1、2019 年四川省成都市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设全集 Ux Z|（x+l） （x3）0，集合 A0，1，2 ，则 UA（ ）A 1，3 B1，0 C0 ，3 D 1，0，32 （5 分）复数 i（3i）的共轭复数是（ ）A1+3i B13i C1+3i D13i3 （5 分）已知函数 f（x ）x 3+3x若 f（a）2，则 f（a）的值为（ ）A2 B2 C1 D14 （5 分）函数 f（x ）sinx+cosx 的最小正周期是（ ）A2 B C D5 （5 分）
2、如图，在正方体 ABCDA 1BlC1D1 中，已知 E，F，G 分别是线段 A1C1 上的点，且 A1EEFFGGC 1则下列直线与平面 A1BD 平行的是（ ）ACE BCF CCG DCC 16 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则 z2x +y 的最大值为（ ）A1 B2 C3 D47 （5 分）若非零实数 a，b 满足 2a3 b，则下列式子一定正确的是（ ）Aba Bba C|b| a| D|b| a|8 （5 分）设数列 的前 n 项和为 Sn，则 S10（ ）A B C D9 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 n 的值为（ ）A1 B2 C3 D410 （5 分）
3、“幻方 最早记载于我国公元前 500 年的春秋时期大戴礼中 “n 阶幻方（n3，nN*） ”是由前，n 2 个正整数组成的个 n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的 n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3 阶幻方”的幻和为 15（如表所示） 则“5 阶幻方”的幻和为（ ）8 1 63 5 74 9 2A75 B65 C55 D4511 （5 分）已知双曲线 C 1（a0，b0）的左，右焦点分别为 F1，F 2，抛物线 y22px （p0）与双曲线 C 有相同的焦点设 P 为抛物线与双曲线 C 的一个交点，cosPF 1F2 ，则双曲线 C 的离心率为（ ）A 或 B 或 3 C2 或 D2
4、或 312 （5 分）.三棱柱 ABCA 1B1C1 中，棱 AB，AC ，AA 1 两两垂直，ABAC ，且三棱柱的侧面积为 +1，若该三棱柱的顶点都在同一个球 O 的表面上，则球 O 表面积的最小值为（ ）A B C2 D4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡上13 （5 分）某单位有男女职工共 600 人，现用分层抽样的方法，从所有职工中抽取容量为50 的样本，已知从女职工中抽取的人数为 15，那么该单位的女职工人数为 14 （5 分）若 cos（ +） ，则 cos2 的值等于 15 （5 分）已知公差大于零的等差数列a n中，a 2，a 6，
5、a12 依次成等比数列，则 的值是 16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（1，0） ，直线 l：yk（x1）+2，设点 A 关于直线 l 的对称点为 B，则 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）已知ABC 中，角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，且 acosB b+c（I）求角 A 的大小；（）记ABC 的外接圆半径为 R，求 的值18 （12 分）某保险公司给年龄在 2070 岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000 名参保人员中随机抽取 100 名作为样本进行分析，按年龄段2
6、0，30） ，30 ，40） ，40，50 ） ，50，60） ，60 ，70 分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示年龄（单位：岁）20， 30） 30，40） 40，50） 50，60） 60，70保费（单位：元）30 60 90 120 150（）求频率分布直方图中实数 a 的值，并求出该样本年龄的中位数；（）现分别在年龄段20， 30） ，30 ，40） ，40，50） ，50，60） ，60 ，70中各选出 1人共 5 人进行回访，若从这 5 人中随机选出 2 人，求这 2 人所交保费之和大于 200 元的概率19 （12 分）如图，在四棱锥
7、PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PAD 为正三角形，平面 PAD平面 ABCD，E，F 分别是 AD，CD 的中点（）证明：BD平面 PEF；（）若 M 是棱 PB 上一点，三棱锥 MPAD 与三棱锥 PDEF 的体积相等，求 的值20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + 1（ab0）的左，右焦点分别为 F1，F 2，且|F 1F2|2P 是椭圆 C 上任意一点，满足|PF 1|+|PF2|2 （）求椭圆 C 的标准方程；（）设直线 l：y kx+m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且|AB|2，M 为线段 AB 的中点，求|OM| 的最大值21 （12 分
