1、2019 年中考数学六月考前最后一练：圆的综合1在屏幕上有如下内容：如图， ABC 内接于 O，直径 AB 的长为 2，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答（1）在屏幕内容中添加条件 D30，求 AD 的长请你解答（2）以下是小明、小聪的对话：小明：我加的条件是 BD1，就可以求出 AD 的长小聪：你这样太简单了，我加的是 A30，连结 OC，就可以证明 ACB 与 DCO 全等参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母） ，并解答解：（1）连接 OC，如图， CD 为切线， OC CD， OCD90， D30， OD2 OC
2、2， AD AO+OD1+23；（2）添加 DCB30，求 AC 的长，解： AB 为直径， ACB90， ACO+ OCB90， OCB+ DCB90， ACO DCB， ACO A， A DCB30，在 Rt ACB 中， BC AB1， AC BC 2如图，在 Rt ABC 中， ACB90， CD 是斜边 AB 上的中线，以 CD 为直径的 O 分别交 AC、 BC 于点 M、 N，过点 N 作 NE AB，垂足为 E（1）若 O 的半径为 ， AC6，求 BN 的长；（2）求证： NE 与 O 相切解：（1）连接 DN， ON O 的半径为 ， CD5 ACB90， CD 是斜边 A
3、B 上的中线， BD CD AD5， AB10， BC 8 CD 为直径 CND90，且 BD CD BN NC4（2） ACB90， D 为斜边的中点， CD DA DB AB， BCD B， OC ON， BCD ONC， ONC B， ON AB， NE AB， ON NE， NE 为 O 的切线3已知 PA， PB 分别与 O 相切于点 A， B， APB80， C 为 O 上一点（）如图，求 ACB 的大小；（）如图， AE 为 O 的直径， AE 与 BC 相交于点 D若 AB AD，求 EAC 的大小解：（）连接 OA、 OB， PA， PB 是 O 的切线， OAP OBP90
4、， AOB360909080100，由圆周角定理得， ACB AOB50；（）连接 CE， AE 为 O 的直径， ACE90， ACB50， BCE905040， BAE BCE40， AB AD， ABD ADB70， EAC ADB ACB204如图， O 是 ABC 的外接圆， BAC 的平分线交 O 于点 D，交 BC 于点 E，过点 D 作直线 DF BC（1）判断直线 DF 与 O 的位置关系，并说明理由；（2）若 AB6， AE ， CE ，求 BD 的长解：（1） DF 与 O 相切，理由：连接 OD， BAC 的平分线交 O 于点 D， BAD CAD， ， OD BC，
5、DF BC， OD DF， DF 与 O 相切；（2） BAD CAD， ADB C， ABD AEC， ， ， BD 5如图，在 OABC 中，以 O 为圆心， OA 为半径的圆与 BC 相切于点 B，与 OC 相交于点 D（1）求 的度数（2）如图，点 E 在 O 上，连结 CE 与 O 交于点 F，若 EF AB，求 OCE 的度数解：（1）连接 OB， BC 是圆的切线， OB BC，四边形 OABC 是平行四边形， OA BC， OB OA， AOB 是等腰直角三角形， ABO45， 的度数为 45；（2） 连接 OE，过点 O 作 OH EC 于点 H，设 EH t， OH EC，
6、 EF2 HE2 t，四边形 OABC 是平行四边形， AB CO EF2 t， AOB 是等腰直角三角形， OA t，则 HO t， OC2 OH， OCE306如图，在 ABC 中， AB AC， BAC120，点 D 在 BC 边上， D 经过点 A 和点 B 且与BC 边相交于点 E（1）求证： AC 是 D 的切线；（2）若 CE2 ，求 D 的半径（1 ）证明：连接 AD， AB AC， BAC120， B C30， AD BD， BAD B30， ADC60， DAC180603090， AC 是 D 的切线；（2）解：连接 AE， AD DE， ADE60， ADE 是等边三角
