1、2019 年陕西省宝鸡市岐山县中考数学二模试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，计 30 分.每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中）1（3 分）相反数等于2 的数是（ ）A2 B2 C D22（3 分）如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）A B C D3（3 分）将一副三角板如图放置，使点 A 在 DE 上，BCDE，则AFC 的度数为（ ）A45 B50 C60 D754（3 分）若正比例函数 ykx 的图象经过点 A（k ，9），且经过第一、三象限，则 k 的值是（ ）A9 B3 C3 D3 或 35（3 分）下列运算：
2、a 2a3a 6； （a 3） 2a 6；a 5a5a；2a 2bca 2bca 2bc其中正确的个数是（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D1 个6（3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，点 E 是 OA 的中点，连接 BE 并延长交 AD 于点 F，已知 S AEF3，则下列结论： ；S BCE 30；S ABE9；AEF ACD，其中一定正确的是（ ）A B C D7（3 分）如图，一次函数 y1k 1x+b1 与反比例函数 的图象交于点 A（1，3），B（3， 1）两点，若 y1y 2，则 x 的取值范围是（ ）Ax1 Bx3 C0x3 Dx 3 或 0x
3、18（3 分）如图，在ABC 中，ABAC ，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，点 G、F 在 BC 边上，四边形 DGFE 是正方形若 DE4cm，则 AC 的长为（ ）A4cm B2 cm C8cm D4 cm9（3 分）如图，点 A、B、C 、D 在O 上， ，CAD30，ACD50，则ADB（ ）A30 B50 C70 D8010（3 分）若二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为 x1，则使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是（ ）A4x2 Bx4 或 x2 Cx4 或 x2 D4x 2二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 3 分，计 1
4、2 分）11（3 分）实数 a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则 bc a（填“”“”或“”）12（3 分）正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系是 13（3 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点 A 和 C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，且AB y 轴，AB4，ABC 的面积为 2，将ABC 以点 B 为旋转中心，顺时针旋转 90得到DBE，一反比例函数图象恰好过点 D 时，则此反比例函数解析式是 14（3 分）如图，AOB60，点 P 是AOB 内一定点，且 OP2，若点 M、N 分别是射线OA、OB 上异于点 O 的动点，则 PMN 周长的最小值是 三、解答题（
5、本题共 11 道小题，计 78 分，解答时写出过程）15（5 分）计算： 16（5 分）解分式方程： 17（5 分）如图，已知ABC，射线 BC 上有一点 D求作：以 BD 为底边的等腰 MBD，点 M 在ABC 内部，且到ABC 两边的距离相等18（5 分）已知：如图，ABAD，ACAE，BAG DAF求证：BCDE19（7 分）某中学为了帮助贫困学生读书，由校团委向全校 2400 名学生发起了“脱贫攻坚我在行”爱心捐款活动，为了解捐款情况，校团委随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图 1 和图 2，请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受随机调查的学生人数为 ，图
6、中 m 的值是 ；（2）请补全条形统计图；（3）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；（4）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数20（7 分）为了测量休闲凉亭 AB 的高度，某数学兴趣小组在水平地面 D 处竖直放置一个标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜 E，使得 B、E、D 在同一水平线上，如图所示该小组在标杆的 F 处通过平面镜 E 恰好观测到凉亭顶端 A，在 F 处测得凉亭 A 顶端的仰角为 30，平面镜 E 的俯角为 45，FD2 米，求休闲凉亭 AB 的高度（结果保留根号）21（7 分）2018 年，广州国际龙舟邀请赛于 6 月 23 日在中山大学北门广场
7、至广州大桥之间的珠江河段举行上午 8 时，参赛龙舟同时出发，甲、乙两队在比赛中，路程 y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，甲队在上午 11 时 30 分到达终点（1）在比赛过程中，乙队何时追上甲队？（2）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？22（7 分）某校组织一项公益知识竞赛，比赛规定：每个代表队由 3 名男生、4 名女生和 1 名指导老师组成但参赛时，每个代表队只能有 3 名队员上场参赛，指导老师必须参加，另外 2 名队员分别在 3 名男生和 4 名女生中各随机抽出一名七年级（1）班代表队有甲、乙、丙三名男生和 A、 B、C 、D4 名女生及 1 名指导老师组成求：（1）抽到
