1、2019 年湖北省武汉市南湖中学中考数学模拟试卷（3 月份）一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）116 的算术平方根是（ ）A4 B4 C4 D22使分式 有意义的 x 的取值范围为（ ）A x2 B x2 C x0 D x23下列运算正确的是（ ）A x2+x3 x5 B（ x2） 3 x5 C2 x2x32 x5 D（2 x2） 32 x64一组数据：2，1，0，3，3，2则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A0，2 B1.5，2 C1，2 D1，35下列是平方差公式应用的是（ ）A（ x+y）（ x y） B（2 a b）（2 a+b）C（ m+2n）（ m2 n）
2、 D（4 x+3y）（4 y3 x）6点 M（1，2）关于 y 轴对称点的坐标为（ ）A（1，2） B（1，2） C（1，2） D（2，1）7在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为（ ）A B C D8西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱 AC 高为 a已知，冬至时北京的正午日光入射角 ABC 约为 26.5，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即 BC 的长）约为（ ）A asin26.5 B C acos26.5 D9如图，在平面直角坐标系中，点 P（1，4）、 Q（ m， n
3、）在函数 y （ k0）的图象上，当m1 时，过点 P 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为点 A.B；过点 Q 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为点 C.D， QD 交 PA 于点 E，随着 m 的增大，四边形 ACQE 的面积（ ）A增大 B减小C先减小后增大 D先增大后减小10如图，在 Rt ABC 中， A90， AB6， AC8，点 D 为边 BC 的中点，点 M 为边 AB 上的一动点，点 N 为边 AC 上的一动点，且 MDN90，则 sin DMN 为（ ）A B C D二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）11计算：cos 245+sin230 12已
4、知 ，则实数 A B 13将对边平行的纸带折叠成如图所示，已知152，则 14如图， ABC 中， D.E 分别为 AB.AC 的中点，则 ADE 与 ABC 的面积比为 15如图，在平面直角坐标系中，函数 （ k0）的图象经过点 A（1，2）、 B 两点，过点 A 作x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AB.BC若三角形 ABC 的面积为 3，则点 B 的坐标为 16如图，等边三角形 ABC 中， AB3，点 D 在直线 BC 上，点 E 在直线 AC 上，且 BAD CBE，当 BD1 时，则 AE 的长为 三解答题（共 8 小题，满分 72 分）17解方程：（1）（2）18如图，点 E 是正
5、方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，联结 DE，过顶点 B 作 BF DE，垂足为F， BF 交边 DC 于点 G（1）求证： GDAB DFBG；（2）联结 CF，求证： CFB4519为了整治环境卫生，某地区需要一种消毒药水 3250 瓶，药业公司接到通知后马上采购两种专用包装箱，将药水包装后送往该地区已知一个大包装箱价格为 5 元，可装药水 10 瓶；一个小包装箱价格为 3 元，可以装药水 5 瓶该公司采购的大小包装箱共用了 1700 元，刚好能装完所需药水（1）求该药业公司采购的大小包装箱各是多少个？（2）药业公司准备派 A.B 两种型号的车共 10 辆运送该批药水，已知 A 型
6、车每辆最多可同时装运 30 大箱和 10 小箱药水； B 型车每辆最多可同时装运 20 大箱和 40 小箱消毒药水，要求每辆车都必须同时装运大小包装箱的药水，求出一次性运完这批药水的所有车型安排方案；（3）如果 A 型车比 B 型车省油，采用哪个方案最好？20交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验如图，先在笔直的公路 1 旁选取一点 P，在公路 1 上确定点O、 B，使得 PO l， PO100 米， PBO45这时，一辆轿车在公路 1 上由 B 向 A 匀速驶来，测得此车从 B 处行驶到 A 处所用的时间为 3 秒，并测得
7、 APO60此路段限速每小时 80 千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据： 1.41， 1.73）21已知：如图，在 ABC 中，点 D 在边 AC 上， BD 的垂直平分线交 CA 的延长线于点 E，交 BD 于点 F，联结 BE， ED2 EAEC（1）求证： EBA C；（2）如果 BD CD，求证： AB2 ADAC22如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1 ax+b 的图象与反比例函数 y2 的图象交于点A（1，2）和 B（2， m）（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）请直接写出 y1 y2时 x 的取值范围；（3）过点 B 作 BE x 轴， AD BE 于点
8、D，点 C 是直线 BE 上一点，若 DAC30，求点 C 的坐标23已知 O 的直径 AB2，弦 AC 与弦 BD 交于点 E且 OD AC，垂足为点 F（1）如图 1，如果 AC BD，求弦 AC 的长；（2）如图 2，如果 E 为弦 BD 的中点，求 ABD 的余切值；（3）联结 BC.CD.DA，如果 BC 是 O 的内接正 n 边形的一边， CD 是 O 的内接正（ n+4）边形的一边，求 ACD 的面积24已知二次函数 y x2（ k+1） x+ k2+1 与 x 轴有交点（1）求 k 的取值范围；（2）方程 x2（ k+1） x+ k2+10 有两个实数根，分别为 x1， x2，