8、）已知函数 f（x ）xlnx2ax 2+x，aR（）若 f（x）在（ 0，+）内单调递减，求实数 a 的取值范围；（）若函数 f（x ）有两个极值点分别为 x1，x 2，证明：x 1+x2 请考生在第 22，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）以坐标原点 O 为极点，z 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为sin（+ ） （）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（）设点 M（0
9、，1） 若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|MA|+|MB|的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）x 2a|x 1|1，aR （）当 a4 时，求函数 f（ x）的值域；（） x00，2，f（x 0）a| x0+1|，求实数 a 的取值范围2019 年四川省成都市高考数学三诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 【解答】解：全集 Ux Z|（x+l） （x3）0）xZ |1x3） 1，0，1，2，3，集合 A0 ，1 ，2，则 UA1，3 ，故选：A2 【解
10、答】解：i（3i）3ii 21+3i，复数 i（3i）的共轭复数是 13i故选：B3 【解答】解：f（x ）是奇函数，且 f（a）2；f（a）f（a）2；f（a）2故选：B4 【解答】解：f（x ）sinx+cosx （ ，T2，故选：A5 【解答】解：如图，连接 AC，使 AC 交 BD 与点 O，连接 A1O，CF，在正方体 ABCDA 1BlC1D1 中，由于 A1F AC，又 OC AC，可得：A 1F OC，即四边形 A1OCF 为平行四边形，可得：A 1OCF，又 A1O平面 ABD，CF平面 ABD，可得 CF平面 ABD故选：B6 【解答】解：作出实数 x，y 满足 表示的平面
11、区域，如图所示：由 z2x+y 可得 y2x +z，则 z 表示直线 y2x+z 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线 2x+y 0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过 B 时，z 最大由 可得 B（2，0） ，此时 z4故选：D7 【解答】解：令 2a3 bt，则 t0，t1，alog 2 t ，blog 3 t ，|a |b| | lgt| 0，|a |b|故选：C8 【解答】解： ，所以： ， ， ，所以： 故选：A9 【解答】解：根据程序框图：执行循环前：a0，b0，n0，执行第一次循环时：，a1，b2，所以：9 2+8240 不成立继续进行循环，当 a4，b8 时，62+2
12、240，所以：n1，由于 a5 不成立，执行下一次循环，当 a5 时，输出结果 n2故选：B10 【解答】解：由 1，2，3，424，25 的和为 325，又由“n 阶幻方（n3，nN*） ”的定义可得：“5 阶幻方”的幻和为 65，故选：B11 【解答】解：过 P 分别向 x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为 M，N，不妨设 PF1m ，PF 2n，则 F1MPN PF 2PF 1cosPF 1F2 ，P 为双曲线上的点，则 PF1PF 22a，即 m 2a，故 m7a，n5a又 F1F22c，在PF 1F2 中，由余弦定理可得 ，化简可得 c25ac +6a20，即 e25e+60，解得
13、 e2 或 e3故选：D12 【解答】解：如图，设 ABACx，AA 1y ，则三棱柱的侧面积为 ，得 把三棱柱补形为长方体，则其对角线长为 当且仅当 ，即 x ，y1 时上式取“” 三棱柱外接球半径的最小值为 ，表面积的最小值为 故选：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡上13 【解答】解：由分层抽样的定义得 ，得 n1215180，即该单位的女职工人数为 180，故答案为：18014 【解答】解：cos（ +）sin ，sin ，cos212sin 212（ ） 2 故答案为： 15 【解答】解：公差大于零的等差数列a n中，a 2，a 6， a1
14、2 依次成等比数列，可得： ，可得（a 2+4d） 2a 2（a 2+10d） ，可得 8da 2则 故答案为： 16 【解答】解：根据题意，设 B 的坐标为（m ，n） ，又由 AB 关于直线 yk （x1）+2 对称，则有 ，解可得： ，则 B 的坐标为（1 ， ） ，则 （1 ， ） ， （1，0） ，则 1 ，当 k0 时， 1，当 k0 时， 1 ，此时 k+ 2 2，1 1，当 k0 时， 1 ，此时 k+ （k）+ 2，此时有1 3；综合可得：1 3，故答案为：1，3三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 【解答】解：（ I）由正弦
