1、山东省青岛市2023届高三三模数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知全集，集合A，B满足，则下列关系一定正确的是（ ）A. B. C. D. 2. 若为等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（ ）A B. C. D. 4. 某比赛决赛阶段由甲，乙，丙，丁四名选手参加，在成绩公布前，A，B，C三人对成绩作出如下预测：A说：乙肯定不是冠军；B说：冠军是丙或丁；C说：甲和丁
2、不是冠军成绩公布后，发现三人中只有一人预测错误，则冠军得主是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5. 瑞士数学家欧拉在三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上这条直线被称为欧拉线已知的顶点，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（ ）A. 2B. 1C. 1或3D. 36. 将函数图象向左平移后，得到的图象，若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 7. 已知向量，满足：，则的最小值为（ ）A. B. C. 2D. 18. 已知O为坐标原点，双曲线C：左，右焦点分别为，过C的右焦点且倾斜角为的直线交C右支于A，B两点，AB中点为W，的周长等
3、于12，则（ ）A. a3B. 双曲线C的渐近线方程为C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 关于x的方程的复数解为，则（ ）A. B. 与互为共轭复数C. 若，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限D. 若，则的最小值是310. 为了判断某地区超市的销售额与广告支出之间的相关关系，现随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下表，则（ ）超市ABCDEFG广告支出x万元1246101320销售额y万元19324440525354A. 广告支出的极差为19B. 销售
4、额的中位数为40C. 若销售额y与广告支出x之间的经验回归方程为，则D. 若去掉超市A这一组数据，则销售额y与广告支出x之间线性相关程度会减弱11 已知实数a，b，满足ab0，则（ ）A. B. C. D. 12. 在三棱锥PABC中，PAPBPCABBC1，点M，N分别为PB，AC中点，W是线段PA上的动点，则（ ）A. 平面平面ABCB. 面积的最小值为C. 平面WMN截该三棱锥所得截面不可能菱形D. 若三棱锥PABC可以在一个正方体内任意转动，则此正方体的体积最小值为三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13. 已知椭圆的长轴长为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的标准方
5、程为_14. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为半圆，则该圆锥内半径最大的球的表面积为_15. 若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为_（用数字作答）16. 设为定义在整数集上的函数，对任意的整数均有则_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求角B；（2）若c3a，D为AC中点，求的周长18. 如图，三棱台中，平面平面ABC，ABAC， （1）求四棱锥的体积；（2）在侧棱上是否存在点E，使得二面角EACB的余弦值为？若存在，说明点E的位置；若不存在，说明理由19
6、. 记是数列的前n项和，（1）求数列的通项公式；（2）若，成等差数列，求20. 已知动圆P经过点，并且与圆B：相切，记圆心P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）若动圆Q的圆心在曲线C上，定直线l：xt与圆Q相切，切点记为M，探究：是否存在常数m使得？若存在，求m及直线l的方程；若不存在，请说明理由21. 甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得1分假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，（1）记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望；（2）假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立
7、记表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大22. 已知函数，当，b1时，曲线在x0处的切线与x轴平行（1）求c；（2）当时，证明：山东省青岛市2023届高三三模数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知全集，集合A，B满足，则下列关系一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，求得，再进行选择即可.【详解】因为集合A，B满足，故可得，对A：当为的真子集时，不成立；对B：当为的真子集时，也不成立；对C：，恒成立；对D：当为的真子集时，不成立；