8、D 上场参赛的概率；（2）恰好抽到由男生丙、女生 C 和这位指导老师一起上场参赛的概率（请用“画树状图”或“列表”的方式给出分析过程）23（8 分）如图，PA、PB 是 O 的切线，A、B 为切点，连接 AO 并延长，交 PB 的延长线于点C，连接 PO，交O 于点 D（1）求证：APOCPO；（2）若O 的半径为 3，OP 6，C 30，求 PC 的长24（10 分）如图，已知直线 y2x+4 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B抛物线过 A、B 两点，点 P是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PCx 轴于点 C，交抛物线于点 D（1）如图 1，设抛物线顶点为 M，且 M 的坐标是（ ， ）
9、，对称轴交 AB 于点 N求抛物线的解析式；是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点 D，使得四边形 BOAD 的面积最大？若存在，求出此时点 D 的坐标；若不存在，请说明理由25（12 分）（1）问题发现如图 1，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A、D、E 在同一条直线上，连接 BE填空：AEB 的度数为 ；线段 AD、BE 之间的数量关系为 （2）拓展研究如图 2，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACB DCE90，点 A、D、E 在同一条直线上，CM 为DCE 中 DE 边上的高，连接 BE，请判断AEB 的度数及线段 CM、AE、BE
10、之间的数量关系，并说明理由（3）解决问题如图 3，在正方形 ABCD 中，CD2 ，若点 P 满足 PD2，且BPD90，请直接写出点A 到 BP 的距离2019 年陕西省宝鸡市岐山县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，计 30 分.每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中）1（3 分）相反数等于2 的数是（ ）A2 B2 C D2【分析】直接利用相反数的定义得出答案【解答】解：相反数等于2 的数是：2故选：A【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键2（3 分）如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形
11、，它的左视图是（ ）A B C D【分析】左视图是从组合体的左面看到的，应该是两列，个数分别是 2，1，据此求解【解答】解：从左面看到应该有 2 列，正方形的个数分别为 2，1，故选：B【点评】本题考查了简单几何体的三视图的知识，解题的关键是了解左视图是从左面看到的，难度不大3（3 分）将一副三角板如图放置，使点 A 在 DE 上，BCDE，则AFC 的度数为（ ）A45 B50 C60 D75【分析】先根据 BCDE 及三角板的度数求出EAB 的度数，再根据三角形内角与外角的性质即可求出AFC 的度数【解答】解：BCDE，ABC 为等腰直角三角形，FBCEAB （18090）45，AFC 是
12、AEF 的外角，AFCFAE+ E 45 +3075故选：D【点评】本题比较简单，考查的是平行线的性质即三角形内角与外角的关系4（3 分）若正比例函数 ykx 的图象经过点 A（k ，9），且经过第一、三象限，则 k 的值是（ ）A9 B3 C3 D3 或 3【分析】根据正比例函数的性质得 k0，再把（k，9）代入 ykx 得到关于 k 的一元二次方程，解此方程确定满足条件的 k 的值【解答】解：正比例函数 ykx（k0）的图象经过第一、三象限k0，把（k，9）代入 ykx 得 k29，解得 k13，k 23，k3，故选：C【点评】本题考查了一次函数图象上点点坐标特征及正比例函数的性质，较为简
13、单，容易掌握5（3 分）下列运算：a 2a3a 6； （a 3） 2a 6；a 5a5a；2a 2bca 2bca 2bc其中正确的个数是（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D1 个【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则分别计算得出答案【解答】解：a 2a3a 5，故此选项错误；（a 3） 2a 6，正确；a5a51，故此选项错误；2a2bca 2bca 2bc，正确故选：A【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键6（3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，点 E 是 OA 的中点，连接 BE 并延长交
14、 AD 于点 F，已知 S AEF3，则下列结论： ；S BCE 30；S ABE9；AEF ACD，其中一定正确的是（ ）A B C D【分析】根据平行四边形的性质得到 AE CE，根据相似三角形的性质得到比例式，等量代换得到 AF AD，于是得到 ；故正确；根据相似三角形的性质得到 SBCE 27；故错误；根据三角形的面积公式得到 SABE 12，故正确；由于AEF 与ADC 只有一个角相等，于是得到AEF 与ACD 不一定相似，故 错误【解答】解：在ABCD 中，AO AC，点 E 是 OA 的中点，AE CE，ADBC，AFE CBE， ，ADBC，AF AD， ；故正确；S AEF
