.13（3 分）计算 a4（a 3） 2 的结果等于 a 10 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案【解答】解：原式a 4a6a
20、 10故答案为：a 10【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键14（3 分）分解因式：abac a（bc） 【分析】直接提取公因式 a，进而分解因式即可【解答】解：abaca（bc）故答案为：a（bc）【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键15（3 分）在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“山”的概率是 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率【解答】解：在“绿水青山就是金山银山”这 10 个字中，“山”字有 3 个，这句话中任选一个汉字，
21、这个字是“山”的概率是 ，故答案为： 【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 16（3 分）已知正多边形的一个外角等于 40，那么这个正多边形的边数为 9 【分析】由正多边形的每一个外角是 ，代入即可【解答】解：正多边形外角和是 360，每一个外角是 ，又因为每个外角等于 40，n9，故答案为 9【点评】本题考查正多边形的外角都相等，外角和 360牢记性质和公式是解题的关键17（3 分）若 m 为任意实数，则关于 x 的一元二次方程（ x3）（x 2） m2 m+1实数根的个数为 两个不相
22、等的实数根 【分析】将方程整理成一般式，再得出判别式（5）241（ m2 m+5）（m +1） 2+40，据此可得答案【解答】解：方程整理为一般式为 x25x m2 m+50，（5） 241（ m2 m+5）m 2+2m+5（m+1） 2+40，这个方程有两个不相等的实数根，故答案为：两个不相等的实数根【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（ 3）0 方程没有实数根18（3 分）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A、B、O、P 均在格点上（I）OB 的长等于 ；（II）点 M 在射线 OA 上，点
23、N 在射线 OB 上，当PMN 的周长最小时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出PMN，并简要说明点 M，N 的位置是如何找到的（不要求证明） 作点 P 关于 OA，OB 的对称点，连接两个对称点交 OB 于 N，交 OA于 M 【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；（2）作点 P 关于 OA，OB 的对称点，进而解答即可【解答】解：（1）OB ，（2）如图所示：作点 P 关于 OA，OB 的对称点，连接两个对称点交 OB 于 N，交 OA 于 M 即可；故答案为： ；作点 P 关于 OA，OB 的对称点，连接两个对称点交 OB 于 N，交 OA于 M【点评】本题考查作图应用与设计、
24、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理和对称解答三、解答题：本大题共 7 小题，共 66 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.19（8 分）本小题 8 分解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答（I）解不等式 ，得 x 3 ；（II）解不等式，得 x 1 ；（III）把不等式和的解集在数轴上表示出来：（IV）原不等式组的解集为 1x3 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可【解答】解：（I）解不等式 ，得 x3；（II）解不等式，得 x 1；（III）把不等式和的解集在
25、数轴上表示出来：（IV）原不等式组的解集为：1x3故答案为：（I）x3；（）x1；（）1x3【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键也考查了在数轴上表示不等式组的解集20（8 分）某学校组织全校 1500 名学生进行经典诗词诵背活动，为了解本次系列活动的效果，学校团委在活动开展一个月之后，随机抽取部分学生调查了“一周诗词诵背数量”，并根据调查结果绘制成如下的统计图 1 和图 2请根据相关信息，解答下列问题：（I）图 2 中的 m 值为 25 ；（II）求统计的这组数据的平均数、众数和
26、中位数；（III）估计此时该校学生一周诗词诵背 6 首（含 6 首）以上的人数【分析】（）根据统计图中的数据可以求得 m 的值；（）根据条形统计图中的数据可以求得平均数、众数和中位数；（）根据统计图中的时，可以计算出该校学生一周诗词诵背 6 首（含 6 首）以上的人数【解答】解：（）m% 25%，则 m25，故答案为：25；（）平均数是： 5.2，众数是 4，中位数是 5；（）1500 600（人），答：该校学生一周诗词诵背 6 首（含 6 首）以上的有 600 人【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、众数、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答21
