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2019-2020学年陕西省宝鸡市金台区高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、2019-2020学年陕西省宝鸡市金台区高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)命题“若a3,则a6”以及它的逆命题、否命题中,真命题的个数为()A1B2C3D02(5分)若向量,则()ABC3D3(5分)命题“存在x0R,使得lnx0”的否定是()A对任意的xR,lnx成立B对任意的xR,lnx成立C存在x0R,使得lnx0成立D不存在x0R,使得lnx0成立4(5分)对于实数a,b,则“ab0”是“1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5(5分)

2、已知双曲线C:1 (a0,b0)的一条渐近线方程为yx,且与椭圆+1有公共焦点,则C的方程为()A1B1C1D16(5分)给出如下四个命题:若“p且q”为假命题,则p、q均为假命题;命题“若a1,则函数f(x)ax2+2x1只有一个零点”的逆命题为真命题;若p是q的必要条件,则p是q的充分条件;在ABC中,“AB”是“sinAsinB”的充要条件其中正确的命题的个数是()A1B2C3D47(5分)如图,M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点,P是MN的中点,设,用,表示,则()A+B+C+D+8(5分)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆+1的一个焦点,则p()A4B8C10D129

3、(5分)已知方程+1的曲线为C,下面四个命题中正确的个数是()当1t4时,曲线C一定是椭圆;当t4或t1时,曲线C一定是双曲线;若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则1t;若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则t4A1B2C3D410(5分)命题为“x1,2,2x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是()Aa1Ba2Ca3Da411(5分)如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的棱长均为2,则异面直线A1B与B1C角的余弦值是()ABCD012(5分)已知椭圆C:的左顶点为A,上顶点为B,右焦点为F,若ABF90,则椭圆C的离心率为()ABCD二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13(5分)

4、抛物线的准线方程为 14(5分)若(2,3,m),(2n,6,8)且,为共线向量,则m+n 15(5分)已知p:(x+2)(x3)0,q:|x+1|2,命题“pq”为真,则实数x的取值范围是 16(5分)已知两定点A(2,0)、B(2,0),点P在椭圆上,且满足|PA|PB|2,则 三、解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(17分)写出命题“若x23x+20,则x1且x2”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假18(17分)设椭圆C:1(ab0)的焦点为F1(,0),F2(,0),且该椭圆过点(,)(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若椭圆C 上的

5、点M(x0,y0) 满足MF1MF2,求y0 的值19(18分)已知圆C:(x1)2+y2,一动圆P与直线x相切且与圆C外切(1)求动圆圆心P的轨迹E的方程;(2)过F(1,0)作直线l,交(1)中轨迹E于A,B两点,若AB中点的纵坐标为1,求直线l的方程20(18分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C,AB3,BC5(1)求证:AA1平面ABC;(2)求二面角A1BC1B1的余弦值;(3)求点C到平面A1BC1的距离2019-2020学年陕西省宝鸡市金台区高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,

6、每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)命题“若a3,则a6”以及它的逆命题、否命题中,真命题的个数为()A1B2C3D0【分析】根据四种命题的关系写出答案即可【解答】解:在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题,同真同假,否命题和逆命题互为逆否命题同真同假命题“若a3,则a6”为假命题;逆命题是真命题,命题的否命题为真命题,故选:B【点评】此题考查了四种命题的关系,熟练掌握它们之间的关系是解本题的关键2(5分)若向量,则()ABC3D【分析】利用向量坐标运算法则求解(3,0,1),由此能求出的值【解答】解:向量,(3,0,1),故选:D【点评

7、】本题考查向量的模的求法,考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识,考查函数与方程思想,考查运算求解能力,是基础题3(5分)命题“存在x0R,使得lnx0”的否定是()A对任意的xR,lnx成立B对任意的xR,lnx成立C存在x0R,使得lnx0成立D不存在x0R,使得lnx0成立【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果判断即可【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题“存在x0R,使得lnx0”的否定是对任意的xR,lnx成立故选:A【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基本知识的考查4(5分)对于实数a,b,则“ab0”是“1”的()A充分不必要条件B必要

8、不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用不等式的基本性质,结合字母的特殊值排除错误选项,确定正确选项即可【解答】解:若ab0,可得,即1,故“ab0”是“1”的充分条件,由1,不能得到ab0,如a1,b3,满足1,但a0b,故“ab0”是“1”的不必要条件对于实数a,b,“ab0”是“1”的充分不必要条件故选:A【点评】本题主要考查不等式与不等关系,不等式性质的应用,利用特殊值代入法,是此类问题常用的思维方法,是基础题5(5分)已知双曲线C:1 (a0,b0)的一条渐近线方程为yx,且与椭圆+1有公共焦点,则C的方程为()A1B1C1D1【分析】求出椭圆的焦点坐标,得到双曲线

