1、2019 年河南省第二届名校联盟中考数学模拟试卷（5 月份）一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小題均有四个答案，其中只有个是正确的，请把正确答案的代号填在下表中1 （3 分）下面四个实数中最大的是（ ）A B0 C2 D12 （3 分）2018 年 8 月 31 日，中国最新一代芯片麒麟 980 来了，它的诞生打破了欧美对芯片行业的垄断，该芯片堪称世界最强“心” ，在比指甲盖稍大一点的芯片里安装了69 亿颗晶体管，数据”69 亿“用科学记数法表示为（ ）A6.910 9 B6.910 8 C6910 8 D6.910 103 （3 分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图所示的是
2、它的展开图，那么在原正方体中，与“神“字所在面相对的面上的汉字是（ ）A认 B眼 C确 D过4 （3 分）下列各式计算正确的是（ ）Aa 6a2a 3 B （2a 3） 24a 6C2a 2a 22 D （a+b） 2a 2+b25 （3 分）王明同学把 5 次月考成绩（单位：分，满分 100 分）整理如下：75，74，78，73，75，关于这组数据的说法正确的是（ ）A众数为 74 B中位数为 74 C平均数为 76 D方差为 2.86 （3 分）九（1）班有 2 名升旗手，九（2）班、九（3）班各 1 名，若从 4 人中随机抽取2 人担任下周的升旗手，则抽取的 2 人恰巧都来自九（1）班的
3、概率是（ ）A B C D7 （3 分） 九章算术中记载：“今有善田一亩，价三百+器田七亩，价五百今并买一頃，价钱一万问善、恶田各几何？”其大意是：今有好田 1 亩，价值 300 钱；坏田 7亩，价值 500 钱今共买好，坏田 1 顷（1 顷100 亩） ，价线 10000 钱问好、坏田各买了多少亩？设好田买了 x 南，坏田买了 y 亩，根意可列方程组为（ ）ABCD8 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 mx22x+10 有两个实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）Am1 Bm1 Cm1 且 m0 Dm 1 且 m09 （3 分）如图，在ABC 中，ACB 90，分别以点 A、C 为圆心，
4、以大于 AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 D 和 E，作直线 DE 交 AB 于点 F，交 AC 于点 G，连接CF，以点 C 为圆心，以 CF 的长为半径画弧，交 AC 于点 H若A30，BC2，则 AH 的长是（ ）A B2 C +1 D2 210 （3 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，ABBC，点 E 为对角线 AC 上的一个动点，连接BE， DE，过 E 作 EFBC 于 F设 AEx，图 1 中某条线段的长为 y，若表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这条线段可能是图 1 中的（ ）A线段 BE B线段 EF C线段 CE D线段 DE二、填空题（毎小题 3
5、 分，共 15 分）11 （3 分）计算：|2| （x4） 0 12 （3 分）如图，木工王师傅将一个含 45角的三角板放置在一块矩形木板上，若119，则2 的度数为 13 （3 分）不等式组 的解集为 14 （3 分）如图，在ABC 中，ABC 45，ACB 30，AB2，将ABC 绕点 C顺时针旋转 60得CDE，则图中线段 AB 扫过的阴影部分的面积为 15 （3 分）在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 E，F 分别为 BC，AC 上的两个动点，将CEF 沿 EF 折叠，点 C 的对应点为 G，若点 G 落在射线 AB 上，且AGF 恰为直角三角形，则线段 CF 的长为 三、解答題
6、（本大題共 8 个小题，满分 75 分）16 （8 分）先化简，再求值： （1+ ） ，其中 m3tan30+117 （9 分）为了减少雾霾的侵状，某市环保局与市委各部门协商，要求市民在春节期间禁止燃放烟花爆竹，为了征集市民对禁燃的意见，政府办公室进行了抽样调查，调查意见表设计为：“满意“一般” ”无所谓” ”反对”四个选项，调查结果汇总制成如下不完整的统计图，请根据提供的信息解答下面的问题（1）参与问卷调查的人数为 （2）扇形统计图中的 m ，n 补全条形统计图；（3）若本市春节期间留守市区的市民有 32000 人，请你估计他们中持“反对”意见的人数18 （9 分）在平面直角坐标系中，一次函
