1、绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 ，则21,01ABx， ABA B C D,1,0,122若 ，则 z=(1i)2zA B C Di1+i1i1+i3西游记三国演义水浒传和
2、红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A0.5 B0.6 C0.7 D0.84（1+2x 2 ）（1+x） 4 的展开式中 x3 的系数为A12 B16 C20 D245已知各项均为正数的等比数列a n的前 4 项为和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3=A 16 B 8 C4 D 26已知曲线 在点（1，ae）处的切线方程
3、为 y=2x+b，则elnxyA Ba=e，b=1 C D ，ab， 1ea， 1eab7函数 在 的图象大致为32xy6,A BC D8如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则ABM=EN，且直线 BM、EN 是相交直线BBM EN，且直线 BM，EN 是相交直线CBM =EN，且直线 BM、EN 是异面直线DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线9执行下边的程序框图，如果输入的 为 0.01，则输出 的值等于sA. B. C. D. 41251261271210双曲线 C： =1 的右焦点为 F，点 P 在 C
4、 的一条渐进线上， O 为坐标原点，若 ，2xy =POF则PFO 的面积为A B C D3243223211设 是定义域为 R 的偶函数，且在 单调递减，则fx0,A （log 3 ） （ ） （ ） f14f32f23B （log 3 ） （ ） （ ）ff23f32C （ ） （ ） （log 3 ） f32f23f14D （ ） （ ） （log 3 ）f23f32f12设函数 =sin（ ）( 0) ，已知 在 有且仅有 5 个零点，下述四个结论：fx5fx0,2 在（ ）有且仅有 3 个极大值点f0,2 在（ ）有且仅有 2 个极小值点fx, 在（ ）单调递增f0,1 的取值范围是
5、 )2950，其中所有正确结论的编号是A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知 a，b 为单位向量，且 ab=0，若 ，则 _.25cabcos,a14记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和， ，则 _.12103 ，05S15设 为椭圆 C: 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限.若 为等腰三角形，12F，2+36xy 12MF则 M 的坐标为_.16学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 挖去四1ABCD棱锥 OEFGH 后所得几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，3D 打印
6、所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所16cm4AB=C, A需原料的质量为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A、B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液， B 组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数
7、据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C ）的估计值为 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）18（12 分）ABC 的内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，已知 sinsi2ACab（1）求 B；（2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围19（12 分）图 1 是由矩形 ADEB、RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF =2， FBC=60，将其沿 AB，BC
8、折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2.（1）证明：图 2 中的 A，C， G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小.20（12 分）已知函数 .32()fxab（1）讨论 的单调性；f（2）是否存在 ，使得 在区间 的最小值为 且最大值为 1？若存在，求出 的所有值；,ab()fx0,1,ab若不存在，说明理由.21已知曲线 C：y = ，D 为直线 y= 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A， B.2x12（1）证明：直线 AB 过定点：（2）若以 E(0， )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段
9、AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积.52（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）如图，在极坐标系 Ox 中， ， ， ， ，弧 ， ， 所在圆(2,0)A(,)4B(2,)C(,)DABCD的圆心分别是 ， ， ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 .(1,0),(1,)1MA23MA（1）分别写出 ， ， 的极坐标方程；1M23（2）曲线 由 ， ， 构成，若点 在 M 上，且 ，求 P 的极坐标.123P|3O23选修 4-5：不等式选讲（10 分）设 ，且 .,xyzR1
10、xyz（1）求 的最小值；222()()()（2）若 成立，证明： 或 .2221()(1)()3xyza3a12019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题1A 2D 3C 4A 5C 6D 7B 8B 9C 10A 11C12D二、填空题13 144 15 16118.823 (3,15)三、解答题17解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35b=10.050.150.70=0.10（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.05+
11、40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.0018解：（1）由题设及正弦定理得 sinsin2ACBA因为sinA 0，所以 sisi2AB由 ，可得 ，故 18BCsincos2Cs2incosB因为 ，故 ，因此B=60cos02si2（2）由题设及（1）知ABC的面积 34ABCSa由正弦定理得 sin120i 1tan2ca由于ABC为锐角三角形，故00，则当 时， ；当 时， 故 在(,),3a()0fx,3a()0fx()fx单调递增，在 单调递减；(,0),30,若 a=0， 在 单调递增；()fx,)若 a0，则当 时， ；当 时， 故 在,(0,)3a(
12、)0fx,03a()0fx()fx单调递增，在 单调递减.,(0,)3,（2）满足题设条件的 a，b 存在.（i）当 a0 时，由（1）知， 在0，1单调递增，所以 在区间0 ，l的最小值为 ，()fx()fx(0)=fb最大值为 .此时 a，b 满足题设条件当且仅当 ， ，即()2f1b21aba=0， b（ii）当 a3 时，由（1）知， 在0，1 单调递减，所以 在区间0，1 的最大值为 ，()fx()fx(0)=fb最小值为 此时 a，b 满足题设条件当且仅当 ，b=1，即 a=4，b=1()2f21a（iii ）当 0a3 时，由（1）知， 在0 ，1的最小值为 ，最大值为 b 或(
13、)fx327af2b若 ，b=1，则 ，与 0a3 矛盾.317a32a若 ， ，则 或 或 a=0，与 0a3 矛盾32213综上，当且仅当 a=0， 或 a=4，b=1 时， 在0，1的最小值为1，最大值为 1()fx21解：（1）设 ，则 .1,2DtAxy21y由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 .yx1x112yxt整理得 12 +=0.t设 ，同理可得 .2,Bxy2 +1=0txy故直线AB的方程为 .t所以直线AB过定点 .1(0,)2（2）由（1）得直线AB的方程为 .12ytx由 ，可得 .2ytx210xt于是 ，212121212, 1xtxytxt.222 2111|
14、 4ABtxtxxt设 分别为点D，E到直线AB的距离，则 .12,d 212,1dtdt因此，四边形ADBE的面积 .221| 32SABtt设M为线段 AB的中点，则 .,Mt由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 .解得t=0 或EAB2,tAB(1, )t20t.1t当 =0时， S=3；当 时， .t 1t42S因此，四边形ADBE的面积为3或 .22.解：（1）由题设可得，弧 所在圆的极坐标方程分别为 ， ，A,BCD2cos2sin.2cos所以 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ，1M2cos042M32sin4的极坐标方程为 .3 3（2）设 ，由题设及（1）知(,)P若 ，则
15、 ，解得 ；042cos36若 ，则 ，解得 或 ；3in32若 ，则 ，解得 .42cos56综上，P的极坐标为 或 或 或 .3,6,32,53,623解：（1）由于2(1)(1)xyz222()(1)(1)xyzxyzx，22231()(1)故由已知得 ，2224()()()3xyz当且仅当x= ，y = ， 时等号成立531z所以 的最小值为 .222(1)()(1)z43（2）由于 2()1()xyza222()1()()2xyzax，2223()(1)()xyza故由已知 ，2222()()()()3az当且仅当 ， ， 时等号成立43ax1yz因此 的最小值为 222()(1)()xyza2()3a由题设知 ，解得 或 2()13a3a1