8、故选：C.2. 若为等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据等比数列是递增数列，得到一定成立，反之不成立，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.【详解】若等比数列是递增数列，可得一定成立；反之：例如数列，此时满足，但数列不是递增数列，所以“”是“数列是递增数列”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性性，以及必要不充分条件的判定，着重考查推理与计算能力，属于基础题.3. 将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）
9、中两个2不相邻的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】运用列举法求古典概型的概率即可.【详解】将2023各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数（含原来的四位数）的基本事件有：2203、2230、3220、3022、2023、2320、2032、2302、3202共9个，所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的基本事件有：2023、2320、2032、2302、3202共5个，所以所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为.故选：A.4. 某比赛决赛阶段由甲，乙，丙，丁四名选手参加，在成绩公布前，A，B，C三人对成绩作出如下预测：A说：乙肯
10、定不是冠军；B说：冠军是丙或丁；C说：甲和丁不是冠军成绩公布后，发现三人中只有一人预测错误，则冠军得主是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】【分析】由题意分类讨论一一排除即可.【详解】若A预测错误，则B、C预测正确，即乙是冠军，则B的预测冠军是丙或丁错误，矛盾；若B预测错误，则A、C预测正确，即甲乙丁不是冠军，丙是冠军，与B的预测矛盾；所以C预测错误，则A、B预测正确，即甲和丁有一个是冠军，又B预测冠军是丙或丁正确，故冠军为丁.故选：D5. 瑞士数学家欧拉在三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上这条直线被称为欧拉线已知的顶点，若直线l：与的欧拉
11、线平行，则实数a的值为（ ）A. 2B. 1C. 1或3D. 3【答案】B【解析】【分析】根据三角形顶点坐标得出重心与外心，求出三角形欧拉线，根据直线平行得解.【详解】由的顶点，知，重心为，即，又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点，即，所以可得的欧拉线方程，即，因为与平行，所以，解得，故选：B6. 将函数图象向左平移后，得到的图象，若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图像变换及单调性计算即可.【详解】向左平移，得，时，在上单调递减，即，故.故选：C7. 已知向量，满足：，则的最小值为（ ）A. B. C. 2D. 1【答案】
12、A【解析】【分析】建立平面坐标系，用坐标表示，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】由题意不妨设，则，且，解之得或，由，即的终点C在以为圆心，1为半径的圆上，故，由圆的对称性，不妨令，即，连接AD交圆于E，由点与圆的位置关系可知.故选：A 8. 已知O为坐标原点，双曲线C：的左，右焦点分别为，过C的右焦点且倾斜角为的直线交C右支于A，B两点，AB中点为W，的周长等于12，则（ ）A. a3B. 双曲线C的渐近线方程为C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用韦达定理、弦长公式、双曲线定义及两点间距离公式可求得、的值，进而代入计算判断各个选项即可.【详解】如图所示， 由题意知，其中，设直线AB方
13、程为，联立，设，则，则所以，由双曲线定义知，所以的周长为，所以，由得：，又因为为AB的中点，所以，所以，所以，解得：，由可得：，所以双曲线方程为.所以双曲线渐近线方程为，故A项错误、B项错误；对于C项，故C项错误；对于D项，因为，所以，所以，所以，故D项正确.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 关于x的方程的复数解为，则（ ）A. B. 与互为共轭复数C. 若，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限D. 若，则的最小值是3【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件，求出
14、，再逐项计算、判断作答.【详解】因为，因此不妨令方程的复数解，对于A，A错误；对于B，与互为共轭复数，B正确；对于C，由，得，则复数z在复平面内对应的点在第四象限，C错误；对于D，设，由，得，显然有，由选项A知，因此，当且仅当，即时取等号，D正确.故选：BD10. 为了判断某地区超市的销售额与广告支出之间的相关关系，现随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下表，则（ ）超市ABCDEFG广告支出x万元1246101320销售额y万元19324440525354A. 广告支出的极差为19B. 销售额的中位数为40C. 若销售额y与广告支出x之间的经验回归方程为，则D. 若去掉超市A这一组