7、形， AE DE， AED60， EAC AED C30， EAC C， AE CE2 ， D 的半径 AD2 7如图，点 D 是以 AB 为直径的 O 上一点，过点 B 作 O 的切线，交 AD 的延长线于点C， E 是 BC 的中点，连接 DE 并延长与 AB 的延长线交于点 F（1）求证： DF 是 O 的切线；（2）若 OB BF， EF4，求 AD 的长解：（1）如图，连接 OD， BD， AB 为 O 的直径， ADB BDC90，在 Rt BDC 中， BE EC， DE EC BE，13， BC 是 O 的切线，3+490，1+490，又24，1+290， DF 为 O 的切线
8、；（2） OB BF， OF2 OD， F30， FBE90， BE EF2， DE BE2， DF6， F30， ODF90， FOD60， OD OA， A ADO BOD30， A F， AD DF68如图， ABC 内接于 O，直径 AD 交 BC 于点 E，延长 AD 至点 F，使 DF2 OD，连接 FC并延长交过点 A 的切线于点 G，且满足 AG BC，连接OC，若 cos BAC ， BC6（1）求证： COD BAC；（2）求 O 的半径 OC；（3）求证： CF 是 O 的切线解：（1） AG 是 O 的切线， AD 是 O 的直径， GAF90， AG BC， AE B
9、C， CE BE， BAC2 EAC， COE2 CAE， COD BAC；（2） COD BAC，cos BACcos COE ，设 OE x， OC3 x， BC6， CE3， CE AD， OE2+CE2 OC2， x2+329 x2， x （负值舍去） ， OC3 x ， O 的半径 OC 为 ；（3） DF2 OD， OF3 OD3 OC， ， COE FOC， COE FOE， OCF DEC90， CF 是 O 的切线9如图，线段 AB 经过 O 的圆心 O，交 O 于 A、 C 两点， BC1， AD 为 O 的弦，连结BD， BAD ABD30，连结 DO 并延长交 O 于点
10、 E，连结 BE 交 O 于点 M（1）求证：直线 BD 是 O 的切线；（2）求 O 的半径 OD 的长；（3）求线段 BM 的长（1）证明： OA OD， A B30， A ADO30， DOB A+ ADO60， ODB180 DOB B90， OD 是半径， BD 是 O 的切线；（2） ODB90， DBC30， OD OB， OC OD， BC OC1， O 的半径 OD 的长为 1；（3） OD1， DE2， BD ， BE ， BD 是 O 的切线， BE 是 O 的割线， BD2 BMBE， BM 10如图， AB 是 O 的直径， C 是 O 上一点，过点 O 作 OD A
11、B，交 BC 的延长线于 D，交AC 于点 E， F 是 DE 的中点，连接 CF（1）求证： CF 是 O 的切线（2）若 A22.5，求证： AC DC（1）证明： AB 是 O 的直径， ACB ACD90，点 F 是 ED 的中点， CF EF DF， AEO FEC FCE， OA OC， OCA OAC， OD AB， OAC+ AEO90， OCA+ FCE90，即 OC FC， CF 与 O 相切；（2）解： OD AB， AC BD， AOE ACD90， AEO DEC， OAE CDE22.5， AO BO， AD BD， ADO BDO22.5， ADB45， CAD
12、ADC45， AC CD11如图，在 ABC 中， BAC90，点 E 在 BC 边上，且 CA CE，过 A， C， E 三点的 O 交 AB 于另一点 F，作直径 AD，连结 DE 并延长交 AB 于点 G，连结 CD， CF（1）求证：四边形 DCFG 是平行四边形（2）当 BE4， CD AB 时，求 O 的直径长（1）证明：连接 AE， BAC90， CF 是 O 的直径， AC EC， CF AE， AD 是 O 的直径， AED90，即 GD AE， CF DG， AD 是 O 的直径， ACD90， ACD+ BAC180， AB CD，四边形 DCFG 是平行四边形；（2）解