15、3， ，S BCE 27；故错误； ， ，S ABE 9，故 正确；BF 不平行于 CD，AEF 与ADC 只有一个角相等，AEF 与ACD 不一定相似，故 错误，故选：B【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键7（3 分）如图，一次函数 y1k 1x+b1 与反比例函数 的图象交于点 A（1，3），B（3， 1）两点，若 y1y 2，则 x 的取值范围是（ ）Ax1 Bx3 C0x3 Dx 3 或 0x1【分析】根据两函数图象的交点，图象的位置可确定 y1y 2 时 x 的范围【解答】解：一次函数图象位于反比例函数图象的下方，由图
16、象可得当 x3 或 0x 1 时，y 1y 2；故选：D【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象位于反比例函数图象的下方是解题关键8（3 分）如图，在ABC 中，ABAC ，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，点 G、F 在 BC 边上，四边形 DGFE 是正方形若 DE4cm，则 AC 的长为（ ）A4cm B2 cm C8cm D4 cm【分析】根据三角形的中位线定理可得出 BC4，由 ABAC，可证明 BGCF2，由勾股定理求出 CE，即可得出 AC 的长【解答】解：点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，DE BC，DE4cm，BC8cm，ABAC，四边形
17、 DEFG 是正方形，DGEF，BDCE，在 Rt BDG 和 RtCEF，RtBDGRtCEF（HL ），BGCF2，EC2 ，AC4 cm故选：D【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的性质以及正方形的性质，是基础题，比较简单9（3 分）如图，点 A、B、C 、D 在O 上， ，CAD30，ACD50，则ADB（ ）A30 B50 C70 D80【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出ACBADB180CABABC，进而得出答案【解答】解： ，CAD30，CADCAB30，DBCDAC30，ACD50，ABD50，ACBADB180CAB AB
18、C18050303070故选：C【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出ABD 度数是解题关键10（3 分）若二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为 x1，则使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是（ ）A4x2 Bx4 或 x2 Cx4 或 x2 D4x 2【分析】由抛物线与 x 轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值 y0 成立的 x 的取值范围即可【解答】解：如图所示：图象经过点（2，0），且其对称轴为 x1，图象与 x 轴的另一个交点为：（4，0），则使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是
19、：4x 2故选：D【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确利用数形结合得出 x 的取值范围是解题关键二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 3 分，计 12 分）11（3 分）实数 a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则 bc a（填“”“”或“”）【分析】观察数轴，找出 a、b、c 三个数的大概范围，即可进行判断【解答】解：由 a，b，c 三点所在数轴上的位置可知，4a3，1b0，2c3，bc3，bca故答案为：【点评】本题考查的是利用数轴比较两个数的大小，总是右边的数总比左边的数大12（3 分）正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系是 互补 【分析】根据正多边形的中心角的定义
20、可得到正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，然后利用正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补得到正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补【解答】解：设正多边形的边数为 n，则正多边形的中心角为 ，正多边形的一个外角等于 ，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补故答案为：互补【点评】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆掌握正多边形的有关概念13（3 分）如图，在平面
21、直角坐标系中，ABC 的顶点 A 和 C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，且AB y 轴，AB4，ABC 的面积为 2，将ABC 以点 B 为旋转中心，顺时针旋转 90得到DBE，一反比例函数图象恰好过点 D 时，则此反比例函数解析式是 y 【分析】先根据三角形的面积公式求得 OA 的长，得到点 B 的坐标，再根据旋转的性质得BDBA4，DBA90，则 BDx 轴，再求出 D 点的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式【解答】解：ABy 轴，AB4，ABC 的面积为 2，S ABC ABOA 4OA2OA 2，OA1，B（1，4）将ABC 以点 B 为旋转中心，顺时针旋转 90得到DB