15、数据，则销售额y与广告支出x之间线性相关程度会减弱【答案】AC【解析】【分析】根据极差、中位数、线性回归的相关知识即可解决.【详解】A：支出极差：，故A正确；B：销售额中位数：按照从小到大的顺序排列后，可知中位数为44，故B错误；C：样本中心点恒过线性回归方程，因为，所以，故C正确；D：因为不在线性回归直线上且偏差较大，去掉这组数据后，相关程度会更高，故D错误.故选：AC.11. 已知实数a，b，满足ab0，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】分析】对于选项A：根据题意结合基本不等式分析判断；对于选项B：利用作差法分析判断；对于选项C：分析可得，结合指数函数单调性分析判断；对
16、于选项D：结合幂函数单调性分析判断.【详解】对于选项A：因为，即，解得或，所以或，故A错误；对于选项B：，因为ab0，则，即，且，所以，即，故B正确；对于选项C：因为ab0，且，可得同号，则有：若同正，可得，则，可得；若同负，可得，则，可得；综上所述：，又因为在定义域内单调递减，所以，故C正确；对于选项D：因为ab0，则，可得在内单调递增，可得，且，所以，故D正确；故选：BCD.12. 在三棱锥PABC中，PAPBPCABBC1，点M，N分别为PB，AC中点，W是线段PA上的动点，则（ ）A. 平面平面ABCB. 面积的最小值为C. 平面WMN截该三棱锥所得截面不可能是菱形D. 若三棱锥PAB
17、C可以在一个正方体内任意转动，则此正方体的体积最小值为【答案】ABD【解析】【分析】由面面垂直的判定定理可判断A；以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设所成角为，由空间向量的数量积定义可求出，由三角形的面积公式结合二次函数的性质可判断B；当为中点时，平面WMN截该三棱锥所得截面为是菱形，可判断C；若三棱锥PABC可以在一个正方体内任意转动，三棱锥的棱长最长为，故可求出正方体的体积最小值可判断D.【详解】对于A，因为，故，则，又因为，所以，故，因为，为的中点，所以，则平面ABC，所以平面ABC，平面，则平面平面ABC，故A正确； 对于B，因为平面ABC，以为坐标原点，建立如图所示的空间直
18、角坐标系，则，所以，所以，设所成角为，而，又，故，所以的面积为， 故B正确；对于C，当为中点，取的中点，连接，因为，故四边形四点共面，且四边形为平行四边形，又因为，故四边形为菱形，所以当为中点时，平面WMN截该三棱锥所得截面为是菱形，故C不正确； 对于D，因为，所以，故三棱锥PABC的外接球半径为，故该外接球的内接正方形的棱长为，若三棱锥PABC可以在一个正方体内任意转动，则此正方体的体积最小值为，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题的关键点在于由空间向量的数量积定义可求出，由三角形的面积公式可得，再由二次函数的性质可求出面积的最小值.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13. 已
19、知椭圆的长轴长为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的标准方程为_【答案】【解析】【分析】求得抛物线焦点即椭圆焦点，再设椭圆方程，由椭圆长轴长和焦点坐标求得，再由，的关系求即可.【详解】抛物线方程化为标准方程得，焦点坐标为，抛物线焦点与椭圆的一个焦点重合，椭圆焦点在轴，设椭圆方程为，（），则由焦点坐标和长轴长知，椭圆的标准方程为.故答案为：.14. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为半圆，则该圆锥内半径最大的球的表面积为_【答案】#【解析】【分析】由圆锥侧面展开图求得圆锥母线长，圆锥内半径最大的球与圆锥相切，作出圆锥的轴截面，截球得大圆为圆锥轴截面三角形的内切圆，由此图形计算出球的半径后
20、可得表面积【详解】设圆锥母线长为，由题意，圆锥内半径最大的球与圆锥相切，作出圆锥的轴截面，截球得大圆为圆锥轴截面三角形的内切圆，是切点，如图，易知是圆锥的高，在上，由得，因此，所以，所以圆锥内半径最大的球的表面积为，故答案为：15. 若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为_（用数字作答）【答案】28【解析】【分析】根据二项式系数之和可得，结合二项展开式的通项公式求系数最大项，进而可求其二项式系数.【详解】因为展开式的所有项的二项式系数和为，解得，则展开式为，可得第项的系数为，令，即，解得，所以展开式中第项系数最大，其二项式系数为.故答案为：28.16. 设
21、为定义在整数集上的函数，对任意的整数均有则_【答案】【解析】【分析】采用赋值的方式可求得，令和可证得的对称轴和奇偶性，由此可推导得到的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令，则，；令，则，又，；令，则，关于直线对称；令，则，不恒成立，恒成立，为奇函数，是周期为的周期函数，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用抽象函数的周期性求解函数值的问题，解题关键是能够通过赋值的方式，借助已知中的抽象函数关系式推导得到函数的对称性和奇偶性，以及所需的函数值，进而借助对称性和奇偶性推导得到函数的周期.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 记的内角A，B，C