7、数 yx+b 的图象与反比例函数 y （k0）的图象交于 A、B 点，与 y 轴交于点 C，其中点 A 的半标为（2，3）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）如图，若将点 C 沿 y 轴向上平移 4 个单位长度至点 F，连接 AF、BF，求ABF 的面积19 （9 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，以直角边 BC 为直径作O、交 AB 于点 D，E 为 AC 的中点，连接 DE（1）求证：DE 为O 的切线；（2）已知 BC4填空当 DE 时，四边形 DOCE 为正方形；当 DE 时，BOD 为等边三角形20 （9 分）在某飞机场东西方向的地面 l 上有一长为 1km 的飞机跑
8、道 MN（如图） ，在跑道MN 的正西端 14.5 千米处有一观察站 A某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点 A的北偏西 30，且与点 A 相距 15 千米的 B 处；经过 1 分钟，又测得该飞机位于点 A 的北偏东 60，且与点 A 相距 5 千米的 C 处（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道 MN 之间？请说明理由21 （10 分）小王电子产品专柜以 20 元/副的价格批发了某新款耳机，在试销的 60 天内整理出了销售数据如下销售数据（第 x 天） 售价（元） 日销售量（副）1x35 x+30 100 2x35
9、x60 70 100 2x（1）若试销阶段每天的利润为 W 元，求出 W 与 x 的函数关系式；（2）请同在试销阶段的哪一天销售利润 W 可以达到最大值？最大值为多少？22 （10 分）问题发现：（1）如图 1，在 RtABC 中，A90，ABkAC （ k1） ，D 是 AB 上一点，DEBC，则 BD，EC 的数量关系为 类比探究（2）如图 2，将AED 绕着点 A 顺时针旋转，旋转角为 a（0a90） ，连接CE，BD，请间（1）中 BD， EC 的数量关系还成立吗？说明理由拓展延伸：（3）如图 3，在（2）的条件下，将AED 绕点 A 继续旋转，旋转角为 a（a90）直线 BD，CE
10、交于 F 点，若 AC1，AB ，则当ACE15时，BFCF 的值为 23 （11 分）如图，抛物线 yax 2+bx1（a0）交 x 轴于 A，B（1，0）两点，交 y 轴于点 C，一次函数 yx +3 的图象交坐标轴于 A，D 两点，E 为直线 AD 上一点，作 EFx轴，交抛物线于点 F（1）求抛物线的解析式；（2）若点 F 位于直线 AD 的下方，请问线段 EF 是否有最大值？若有，求出最大值并求出点 E 的坐标；若没有，请说明理由；（3）在平面直角坐标系内存在点 G，使得 G，E，D，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点 G 的坐标2019 年河南省第二届名校联盟中考数学模拟试卷（
11、5 月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小題均有四个答案，其中只有个是正确的，请把正确答案的代号填在下表中1 （3 分）下面四个实数中最大的是（ ）A B0 C2 D1【分析】根据实数大小比较的法则比较即可【解答】解： 102，最大的数是 ，故选：A【点评】本题考查了实数的大小比较法则的应用，注意：正数都大于 0，负数都小于0，正数都大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小2 （3 分）2018 年 8 月 31 日，中国最新一代芯片麒麟 980 来了，它的诞生打破了欧美对芯片行业的垄断，该芯片堪称世界最强“心” ，在比指甲盖稍大一点的芯片里安装了
12、69 亿颗晶体管，数据”69 亿“用科学记数法表示为（ ）A6.910 9 B6.910 8 C6910 8 D6.910 10【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：69 亿6.910 9，故选：A【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （3 分）某正方体的每个面