22、E，ABBD 4，ABD90，DBx 轴，设 DB 与 y 轴交于点 F，DFDB BF413，D（3，4），设反比例解析式为 y ，k3412此反比例函数解析式是 y 故答案为 y 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式 y （k 为常数，k 0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式也考查了旋转的性质与三角形的面积14（3 分）如图，AOB60，点 P 是AOB 内一定点，且 OP2，若点 M、N 分别是射线OA、OB 上异于点 O 的动点，则 PMN 周长的最小值是 2
23、 【分析】作点 P 关于 OA 的对称点 F，点 P 关于 OB 的对称点 E，连接 EF，OE，OF ，则 EF 即PMN 周长的最小值，由作图可知OEF 是等腰三角形，即可求解；【解答】解：作点 P 关于 OA 的对称点 F，点 P 关于 OB 的对称点 E，连接 EF，OE，OF ，则 EF 即PMN 周长的最小值，AOB60，EOF120，由对称性可知：OFOPOE2，OEFOFE30，EF2 ；故答案为 2 ；【点评】本题考查轴对称求最短路线问题；熟练掌握利用点的对称将三条线段和转化为一条线段是解题的关键三、解答题（本题共 11 道小题，计 78 分，解答时写出过程）15（5 分）计
24、算： 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，平方根、立方根定义计算即可求出值【解答】解：原式1+43+（3）1【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键16（5 分）解分式方程： 【分析】方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：x4x87，移项合并得：5x15，解得：x3，经检验 x3 是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验17（5 分）如图，已知ABC，射线 BC 上有一点 D求作：以 BD 为底边的等腰 MBD，点 M 在ABC 内部，且到ABC 两边的距离
25、相等【分析】先作ABC 的平分线，再作 BD 的垂直平分线，它们相交于 M，则MBD 满足条件【解答】解：如图，MBD 为所作【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了等腰三角形的性质18（5 分）已知：如图，ABAD，ACAE，BAG DAF求证：BCDE【分析】根据等式的性质得出DAEBAC，利用 SAS 证明DAE 与BAC 全等，进而利用全等三角形的性质解答即可【解答】证明：BAGDAF，BAG+CAEDAF
26、+ CAE ，即CABEAD，ABAD ，AC AE，ABCADE（SAS），BCDE【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：AAS、SSS、SAS 、SSA 、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角19（7 分）某中学为了帮助贫困学生读书，由校团委向全校 2400 名学生发起了“脱贫攻坚我在行”爱心捐款活动，为了解捐款情况，校团委随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图 1 和图 2，请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受随机调
27、查的学生人数为 50 ，图中 m 的值是 32 ；（2）请补全条形统计图；（3）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；（4）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数【分析】（1）由 5 元的人数及其所占百分比可得总人数，用 10 元人数除以总人数可得 m 的值；（2）总人数乘以 15 元对应百分比可得其人数，据此可补全图形；（3）根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（4）根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 48%50 人， 100%32%，m32，故答案为：
28、50、32；（2）15 元的人数为 5024%12，补全图形如下：（3）本次调查获取的样本数据的众数是：10 元，本次调查获取的样本数据的中位数是：15 元；（4）估计该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数为 240032%768 人【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件20（7 分）为了测量休闲凉亭 AB 的高度，某数学兴趣小组在水平地面 D 处竖直放置一个标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜 E，使得 B、E、D 在同一水平线上，如图所示该小组在标杆的 F 处通过平面镜 E 恰好观测到凉亭顶端 A，在 F 处