13、：由 CD AB，设 CD3 x， AB8 x， CD FG3 x， AOF COD， AF CD3 x， BG8 x3 x3 x2 x， G E CF， ， BE4， AC CE6， BC6+410， AB 88 x， x1，在 Rt ACF 中， AF10， AC6， CF 3 ，即 O 的直径长为 3 12如图，已知锐角三角形 ABC 内接于圆 O， OD BC 于点 D，连接 OA（1）若 BAC60，求证： OD OA当 OA1 时，求 ABC 面积的最大值（2）点 E 在线段 OA 上， OE OD，连接 DE，设 ABC m OED， ACB n OED（ m， n是正数） ，若
14、 ABC ACB，求证： m n+20解：（1）连接 OB、 OC，则 BOD BOC BAC60， OBC30， OD OB OA； BC 长度为定值， ABC 面积的最大值，要求 BC 边上的高最大，当 AD 过点 O 时， AD 最大，即： AD AO+OD ， ABC 面积的最大值 BCAD 2OBsin60 ；（2）如图 2，连接 OC，设： OED x，则 ABC mx， ACB nx，则 BAC180 ABC ACB180 mx nx BOC DOC， AOC2 ABC2 mx， AOD COD+ AOC180 mx nx+2mx180+ mx nx， OE OD， AOD180
15、2 x，即：180+ mx nx1802 x，化简得： m n+2013如图 1， O 经过等边 ABC 的顶点 A， C（圆心 O 在 ABC 内） ，分别与 AB， CB 的延长线交于点 D， E，连结 DE， BF EC 交 AE 于点 F（1）求证： BD BE（2）当 AF： EF3：2， AC6 时，求 AE 的长（3）设 x，tan DAE y求 y 关于 x 的函数表达式；如图 2，连结 OF， OB，若 AEC 的面积是 OFB 面积的 10 倍，求 y 的值证明：（1） ABC 是等边三角形， BAC C60， DEB BAC60， D C60， DEB D， BD BE；
16、（2）如图 1，过点 A 作 AG BC 于点 G， ABC 是等边三角形， AC6， BG ，在 Rt ABG 中， AG BG3 ， BF EC， BF AG， ， AF： EF3：2， BE BG2， EG BE+BG3+2 5，在 Rt AEG 中， AE ；（3）如图 1，过点 E 作 EH AD 于点 H， EBD ABC60，在 Rt BEH 中， ， EH ， BH ， ， BG xBE， AB BC2 BG2 xBE， AH AB+BH2 xBE+ BE（2 x+ ） BE，在 Rt AHE 中，tan EAD ， y ；如图 2，过点 O 作 OM BC 于点 M，设 BE
17、 a， ， CG BG xBE ax， EC CG+BG+BE a+2ax， EM EC a+ax， BM EM BE ax a， BF AG， EBF EGA， ， AG ， BF ， OFB 的面积 ， AEC 的面积 ， AEC 的面积是 OFB 的面积的 10 倍， ，2 x27 x+60，解得： ， ，14如图，在 ABD 中， AB AD， AB 是 O 的直径， DA、 DB 分别交 O 于点 E、 C，连接EC， OE， OC（1）当 BAD 是锐角时，求证： OBC OEC；（2）填空：若 AB2，则 AOE 的最大面积为 ；当 DA 与 O 相切时，若 AB ，则 AC 的长为 1 解：（1）连接 AC，如图 1， AB 是 O 的直径， AC BD， AD AB， BAC DAC， ， BC EC，在 OBC 和 OEC 中 ， OBC OEC（ SSS） ，（2） AB 是 O 的直径，且 AB2， OA1，设 AOE 的边 OA 上的高为 h， S AOE OAh 1h h，要使 S AOE最大，只有 h 最大，点 E 在 O 上， h 最大是半径，即 h 最大 1 S AOE 最大 ，故答案为 ；如图 2：当 DA 与 O 相切时， DAB90， AD AB ， ABD45， AB 是直径， ADB90， AC BC ，故答案为：1