13、上都有一个汉字，如图所示的是它的展开图，那么在原正方体中，与“神“字所在面相对的面上的汉字是（ ）A认 B眼 C确 D过【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“神”与“确”是相对面故选：C【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题4 （3 分）下列各式计算正确的是（ ）Aa 6a2a 3 B （2a 3） 24a 6C2a 2a 22 D （a+b） 2a 2+b2【分析】同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；合并同类项的法则：把同类项
14、的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变幂的乘方法则：底数不变，指数相乘积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘完全平方公式：（ab） 2a 22ab+b2可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放” 【解答】解：Aa 6a2a 4，A 错误；B （2a 3） 24a 6，B 正确；C.2a2a 2a 2，C 错误；D （a+b） 2 a2+b2+2ab，D 错误；故选：B【点评】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂相除法则、幂的乘方法则、完全平方公式是解题的关键5 （3 分）王明同学把 5 次月考成绩（单位：分，满分 100 分）整理如下：75，74，78，73，75，
15、关于这组数据的说法正确的是（ ）A众数为 74 B中位数为 74 C平均数为 76 D方差为 2.8【分析】分别计算该组数据的众数、平均数、中位数及方差后，选择正确的答案即可【解答】解： （75+74+78+73+75）75；排序后为：73、74、75、75、78，中位数为：75；75 出现了 2 次，最多，众数为 75，S 2 （75 75） 2+（7475） 2+（7875） 2+（7375） 2+（7575）22.8故选：D【点评】此题考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，解题时分别计算出众数、中位数、平均数及方差后找到正确的选项即可6 （3 分）九（1）班有 2 名升旗手，九（2）班
16、、九（3）班各 1 名，若从 4 人中随机抽取2 人担任下周的升旗手，则抽取的 2 人恰巧都来自九（1）班的概率是（ ）A B C D【分析】先画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有 12 种等可能结果，其中抽取的 2 人恰巧都来自九（1）班的有 2 种结果，所以抽取的 2 人恰巧都来自九（1）班的概率为 ，故选：D【点评】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图7 （3 分）
17、 九章算术中记载：“今有善田一亩，价三百+器田七亩，价五百今并买一頃，价钱一万问善、恶田各几何？”其大意是：今有好田 1 亩，价值 300 钱；坏田 7亩，价值 500 钱今共买好，坏田 1 顷（1 顷100 亩） ，价线 10000 钱问好、坏田各买了多少亩？设好田买了 x 南，坏田买了 y 亩，根意可列方程组为（ ）ABCD【分析】设好田买了 x 南，坏田买了 y 亩，根据等量关系：共买好，坏田 1 顷（1 顷100 亩） ，价线 10000 钱，列出方程组【解答】解：1 顷100 亩，设好田买了 x 南，坏田买了 y 亩，依题意有： 故选：B【点评】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，
18、解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组8 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 mx22x+10 有两个实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）Am1 Bm1 Cm1 且 m0 Dm 1 且 m0【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 m0 且（2）24m0，然后求出两不等式的公共部分即可【解答】解：根据题意得 m 0 且（2） 24m 0，解得 m1 且 m0故选：C【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相等的两个实数根；当