29、测得凉亭 A 顶端的仰角为 30，平面镜 E 的俯角为 45，FD2 米，求休闲凉亭 AB 的高度（结果保留根号）【分析】设 AB 为 x 米，根据正切的定义列式计算，得到答案【解答】解：如图所示，由题意可得：DFBH 2 米， FHDB，HFEFEDAEB45，FDE AHF ABD90，AFH30，DFEFED45，AEBEAB45，DEDF 2 米，EB AB，设休闲凉亭 AB 的高度为 x 米，则 EBABx 米，FHDB （x +2）米，在 Rt AFH 中，tan AFH ， ，x4+2 ，答：休闲凉亭 AB 的高度为（4+2 ）米【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题
30、，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键21（7 分）2018 年，广州国际龙舟邀请赛于 6 月 23 日在中山大学北门广场至广州大桥之间的珠江河段举行上午 8 时，参赛龙舟同时出发，甲、乙两队在比赛中，路程 y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，甲队在上午 11 时 30 分到达终点（1）在比赛过程中，乙队何时追上甲队？（2）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？【分析】（1）从图象看，甲队是 OA 和 AB 段，乙队是 OC 段，分别通过相关点的坐标，求出它们的解析式，联立 OC 与 AB 解析式即可解出交点，交点横坐标即为乙队追上甲队的时间；（2）从图象看，一小时
31、的时候两者相距较远，再将其与乙队到达终点时的距离比较即可【解答】解：（1）对于乙队，x1 时，y16x ，OC 解析式为：y16x 对于甲队，当 0x1 时，令 yk 1x，将（1，20）代入得：k 120，y20x；当 x1 时，设 AB 解析式为：y k 2x+b，将（1，20）和（2.5，35）分别代入得 ，解得 ，y10x+10联立 OC 与 AB 解析式得 ，解得 x出发 1 小时 40 分（或者说上午 10 点 40 分）时，乙队追上甲队（2）1 小时内，两队相距最远为 20164 米，之后到相遇，距离在变小；乙队追上甲队后，两队的距离为：16x（10x+10）6x10，当 x 值
32、取最大，即当 16x35，x 时，6x106 103.1254在比赛过程中，甲、乙两队在出发后 1 小时（或者上午 9 时）相距最远【点评】本题为一次函数的应用综合题，需要分别求出相关线段的函数解析式，以及通过解析式联立求交点，数形结合等进行分析，难度略大22（7 分）某校组织一项公益知识竞赛，比赛规定：每个代表队由 3 名男生、4 名女生和 1 名指导老师组成但参赛时，每个代表队只能有 3 名队员上场参赛，指导老师必须参加，另外 2 名队员分别在 3 名男生和 4 名女生中各随机抽出一名七年级（1）班代表队有甲、乙、丙三名男生和 A、 B、C 、D4 名女生及 1 名指导老师组成求：（1）抽
33、到 D 上场参赛的概率；（2）恰好抽到由男生丙、女生 C 和这位指导老师一起上场参赛的概率（请用“画树状图”或“列表”的方式给出分析过程）【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出恰好抽到由男生丙、女生 C 和这位指导老师一起上场参赛的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）抽到 D 上场参赛的概率 ；（2）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽到由男生丙、女生 C 和这位指导老师一起上场参赛的结果数为 1，所以恰好抽到由男生丙、女生 C 和这位指导老师一起上场参赛的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法
34、展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率23（8 分）如图，PA、PB 是 O 的切线，A、B 为切点，连接 AO 并延长，交 PB 的延长线于点C，连接 PO，交O 于点 D（1）求证：APOCPO；（2）若O 的半径为 3，OP 6，C 30，求 PC 的长【分析】（1）根据切线长定理证明；（2）根据切线的性质得到PAC90，根据勾股定理求出 AP，根据含 30的直角三角形的性质计算即可【解答】（1）证明：PA、PB 是 O 的切线，APOCPO；（2）解：PA 是O 的切线，PAC90，AP 3 ，在 R
35、t CAP 中，C30，PC2AP6 【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握切线长定理、勾股定理是解题的关键24（10 分）如图，已知直线 y2x+4 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B抛物线过 A、B 两点，点 P是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PCx 轴于点 C，交抛物线于点 D（1）如图 1，设抛物线顶点为 M，且 M 的坐标是（ ， ），对称轴交 AB 于点 N求抛物线的解析式；是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点 D，使得四边形 BOAD 的面积最大？若存在，求出此时点 D 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由一
