1、2019 年陕西省宝鸡市金台区中考数学二模试卷一、选择題（共 10 小題.每小题 3 分，计 30 分，每小題只有一个选项是符合題意的1（3 分） 的相反数是（ ）A3 B3 C D2（3 分）如图，一个由相同小正方体堆积而成的几何体，该几何体的主视图是（ ）A BC D3（3 分）如图，直线 ab，150，230，则3 的度数为（ ）A30 B50 C80 D1004（3 分）下列运算中，计算正确的是（ ）A（3a 2） 327a 6 B（a 2b） 3a 5b3Cx 6+x2x 3 D（a+b） 2a 2+b25（3 分）如图，ABD 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形， BCD 中，DB
2、C90，BCD60，DC 中点为 E，AD 与 BE 的延长线交于点 F，则AFB 的度数为（ ）A30 B15 C45 D256（3 分）如图，函数 y12x 与 y2ax+3 的图象相交于点 A（m ，2），则关于 x 的不等式2x ax+3 的解集是（ ）Ax1 Bx-1 Cx2 Dx 27（3 分）如图，在平面直角坐标中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点 A，B，E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 6，则 C 点坐标为（ ）A（3，2） B（3，1） C（2，2） D（4，2）8（3 分）如图，在平面直角坐标系中，O
3、ABC 的顶点 A 在 x 轴上，顶点 B 的坐标为（6，4）若直线 l 经过点（1，0），且将OABC 分割成面积相等的两部分，则直线 l的函数解析式是（ ）Ayx+1 B Cy3x3 Dy x19（3 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，ADBC 于 D 点，且AC5，CD3，AB4 ，则 O 的直径等于（ ）A B3 C5 D710（3 分）若将二次函数 yx 24x +3 的图象绕着点（ 1，0）旋转 180，得到新的二次函数 yax 2+bx+c（a0），那么 c 的值为（ ）A15 B15 C17 D17二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分）11（3 分
4、）不等式组 的解集为 12（3 分）一个正多边形的内角和是外角和的 3 倍，则这个正多边形的一个内角的度数是 度13（3 分）如图，O 是坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为（3，4），顶点 C在 x 轴的负半轴上，函数 y （x 0）的图象经过菱形 OABC 中心 E 点，则 k 的值为 14（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2 ，点 E 为正方形外一个动点，AED45， P 为 AB 中点，线段 PE 的最大值是 三、解答题（本大题共 11 小题，满分 78 分）15（5 分）计算：| | （ 3.14） 0+tan60+（ ） 2 +（1） 201916（5 分）解分
5、式方程： + 117（5 分）已知如图，ABC 中，ABAC ，用尺规在 BC 边上求作一点 P，使BPABAC（保留作图痕迹，不写作法）18（5 分）如图，在ABC 和ADE 中，ABAD， BD ，12求证：BCDE19（7 分）在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：类别 家庭藏书 m 本 学生人数A 0m25 20B 26m100 aC 101m200 50D m201 66根据以上信息，解答下列问题：（1）该调查的样本容量为 ，a ；（2）在扇形统计图中，“A”对应扇形的圆心角为 ；（3）若该校有 2000 名学生，请
6、估计全校学生中家庭藏书 200 本以上的人数20（7 分）2018 年 3 月 2 日，500 架无人飞机在西安创业咖啡街区的夜空绽放，西安高新区用“硬科技”打造了最具独特的风景线，2018“西安年，最中国”以一场华丽的视觉盛宴完美收官，当晚，某兴趣爱好者想用手中的无人机测量大雁塔的高度，如图是从大雁塔正南面看到的正视图，兴趣爱好者将无人机上升至离地面 185 米高大雁塔正东面的 F 点，此时，他测得 F 点都塔顶 A 点的俯视角为 30，同时也测得 F 点到塔底 C 点的俯视角为 45，已知塔底边心距 OC23 米，请你帮助该无人机爱好者计算出大雁塔的大体高度（结果精确到 0.1 米）？（