19、0 时，方程无实数根9 （3 分）如图，在ABC 中，ACB 90，分别以点 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 D 和 E，作直线 DE 交 AB 于点 F，交 AC 于点 G，连接CF，以点 C 为圆心，以 CF 的长为半径画弧，交 AC 于点 H若A30，BC2，则 AH 的长是（ ）A B2 C +1 D2 2【分析】先利用含 30 度的直角三角形三边的关系得 AC2 ，再利用基本作图得到FG 垂直平分 AC，CHCF，则 FAFC ，所以AFCA30，接着证明BCF 为等边三角形，所以 CFCB2，然后计算 ACCH 即可【解答】解：在 RtABC 中，A30
20、，B60，AC BC2 ，由作法得 FG 垂直平分 AC，CHCF ，FAFC，AFCA30，BCF60，BCF 为等边三角形，CFCB2，AHACCH2 2故选：D【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 也考查了线段垂直平分线的性质10 （3 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，ABBC，点 E 为对角线 AC 上的一个动点，连接BE， DE，过 E 作 EFBC 于 F设 AEx，图 1 中某条线段的长为 y，若表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则
21、这条线段可能是图 1 中的（ ）A线段 BE B线段 EF C线段 CE D线段 DE【分析】根据各个选项中假设的线段，可以分别由图象得到相应的 y 随 x 的变化的趋势，从而可以判断哪个选项是正确的【解答】解：A、由图 1 可知，若线段 BE 是 y，则 y 随 x 的增大先减小再增大，而由由大变小的距离小于由小变大的距离，在点 A 的距离是 BA，在点 C 时的距离是BC，BABC，故选项 A 错误；B、由图 1 可知，若线段 EF 是 y，则 y 随 x 的增大越来越小，故选项 B 错误；C、由图 1 可知，若线段 CE 是 y，则 y 随 x 的增大越来越小，故选项 C 错误；D、由图
22、 1 可知，若线段 DE 是 y，则 y 随 x 的增大先减小再增大，而由由大变小的距离大于由小变大的距离，在点 A 的距离是 DA，在点 C 时的距离是 DC，DADC，故选项D 正确；故选：D【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题二、填空题（毎小题 3 分，共 15 分）11 （3 分）计算：|2| （x4） 0 1 【分析】直接利用零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案【解答】解：原式211故答案为：1【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键12 （3 分）如图，木工王师傅将一个含 45角的三角板放
23、置在一块矩形木板上，若119，则2 的度数为 109 【分析】先根据等腰直角三角形的性质得出ABCACB45，求出326，再由平行线的性质，得出4 的度数，进而可得出结论【解答】解：如图所示：ABC 是等腰直角三角形，ABCACB45，119，3451926，直尺的两边互相平行，4326，21804526109；故答案为：109【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解答此题的关键13 （3 分）不等式组 的解集为 1x4 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解
24、不等式 3x+12，得：x1，解不等式 123x0，得：x 4，则不等式组的解集为1x4，故答案为：1x4【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键14 （3 分）如图，在ABC 中，ABC 45，ACB 30，AB2，将ABC 绕点 C顺时针旋转 60得CDE，则图中线段 AB 扫过的阴影部分的面积为 【分析】作 AFBC 于 F，解直角三角形分别求出 AC、BC ，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可【解答】解：作 AFBC 于 F，ABC45，AFBF AB ，在 Rt AF
25、C 中，ACB30 ，AC2AF2 ，FC ，由旋转的性质可知，S ABC SEDC ，图中线段 AB 扫过的阴影部分的面积扇形 DCB 的面积+EDC 的面积ABC 的面积扇形 ACE 的面积扇形 DCB 的面积扇形 ACE 的面积 ，故答案为： 【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式 S 是解题的关键15 （3 分）在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 E，F 分别为 BC，AC 上的两个动点，将CEF 沿 EF 折叠，点 C 的对应点为 G，若点 G 落在射线 AB 上，且AGF 恰为直角三角形，则线段 CF 的长为 或 【分析】分两种情况讨论，由勾股定理可得 AC5，通