15、定理得 sinAcosB sinA+sinC又 sinCsin （A +B） sinAcosB sinA+sinAcosB+cosA sinB即 cosAsinB+ sinB0，cosA ，0A，A（II）由余弦定理得 b2+c2a 22bccosAbc sin 2A，：A ，sin 2A ，即 sin 2A 18 【解答】解：（）（0.007+0.018+a+0.025+0.020）101，解得 a0.030，设该样本年龄的中位数为 x0，则 40x 050，（x 040）0.030+0.018+0.070.5，解得 （）回访的这 5 人分别记为 a20，a 60，a 90，a 120，a
16、150，从 5 人中任选 2 人的基本事件有：（a 20，a 60） ， （a 20，a 90） ， （a 20，a 120） ， （a 20，a 150） ， （a 60，a 90） ， （a 60，a 120） ，（a 60，a 150） ， （a 90，a 120） ， （a 90，a 150） ， （a 120，a 150） ，共 10 种，事件“两人保费之和大于 200 元”包含的基本事件有：（a 60，a 150） ， （a 90，a 120） ， （a 90，a 150） ， （a 120，a 150） ，共 4 种，这 2 人所交保费之和大于 200 元的概率 p 19 【解答
17、】 （本题满分为 12 分）解：（）证明：连接 AC， PA PD ，且 E 是 AD 的中点，PEAD ，1 分又面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PE平面 ABCD，2 分BD平面 ABCD，BDPE，3 分又四边形 ABCD 为菱形，且 E，F 为棱的中点，EFAC，BDAC，BDEF，4 分又 BDPE，PEEFE ，BD平面 PEF；6 分（）如图，连接 MA，MD，设 ，则 ，V MPAD VBPAD VPABD ，8 分又 VP DEF VPACD VPABD ，10 分V MPAD V PDEF ， ，解得： ，即 12 分20 【解答】解：（I）由椭圆
18、定义可知 2a2a ，由|F 1F2|2 可得 c1b 2a 2c 21椭圆方程为（II）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）联立 可得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m220x 1+x2 ，x 1x2 ，16k 28m 2+80M（ ） ，OM 2 ，|AB| 2化简可得， ， 令 4k2+1t1，则 OM2 42当且仅当 t 时取等号|OM| 即 |OM|的最大值21 【解答】解：（I）f（x）lnx 4ax+2，若 f（x）在（0 ，+）内单调递减，则 f（x）0 恒成立，即 4a 在（0，+）上恒成立令 g（x） ，则 g（x） ，当 0x 时，g（x ）0，当 x 时
19、，g（x）0，g（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递减，g（x）的最大值为 g（ ）e，4ae，即 a a 的取值范围是 ，+） （II）f（x）有两个极值点，f（x）0 在（0，+）上有两解，即 4a 有两解，由（1）可知 0a 由 lnx14ax 1+20，lnx 24ax 2+20，可得 lnx1lnx 24a（x 1x 2） ，不妨设 0x 1x 2，要证明 x1+x2 ，只需证明 ，即证明 lnx 1lnx 2，只需证明 ln ，令 h（x） lnx （0x 1） ，则 h（x） 0，故 h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1）0，即 lnx 在（0，1）上恒成
20、立，不等式 ln 恒成立，综上，x 1+x2 请考生在第 22，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修 4-4：坐标系与参数方程22 【解答】解：（）由 ，得（x2） 2+y24，由 sin（+ ） ，得 sin+cos1，直线 l 的直角坐标方程为 x+y1（）设直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，代入（x2） 2+y21 得 t2+3 +10，设 A，B 对应的参数为 t1，t 2，t 1+t23 0，t 1t210，t 10，t 20，|MA |+|MB|t 1|+|t2|t 1+t2|3选修 4-5：不等
21、式选讲23 【解答】解：（）当 a4 时，f（x ）x 24|x 1| 1 ，当 x1 时，f（ x）x 24x +3（x2） 211，即此时 f（x）1，当 x1 时，f（ x）x 2+4x5（x+2） 299，即此时 f（x）9，综上 f（x） 9，即函数 f（x）的值域为9，+） （）由 f（x） a|x +1|等价为 x2a|x1| 1a|x+1|，即 a（|x+1|+| x1|）x 21，即 a 在区间 0，2内有解，当 0x1 时，a ，当 0x1 时， 0此时 a0，当 1x2 时，a （x ） ，当 1x2 时，0 （x ） ，此时 a ，综上 a ，即实数 a 的取值范围是（，