9、的焦点坐标,利用双曲线的渐近线方程,求出双曲线实半轴与虚半轴的长,即可得到双曲线方程【解答】解:椭圆+1的焦点坐标(3,0),则双曲线的焦点坐标为(3,0),可得c3,双曲线C:1 (a0,b0)的一条渐近线方程为yx,可得,即,可得,解得a2,b,所求的双曲线方程为:1故选:B【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用,双曲线方程的求法,考查计算能力6(5分)给出如下四个命题:若“p且q”为假命题,则p、q均为假命题;命题“若a1,则函数f(x)ax2+2x1只有一个零点”的逆命题为真命题;若p是q的必要条件,则p是q的充分条件;在ABC中,“AB”是“sinAsinB”的充要条件其中正确

10、的命题的个数是()A1B2C3D4【分析】利用复合命题的真假判断的正误;四种命题的逆否关系判断的正误;充要条件判断的正误;充要条件判断的正误;【解答】解:若“p且q”为假命题,说明p、q至少一个是假命题;所以不正确;命题“若a1,则函数f(x)ax2+2x1只有一个零点”的逆命题为函数f(x)ax2+2x1只有一个零点,则a1,或a0,所以不是真命题;若p是q的必要条件,可得qp,则pq,所以p是q的充分条件;所以正确;对于,在ABC中,若AB,由于A+B,必有BA,若A,B都是锐角,有sinAsinB成立若A,B之一为锐角,必是B为锐角,此时有A不是钝角,由于A+B,必有BA,此时有sin(

11、A)sinAsinB若sinAsinB,当A不是锐角时,有AB当A为锐角时,仍可得到ABAB是sinAsinB的充要条件,故命题正确故选:B【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了充要条件,复合命题等知识,难度不大,属于基础题7(5分)如图,M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点,P是MN的中点,设,用,表示,则()A+B+C+D+【分析】如图所示,连接ON由M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点,P是MN的中点,利用三角形法则、平行四边形法则即可得出【解答】解:如图所示,连接ONM,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点,P是MN的中点,(+),(+)(+),+故选:D

12、【点评】本题考查了三角形法则、平行四边形法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题8(5分)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆+1的一个焦点,则p()A4B8C10D12【分析】求出抛物线y22px(p0)的焦点,椭圆的焦点,利用相等求出p【解答】解:抛物线y22px(p0)的焦点是(,0),+1的一个焦点是(,0),由,得p12故选:D【点评】求出焦点坐标,利用相等关系得到结论,基础题9(5分)已知方程+1的曲线为C,下面四个命题中正确的个数是()当1t4时,曲线C一定是椭圆;当t4或t1时,曲线C一定是双曲线;若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则1t;若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则t4

13、A1B2C3D4【分析】利用二元二次方程,通过t的范围,判断圆锥曲线的真假即可【解答】解:当1t4时,曲线C,+1,当t2.5,表示圆,所以不正确;当t4或t1时,曲线C一定是双曲线,所以正确;若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则1t;所以正确;若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则t4,所以正确,故选:C【点评】本题考查圆锥曲线的性质,考查转化思想以及计算能力,是基础题10(5分)命题为“x1,2,2x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是()Aa1Ba2Ca3Da4【分析】求出对x1,2,2x2a0恒成立的a的取值范围,然后结合充分必要条件的判定逐一分析四个选项得答案【解答】解:由2x2a0,得a

14、2x2,函数y2x2在1,2上的最小值为2若对x1,2,2x2a0成立,则a2由a1,得a2成立,反之不成立,则a1是“x1,2,2x2a0”为真命题的一个充分不必要条件;a2是“x1,2,2x2a0”为真命题的一个充分必要条件;a3与a4是“x1,2,2x2a0”为真命题的不充分条件故选:A【点评】本题考查充分必要条件的判定方法,考查恒成立问题的求解方法,是基础题11(5分)如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的棱长均为2,则异面直线A1B与B1C角的余弦值是()ABCD0【分析】连接AB1,交A1B于点O,取AC中点为E,连接OE,BE,则BOE是异面直线A1B与B1C所成角或补角,由此能

15、求出异面直线A1B与B1C角的余弦值【解答】解:连接AB1,交A1B于点O,取AC中点为E,连接OE,BE,则BOE是异面直线A1B与B1C所成角或补角,由三角形中位线性质可知OEB1C,OEB1C,又OB,BE,在三角形BOE中,由余弦定理可得:cosBOE,所以异面直线A1B与B1C角的余弦值是故选:C【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题12(5分)已知椭圆C:的左顶点为A,上顶点为B,右焦点为F,若ABF90,则椭圆C的离心率为()ABCD【分析】利用椭圆方程为标准方程,根据ABF9

16、0可知AF2AB2+BF2,再根据a,b和c的关系求解椭圆的离心率【解答】解:由b2x2+a2y21(ab0),椭圆C:,作出椭圆图象如图:则AFa+c,AB,BFa由题意可得:AF2AB2+BF2,(a+c)2a2+b2+b2+c2,a2c2ac,e2+e10e(负值舍去)故选:A【点评】本题考查了椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形的判定等知识,是中档题二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13(5分)抛物线的准线方程为y1【分析】化抛物线方程为标准式,求得p,则直线方程可求【解答】解:由,得x24y,2p4,即p2,则抛物线的准线方程为y1故答案为:y1【点评】本题考查抛物线

