1、2019-2020学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（）A1B2C3D02（5分）若向量，则（）ABC3D3（5分）命题“存在x0R，使得lnx0”的否定是（）A对任意的xR，lnx成立B对任意的xR，lnx成立C存在x0R，使得lnx0成立D不存在x0R，使得lnx0成立4（5分）对于实数a，b，则“ab0”是“1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（5分）
2、已知双曲线C：1 （a0，b0）的一条渐近线方程为yx，且与椭圆+1有公共焦点，则C的方程为（）A1B1C1D16（5分）给出如下四个命题：若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；命题“若a1，则函数f（x）ax2+2x1只有一个零点”的逆命题为真命题；若p是q的必要条件，则p是q的充分条件；在ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件其中正确的命题的个数是（）A1B2C3D47（5分）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P是MN的中点，设，用，表示，则（）A+B+C+D+8（5分）若抛物线y22px（p0）的焦点是椭圆+1的一个焦点，则p（）A4B8C10D129
3、（5分）已知方程+1的曲线为C，下面四个命题中正确的个数是（）当1t4时，曲线C一定是椭圆；当t4或t1时，曲线C一定是双曲线；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1t；若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则t4A1B2C3D410（5分）命题为“x1，2，2x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Aa1Ba2Ca3Da411（5分）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的棱长均为2，则异面直线A1B与B1C角的余弦值是（）ABCD012（5分）已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若ABF90，则椭圆C的离心率为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）
4、抛物线的准线方程为 14（5分）若（2，3，m），（2n，6，8）且，为共线向量，则m+n 15（5分）已知p：（x+2）（x3）0，q：|x+1|2，命题“pq”为真，则实数x的取值范围是 16（5分）已知两定点A（2，0）、B（2，0），点P在椭圆上，且满足|PA|PB|2，则 三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（17分）写出命题“若x23x+20，则x1且x2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假18（17分）设椭圆C：1（ab0）的焦点为F1（，0），F2（，0），且该椭圆过点（，）（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上的
5、点M（x0，y0） 满足MF1MF2，求y0 的值19（18分）已知圆C：（x1）2+y2，一动圆P与直线x相切且与圆C外切（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；（2）过F（1，0）作直线l，交（1）中轨迹E于A，B两点，若AB中点的纵坐标为1，求直线l的方程20（18分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5（1）求证：AA1平面ABC；（2）求二面角A1BC1B1的余弦值；（3）求点C到平面A1BC1的距离2019-2020学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，
6、每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（）A1B2C3D0【分析】根据四种命题的关系写出答案即可【解答】解：在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题，同真同假，否命题和逆命题互为逆否命题同真同假命题“若a3，则a6”为假命题；逆命题是真命题，命题的否命题为真命题，故选：B【点评】此题考查了四种命题的关系，熟练掌握它们之间的关系是解本题的关键2（5分）若向量，则（）ABC3D【分析】利用向量坐标运算法则求解（3，0，1），由此能求出的值【解答】解：向量，（3，0，1），故选：D【点评
7、】本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题3（5分）命题“存在x0R，使得lnx0”的否定是（）A对任意的xR，lnx成立B对任意的xR，lnx成立C存在x0R，使得lnx0成立D不存在x0R，使得lnx0成立【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果判断即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x0R，使得lnx0”的否定是对任意的xR，lnx成立故选：A【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查4（5分）对于实数a，b，则“ab0”是“1”的（）A充分不必要条件B必要
8、不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用不等式的基本性质，结合字母的特殊值排除错误选项，确定正确选项即可【解答】解：若ab0，可得，即1，故“ab0”是“1”的充分条件，由1，不能得到ab0，如a1，b3，满足1，但a0b，故“ab0”是“1”的不必要条件对于实数a，b，“ab0”是“1”的充分不必要条件故选：A【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，利用特殊值代入法，是此类问题常用的思维方法，是基础题5（5分）已知双曲线C：1 （a0，b0）的一条渐近线方程为yx，且与椭圆+1有公共焦点，则C的方程为（）A1B1C1D1【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线
9、的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程【解答】解：椭圆+1的焦点坐标（3，0），则双曲线的焦点坐标为（3，0），可得c3，双曲线C：1 （a0，b0）的一条渐近线方程为yx，可得，即，可得，解得a2，b，所求的双曲线方程为：1故选：B【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力6（5分）给出如下四个命题：若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；命题“若a1，则函数f（x）ax2+2x1只有一个零点”的逆命题为真命题；若p是q的必要条件，则p是q的充分条件；在ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件其中正确