26、过证明AFGABC，由相似三角形的性质可求 CF 的长【解答】解：如图，当AGF 为直角时，设 CFx在 Rt ABC 中，AB3，BC 4，AC5由折叠的性质知 GFFCAGFABC90GFECAGFABCxCF 的长为如图 ，当 AFG 为直角时，设 CFyBACBAC，AFG ABC90AFGABCyCF 的长为故答案为【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，证明AFGABC 是本题的关键三、解答題（本大題共 8 个小题，满分 75 分）16 （8 分）先化简，再求值： （1+ ） ，其中 m3tan30+1【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】
27、解：原式 ，m3tan30 +13 +1 +1原式 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型17 （9 分）为了减少雾霾的侵状，某市环保局与市委各部门协商，要求市民在春节期间禁止燃放烟花爆竹，为了征集市民对禁燃的意见，政府办公室进行了抽样调查，调查意见表设计为：“满意“一般” ”无所谓” ”反对”四个选项，调查结果汇总制成如下不完整的统计图，请根据提供的信息解答下面的问题（1）参与问卷调查的人数为 200 人 （2）扇形统计图中的 m 45 ，n 15 补全条形统计图；（3）若本市春节期间留守市区的市民有 32000 人，请你估计他们中持“反对”意见的人
28、数【分析】 （1）根据持“一般”意见的人数除以其所占的百分比，可得答案；（2）用调查的总人数减去持“一般” “无所谓” “反对”三个选项的人数得到持“满意”意见的人数，补全条形图，用持“满意”意见的人数除以总人数求出 m；用持“无所谓”意见的人数除以总人数求出 n；（3）用本市春节期间留守市区的市民乘以样本中持“反对”意见的人数所占的百分比，可得答案【解答】解：（1）7035%200（人） 故答案为 200 人；（2）持“满意”意见的人数为：20070103090（人） 补充条形统计图如图所示：m% 45%，n% 15%，则 m45，n15故答案为 45；15；（3）样本中持“反对”意见的有
29、10 人，所占百分比为 10200100%5% ，5%320001600（人） 答：本市春节期间留守市民中持“反对”意见的约有 1600 人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小也考查了利用样本估计总体18 （9 分）在平面直角坐标系中，一次函数 yx+b 的图象与反比例函数 y （k0）的图象交于 A、B 点，与 y 轴交于点 C，其中点 A 的半标为（2，3）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）如图，若将点 C 沿 y 轴向上平移
30、 4 个单位长度至点 F，连接 AF、BF，求ABF 的面积【分析】 （1）根据待定系数法即可求得；（2）由一次函数的解析式求得 C 点的坐标，进而求得 CF4，一次函数的解析式和反比例函数的解析式联立方程求得交点 A、B 的坐标，然后根据 SABF S ACF +SBCF 求得即可【解答】解：（1）把（2，3）分别代入 yx+1，与 y 中，有32+b， 3，解得 b1，k6，一次函数的解析式为 yx+1，反比例函数的解析式为 y ；（2）一次函数的解析式为 yx+1，当 x0 时，y1，C（0，1） ，若将点 C 向上平移 4 个单位长度得到点 F，则 CF4一次函数 yx +b 的图象与
31、反比例函数 y （k0）的图象交于 A、B 两点 解得 ， ，B（3，2） ，A（2，3）S ABF 4（2+3）10【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，平移的性质，求得交点坐标是解题的关键19 （9 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，以直角边 BC 为直径作O、交 AB 于点 D，E 为 AC 的中点，连接 DE（1）求证：DE 为O 的切线；（2）已知 BC4填空当 DE 2 时，四边形 DOCE 为正方形；当 DE 2 时，BOD 为等边三角形【分析】 （1）连接 CD，根据圆周角定理得出CDB90，根据直角三