9、且方程 x12+x22+156 x1x2，求 k 的值，并写出 y x2（ k+1） x+ k2+1 的代数解析式2019 年湖北省武汉市 nanhu 中学中考数学模拟试卷（3 月份）参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】利用算术平方根的定义判断即可【解答】解：16 的算术平方根是 4，故选： A【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键2【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案【解答】解： x+20， x2故选： A【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型3【分析】根据合
10、并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式计算法则解答【解答】解： A.x2与 x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B.原式 x6，故本选项错误；C.原式2 x5，故本选项正确；D.原式8 x6，故本选项错误故选： C【点评】考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，属于基础计算题，熟记运算法则即可解答4【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第 3.4 个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是 1，得到这组数据的众数【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列3，1，0，2，2，3，第 3.4 个两个数的平均数是（0+2）21，所以中位数是 1；在这组数据中出现
11、次数最多的是 2，即众数是 2，故选： C【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求5【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可【解答】解：能用平方差公式计算的是（2 a b）（2 a+b）4 a2 b2故选： B【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键6【分析】根据关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答【解答】解：点 M（1，2）关于 y 轴对称点的坐标为（1，2）故选： A【点评】本题考查了关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对
12、称点的坐标规律：（1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数7【分析】直接利用概率公式求解【解答】解：这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率 故选： B【点评】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（ A）事件 A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数8【分析】根据题意和图形，可以用含 a 的式子表示出 BC 的长，从而可以解答本题【解答】解：由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为： ，故选： B【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意
13、，利用锐角三角函数解答9【分析】首先利用 m 和 n 表示出 AC 和 CQ 的长，则四边形 ACQE 的面积即可利用 m、 n 表示，然后根据函数的性质判断【解答】解： AC m1， CQ n，则 S 四边形 ACQE ACCQ（ m1） n mn n P（1，4）、 Q（ m， n）在函数 y （ x0）的图象上， mn k4（常数） S 四边形 ACQE ACCQ4 n，当 m1 时， n 随 m 的增大而减小， S 四边形 ACQE4 n 随 m 的增大而增大故选： A【点评】本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用 n 表示出四边形 ACQE 的面积是关键10【分析】连结
14、 AD，如图，先利用勾股定理计算出 BC10，再根据直角三角形斜边上的中线性质得 DA DC5，则1 C，接着根据圆周角定理得到点 A.D 在以 MN 为直径的圆上，所以1 DMN，则 C DMN，然后在 Rt ABC 中利用正弦定义求 C 的正弦值即可得到sin DMN【解答】解：连结 AD，如图， A90， AB6， AC8， BC10，点 D 为边 BC 的中点， DA DC5，1 C， MDN90， A90，点 A.D 在以 MN 为直径的圆上，1 DMN， C DMN，在 Rt ABC 中，sin C ，sin DMN ，故选： A【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个
15、三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形也考查了直角三角形斜边上的中线性质二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）11【分析】直接利用特殊角的三角函数值直接代入求出答案【解答】解：cos 245+sin230（ ） 2+（ ） 2 + 故答案为： 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键12【分析】先根据分式的加减运算法则计算出 ，再根据对应相等得出关于 A， B 的方程组，解之求得 A， B 的值，代入计算可得【解答】解： + ，根据题意知， ，解得