27、（10 分）已知ABC 内接于O，D 是 上一点，ODBC，垂足为 H，连接AD、CD，AD 与 BC 交于点 P（I）如图 1，求证：ACD APB ；（II）如图 2，若 AB 过圆心，ABC30，O 的半径长为 3，求 AP 的长【分析】（I）由垂径定理得出 ，由圆周角定理得出 DACBCD，再由三角形的外角性质，即可得出结论；（II）由圆周角定理得出ACB 90，求出BAC60，AC AB3，由圆周角定理得出BADCAD30，在 RtACP 中，CAP30，得出AP2CP，AC CP3，求出 CP ，即可得出 AP 的长【解答】（I）证明：ODBC ， ，DACBCD，ACDACB+B
28、CD， APBACB+DAC，ACDAPB；（II）解：AB 是O 的直径，ACB90，ABC30，AB 2OB6，BAC60，AC AB3，ODBC， ，BADCAD30，在 Rt ACP 中，CAP30 ，AP2CP，AC CP3 ，CP ，AP2 【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解决问题的关键22（10 分）如图，某同学要测量海河某处的宽度 AB，该同学使用无人机在 C 处测得A，B 两点的俯角分别为 45和 30，若无人机此时离地面的高度 CH 为 1000 米，且点 A，B ，H 在同一水平直线上，求这处海河的宽
29、度 AB（结果取整数）参考数据：1.414， 1.732【分析】在 RtACH 和 Rt HCB 中，利用锐角三角函数，用 CH 表示出 AH、BH 的长，然后计算出 AB 的长【解答】解：由于 CDHB，CAHACD45，BBCD30在 Rt ACH 中， CAH 45AHCH1200 米，在 Rt HCB， tanB ，HB （米）ABHB HA1000 10001000（ 1）米【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题题目难度不大，解决本题的关键是用含 CH 的式子表示出 AH 和 BH23（10 分）某货运公司有大小两种货车，3 辆大货车与 4 辆小货车一次可以运货 29 吨，2
30、 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运货 31 吨（I）请问 1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运货多少吨；（II）目前有 46.4 吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共 10 辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车一次运货花费 500 元，每辆小货车一次运货花费 300 元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？【分析】（I）设 1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运货 x 吨和 y 吨，根据“3 辆大货车与 4 辆小货车一次可以运货 18 吨、2 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运货 17 吨”列方程组求解可得；（II）设货运公司安排大货车 m 辆，则安排小货车（10m）辆根据
31、10 辆货车需要运输 46.4 吨货物列出不等式【解答】解：（I）设 1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运货 x 吨和 y 吨，根据题意可得：，解得： ，答：1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运货 5 吨和 3.5 吨；（II）设货运公司安排大货车 m 辆，则安排小货车（10m）辆，根据题意可得：5m+3.5 （10m ）46.4，解得：m7.6，因为 m 是正整数，且 m10，所以 m8 或 9 或 10所以 10m2 或 1 或 0方案一：所需费用5008+30024600（元）方案二：所需费用5009+30014800（元）方案三：所需费用50010+30005000（元）因
32、为 460048005000所以货运公司安排大货车 8 辆，则安排小货车 2 辆，最节省费用【点评】考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，解题的关键是根据题意建立方程组，并利用不等式求解大货车的数量，解题时注意题意中一次运完的含义，此类试题常用的方法为建立方程，利用不等式或者一次函数性质确定方案24（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 第一象限中有正方形 OABC，A（4，0），点P（m， 0）是 x 轴上一动点（ 0m 4），将ABP 沿直线 BP 翻折后，点 A 落在点 E处，在 OC 上有一点 M（0， t），使得将OMP