7、1.73， 1.41）21（7 分）为了贯彻落实“精准扶贫”精神，某单位决定运送一批物资到某贫困村，货车自早上 8 时出发，行驶一段路程后发现未带货物清单，便立即以 50km/h 的速度回返，与此同时单位派车去送清单，途中相遇拿到清单后，货车又立即掉头并开到目的地，整个过程中，货车距离出发地的路程 s（km）与行驶时间 t（h）的函数图象如图所示（1）两地相距 千米，当货车司机拿到清单时，距出发地 千米（2）试求出途中 BC 段的函数表达式，并计算出中午 12 点时，货车离贫困村还有多少千米？22（7 分）在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和小刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他
8、们只能选两人打第一场（1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中小刚的概率；（2）如果确定小亮做裁判，用“手心”“手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场，游戏规则是：三人同时伸“手心、手背”的中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率23（8 分）如图，AB 是 O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上， CD 与O 相切于点D，CEAD，交 AD 的延长线于点 E（1）求证：BDCA；（2）若 CE4，DE2，求 AD 的长24（10 分）在同一直
9、角坐标系中，抛物线 C1：y ax 22x3 与抛物线C2：y x2+mx+n 关于 y 轴对称，C 2 与 x 轴交于 A、B 两点，其中点 A 在点 B 的左侧（1）求抛物线 C1，C 2 的函数表达式；（2）求 A、B 两点的坐标；（3）在抛物线 C1 上是否存在一点 P，在抛物线 C2 上是否存在一点 Q，使得以 AB 为边，且以 A、B 、P、 Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 P、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由25（12 分）问题探究：（1）如图 ，已知等边 ABC，边长为 4，则ABC 的外接圆的半径长为 （2）如图 ，在矩形 ABCD 中，AB4，对角线
10、BD 与边 BC 的夹角为 30，点 E 在为边 BC 上且 BE BC，点 P 是对角线 BD 上的一个动点，连接 PE，PC，求PEC周长的最小值问题解决：（3）为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演其中一个镭射灯距城墙 30 米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为 60，如图，若将两根光线（AB，AC）和光线与城墙的两交点的连接的线段（BC ）看作一个三角形，记为ABC，那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值，若没有，说明理由2019 年陕西省宝鸡市金台区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择題（共 10 小題.每小题 3 分，计 30 分，每小題只有一个选项是符
11、合題意的1（3 分） 的相反数是（ ）A3 B3 C D【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号【解答】解： 的相反数是 ，故选：C【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 02（3 分）如图，一个由相同小正方体堆积而成的几何体，该几何体的主视图是（ ）A BC D【分析】从正面观察几何体看一看可观察到几个面，并依据各之间的位置关系进行判断即可【解答】解：该几何体的主视图为：故选：D【点评】本题主要考查的是几何体的三视图，熟练掌握三视图的概念是解题的关键3（3 分）如图，直线 ab，150，
12、230，则3 的度数为（ ）A30 B50 C80 D100【分析】根据平角的定义即可得到4 的度数，再根据平行线的性质即可得到3 的度数【解答】解：150，230，4100，ab，34100，故选：D【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质4（3 分）下列运算中，计算正确的是（ ）A（3a 2） 327a 6 B（a 2b） 3a 5b3Cx 6+x2x 3 D（a+b） 2a 2+b2【分析】根据积的乘方和幂的乘方、合并同类项的法则、完全平方公式进行计算即可【解答】解：A、（3a 2） 327a 6，故 A 正确；B、（a 2b） 3a 6b3，故 B 错误；C、x