32、角形性质得出DECEAE，求出 ACD+DCO EDC+ CDO ，求出 ODDE，根据切线的判定得出即可；（2） 若四边形 DOCE 为正方形，则 OCODDECE2；若 BOD 为等边三角形，则DOE60，则 RtODE 中，则 DE2 【解答】 （1）证明：如图，连接 CD，OE，BC 为O 的直径，BDC90，DE 为 RtADC 的斜边 AC 上的中线，在COE 与DOE 中，ODCC，OEOE ，DECE，COEDOE，OCEODE90，DE 为O 的切线；（2）解： 若四边形 DOCE 为正方形，则 OCODDECE，BC4，DE2若 BOD 为等边三角形，BOD 60 ，COD
33、180BOD120，DOE 60 ，RtODE 中，DEOD 故答案为：2，2 【点评】本题为圆的综合题，涉及到直角三角形中线定理、正方形的性质，等边三角形的性质，直角三角形中线定理的应用，熟练掌握圆的相关性质以及等边三角形、正方形的性质是解题的关键20 （9 分）在某飞机场东西方向的地面 l 上有一长为 1km 的飞机跑道 MN（如图） ，在跑道MN 的正西端 14.5 千米处有一观察站 A某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点 A的北偏西 30，且与点 A 相距 15 千米的 B 处；经过 1 分钟，又测得该飞机位于点 A 的北偏东 60，且与点 A 相距 5 千米的 C 处（1）该飞机航
34、行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道 MN 之间？请说明理由【分析】 （1）先求出BAC90，然后利用勾股定理列式求解即可得到 BC，再求解即可；（2）作 CEl 于 E，设直线 BC 交 l 于 F，然后求出 CE、AE，然后求出 AF 的长，再进行判断即可【解答】解：（1）由题意，得BAC90，BC 10 ，飞机航行的速度为：10 60600 （km/h） ；（2）能；作 CEl 于点 E，设直线 BC 交 l 于点 F在 Rt ABC 中，AC5 ，BC10 ，ABC30，即BCA60，又CAE30，ACEFCE60，CEA
35、CsinCAE ，AEACcos CAE 则 AF2AE15（km） ，ANAM+MN14.5+1 15.5 km，AMAFAN，飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道 MN 之间【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角的定义，勾股定理，读懂题目信息并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键21 （10 分）小王电子产品专柜以 20 元/副的价格批发了某新款耳机，在试销的 60 天内整理出了销售数据如下销售数据（第 x 天） 售价（元） 日销售量（副）1x35 x+30 100 2x35x60 70 100 2x（1）若试销阶段每天的利润为 W 元，求出 W 与 x 的函数关系式；（2）请同在
36、试销阶段的哪一天销售利润 W 可以达到最大值？最大值为多少？【分析】 （1）利用总利润单件利润销量写出函数关系式即可；（2）配方后确定两个最值，取最大的即可【解答】解：（1）当 1x35 时，W 1（x +3020） （1002x）即 W12（x20） 2+1800；当 352x26 时，W 2（7020） （1002x ）即 W2100x+5000 ；故 W 与 x 之间的函数关系式为 W ；（2）W 12（x20） 2+1800（1x35） ，在试销的第一阶段，在第 20 天时，利润最大为 1800 元，W 2100x+5000 （35x60） ，在试销的第二阶段，在第 35 天时，销售利
37、润最大为 1500 元，综上可知，在试销阶段的第 20 天时 W 最大，最大值为 1800 元【点评】本题考查了二次函数的应用的知识，解题的关键是能够根据题意确定二次函数的解析式，难度不大22 （10 分）问题发现：（1）如图 1，在 RtABC 中，A90，ABkAC （ k1） ，D 是 AB 上一点，DEBC，则 BD，EC 的数量关系为 BDkEC 类比探究（2）如图 2，将AED 绕着点 A 顺时针旋转，旋转角为 a（0a90） ，连接CE，BD，请间（1）中 BD， EC 的数量关系还成立吗？说明理由拓展延伸：（3）如图 3，在（2）的条件下，将AED 绕点 A 继续旋转，旋转角为