22、的对边分别为a，b，c，已知（1）求角B；（2）若c3a，D为AC中点，求的周长【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用诱导公式、两角和的正弦公式、同角关系式变形整理可求得角；（2）由余弦定理求得，在和中由余弦定理和求得，从而可得周长【小问1详解】，所以，则，整理得，又，而，；【小问2详解】，由余弦定理得，是中点，则，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，解得，所以的周长为18. 如图，三棱台中，平面平面ABC，ABAC， （1）求四棱锥的体积；（2）在侧棱上是否存在点E，使得二面角EACB的余弦值为？若存在，说明点E的位置；若不存在，说明理由【答案】（1）2； （
23、2）存在，E为侧棱的中点【解析】【分析】（1）取的中点，连接，利用面面垂直的性质证明平面，再利用锥体的体积公式求解作答.（2）取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量及二面角的余弦值求解作答.【小问1详解】在三棱台中，取的中点，连接，因为，则，有，因为平面平面，平面平面，则平面平面，平面平面，平面，于是平面，梯形中，则梯形的高，因此梯形的面积，所以四棱锥的体积.【小问2详解】取的中点，连接，因为，则，在等腰梯形中，分别为上下底边的中点，有，而平面平面，平面平面，平面，于是平面，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，令，有，设平面的法向量为，而，则，令，得，因为平面，则为
24、平面的一个法向量，记二面角的平面角为，于是，即，而，解得，所以存在点为的中点，使得二面角的余弦值为.19. 记是数列的前n项和，（1）求数列的通项公式；（2）若，成等差数列，求【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）由时，得的递推关系，从而可得；（2）由已知让结合等差数列性质求得，由此可得，已知式中让取偶数即可得，从而得出结论【小问1详解】，时，两式相减得：，即，是偶数时，；【小问2详解】由已知，成等差数列，联立解得，由已知得，即，综上，20. 已知动圆P经过点，并且与圆B：相切，记圆心P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）若动圆Q的圆心在曲线C上，定直线l：xt与圆Q相切，切点记
25、为M，探究：是否存在常数m使得？若存在，求m及直线l的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2）存在常数使得， 此时直线l方程为【解析】【分析】（1）由动点的轨迹满足椭圆定义求椭圆方程即可.（2）设出点Q坐标可表示、，根据恒成立列式可求得结果.【小问1详解】如图所示，由题意知，圆B圆心为，半径为4，设动圆P的半径为R，因为，所以点在圆B内，如图所示，所以，所以，所以圆心P的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆.所以，故，则.所以曲线C的方程为.【小问2详解】如图所示， 存在常数m使得，理由如下：设，则，所以，假设存在常数m使得，则对于任意的恒成立，即：对于任意的恒成立，所以， .即：存
26、在常数使得， 此时直线l方程为.21. 甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得1分假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，（1）记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望；（2）假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立记表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大【答案】（1）分布列见解析，； （2），证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，求得的取值，再求对应的概率即可求得分布列；再根据分布列求
27、即可；（2）求得，再分析第轮得分情况和第轮得分情况，从而求得递推关系，通过的正负，即可判断和证明.【小问1详解】由题可知是，的取值为，； 故的分布列如下：则.小问2详解】由题可知，；经分析可得：若第轮没有得分，则；若第轮得分，且第轮没有得分，则；若第轮得分，且第轮得分，第轮没有得分，则；故，故；因为，故，故；故，且，则，所以答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.【点睛】关键点点睛：本题考察离散型随机变量分布列、数学期望的求解；第二问处理的关键是能够合理分析第轮的得分对概率的影响，从而求得递推关系；属综合困难题.22. 已知函数，当，b1时，曲线在x0处的切线与x轴
28、平行（1）求c；（2）当时，证明：【答案】（1）； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）把，b1代入，利用导数的几何意义结合给定切线求出c并验证作答.（2）不等式等价变形成，构造函数，分类讨论并结合导数确定出a，b取值范围，结合不等式性质构造函数利用导数求出最小值判断作答.【小问1详解】依题意，求导得，于是，解得，而当时，因此曲线在x=0处的切线为，平行于x轴，所以.【小问2详解】由（1）知，当时，令，求导得，若，则，不符合题意，若，当时，符合题意，当时，因此函数在上单调递增，符合题意，当时，令，则，即函数在上单调递增，而，则存在使得，当时，函数在上单调递减，当时，不符合题意，综上得且，则有，令，求导得，当时，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，因此，即，所以.【点睛】关键点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.