13、6 与 x2 不是同类项，不能合并，故 C 错误；D、（a+b） 2 a2+2ab+b2，故 D 错误；故选：A【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方，合并同类项，完全平方公式，掌握运算法则是解题的关键5（3 分）如图，ABD 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形， BCD 中，DBC90，BCD60，DC 中点为 E，AD 与 BE 的延长线交于点 F，则AFB 的度数为（ ）A30 B15 C45 D25【分析】根据直角三角形的性质得到 BECE，求得CBE60，得到DBF30，根据等腰直角三角形的性质得到ABD45，求得ABF75，根据三角形的内角和即可得到结论【解答】解：DBC90，E 为
14、 DC 中点，BECE CD，BCD60，CBE60，DBF30，ABD 是等腰直角三角形，ABD45，ABF 75，AFB 180907515，故选：B【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键6（3 分）如图，函数 y12x 与 y2ax+3 的图象相交于点 A（m ，2），则关于 x 的不等式2x ax+3 的解集是（ ）Ax1 Bx-1 Cx2 Dx 2【分析】首先利用待定系数法求出 A 点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式2xax+3 的解集即可【解答】解：函数 y12x 过点 A（m ，2），2m2，解得：m1，A（1，2）
15、，不等式2xax +3 的解集为 x1故选：B【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出 A 点坐标7（3 分）如图，在平面直角坐标中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点 A，B，E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 6，则 C 点坐标为（ ）A（3，2） B（3，1） C（2，2） D（4，2）【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出 AD 的长，进而得出OAD OBG，进而得出 AO 的长，即可得出答案【解答】解：正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 ， ，
16、BG6，ADBC2，ADBG ，OAD OBG， ， ，解得：OA1，OB3，C 点坐标为：（3，2），故选：A【点评】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出 AO 的长是解题关键8（3 分）如图，在平面直角坐标系中，OABC 的顶点 A 在 x 轴上，顶点 B 的坐标为（6，4）若直线 l 经过点（1，0），且将OABC 分割成面积相等的两部分，则直线 l的函数解析式是（ ）Ayx+1 B Cy3x3 Dy x1【分析】首先根据条件 l 经过点 D（1，0），且将OABC 分割成面积相等的两部分，求出 E 点坐标，然后设出函数关系式，再利用待定系数法把 D，E 两点坐标代
17、入函数解析式，可得到答案【解答】解：设 D（1，0），线 l 经过点 D（1，0），且将OABC 分割成面积相等的两部分，ODBE1，顶点 B 的坐标为（6，4）E（5，4）设直线 l 的函数解析式是 ykx+ b，图象过 D（1，0），E（5， 4）， ，解得： ，直线 l 的函数解析式是 yx1故选：D【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是求出 E 点坐标9（3 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，ADBC 于 D 点，且AC5，CD3，AB4 ，则 O 的直径等于（ ）A B3 C5 D7【分析】作直径 AE，连接 BE 构造直角三角形，利用同弧圆周角相等，半圆
18、上的圆周角是直角证明ADCABE，根据相似比可求得 AE 长，即直径【解答】解：作直径 AE，连接 BE，ADBC，ADC 是直角三角形，由勾股定理得 AD 4ACDAEB，（同弧圆周角相等）ABE 90，（半圆上的圆周角是直角）ADCABE，AE：ACAB ：AD，AE 5 ，则直径 AE5 故选：C【点评】主要考查了圆中的有关性质注意：利用直径所对的圆周角是 90 度构造直角三角形是常用的辅助线方法10（3 分）若将二次函数 yx 24x +3 的图象绕着点（ 1，0）旋转 180，得到新的二次函数 yax 2+bx+c（a0），那么 c 的值为（ ）A15 B15 C17 D17【分析】
