1、绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分
2、，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 A=x|x2-5x+60，B= x |x-1b，则Aln(a b)0 B3 a0 Dab7设 ， 为两个平面，则 的充要条件是A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C， 平行于同一条直线 D， 垂直于同一平面8若抛物线 y2=2px(p0)的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p=231xypA2 B3 C4 D89下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是242Af(x)=cos 2x Bf( x)=sin 2x Cf(x)=cosx Df(x)= sinx10已知 (0， )，2sin 2=co
3、s 2+1，则 sin =A B 15 5C D32511设 F 为双曲线 C： 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的圆与圆21(0,)xyabOF交于 P，Q 两点 .若 ，则 C 的离心率为22xyaFA B 3C2 D 512设函数 的定义域为 R，满足 ，且当 时， .若对任意()fx(1)2 (fxf(0,1x()1)fx，都有 ，则 m 的取值范围是,m8()9fxA B 9,4 7,3C D5,2 8,二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有20 个车次的正点
4、率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.14已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 _.()fx0x()eaxf(ln2)8fa15 的内角 的对边分别为 .若 ，则 的面积为_.ABC , ,bc6,3cBAC16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方
5、体的棱长为 1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_.（本题第一空 2 分，第二空 3 分.）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分。17（12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BEEC 1.（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AE=A1E，求二面角 BECC1 的正弦值.18（12 分）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多
6、得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双方 10:10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束.（1）求 P（X =2）；（2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率.19（12 分）已知数列a n和b n满足 a1=1，b 1=0， ， .1434nnab134nnba（1）证明：a n+bn是等比数列， anbn是等差数列；（2）求a n和b n的通项公式.20（12 分）已知函数 .1lnxf（1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；（2）设
7、x0 是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=ln x 在点 A(x0，ln x 0)处的切线也是曲线 的切线.exy21（12 分）已知点 A(2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 .记 M 的轨迹为曲线 C.12（1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于点 G.（i）证明： 是直角三角形；（ii）求 面积的最大值.P（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-
8、4：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点 在曲线 上，直线 l 过点 且与0(,)M:4sinC(4,0)A垂直，垂足为 P.M（1）当 时，求 及 l 的极坐标方程；0=30（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程 .23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 ()|2|().fxaxa（1）当 时，求不等式 的解集；0f（2）若 时， ，求 的取值范围.(,1x()x2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案1A 2C 3C 4D 5A 6C 7B 8D 9A 10B 11A 12B130.98 143156 1
9、626；3 2117解：（1）由已知得， 平面 ， 平面 ，1BC1ABEA故 1BCE又 ，所以 平面 1（2）由（1）知 由题设知 ，所以 ，190B1RttABE 45AEB故 ， AE2A以 为坐标原点， 的方向为x轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-D|xyz，则C（0，1，0），B（1，1， 0）， （0，1，2），E （1，0，1），C， (,)E1(,)设平面EBC的法向量为n =（x，y ，x），则即0,BC,0,z所以可取n= .(,1)设平面 的法向量为m=（x ，y，z），则1EC即0,2,0.z所以可取m=（ 1，1，0）于是 1cos,|2nm所以
10、，二面角 的正弦值为 1BEC318解：（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此P（X=2）=0.50.4+（10.5）（104）=05（2）X=4 且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5（10.4）+（10.5）0.40.50.4=0.119解：（1）由题设得 ，即 14()2()nnabab1()2nnbab又因为a 1+b1=l，所以 是首项为1，公比为 的等比数列n由题设得 ，14()4()8nnab即 12n又因为a
11、1b1=l，所以 是首项为1，公差为2的等差数列n（2）由（1）知， ， 1nna1nab所以 ，()()2nnnnb11()()2nnnnba20解：（1）f（x ）的定义域为（0，1），（1，+）单调递增因为 f（e）= ， ，10222e13()0f所以 f（x）在（ 1，+）有唯一零点 x1，即 f（x 1）=0 又 ， ，1011()ln()0fx故 f（x）在（0 ，1）有唯一零点 1x综上，f（x）有且仅有两个零点（2）因为 ，故点 B（lnx 0， ）在曲线 y=ex 上0ln0ex由题设知 ，即 ，0()fx01l故直线 AB 的斜率 0000ln1xkx曲线 y=ex 在点
12、 处切线的斜率是 ，曲线 在点 处切线的斜率也是01(ln,)Bx0xlnyx0(,ln)Ax，01所以曲线 在点 处的切线也是曲线 y=ex 的切线lnyx0(,ln)Ax21解：（1）由题设得 ，化简得 ，所以 C 为中心在坐标原点，焦12y21(|2)4点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点（2）（i）设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 (0)ykx由 得 214ykx2xk记 ，则 2uk(,)(,)(,0PuQuE于是直线 的斜率为 ，方程为 QG2k()2kyxu由 得2(),14kyxu22()80kxuk设 ，则 和 是方程的解，故 ，由此得 (,)GxyuGx2(3)G32G
13、uky从而直线 的斜率为 P321()kuk所以 ，即 是直角三角形QG（ii）由（i）得 ， ，2|1Puk21|ukPG所以PQG 的面积 228()8()| 1kSQk设 t=k+ ，则由 k0 得 t2，当且仅当 k=1 时取等号1因为 在2，+）单调递减，所以当 t=2，即 k=1 时，S 取得最大值，最大值为 281tS 169因此，PQG 面积的最大值为 16922解：（1）因为 在C上，当 时， .0,M0304sin23由已知得 .|cos23OPA设 为l上除P的任意一点.在 中 ，(,)QRtOPQ cos|23OP经检验，点 在曲线 上.(2,)3cos23所以，l的极坐标方程为 .cos23（2）设 ，在 中， 即 (,)PRtOAP |cos4,A4cos因为P在线段OM 上，且 ，故 的取值范围是 .M,2所以，P点轨迹的极坐标方程为 .4cos,423解：（1）当 a=1 时， .()=|1 +|2(1)fxx当 时， ；当 时， .x2()0f0fx所以，不等式 的解集为 .x(,)（2）因为 ，所以 .()=0fa1当 ， 时，1,x()= +(2)=()10fxaxax所以， 的取值范围是 .
