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2019年全国卷Ⅱ理数高考试题含答案(Word版)

1、绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 5 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。注意事项:1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分

2、,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1设集合 A=x|x2-5x+60,B= x |x-1b,则Aln(a b)0 B3 a0 Dab7设 , 为两个平面,则 的充要条件是A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C, 平行于同一条直线 D, 垂直于同一平面8若抛物线 y2=2px(p0)的焦点是椭圆 的一个焦点,则 p=231xypA2 B3 C4 D89下列函数中,以 为周期且在区间( , )单调递增的是242Af(x)=cos 2x Bf( x)=sin 2x Cf(x)=cosx Df(x)= sinx10已知 (0, ),2sin 2=co

3、s 2+1,则 sin =A B 15 5C D32511设 F 为双曲线 C: 的右焦点, 为坐标原点,以 为直径的圆与圆21(0,)xyabOF交于 P,Q 两点 .若 ,则 C 的离心率为22xyaFA B 3C2 D 512设函数 的定义域为 R,满足 ,且当 时, .若对任意()fx(1)2 (fxf(0,1x()1)fx,都有 ,则 m 的取值范围是,m8()9fxA B 9,4 7,3C D5,2 8,二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有 10 个车次的正点率为 0.97,有20 个车次的正点

4、率为 0.98,有 10 个车次的正点率为 0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.14已知 是奇函数,且当 时, .若 ,则 _.()fx0x()eaxf(ln2)8fa15 的内角 的对边分别为 .若 ,则 的面积为_.ABC , ,bc6,3cBAC16中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方

5、体的棱长为 1.则该半正多面体共有_个面,其棱长为_.(本题第一空 2 分,第二空 3 分.)三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分。17(12 分)如图,长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,点 E 在棱 AA1 上,BEEC 1.(1)证明:BE平面 EB1C1;(2)若 AE=A1E,求二面角 BECC1 的正弦值.18(12 分)11 分制乒乓球比赛,每赢一球得 1 分,当某局打成 10:10 平后,每球交换发球权,先多

6、得 2 分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为 0.5,乙发球时甲得分的概率为 0.4,各球的结果相互独立.在某局双方 10:10 平后,甲先发球,两人又打了 X 个球该局比赛结束.(1)求 P(X =2);(2)求事件“X=4 且甲获胜”的概率.19(12 分)已知数列a n和b n满足 a1=1,b 1=0, , .1434nnab134nnba(1)证明:a n+bn是等比数列, anbn是等差数列;(2)求a n和b n的通项公式.20(12 分)已知函数 .1lnxf(1)讨论 f(x)的单调性,并证明 f(x)有且仅有两个零点;(2)设

7、x0 是 f(x)的一个零点,证明曲线 y=ln x 在点 A(x0,ln x 0)处的切线也是曲线 的切线.exy21(12 分)已知点 A(2,0),B(2,0),动点 M(x,y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 .记 M 的轨迹为曲线 C.12(1)求 C 的方程,并说明 C 是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交 C 于 P,Q 两点,点 P 在第一象限,PEx 轴,垂足为 E,连结 QE 并延长交 C 于点 G.(i)证明: 是直角三角形;(ii)求 面积的最大值.P(二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分22选修 4-

8、4:坐标系与参数方程(10 分)在极坐标系中,O 为极点,点 在曲线 上,直线 l 过点 且与0(,)M:4sinC(4,0)A垂直,垂足为 P.M(1)当 时,求 及 l 的极坐标方程;0=30(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时,求 P 点轨迹的极坐标方程 .23选修 4-5:不等式选讲(10 分)已知 ()|2|().fxaxa(1)当 时,求不等式 的解集;0f(2)若 时, ,求 的取值范围.(,1x()x2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案1A 2C 3C 4D 5A 6C 7B 8D 9A 10B 11A 12B130.98 143156 1