19、由于图象绕定点旋转 180，得到顶点坐标改变，而抛物线开口方向相反，然后根据顶点式写出解析式【解答】解：抛物线 yx 24x +3（x2） 21 的顶点坐标为（2，1），绕（1，0）旋转 180后的抛物线的顶点坐标为（4，1），所得到的图象的解析式为 y（x+4） 2+1x 28x15c 的值为15故选：A【点评】本题考查了二次函数变换的知识点，应根据开口方向，开口度，对称轴，与 y轴交点 3 方面进行考虑二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分）11（3 分）不等式组 的解集为 x2 【分析】分别求出各不等式的解集，求出其公共解集即可【解答】解：解不等式 ，得 x解不等
20、式 ，得 x2所以原不等式组的解集为 x2，故答案为 x2，【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到12（3 分）一个正多边形的内角和是外角和的 3 倍，则这个正多边形的一个内角的度数是 135 度【分析】先由多边形的内角和和外角和的关系判断出多边形的边数，即可得到结论【解答】解：设多边形的边数为 n因为正多边形内角和为（n2）180，正多边形外角和为 360，根据题意得：（n2）1803603，解得：n8这个正多边形的每个外角 45，则这个正多边形的每个内角是 18045135，故答案为：135【点评】本题考查了正多边
21、形的内角与外角，正多边形的性质；熟练掌握正多边形的性质，求出正多边形的边数是解决问题的关键13（3 分）如图，O 是坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为（3，4），顶点 C在 x 轴的负半轴上，函数 y （x 0）的图象经过菱形 OABC 中心 E 点，则 k 的值为 8 【分析】连接 OB，如图，先利用勾股定理计算出 OA5 ，再利用菱形的性质得到B（8，4），利用 E 点为 OB 的中点得到 E（4，2），然后把 E 点坐标代入 y中可求出 k 的值【解答】解：连接 OB，如图，E 点为菱形的中心，E 点为 OB 的中点，点 A 的坐标为（3，4），OA 5，菱形 OABC 的顶
22、点 C 在 x 轴的负半轴上，B（8，4），E（4，2），把 E（4，2）代入 y 得 k4（2）8故答案为 8【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y （k 为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y ）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk也考查了菱形的性质14（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2 ，点 E 为正方形外一个动点，AED45， P 为 AB 中点，线段 PE 的最大值是 + 【分析】当点 E 在正方形右侧时，连接 AC，BD 交于点 O，连接 PO，EO，根据A，C，E，D 四点共圆，可得 OEOD BD ，再根据 PEOP+OE + ，可
23、得当点 O 在线段 PE 上时， PEOP+ OE + ，则线段 PE 的最大值为 + ；当点 E 在正方形上方时，作斜边为 AD 的等腰直角AOD，则点 E 在以 O 为圆心，OA为半径的圆上，当点 P，点 O，点 E 共线时，PE 的值最大，求得此时 PE 最大值为+ ；比较两个最大值，可得最终结果【解答】解：如图，若点 E 在正方形右侧，连接 AC，BD 交于点 O，连接 PO，EO，AED45，ACD45，A，C，E，D 四点共圆，正方形 ABCD 的边长为 2 ，OEOD BD ，P 为 AB 的中点， O 是 BD 的中点，OP AD ，PEOP +OE + ，当点 O 在线段 P
24、E 上时，PEOP+ OE + ，即线段 PE 的最大值为 + ，如图，点 E 在正方形 ABCD 上方，作斜边为 AD 的等腰直角AOD，AOD90，则点 E 在以 O 为圆心，OA 为半径的圆上，当点 P，点 O，点 E 共线时， PE 的值最大，过点 O 作 ONAB，交 BA 延长线于点 N，AD2 ，AODO，AOD90AO ，OAD45，ONAB ，ADABNAONOA45ANNOPO PE 最大值为 + + ，故答案为： +【点评】本题主要考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理等知识的综合应用；熟练掌握正方形的性质，证明四点共圆是解决问题的关键三、解答题（本大题共 11 小题，