10、的命题的个数是（）A1B2C3D4【分析】利用复合命题的真假判断的正误；四种命题的逆否关系判断的正误；充要条件判断的正误；充要条件判断的正误；【解答】解：若“p且q”为假命题，说明p、q至少一个是假命题；所以不正确；命题“若a1，则函数f（x）ax2+2x1只有一个零点”的逆命题为函数f（x）ax2+2x1只有一个零点，则a1，或a0，所以不是真命题；若p是q的必要条件，可得qp，则pq，所以p是q的充分条件；所以正确；对于，在ABC中，若AB，由于A+B，必有BA，若A，B都是锐角，有sinAsinB成立若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有A不是钝角，由于A+B，必有BA，此时有sin（
11、A）sinAsinB若sinAsinB，当A不是锐角时，有AB当A为锐角时，仍可得到ABAB是sinAsinB的充要条件，故命题正确故选：B【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，复合命题等知识，难度不大，属于基础题7（5分）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P是MN的中点，设，用，表示，则（）A+B+C+D+【分析】如图所示，连接ON由M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P是MN的中点，利用三角形法则、平行四边形法则即可得出【解答】解：如图所示，连接ONM，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P是MN的中点，（+），（+）（+），+故选：D
12、【点评】本题考查了三角形法则、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8（5分）若抛物线y22px（p0）的焦点是椭圆+1的一个焦点，则p（）A4B8C10D12【分析】求出抛物线y22px（p0）的焦点，椭圆的焦点，利用相等求出p【解答】解：抛物线y22px（p0）的焦点是（，0），+1的一个焦点是（，0），由，得p12故选：D【点评】求出焦点坐标，利用相等关系得到结论，基础题9（5分）已知方程+1的曲线为C，下面四个命题中正确的个数是（）当1t4时，曲线C一定是椭圆；当t4或t1时，曲线C一定是双曲线；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1t；若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则t4
13、A1B2C3D4【分析】利用二元二次方程，通过t的范围，判断圆锥曲线的真假即可【解答】解：当1t4时，曲线C，+1，当t2.5，表示圆，所以不正确；当t4或t1时，曲线C一定是双曲线，所以正确；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1t；所以正确；若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则t4，所以正确，故选：C【点评】本题考查圆锥曲线的性质，考查转化思想以及计算能力，是基础题10（5分）命题为“x1，2，2x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Aa1Ba2Ca3Da4【分析】求出对x1，2，2x2a0恒成立的a的取值范围，然后结合充分必要条件的判定逐一分析四个选项得答案【解答】解：由2x2a0，得a
14、2x2，函数y2x2在1，2上的最小值为2若对x1，2，2x2a0成立，则a2由a1，得a2成立，反之不成立，则a1是“x1，2，2x2a0”为真命题的一个充分不必要条件；a2是“x1，2，2x2a0”为真命题的一个充分必要条件；a3与a4是“x1，2，2x2a0”为真命题的不充分条件故选：A【点评】本题考查充分必要条件的判定方法，考查恒成立问题的求解方法，是基础题11（5分）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的棱长均为2，则异面直线A1B与B1C角的余弦值是（）ABCD0【分析】连接AB1，交A1B于点O，取AC中点为E，连接OE，BE，则BOE是异面直线A1B与B1C所成角或补角，由此能
15、求出异面直线A1B与B1C角的余弦值【解答】解：连接AB1，交A1B于点O，取AC中点为E，连接OE，BE，则BOE是异面直线A1B与B1C所成角或补角，由三角形中位线性质可知OEB1C，OEB1C，又OB，BE，在三角形BOE中，由余弦定理可得：cosBOE，所以异面直线A1B与B1C角的余弦值是故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题12（5分）已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若ABF90，则椭圆C的离心率为（）ABCD【分析】利用椭圆方程为标准方程，根据ABF9
16、0可知AF2AB2+BF2，再根据a，b和c的关系求解椭圆的离心率【解答】解：由b2x2+a2y21（ab0），椭圆C：，作出椭圆图象如图：则AFa+c，AB，BFa由题意可得：AF2AB2+BF2，（a+c）2a2+b2+b2+c2，a2c2ac，e2+e10e（负值舍去）故选：A【点评】本题考查了椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形的判定等知识，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）抛物线的准线方程为y1【分析】化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求【解答】解：由，得x24y，2p4，即p2，则抛物线的准线方程为y1故答案为：y1【点评】本题考查抛物线
17、的简单性质，是基础题14（5分）若（2，3，m），（2n，6，8）且，为共线向量，则m+n6【分析】，为共线向量，即可求出m、n【解答】解：（2，3，m），（2n，6，8）且，为共线向量，m+n6故答案为：6【点评】本题考查了空间向量共线的判定，属于基础题15（5分）已知p：（x+2）（x3）0，q：|x+1|2，命题“pq”为真，则实数x的取值范围是1，3【分析】分别解出p，q的x的范围，再利用命题“pq”为真即可得出【解答】解：p：（x+2）（x3）0，解得2x3q：|x+1|2，解得x1或x3命题“pq”为真，解得1x3则实数x的取值范围是1，3故答案为：1，3【点评】本题考查了不等式的
18、解法、复合命题真假的判定及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）已知两定点A（2，0）、B（2，0），点P在椭圆上，且满足|PA|PB|2，则9【分析】判断A、B是椭圆的焦点坐标，利用椭圆的性质求出|PA|，|PB|，然后利用向量的数量积求解即可【解答】解：由题意两定点A（2，0）、B（2，0），点P在椭圆上，可知AB是椭圆的焦点坐标，所以|PA|+|PB|8，|PA|PB|2，解得|PA|5，|PB|3，AB4所以ABP是直角三角形，可得：9故答案为：9【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，向量的数量积的求法，考查分析问题解决问题的能力三、解答题：本大题共4小题，共70分.