17、的简单性质,是基础题14(5分)若(2,3,m),(2n,6,8)且,为共线向量,则m+n6【分析】,为共线向量,即可求出m、n【解答】解:(2,3,m),(2n,6,8)且,为共线向量,m+n6故答案为:6【点评】本题考查了空间向量共线的判定,属于基础题15(5分)已知p:(x+2)(x3)0,q:|x+1|2,命题“pq”为真,则实数x的取值范围是1,3【分析】分别解出p,q的x的范围,再利用命题“pq”为真即可得出【解答】解:p:(x+2)(x3)0,解得2x3q:|x+1|2,解得x1或x3命题“pq”为真,解得1x3则实数x的取值范围是1,3故答案为:1,3【点评】本题考查了不等式的

18、解法、复合命题真假的判定及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题16(5分)已知两定点A(2,0)、B(2,0),点P在椭圆上,且满足|PA|PB|2,则9【分析】判断A、B是椭圆的焦点坐标,利用椭圆的性质求出|PA|,|PB|,然后利用向量的数量积求解即可【解答】解:由题意两定点A(2,0)、B(2,0),点P在椭圆上,可知AB是椭圆的焦点坐标,所以|PA|+|PB|8,|PA|PB|2,解得|PA|5,|PB|3,AB4所以ABP是直角三角形,可得:9故答案为:9【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,向量的数量积的求法,考查分析问题解决问题的能力三、解答题:本大题共4小题,共70分.

19、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(17分)写出命题“若x23x+20,则x1且x2”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假【分析】根据原命题“若p,则q”,写出它的逆命题若q,则p,否命题若p,则q与逆否命题若q,则p,并判断真假性【解答】解:原命题是“若x23x+20,则x1且x2”,它的逆命题是:若x1且x2,则x23x+20,是真命题;(3分)否命题是:若x23x+20,则x1或x2,是真命题;(3分)逆否命题是:若x1或x2,则x23x+20,是真命题(4分)【点评】本题考查了四种命题之间的关系与应用问题,也考查了命题真假的判断问题,是基础题18(17分)设椭圆C:1

20、(ab0)的焦点为F1(,0),F2(,0),且该椭圆过点(,)(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若椭圆C 上的点M(x0,y0) 满足MF1MF2,求y0 的值【分析】(1)利用点在椭圆上,结合a2b23,求解a,b,得到椭圆方程(2)点M(x0,y0)通过MF1MF2,则有,化简表达式,点M(x0,y0)在椭圆C上,转化求解即可【解答】解:(1)由题意得,且a2b23,解得a24,b21,所以椭圆C的标准方程为(6分)(若用定义先解出2a也可,或用通径长解出基本量也可)(2)点M(x0,y0)满足MF1MF2,则有且y00,则(10分)而点M(x0,y0)在椭圆C上,则联立消去,得,所以(

21、14分)(不考虑y00,或者用斜率转化垂直关系时不考虑分母不为0扣1分)【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,仔细与椭圆的位置关系的应用,考查计算能力19(18分)已知圆C:(x1)2+y2,一动圆P与直线x相切且与圆C外切(1)求动圆圆心P的轨迹E的方程;(2)过F(1,0)作直线l,交(1)中轨迹E于A,B两点,若AB中点的纵坐标为1,求直线l的方程【分析】(1)根据条件可知,整理即可;(2)联立A、B两点满足的方程并相减,即可表示出直线l的斜率,进而可得方程【解答】解:(1)设P(x,y),则由题意,|PC|(x),即,化简可得动圆圆心P的轨迹E的方程为y24x;(2)由(1)得抛物线E

22、的方程为y24x,焦点C(1,0)设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则,两式相减整理得线段AB中点的纵坐标为1,直线l的斜率kAB2,直线l的方程为y02(x1)即2x+y20【点评】本题考查点的轨迹方程,考查直线与抛物线的综合,属于中档题20(18分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C,AB3,BC5(1)求证:AA1平面ABC;(2)求二面角A1BC1B1的余弦值;(3)求点C到平面A1BC1的距离【分析】(1)根据线面垂直的判定定理即可证明AA1平面ABC;(2)建立坐标系求出平面的法向量即可求二面角A1

23、BC1B1的余弦值;(3)利用向量法即可求点C到平面A1BC1的距离【解答】证明:(1)因为AA1C1C为正方形,所以AA1AC因为平面ABC平面AA1C1C,且平面ABC平面AA1C1CAC,所以AA1平面ABC(3分)解:(2)由(1)知,AA1AC,AA1AB由题意知AB3,BC5,AC4,所以ABAC如图,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4)设平面A1BC1的法向量为(x,y,z),则,即令z3,则x0,y4,所以同理可得,平面BC1B1的法向量为所以cos由题知二面角A1BC1B1为锐角,所以二面角A1BC1B1的余弦值为(3)由(2)知平面A1BC1的法向量为以,所以点C到平面A1BC1距离【点评】本题考查了平面与平面垂直的性质定理,直线和平面垂直的判定定理,考查了法向量、空间向量在立体几何中的应用和二面角的求法,考查了空间想象能力和推理论证能力