25、满分 78 分）15（5 分）计算：| | （ 3.14） 0+tan60+（ ） 2 +（1） 2019【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式2 1+ +414【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键16（5 分）解分式方程： + 1【分析】两边都乘以（x+3）（x1），化分式方程为整式方程，解之求得 x 的值，再检验即可得出答案【解答】解：去分母得：2x2+x 2+3x（x +3）（x 1），解得：x ，经检验 x 是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验17
26、（5 分）已知如图，ABC 中，ABAC ，用尺规在 BC 边上求作一点 P，使BPABAC（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作出 AB 的垂直平分线，可得 BPAP ，则PBABAP，进而得出BPA BAC【解答】解：如图所示：点 P 即为所求，此时BPA BAC【点评】此题主要考查了相似变换以及复杂作图，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键18（5 分）如图，在ABC 和ADE 中，ABAD， BD ，12求证：BCDE【分析】根据 ASA 证明ADEABC；【解答】证明：12，DAC+12+ DACBACDAE，在ABC 和ADE 中，ADEABC（ASA）BCDE，【点评】本题考查了
27、全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA ”、“AAS ”；全等三角形的对应边相等19（7 分）在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：类别 家庭藏书 m 本 学生人数A 0m25 20B 26m100 aC 101m200 50D m201 66根据以上信息，解答下列问题：（1）该调查的样本容量为 200 ，a 64 ；（2）在扇形统计图中，“A”对应扇形的圆心角为 36 ；（3）若该校有 2000 名学生，请估计全校学生中家庭藏书 200 本以上的人数【分析】（1）根据“C”的人数和在扇
28、形图中所占的百分比，先求出样本容量，再根据“B”的百分比计算出 a 的值；（2）利用圆心角计算公式，即可得到“A”对应的扇形的圆心角；（3）依据家庭藏书 200 本以上的人数所占的比例，即可估计该校家庭藏书 200 本以上的人数【解答】解：（1）因为“C” 有 50 人，占样本的 25%，所以样本5025%200（人）因为“B”占样本的 32%，所以 a20032%64（人）故答案为：200，64；（2）“A”对应的扇形的圆心角 36036，故答案为：36；（3）全校学生中家庭藏书 200 本以上的人数为：2000 660（人）答：全校学生中家庭藏书 200 本以上的人数为 660 人【点评】
29、本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小20（7 分）2018 年 3 月 2 日，500 架无人飞机在西安创业咖啡街区的夜空绽放，西安高新区用“硬科技”打造了最具独特的风景线，2018“西安年，最中国”以一场华丽的视觉盛宴完美收官，当晚，某兴趣爱好者想用手中的无人机测量大雁塔的高度，如图是从大雁塔正南面看到的正视图，兴趣爱好者将无人机上升至离地面 185 米高大雁塔正东面的 F 点，此时，他测得 F 点都塔顶 A 点的俯视角为 30，同时也测得 F 点到塔底 C 点的俯视角为 45，已知
30、塔底边心距 OC23 米，请你帮助该无人机爱好者计算出大雁塔的大体高度（结果精确到 0.1 米）？（ 1.73， 1.41）【分析】作 FDBC，交 BC 的延长线于 D，作 AEDF 于 E，则四边形 AODE 是矩形解直角CDF，得出 CDDF185 米，那么 ODOC+CD208 米，AEOD208 米再解直角AEF，求出 EFAEtan FAE 米，然后根据OADEDF EF 即可求解【解答】解：如图，作 FD BC，交 BC 的延长线于 D，作 AEDF 于 E，则四边形AODE 是矩形由题意，可知FAE30，FCD45，DF 185 米在直角CDF 中，D90 ，FCD45，CDD
31、F185 米，ODOC+CD208 米，AEOD208 米在直角AEF 中，AEF 90，FAE 30，EFAEtanFAE208 （米），DEDF EF185 185119.9565.1（米），OADE 65.1 米故大雁塔的大体高度是 65.1 米【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形21（7 分）为了贯彻落实“精准扶贫”精神，某单位决定运送一批物资到某贫困村，货车自早上 8 时出发，行驶一段路程后发现未带货物清单，便立即以 50km/h 的速度回返，与此同时单位派车去送清单，途中相遇拿到清单后，货车又立即掉头并开到目的地，整个过程中