36、次函数图象上点的坐标特征求得点 B 的坐标，设抛物线解析式为ya（x ） 2+ ，把点 B 的坐标代入求得 a 的值即可；不存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形设点 P 的坐标是（m，2m +4），则D（m，2m 2+2m+4），根据题意知 PDMN，所以当 PDMN 时，四边形 MNPD 为平行四边形，根据该等量关系列出方程2m 2+4m ，通过解方程求得 m 的值，易得点 N、P 的坐标，然后推知 PNMN 是否成立即可；（2）设点 D 的坐标是（n， 2n 2+2n+4），P（n，2n+4）根据 S 四边形 BOADS BOA +SABD 4+SABD ，则当 SABD 取最大值时，S
37、 四边形 BOAD 最大根据三角形的面积公式得到函数SABD 2（ n1） 2+2由二次函数的性质求得最值【解答】解：如图 1，顶点 M 的坐标是（ ， ），设抛物线解析式为 ya（x ） 2+ （a0）直线 y2x +4 交 y 轴于点 B，点 B 的坐标是（0，4）又点 B 在该抛物线上，a（x ） 2+ 4，解得 a2故该抛物线的解析式为：y2（x ） 2+ 2x 2+2x+4；不存在理由如下：抛物线 y2（x ） 2+ 的对称轴是直线 x ，且该直线与直线 AB 交于点 N，点 N 的坐标是（ ，3）MN 3 设点 P 的坐标是（m，2m+4），则 D（m，2m 2+2m+4），PD（
38、2m 2+2m+4）（2m+4）2m 2+4mPDMN当 PDMN 时，四边形 MNPD 是平行四边形，即2m 2+4m 解得 m1 （舍去）， m2 此时 P（ ，1）PN ，PNMN，平行四边形 MNPD 不是菱形不存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形；（2）存在，理由如下：设点 D 的坐标是（n，2n 2+2n+4），点 P 在线段 AB 上且直线 PDx 轴，P（n，2n+4）由图可知 S 四边形 BOADS BOA +SABD 其中 SBOA OBOA 424则当 SABD 取最大值时， S 四边形 BOAD 最大SABD （y Dy P）（x Ax B）y Dy P2n 2+2n
39、+4（2n+4）2n 2+4n2（n1） 2+2当 n1 时，S ABD 取得最大值 2，S 四边形 BOAD 有最大值此时点 D 的坐标是（1，4）【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系25（12 分）（1）问题发现如图 1，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A、D、E 在同一条直线上，连接 BE填空：AEB 的度数为 60 ；线段 AD、BE 之间的数量关系为 ADBE （2）拓展研究如图 2，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACB DCE90
40、，点 A、D、E 在同一条直线上，CM 为DCE 中 DE 边上的高，连接 BE，请判断AEB 的度数及线段 CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由（3）解决问题如图 3，在正方形 ABCD 中，CD2 ，若点 P 满足 PD2，且BPD90，请直接写出点A 到 BP 的距离【分析】问题发现：（1） 由等边三角形的性质可得 ACBC ，DCCE，ACBDCECDE60CED，由“SAS”可证ACDBCE，可得 ADBE，ADCCEB120即可求AEB 的度数；（2）由全等三角形的性质可得 ADBE；拓展研究：（2）仿照（1）中的解法可求出AEB 的度数，证出 ADBE；由DCE 为等腰直
41、角三角形及CM 为DCE 中 DE 边上的高可得 CMDM ME ，可得 AE2CH+BE；解决问题：（3）由题意可得点 P 在以 D 为圆心，2 为半径的圆上，同时点 P 也在以 BD 为直径的圆上，即点 P 是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求 BP，AH 的长，即可求点 A 到 BP 的距离【解答】解：问题发现（1） ACB 和DCE 均为等边三角形，ACBC，DCCE，ACBDCECDE60CED点 A、D、E 在同一条直线上，ADC120ACBDCBDCEDCBACDBCE，且 ACBC ，DC CEACDBCE（SAS）ADCCEB120ABE CEBCED 60 ACD
42、BCEADBE故答案为：60，ADBE（2）拓展研究：猜想： AEB90，AEBE +2CM理由：如图 2，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90ACDBCE且 ACBC ，CD CEACDBCE（SAS）ADBE，ADCBEC DCE 为等腰直角三角形，CDECED45点 A，D，E 在同一直线上，ADC135BEC135AEB BECCED 90CDCE，CMDE，DM MEDCE90，DM MECMAEAD +DEBE +2CM解决问题：（3）点 P 满足 PD2，点 P 在以 D 为圆心，2 为半径的圆上，BPD90，点 P 在以 BD 为直径的圆上
43、，如图，点 P 是两圆的交点，若点 P 在 AD 上方，连接 AP，过点 A 作 AHBP，CD2 BC，BCD90BD4，BPD90BP 2BPD90BAD点 A，点 B，点 D，点 P 四点共圆APB ADB45，且 AHBPHAPAPH45AHHP在 Rt AHB 中，AB 2AH 2+BH2，8AH2+ （2 AH ）2，AH +1（不合题意），或 AH 1若点 P 在 CD 的右侧，同理可得 AH +1综上所述：点 A 到 BP 的距离为： +1 或 1【点评】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质、正方形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键