19、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（17分）写出命题“若x23x+20，则x1且x2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【分析】根据原命题“若p，则q”，写出它的逆命题若q，则p，否命题若p，则q与逆否命题若q，则p，并判断真假性【解答】解：原命题是“若x23x+20，则x1且x2”，它的逆命题是：若x1且x2，则x23x+20，是真命题；（3分）否命题是：若x23x+20，则x1或x2，是真命题；（3分）逆否命题是：若x1或x2，则x23x+20，是真命题（4分）【点评】本题考查了四种命题之间的关系与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题18（17分）设椭圆C：1
20、（ab0）的焦点为F1（，0），F2（，0），且该椭圆过点（，）（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上的点M（x0，y0） 满足MF1MF2，求y0 的值【分析】（1）利用点在椭圆上，结合a2b23，求解a，b，得到椭圆方程（2）点M（x0，y0）通过MF1MF2，则有，化简表达式，点M（x0，y0）在椭圆C上，转化求解即可【解答】解：（1）由题意得，且a2b23，解得a24，b21，所以椭圆C的标准方程为（6分）（若用定义先解出2a也可，或用通径长解出基本量也可）（2）点M（x0，y0）满足MF1MF2，则有且y00，则（10分）而点M（x0，y0）在椭圆C上，则联立消去，得，所以（
21、14分）（不考虑y00，或者用斜率转化垂直关系时不考虑分母不为0扣1分）【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，仔细与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力19（18分）已知圆C：（x1）2+y2，一动圆P与直线x相切且与圆C外切（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；（2）过F（1，0）作直线l，交（1）中轨迹E于A，B两点，若AB中点的纵坐标为1，求直线l的方程【分析】（1）根据条件可知，整理即可；（2）联立A、B两点满足的方程并相减，即可表示出直线l的斜率，进而可得方程【解答】解：（1）设P（x，y），则由题意，|PC|（x），即，化简可得动圆圆心P的轨迹E的方程为y24x；（2）由（1）得抛物线E
22、的方程为y24x，焦点C（1，0）设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减整理得线段AB中点的纵坐标为1，直线l的斜率kAB2，直线l的方程为y02（x1）即2x+y20【点评】本题考查点的轨迹方程，考查直线与抛物线的综合，属于中档题20（18分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5（1）求证：AA1平面ABC；（2）求二面角A1BC1B1的余弦值；（3）求点C到平面A1BC1的距离【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明AA1平面ABC；（2）建立坐标系求出平面的法向量即可求二面角A1
23、BC1B1的余弦值；（3）利用向量法即可求点C到平面A1BC1的距离【解答】证明：（1）因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC因为平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1CAC，所以AA1平面ABC（3分）解：（2）由（1）知，AA1AC，AA1AB由题意知AB3，BC5，AC4，所以ABAC如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B（0，3，0），A1（0，0，4），B1（0，3，4），C1（4，0，4）设平面A1BC1的法向量为（x，y，z），则，即令z3，则x0，y4，所以同理可得，平面BC1B1的法向量为所以cos由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为（3）由（2）知平面A1BC1的法向量为以，所以点C到平面A1BC1距离【点评】本题考查了平面与平面垂直的性质定理，直线和平面垂直的判定定理，考查了法向量、空间向量在立体几何中的应用和二面角的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力