32、，货车距离出发地的路程 s（km）与行驶时间 t（h）的函数图象如图所示（1）两地相距 172 千米，当货车司机拿到清单时，距出发地 40 千米（2）试求出途中 BC 段的函数表达式，并计算出中午 12 点时，货车离贫困村还有多少千米？【分析】（1）依据函数图象中 y 的最大值可得到两地的距离，用 80 减去从 2 小时到2.8 小时的路程即可；（2）先求得 BC 段的速度，然后计算出距离贫困村的距离即可【解答】解：（1）当 t5 时， y172km ，所以两地相距 172km8050（2.82）804040km，所以货车司机拿到清单时，距出发地 40 千米故答案为：172；40（2）设直线
33、BC 的解析式为 ykx+ b，B（2.8，40），C（5，172 ）， ，解得 ，直线 BC 的解析式为 y60x128（17240）（52.8）60 千米/小时60160，所以中午 12 点时，货车离贫困村还有 60 千米【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，读懂函数图象是解题的关键22（7 分）在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和小刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只能选两人打第一场（1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中小刚的概率；（2）如果确定小亮做裁判，用“手心”“手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场，游戏规则是：三人同时伸“
34、手心、手背”的中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率【分析】（1）由小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求出恰好选中小刚的概率即可；（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：（1）确定小亮同学打第一场，再从小莹、小芳和小刚中随机选取一人打第一场，恰好选中小刚同学的概率为 ；（2）画树状图如下：所有等可能的情况有 8 种，其中小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且与小刚不同的结果有 2
35、 个，则小莹和小芳打第一场的概率为 【点评】此题考查了概率公式、列表法与树状图法求概率的知识注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件23（8 分）如图，AB 是 O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上， CD 与O 相切于点D，CEAD，交 AD 的延长线于点 E（1）求证：BDCA；（2）若 CE4，DE2，求 AD 的长【分析】（1）连接 OD，由 CD 是O 切线，得到ODC90，根据 AB 为O 的直径，得到ADB90，等量代换得到BDCADO，根据等腰三角形的性质得到ADO A，即可得到结论；（2）根
36、据垂直的定义得到EADB90，根据平行线的性质得到DCEBDC，根据相似三角形的性质得到 ，解方程即可得到结论【解答】（1）证明：连接 OD，CD 是O 切线，ODC90，即ODB +BDC90，AB 为O 的直径，ADB90，即ODB +ADO90，BDCADO，OAOD ，ADO A，BDCA；（2）CEAE，EADB 90，DBEC，DCEBDC，BDCA，ADCE，EE ，AECCED， ，EC 2DEAE ，162（2+AD），AD6【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键24（10 分）在同一直角坐标系中，抛物线 C1：y
37、ax 22x3 与抛物线C2：y x2+mx+n 关于 y 轴对称，C 2 与 x 轴交于 A、B 两点，其中点 A 在点 B 的左侧（1）求抛物线 C1，C 2 的函数表达式；（2）求 A、B 两点的坐标；（3）在抛物线 C1 上是否存在一点 P，在抛物线 C2 上是否存在一点 Q，使得以 AB 为边，且以 A、B 、P、 Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 P、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由对称可求得 a、n 的值，则可求得两函数的对称轴，可求得 m 的值，则可求得两抛物线的函数表达式；（2）由 C2 的函数表达式可求得 A、B 的坐标；（3）由题意可知