9、626;3 2117解:(1)由已知得, 平面 , 平面 ,1BC1ABEA故 1BCE又 ,所以 平面 1(2)由(1)知 由题设知 ,所以 ,190B1RttABE 45AEB故 , AE2A以 为坐标原点, 的方向为x轴正方向, 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-D|xyz,则C(0,1,0),B(1,1, 0), (0,1,2),E (1,0,1),C, (,)E1(,)设平面EBC的法向量为n =(x,y ,x),则即0,BC,0,z所以可取n= .(,1)设平面 的法向量为m=(x ,y,z),则1EC即0,2,0.z所以可取m=( 1,1,0)于是 1cos,|2nm所以

10、,二面角 的正弦值为 1BEC318解:(1)X=2就是10:10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分因此P(X=2)=0.50.4+(10.5)(104)=05(2)X=4 且甲获胜,就是10:10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分因此所求概率为0.5(10.4)+(10.5)0.40.50.4=0.119解:(1)由题设得 ,即 14()2()nnabab1()2nnbab又因为a 1+b1=l,所以 是首项为1,公比为 的等比数列n由题设得 ,14()4()8nnab即 12n又因为a

11、1b1=l,所以 是首项为1,公差为2的等差数列n(2)由(1)知, , 1nna1nab所以 ,()()2nnnnb11()()2nnnnba20解:(1)f(x )的定义域为(0,1),(1,+)单调递增因为 f(e)= , ,10222e13()0f所以 f(x)在( 1,+)有唯一零点 x1,即 f(x 1)=0 又 , ,1011()ln()0fx故 f(x)在(0 ,1)有唯一零点 1x综上,f(x)有且仅有两个零点(2)因为 ,故点 B(lnx 0, )在曲线 y=ex 上0ln0ex由题设知 ,即 ,0()fx01l故直线 AB 的斜率 0000ln1xkx曲线 y=ex 在点

12、 处切线的斜率是 ,曲线 在点 处切线的斜率也是01(ln,)Bx0xlnyx0(,ln)Ax,01所以曲线 在点 处的切线也是曲线 y=ex 的切线lnyx0(,ln)Ax21解:(1)由题设得 ,化简得 ,所以 C 为中心在坐标原点,焦12y21(|2)4点在 x 轴上的椭圆,不含左右顶点(2)(i)设直线 PQ 的斜率为 k,则其方程为 (0)ykx由 得 214ykx2xk记 ,则 2uk(,)(,)(,0PuQuE于是直线 的斜率为 ,方程为 QG2k()2kyxu由 得2(),14kyxu22()80kxuk设 ,则 和 是方程的解,故 ,由此得 (,)GxyuGx2(3)G32G

13、uky从而直线 的斜率为 P321()kuk所以 ,即 是直角三角形QG(ii)由(i)得 , ,2|1Puk21|ukPG所以PQG 的面积 228()8()| 1kSQk设 t=k+ ,则由 k0 得 t2,当且仅当 k=1 时取等号1因为 在2,+)单调递减,所以当 t=2,即 k=1 时,S 取得最大值,最大值为 281tS 169因此,PQG 面积的最大值为 16922解:(1)因为 在C上,当 时, .0,M0304sin23由已知得 .|cos23OPA设 为l上除P的任意一点.在 中 ,(,)QRtOPQ cos|23OP经检验,点 在曲线 上.(2,)3cos23所以,l的极坐标方程为 .cos23(2)设 ,在 中, 即 (,)PRtOAP |cos4,A4cos因为P在线段OM 上,且 ,故 的取值范围是 .M,2所以,P点轨迹的极坐标方程为 .4cos,423解:(1)当 a=1 时, .()=|1 +|2(1)fxx当 时, ;当 时, .x2()0f0fx所以,不等式 的解集为 .x(,)(2)因为 ,所以 .()=0fa1当 , 时,1,x()= +(2)=()10fxaxax所以, 的取值范围是 .