16、： ， A B71017，故答案为：17【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和解二元一次方程组的能力13【分析】依据3，以及1452，即可得到 （18052）64【解答】解：对边平行，2，由折叠可得，23，3，又1452， （18052）64，故答案为：64【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等14【分析】根据三角形的中位线得出 DE BC， DE BC，推出 ADE ABC，根据相似三角形的性质得出即可【解答】解： D.E 分别为 AB.AC 的中点， DE BC， DE BC， ADE ABC， （ ） 2 ，故答案为：1
17、：4【点评】本题考查了三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方15【分析】由于函数 y （ x0 常数 k0）的图象经过点 A（1，2），把（1，2）代入解析式求出 k2，然后得到 AC2设 B 点的横坐标是 m，则 AC 边上的高是（ m1），根据三角形的面积公式得到关于 m 的方程，从而求出，然后把 m 的值代入 y ，即可求得 B 的纵坐标，最后就求出了点 B 的坐标【解答】解：函数 y （ x0、常数 k0）的图象经过点 A（1，2），把（1，2）代入解析式得到 2 ， k2，设 B 点的横坐标是 m，则 AC 边上的高是（ m1）， AC2根
18、据三角形的面积公式得到 2（ m1）3， m4，把 m4 代入 y ， B 的纵坐标是 ，点 B 的坐标是（4， ）故答案为：（4， ）【点评】解答本题的关键是根据已知坐标系中点的坐标，可以表示图形中线段的长度根据三角形的面积公式即可解答16【分析】分四种情形分别画出图形，利用全等三角形或相似三角形的性质解决问题即可；【解答】解：分四种情形：如图 1 中，当点 D 在边 BC 上，点 E 在边 AC 上时 ABC 是等边三角形， AB BC AC3， ABD BCE60， BAD CBE， ABD BCE（ ASA）， BD EC1， AE AC EC2如图 2 中，当点 D 在边 BC 上，
19、点 E 在 AC 的延长线上时作 EF AB 交 BC 的延长线于 F CEF CAB60， ECF ACB60， ECF 是等边三角形，设 EC CF EF x， ABD BFE60， BAD FBE， ABD BFE， ， ， x ， AE AC+CE如图 3 中，当点 D 在 CB 的延长线上，点 E 在 AC 的延长线上时 ABD BCE120， AB BC， BAD FBE， ABD BCE（ ASA）， EC BD1， AE AC+EC4如图 4 中，当点 D 在 CB 的延长线上，点 E 在边 AC 上时作 EF AB 交 BC 于 F，则 EFC 是等边三角形设 EC EF C
20、F m，由 ABD BFE，可得 ， ， x ， AE AC EC ，综上所述，满足条件的 AE 的值为 2 或 4 或 或 故答案为 2 或 4 或 或 【点评】本题是三角形综合题、考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题三解答题（共 8 小题，满分 72 分）17【分析】（1）利用代入法求解可得；（2）利用加减消元法求解可得【解答】解：（1） ，把代入，得：5（3 y+4）+ y4，解得 y1，将 y1 代入，得： x3（1）+41，所以方程组
21、的解为 ；（2） ，3，得： x5，将 x5 代入，得：10 y5，解得 y5，所以方程组的解为 【点评】本题考查了解二元一次方程组，关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入消元法18【分析】（1）由 BCD GFD90、 BGC FGD 可证得 BGC DGF，即可知 ，根据 AB BC 即可得证；（2）连接 BD，由 BGC DGF 知 ，即 ，根据 BGD CGF 可证 BGD CGF得 BDG CFG，再由 即可得证【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是正方形 BCD ADC90， AB BC， BF DE， GFD90， BCD GFD， BGC FGD， BGC DGF， ， D
22、GBC DFBG， AB BC， DGAB DFBG；（2）如图，连接 BD.CF， BGC DGF， ， ，又 BGD CGF， BGD CGF， BDG CFG，四边形 ABCD 是正方形， BD 是对角线， ， CFG45【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质19【分析】（1）有两个等量关系：大包装箱装药水瓶数+小包装箱装药水瓶数3250，购买大包装箱钱数+购买小包装箱钱数1700，直接设未知数，列出二元一次方程组求解（2）有两个不等关系： A 型车装运大包装箱个数+ B 型车装运大包装箱个数250， A 型车装运小包装箱个数
23、+ B 型车装运小包装箱个数150，设适当的未知数，列出一元一次不等式组，求出解集，根据实际问题含义，确定方案（3）根据题意，选择 A 型车多的方案【解答】解：（1）设公司采购了 x 个大包装箱， y 个小包装箱根据题意得： （2 分）解之得：答：公司采购了 250 个大包装箱，150 个小包装箱（4 分）（2）设公司派 A 种型号的车 z 辆，则 B 种型号的车为（10 z）辆根据题意得： （6 分）解之得： z 为正整数 z 取 5.6.7.8方案一：公司派 A 种型号的车 5 辆， B 种型号的车 5 辆方案二：公司派 A 种型号的车 6 辆， B 种型号的车 4 辆方案三：公司派 A
24、种型号的车 7 辆， B 种型号的车 3 辆方案四：公司派 A 种型号的车 8 辆， B 种型号的车 2 辆（9 分）（3） A 种车省油，应多用 A 型车，因此最好安排 A 种车 8 辆， B 种车 2 辆，即方案四【点评】关键是弄清题意，找出题目中的相等或者不等关系本题还需注意两个等量关系：大包装箱装药水瓶数+小包装箱装药水瓶数3250，购买大包装箱钱数+购买小包装箱钱数1700两个不等关系： A 型车装运大包装箱个数+ B 型车装运大包装箱个数250， A 型车装运小包装箱个数+ B 型车装运小包装箱个数15020【分析】解直角三角形得到 AB OA OB73 米，求得此车的速度86 千