38、 AB 只能为平行四边形的边，利用平行四边形的性质，可设出 P 点坐标，表示出 Q 点坐标，代入 C2 的函数表达式可求得 P、Q 的坐标【解答】解：（1）C 1、C 2 关于 y 轴对称，C 1 与 C2 的交点一定在 y 轴上，且 C1 与 C2 的形状、大小均相同，a1，n3，C 1 的对称轴为 x1，C 2 的对称轴为 x1，m2，C 1 的函数表示式为 yx 22x3，C 2 的函数表达式为 yx 2+2x3；（2）在 C2 的函数表达式为 yx 2+2x3 中，令 y0 可得 x2+2x30，解得 x3或 x1，A（3，0），B（1，0）；（3）存在AB 只能为平行四边形的一边，P
39、QAB 且 PQAB，由（2）可知 AB1（3）4，PQ4，设 P（t，t 22t3），则 Q（t +4，t 22t3）或（t 4，t 22t3），当 Q（t+4，t 22t3）时，则 t22t3（t +4） 2+2（t+4）3，解得 t2，t 22t34+435，P（2，5），Q（2，5）；当 Q（t4， t22t3）时，则 t22t 3（t4） 2+2（t4）3，解得 t2，t 22t34433，P（2，3），Q（2， 3），综上可知存在满足条件的点 P、Q ，其坐标为 P（2，5），Q （2，5）或 P（2，3），Q（2，3）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、
40、函数图象与坐标轴的交点、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中由对称性质求得 a、n 的值是解题的关键，在（2）中注意函数图象与坐标轴的交点的求法即可，在（3）中确定出 PQ 的长度，设 P 点坐标表示出 Q 点的坐标是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中25（12 分）问题探究：（1）如图 ，已知等边 ABC，边长为 4，则ABC 的外接圆的半径长为 （2）如图 ，在矩形 ABCD 中，AB4，对角线 BD 与边 BC 的夹角为 30，点 E 在为边 BC 上且 BE BC，点 P 是对角线 BD 上的一个动点，连接 PE，PC，求PEC周长的最小值问题解决：
41、（3）为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演其中一个镭射灯距城墙 30 米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为 60，如图，若将两根光线（AB，AC）和光线与城墙的两交点的连接的线段（BC ）看作一个三角形，记为ABC，那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值，若没有，说明理由【分析】（1）作ABC 外接圆，作直径 AD，连接 BD，根据等边三角形性质求出C60，根据圆周角定理求出 DC60，解直角三角形求出 AD 即可（2）PEC 周长的最小实质是 PE+PC，转化为将军饮马模型求出 P 点，然后利用勾股定理即可求出 EC 即可解答，（3）先由定角定高可知 BC 的最小值为
42、三角形是等腰三角形 ABAC 时，BC 最小，而求 AB+AC，可以先将 A 点沿 BC 方向平移 BC，构造平行四边形将 AB 转化为长，则AB+AC 最小转化为 AC+CD 最小，作 A 点对称点 A，连接 AD ，与 BC 交点与 C 重合，此时 BC、AB+AC 同时取最小值，即可知三角形周长有没有最小值【解答】解：（1）如图，作三角形外接圆O ，作直径 AD，连接 BD，等边ABC 内接于O，AD 为直径，C60D，ABD90，sinD ，AD 4 0 的半径是 故答案为： ；（2）如图 2，作点 E 关于 BD 的对称点 E，连接 EC 交 BD 于 P，连接 PE，此时PEC 周
43、长周长最小连接 BE，过 E作 EHBC，DBC30，ABCD4，BC4 ，又BE BCBE点 E是关于 BD 的对称点 EEBH60，BE BE ，BH ，EH ，HC ，EC PEC 周长PC+PE+ECPE + EC（3）如图 3，BAC60，AH 30 米，当 ABAC 时，边 BC 取最小值，此时 BCAC20 ，作ABCD，作 A 点关于直线 BC 的对称点 A，连接 AD，AB+ACCD+AC，当 A，C，D 在一条直线上时，AB+AC 最小，此时，ABC 应为等边三角形，AB+AC 40AB+AC 和 BC 的最小值能够同时取到，故ABC 的周长最小值为 60 【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质、轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键