38、 a（a90）直线 BD，CE 交于 F 点，若 AC1，AB ，则当ACE15时，BFCF 的值为 1 或 2 【分析】问题发现：（1）由平行线分线段成比例可得 ，即可得 BDkEC；类比探究：（2）通过证明ABDACE，可得 k，即可得 BDkEC；拓展延伸：（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得ACEABD，即可证BFC90，由直角三角形的性质和勾股定理可求 BFCF 的值【解答】解：问题发现：（1）DEBC， ，ABkAC，BDkEC，故答案为：BDkEC；类比探究：（2）成立，理由如下：连接 BD由旋转的性质可知，BADCAE ，ABDACE， k，故 BDkEC；拓展延伸：（
39、3）BFCF 的值为 2 或 1；由旋转的性质可知BADCAE ，ABDACEACE15ABDABC+ ACB90FBC+ FCB90BFC90BAC90，AC1，AB ，tanABC ，ABC30ACB60分两种情况分析：如图 2，在 RtBAC 中，ABC 30，AC1，BC2AC2，在 RtBFC 中，CBF 30+1545，BC2BFCFBFCF（ ） 22如图 3，设 CFa，在 BF 上取点 G，使BCG15BCF60+15 75 ，CBFABCABD301515，CFB90GCF60CGBG2a，GF aCF 2+BF2BC 2a 2+（2a+ a 22 2，解得 a22 ，BF
40、CF（2+ ）aa（ 2+ ）a 21，即：BFCF1 或 2故答案为：1 或 2【点评】本题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，证明ABDACE 是本题的关键23 （11 分）如图，抛物线 yax 2+bx1（a0）交 x 轴于 A，B（1，0）两点，交 y 轴于点 C，一次函数 yx +3 的图象交坐标轴于 A，D 两点，E 为直线 AD 上一点，作 EFx轴，交抛物线于点 F（1）求抛物线的解析式；（2）若点 F 位于直线 AD 的下方，请问线段 EF 是否有最大值？若有，求出最大值并求出点 E 的坐标；若没有，请说明理由；（3）在平面直角坐标系
41、内存在点 G，使得 G，E，D，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点 G 的坐标【分析】 （1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点 E 的坐标为（m，m +3） ，点 F 的坐标为（m， m2+ m1） ，由此得到 EF m2+ m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；（3）分三种情形如图 1 中，当 EG 为菱形对角线时如图 2、3 中，当 EC 为菱形的对角线时，如图 4 中，当 ED 为菱形的对角线时，分别求解即可【解答】解：（1）将 y0 代入 yx +3，得 x3点 A 的坐标为（3，0） 设抛物线的解析式为 ya（xx 1） （xx 2） ，点
42、A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（1，0） ，ya（x+3） （ x1） 点 C 的坐标为（0，1） ，3a1，得 a ，抛物线的解析式为 y x 2+ x1；（2）设点 E 的坐标为（m， m+3） ，线段 EF 的长度为 y，则点 F 的坐标为（m， m 2+ m1）y（m+3）（ m 2+ m1） m 2+ m+4即 y （m ） 2+ ，此时点 E 的坐标为（ ， ） ；（3）点 G 的坐标为（2，1） ， （2 ，2 1） ， （2 ，2 1） ， （4，3） 理由： 如图 1，当四边形 CGDE 为菱形时EG 垂直平分 CD点 E 的纵坐标 y 1，将 y1 带入 yx
43、+3，得 x2EG 关于 y 轴对称，点 G 的坐标为（2，1） ；如图 2，当四边形 CDEG 为菱形时，以点 D 为圆心，DC 的长为半径作圆，交 AD 于点 E，可得 DCDE，构造棱形 CDEG设点 E 的坐例为（n，n+3） ，点 D 的华标为（0，3）DE DE DC4， 4，解得 n12 ，n 22 点 E 的华标为（2 ，2 +3）或（2 ，2 +3）将点 E 向下平移 4 个单位长度可得点 G，点 G 的坐标为（2 ，2 1） （如图 2）或（2 ，2 1） （如图 3）如图 4， “四边形 CDGE 为菱形时，以点 C 为圆心，以 CD 的长为半径作圆，交直线AD 于点 E，设点 E 的坐标为（k ，k +3） ，点 C 的坐标为（0，1） EC ECCD4，2k 2+8k+1616，解得 k10（舍去） ，k 24点 E 的坐标为（4，1）将点 E 上移 1 个单位长度得点 G点 G 的坐标为（4，3） 综上所述，点 G 的坐标为（ 2，1） ， （2 ，2 1） ， （2 ，2 1） ，（4，3） 【点评】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