33、 沿直线 MP 翻折后，点 O 落在直线 PE上的点 F 处，直线 PE 交 OC 于点 N，连接 BN（I）求证：BP PM；（II）求 t 与 m 的函数关系式，并求出 t 的最大值；（III）当 ABPCBN 时，直接写出 m 的值【分析】（）由折叠知，APBNPB ，OPMNPM，再由平角即可得出结论；（）先表示出 APOA OP 4m，进而得出 OMt，再判断出MOPPAB，进而得出 t （m2） 2+1即可得出结论；（）先判断出CBNABP，BPBN ，再判断出 NEPE，NBEPBE，进而得出CBEABE45，再求出 PN m，进而得出 MNONOMm t ，再判断出OMPNMG
34、，得出 ，由（2）知，t m（m4），联立解得，即可得出结论【解答】解：（）由折叠知，APBNPB ，OPMNPM，APN+ OPN180，2NPB+2 NPM180，NPB+ NPM90，BPM 90 ，BPPM；（）四边形 OABC 是正方形，OAB90，AB OA，A（4，0），ABOA 4，点 P（m，0），OPm，0m4，APOA OP4m，M（0，t），OM t，由（1）知，BPM90，APB +OPM90，OMP+OPM 90，OMPAPB ，MOPPAB 90，MOPPAB ， ， ，t m（m 4） （m 2） 2+10m4，当 m2 时，t 的最大值为 1；（）ABPCBN
35、 ，CBN ABP，BP BN，由折叠知，ABPEBP ，BEP BAP90，NEPE， NBEPBE，CBN NBEEBPPBA，CBEABE45，连接 OB，四边形 OABC 是正方形，OBCOBA45，点 E 在 OB 上，OPONm，PN m，OM t，MNONOMmt，如图，过点 N 作 OP 的平行线交 PM 的延长线于 G，OPMG，由折叠知，OPMNPM，NPMG，NGPN m，GNOP，OMPNMG， ， ，由（2）知，t m（m4 ），联立解得， m0（舍）或 m8 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性
36、质，周长辅助线构造出相似三角形是解本题的关键25（10 分）如图，抛物线 yx 2+bx+c 与 y 轴交于点 A（ 0，2），对称轴为直线 x2，平行于 x 轴的直线与抛物线交于 B、C 两点，点 B 在对称轴左侧，BC6（I）求此抛物线的解析式；（II）已知在 x 轴上存在一点 D，使得ABD 的周长最小，求点 D 的坐标；（III）若过点 C 的直线 l 将ABC 的面积分成 2：3 两部分，试求直线 l 的解析式【分析】（I）由抛物线过点 A（0，2）及对称轴为直线 x2，可得出关于 b，c 的方程，解之即可得出 b，c 的值，进而可得出抛物线的解析式；（II）由抛物线的对称轴及线段
37、BC 的长度可得出点 B，C 的坐标，作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 AB 交 x 轴于点 D，此时ABD 的周长最小，由点 A 的坐标可得出点 A的坐标，由点 A，B 的坐标利用待定系数法可求出直线 AB 的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点 D 的坐标；（III）由点 A，B 的坐标可得出 AB 的长度，设直线 l 与线段 AB 交于点 P，由过点 C 的直线 l 将ABC 的面积分成 2：3 两部分可得出 AP 的长度，过点 P 作 PEy 轴，过点A 作 AEx 轴，交直线 PE 于点 E，则APE 为等腰直角三角形，由 AP 的长度结合等腰直角三角形的性质可得
38、出 AE，PE 的长度，进而可得出点 P 的坐标，再由点 C，P 的坐标利用待定系数法可求出直线 l 的解析式【解答】解：（I）依题意，得： ，解得： ，此抛物线的解析式为 yx 2+4x+2（II）抛物线的对称轴为直线 x1，BC6，且点 B，C 关于直线 x2 对称，点 B 的横坐标为5，点 C 的横坐标为 1，点 B 的坐标（5，7），点 C 的坐标为（1，7）作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 AB 交 x 轴于点 D，此时ABD 的周长最小，如图 1 所示点 A 的坐标为（0，2），点 A的坐标为（0，2）设直线 AB 的解析式为 ykx+a（k0），将点 A（0，2），B（5
39、，7）代入 ykx+a，得：，解得： ，直线 AB 的解析式为 y x2当 y0 时， x20，解得：x ，点 D 的坐标为（ ，0 ）（III） 点 A 的坐标为（0， 2），点 B 的坐标为（5，7），AB5 设直线 l 与线段 AB 交于点 P，则 AP3 或 2 过点 P 作 PE y 轴，过点 A 作 AEx 轴，交直线 PE 于点 E，如图 2 所示点 A 的坐标为（0，2），点 B 的坐标为（5，7），直线 AB 的解析式为 yx +2，PAE 45，APE 为等腰直角三角形，AEPE2 或 3，点 P 的坐标为（2，4）或（3，5）当点 P 的坐标为（2，4）时，直线 l 的解析式为 yx+6；当点 P 的坐标为（3，5）时，直线 l 的解析式为 y x+ 综上所述：直线 l 的解析式为 yx+6 或 y x+ 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形，解题的关键是：（I）利用二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，求出 b，c 的值；（II ）利用两点之间线段最短，找出点 D 的位置；（III）利用等腰直角三角形的性质，求出点P 的坐标