25、米/小时80 千米/小时，于是得到结论【解答】解：此车超速，理由： POB90， PBO45， POB 是等腰直角三角形， OB OP100 米， APO60， OA OP100 173 米， AB OA OB73 米， 24 米/秒86 千米/小时80 千米/小时，此车超速【点评】此题考查了解直角三角形的应用问题此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用21【分析】（1）欲证明 EBA C，只要证明 BAE CEB 即可；（2）欲证明 AB2 ADAC，只要证明 BAD CAB 即可；【解答】（1）证明： ED2 EAEC， ， BEA CEB， BAE
26、CEB， EBA C（2）证明： EF 垂直平分线段 BD， EB ED， EDB EBD， C+ DBC EBA+ ABD， EBA C， DBC ABD， DB DC， C DBC， ABD C， BAD CAB， BAD CAB， ， AB2 ADAC【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型22【分析】（1）由点 A 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出 k 值，由点 B 的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出 m 值，进而可得出点 B 的坐标，根据点 A， B 的坐标，利用待定系数法
27、即可求出一次函数解析式；（2）观察函数图象，由两函数图象的上下位置关系结合两交点的坐标，即可找出 y1 y2时 x 的取值范围；（3）由点 A， B 的纵坐标可得出 AD 的长度及点 D 的坐标，在 Rt ADC 中，由 DAC30可得出 CD 的长度，再结合点 D 的坐标即可求出点 C 的坐标【解答】解：（1）点 A（1，2）在反比例函数 y2 的图象上，2 ， k122，反比例函数的解析式为 y2 点 B（2， m）在反比例函数 y2 的图象上， m 1，点 B 的坐标为（2，1）把 A（1，2）， B（2，1）代入 y1 ax+b 得： ，解得： ，一次函数解析式为 y1 x+1（2）由
28、函数图象可知：当2 x0 或 x1 时， y1 y2（3）由题意得： AD2（1）3，点 D 的坐标为（1，1）在 Rt ADC 中，tan DAC ，即 ，解得： CD 当点 C 在点 D 的左侧时，点 C 的坐标为（1 ，1）；当点 C 在点 D 的右侧时，点 C 的坐标为（1+ ，1）当点 C 的坐标为（1 ，1）或（1+ ，1）【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、函数图象以及特殊角的三角函数值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）由两函数图象的上下位置关系，找出结论；（3）在 Rt ADC 中，由特殊角的三角
29、函数值求出 CD 的长23【分析】（1）由 AC BD 知 + + ，得 ，根据 OD AC 知 ，从而得 ，即可知 AOD DOC BOC60，利用 AF AOsin AOF 可得答案；（2）连接 BC，设 OF t，证 OF 为 ABC 中位线及 DEF BEC 得 BC DF2 t，由 DF1 t 可得 t ，即可知 BC DF ，继而求得 EF AC ，由余切函数定义可得答案；（3）先求出 BC.CD.AD 所对圆心角度数，从而求得 BC AD 、 OF ，从而根据三角形面积公式计算可得【解答】解：（1） OD AC， ， AFO90，又 AC BD， ，即 + + ， ， ， AOD
30、 DOC BOC60， AB2， AO BO1， AF AOsin AOF1 ，则 AC2 AF ；（2）如图 1，连接 BC， AB 为直径， OD AC， AFO C90， OD BC， D EBC， DE BE. DEF BEC， DEF BEC（ ASA）， BC DF、 EC EF，又 AO OB， OF 是 ABC 的中位线，设 OF t，则 BC DF2 t， DF DO OF1 t，1 t2 t，解得： t ，则 DF BC 、 AC ， EF FC AC ， OB OD， ABD D，则 cot ABDcot D ；（3）如图 2， BC 是 O 的内接正 n 边形的一边，
31、CD 是 O 的内接正（ n+4）边形的一边， BOC 、 AOD COD ，则 +2 180，解得： n4， BOC90、 AOD COD45， BC AC ， AFO90， OF AOcos AOF ，则 DF OD OF1 ， S ACD ACDF （1 ） 【点评】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点24【分析】（1）根据题意可以得到关于 k 的不等式，从而可以得到 k 的取值范围；（2）根据题意和根据系数的关系，可以求得 k 的值，进而可以写出 y x2（ k+1） x+ k2+1 的代数解析式【解答】
32、解：（1）二次函数 y x2（ k+1） x+ k2+1 与 x 轴有交点， 0，解得， k ，即 k 的取值范围是 k ；（2）方程 x2（ k+1） x+ k2+10 有两个实数根，分别为 x1， x2， x1+x2 k+1， x1x2 k2+1， x12+x22+156 x1x2，（ x1+x2） 22 x1x2+156 x1x2，（ k+1） 22（ k2+1）+156（ k2+1），解得， k4 或 k2（舍去）， y x25 x+5，即 k 的值是 4， y x2（ k+1） x+ k2+1 的代数解析式是 y x25 x+5【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、根的判别式、抛物线与 x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答
